Volmen de Control

1

Mecánica de Fluidos

Análisis de Volumen de ControlTres técnicas de análisis de flujo

Análisis integral o de volumen de controlAnálisis diferencialAnálisis experimental o dimensional

Sistema cerrado : cantidad de masa de identidad fijaVolumen de control: región del espacio específica


Volumen de Control

x

y

z

t

t+δ t

sistema

volumen de control

vr

2


Tipos de Volumen de ControlFijo En movimiento

acelerado o no

Rígido Deformable


¿Qué leyes usamos?Conservación de masa o continuidad

constmsist

=

Conservación de momento lineal o cantidad de movimiento

sistsistsistelsobre

mF arr=∑

0=dt

dmsist

( )dtvmdF sist

sistelsobre

rr=∑

Conservación de momento angular

dtHdM sist

sistelsobre

o =∑ ( ) isist

isistmvrH ∑ ×=

rr

3


¿Qué leyes usamos?Conservación de energía

sistsistelentregasistalingresadEWQ =−δδ

dtdEWQ sist

realizaentra=− &&

Ecuaciones complementarias:• Ecuación de estado• Condiciones de contorno• Condición inicial (si es no estacionario)

1. Ecuaciones planteadas para un sistema

2. En todos los casos derivamos alguna propiedad del sistema: E

Hvm

m

••

••

r

Mecánica de Fluidosx

y

z t

sistema

volumen de control:• Fijo• No deformable

t+ δ tIt+δt

IIt

IIIt+δt

inoutVCsist BB

dtdB

dtdB && −+=

dmdBbydVbdmbB

Vsistsistsist === ∫∫ ρ

velocidad de cambio de B del sistema que ocupa el VC en el instante t

velocidad de acumulación de B en el VC

flujo neto que atraviesa la SC

IIt+δt

dtdB

dtdB VCsist ?

¿Cómo relacionamos la derivada temporal de una propiedad, B, del sistema con la derivada temporal de B dentro de un VC?Teorema de Transporte de Reynolds

4


Términos de flujo¿cuánto vale el diferencial de caudal másico que arrastra la propiedad b?

Superficie Quieta

( )dAnvmd (& .ρ=

( )dAnvbBoutin AoA

outin ∫= (& ./ ρ

¿Superficie en movimiento?

( )dAnvbBoutin AoA

routin ∫= (& ./ ρ

( ) 0. <⇒ nvr(

( ) 0. >⇒ nvr(

• Flujo entrante• Flujo saliente

?=B&∫= dmbB ∫= mdbB &&


( )dAnvbdt

dBdt

dB

SCr

VCsist ∫+= (.ρ

Teorema de Reynolds

( )dAnvbdVbdtd

dtdB

VC SCr

sist ∫ ∫+= (.ρρ

Simplificaciones• VC es fijo

• VC es rígido

• Flujo incompresible ⇒

fluidorVC vvv =⇒=⇒ 0( )∫∫ ∂

∂=⇒

VCVC

dVbt

dVbdtd ρρ

( ) ( )

( ) ( )dAnvbdAnvb

dVbt

dVbt

SCr

SCr

VCVC

∫∫

∫∫=

∂∂

=∂∂

(( .. ρρ

ρρ

5


Selección del VC


Conservación de masaconstm

sist= 0=

dtdmsist

1==⇒=dmdBbmB

( ) 0. =+= ∫ ∫ dAnvdVdtd

dtdm

VC SCr

sist (ρρ

Simplificaciones

• VC fijo y no deformable

• Flujo incompresible

( )∫∫ =+∂∂

SCVC

dAnvdVt

0. (ρρ

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =⇒=in outA ASC

dAnvdAnvdAnv ((( ..0. ρρρ

6


Conservación de masa• VC fijo y no deformable• Flujo incompresible

outsalidas

salsalnentradas

ententnin mAvAvm && === ∑∑ −− ρρ

outin mm && =

• Velocidad uniforme en las entradas y salidas

Si las velocidades entrantes y salientes son perpendiculares a las áreas

outsalidas

salsalmentradas

ententmin mAvAvm && === ∑∑ −− ρρ

Si la densidad no cambiaout

salidassalsalm

entradasententmin QAvAvQ === ∑∑ −−

ejemplos


Conservación de cantidad de movimiento

sistsistsistelsobre

mF a=∑ ( )dtvmdF sist

sistelsobre

=∑

Sistema de referencia inercial

vdmdBbvmB ==⇒= ¿qué velocidad?

( ) ( ) ( ) ∑∫ ∫ =+=VCsobreVC SC

rsist FdAnvvdVv

dtd

dtvmd (.ρρ

libre cuerpo como oconsiderad material, VC el sobre fuerzas∑VCsobre

F

7



Tres ecuaciones, una en cada dirección

) ( ) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )dAnvwdVwdtdFk

dAnvvdVvdtdFj

dAnvudVudtdFi

VC SCrz

VC SCr

Cy

VC SCr

Cx

∫ ∫∑

∫ ∫∑

∫ ∫∑

+=

+=

+=

((

((

((

.

.

.

VCsobre

Vsobre

Vsobre

ρρ

ρρ

ρρ



Análisis de cada término:

( )∫VC

dVvdtd ρ

• Acumulación de cantidad de movimiento

( )∫ ∂∂

VC

dVtvρ ∫ ∂

∂

VC

dVtvρ 0=

∂∂

tv

=

VC rígido

=

flujo incompresible

flujo estacionario

• Flujo de cantidad de movimiento

( )dAnvvMSC

rSC ∫= (& .ρ ( )⎩⎨⎧<>

entrante flujo0saliente flujo0

.nvr(

Si velocidad uniforme en el área

( ) ( )∑∑ −=entradas

entradassalidas

salidasSC vmvmM &&&

8


Conservación de cantidad de movimiento• Fuerzas sobre el Volumen de Control

∑ ∑∑∑ ++= LESINTERFACIALESSUPERFICIAASVOLUMETRIC FFFFVCelsobre

• Fuerza de presión

dAnpFSC

p(

∫ −= )(

• Fuerza de gravedad

dVgFVC

g ∫= ρ

• Fuerza viscosa (de corte)

( ) ∫∫ ==SC

iijSC

v dAndAnF ττ (. ejemplos


Volumen de control acelerado

r

relv

R

arrrelabsoluta aaa +=

x

y

zSistema de referencia inercial

x

y

z

Ω

Sistema de referencia no inercial

rdtRd

dtrdvvv

RrS

arrrelpart

part

×Ω++=+=

+=

¿Cuánto vale la aceleración absoluta

de la partícula?

9


Volumen de control acelerado

( )4444444 34444444 21

arra

2a 2

2

rvrdt

ddt

Rddtvd

relrel

part ×Ω×Ω+×Ω+×Ω

++=

( ) ( ) ( )dAnvvdVvdtd

dtvmd

dVFVC SC

rrelrelsistrel

VCVC∫ ∫∫∑ +==− (.aarr

sobre

ρρρ


Conservación de energía

dtdEWQ sist

realizaentra=− &&

específica energíaedmdBbEB ==⇒=

( )∫∫ +==−SC

rVC

sist

realizaentra

dAnvedVedtd

dtdE

dtdW

dtdQ (.ρρ

¿Qué tipos de energía incluye e?

e = einterna + ecinética + epotencial + eotras

~0( )↑+++= zzgvue 2

21ˆ

• Cambios de composición química

• Reacciones nucleares• Energía

elestrostática• Energía

electromagnética

10


Conservación de energía: Trabajo

vpm

osesf.viscospresiónmotor

WWWW

WWWW&&&&

&&&&

++=

++=

viscosasfuerzas las a debidon deformació de trabajo:

presión de fuerzas las de trabajo:áquinascon turbom vemoslo :

v

p

m

W

WW

&

&

&


Trabajo del presiónvFW . :definición =&

( )dAnvpWSC

p ∫= (& .

( )∫ −=SC

p dAnpF (rv

n(

VCvvFW pp . :convenciónx −=&

( )( ) ( ) ( )dAnvpdAnvpdAnvvpWSC

rSC

VCSC

rVCp ∫∫∫ +=+= (((& ...

trabajo de deformación

trabajo de flujo

11


Trabajo de fuerzas viscosas

dAvWSC

SCv ∫= .τ&

Casos particulares

• Superficie sólida, impermeable y quieta00 =⇒= vWv &

• Superficie sólida, impermeable y móvil

mW&en incluyo lo• Entradas o salidas

00

elijo generalen ≈⇒

⎭⎬⎫

≈ vii

Wvn &

(

τ

flujo elen corriente de superficie unaen -libre corriente de superficie unaen -

choque de onda una deinterior elen -:excepto siempre, casi0≈vW&


Conservación de energía

( )dAnvedVedtd

dtdEWWWQ

VC SCrpvm ∫ ∫+==−−− (&&&& .ρρ

para VC fijo o moviendose a velocidad constante

( ) ( ) ( )dAnvedVedtddAnvpdAnvpWWQ

VC SCr

SCr

SCVCvm ∫ ∫∫∫ +=−−−− (((&&& ... ρρ

( ) ( )dAnvpedVedtddAnvpWWQ

VC SCr

SCVCvm ∫ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−−− ((&&& ..ρ

ρρ

( ) ( )dAnvgzvhdVgzvudtddAnvpWWQ

VC SCr

SCVCvm ∫ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−−− ((&&& .

2ˆ

2ˆ.

22

ρρ

12


Conservación de energíaCasos particulares

• VC rígido y fijo vvyv rVC == 0

( )dAnvgzvhdVt

gzvuWWQ

VC SCvm ∫ ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∂

=−− (&&& .2

ˆ2ˆ

2

2

ρρ

• Flujo estacionario

( )dAnvgzvhWWQSC

vm ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−− (&&& .

2ˆ

2

ρ

• Entradas y salidas uniformes

entradasentradasentradas

salidassalidassalidasvm gzvhmgzvhmWWQ ∑∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−−

2ˆ

2ˆ

22

&&&&&


Conservación de energía en una línea de corriente

Tomo un VC fijo, rígido y coincide con un tubo de corrienteen un flujo estacionario

( )dAnvgzvhWWQSC

vm ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−− (&&& .

2ˆ

2

ρ

mmm &&& ==⇒ 21masa deón conservaci1

2

12

2

2 2ˆ

2ˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−− gzvhmgzvhmWWQ vm &&&&&

vm wwqgzvhgzvh ++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

2

2

1

2

2ˆ

2ˆ

dmdW

mWw

dmdW

mWw

dmdQ

mQq

vvv

mmm

==

==

==

&

&&

&&

&

13


Línea de nivel energéticoremanso de entalpía:

21definición 2 gzvhH ++≡

vm wwqHH ++−= 21

vmq hhhzg

vgu

gpz

gv

gu

gp

++−+++=+++ 2

2222

1

2111

2ˆ

2ˆ

ρρ

gwh

gwh

gqh

vv

mm

q

=

=

=

LNE ,energético nivel de línea o totalAltura

:2

definición2

0 zg

vg

ph ++≡ρ

gquuhhhh vm

−−+++= 12

0201ˆˆ


Ecuación de Bernoullí

Por lo tanto si:flujo estacionario,Incompresible,no hay transferencia de calor,no se entrega, ni extrae trabajo motor,no hay trabajo de fuerzas viscosas.

gquuhhhh vm

−−+++= 12

0201ˆˆ

2

222

1

211

22z

gv

gpz

gv

gp

++=++ρρ

( ) ( ) 02

.112

21

222

1

2

1=−+

−++

∂∂

∫ ∫ zzgvv

gdpsd

tv

g ρ

No estacionario

14


Ejemplos


Línea de altura motrizg

vLNEg

p2

z :(LAM) Motriz Altura de Línea2

−=+ρ

LAM

LNE

zg

vg

pLNE ++=2

2

ρ

15


Conservación de momento angular

dtHdM sist

sistelsobre

o =∑ ( ) puntuales masas de sistema:∑ ×=i

iisist vrmH rr( ) puntual masa : vrmH sist

rr×=

( ) contínuoun para:dmvrHsist

sist ∫ ×=

( )vrdmdBbHB ×==⇒=

Aplicando el Teorema de Reynolds

( ) ( )

( ) ( )( )dAnvvrdVvrdtd

dVrFr

VC SCrrelrel

VCo

∫ ∫

∫∑

×+×

=×−×

(.

aarrsistelsobre

ρρ

ρ

para un VC acelerado y deformable:


Conservación de momento angular : simplificaciones

• VC fijo y rígido

• Entradas y salidas uniformes

( ) ( )[ ] ( )( )dAnvvrdVt

vrFrVC SC

o ∫ ∫∑ ×+∂×∂

=× (.sistelsobre

ρρ

( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∫∑ ×−×+∂×∂

=×ent

ententsal

salsalVC

o vrmvrmdVt

vrFr &&ρ

sistelsobre

• Flujo estacionario

( ) ( ) ( )∑∑∑ ×−×=×ent

ententsal

salsalo vrmvrmFr &&sistelsobre

16


TurbomáquinasMáquinas hidráulicas rotativasDispositivos utilizados para entregar o extraer energía del fluidoClasificación:

Bombas (entregan energía al fluido)Líquidos → bombaGases → ventilador, soplante o compresor (psal)

Turbinas (extraen energía del fluido)


TurbomáquinasBombas

desplazamiento positivo (cambios de volumen)dinámicas o de intercambio de momento (paletas o álabes móviles)

Según el flujoaxialradialmixto

17


Bombas de desplazamiento positivo


Turbomáquinas típicas

Nos concentramos en las centrífugas:

18


Bomba centrífuga

Carcasa

Rotor

Difusor

Álabes


Conservación de energíaAsumiendo:

VC fijo y rígido coincidente con el rotorFlujo estacionarioIncompresibleEntradas y salidas uniformesNo hay transferencia de calorNo hay trabajo de esfuerzos viscosos

fmsalent

hhzg

vg

pzg

vg

p++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

22

22

ρρ

19


Parámetros básicosfmentsal hhhhH −=−≡ 00 :bomba la de carga de Altura

gpHzzvv

ρ∆

≈⇒≈≈ 2121 y teGeneralmen

HQg :útil Potencia ρ=wP

TPf ω= :freno al Potencia

Potencia entregada al fluido

Potencia requerida para moverel rotor

THQg

PP

f

w

ωρη ==b :bomba la de oRendimient

HQgT

PP

w

f

ρωη ==t : turbinala de Eficiencia


Teoría elemental de bombas

ω

r1

r2

r

z

b

wuv +=

22 ru ω=

2w

2v

β2

α2

2nv

2tv

velocidad del fluido velocidad

del álabe

velocidad del fluido relativa al álabe

β1

1w 1vα1

1tv1nv

11 ru ω=

20


Teoría elemental de bombasr

z

b

1. b es chico ⇒ flujo radial2. VC fijo y rígido3. Es flujo periódico4. Tomo promedio en el tiempo y

considero estacionario5. Flujo incompresible6. Velocidad uniforme y perpendicular a

la entrada y la salida


Teoría elemental de bombasTomo conservación de momento angular:

( ) ( ) ( )( )dAnvvrdVvrdtdFr

VC SCo ∫ ∫∑ ×+×=× (.

bomba lasobre

ρρ

0¿Qué fuerzas hacen momento?

¿presión?¿peso?¿fuerzas viscosas?Torque del motor

21


Teoría elemental de bombasConservación de momento angular:

( ) ( ) 111222 mvrmvrTo && ×−×=

Conservación de masa:

Qmmm ρ=== &&& 12

Reemplazando

( )1122 tto vrvrQT −= ρ

222

111

AvQAvQ

n

n

==


Ecuaciones de Euler para turbomáquinas

( )( )1122

1122

ttw

tto

vuvuQPvrvrQT

−=−=

ρωωρω

fww PPQg

PH ηρ

==

¿cómo es H vs Q?

22


Curva de la bomba

H

Q

Volmen de Control

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