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Mecánica de Fluidos
Análisis de Volumen de ControlTres técnicas de análisis de flujo
Análisis integral o de volumen de controlAnálisis diferencialAnálisis experimental o dimensional
Sistema cerrado : cantidad de masa de identidad fijaVolumen de control: región del espacio específica
Mecánica de Fluidos
Volumen de Control
x
y
z
t
t+δ t
sistema
volumen de control
vr
2
Mecánica de Fluidos
Tipos de Volumen de ControlFijo En movimiento
acelerado o no
Rígido Deformable
Mecánica de Fluidos
¿Qué leyes usamos?Conservación de masa o continuidad
constmsist
=
Conservación de momento lineal o cantidad de movimiento
sistsistsistelsobre
mF arr=∑
0=dt
dmsist
( )dtvmdF sist
sistelsobre
rr=∑
Conservación de momento angular
dtHdM sist
sistelsobre
o =∑ ( ) isist
isistmvrH ∑ ×=
rr
3
Mecánica de Fluidos
¿Qué leyes usamos?Conservación de energía
sistsistelentregasistalingresadEWQ =−δδ
dtdEWQ sist
realizaentra=− &&
Ecuaciones complementarias:• Ecuación de estado• Condiciones de contorno• Condición inicial (si es no estacionario)
1. Ecuaciones planteadas para un sistema
2. En todos los casos derivamos alguna propiedad del sistema: E
Hvm
m
••
••
r
Mecánica de Fluidosx
y
z t
sistema
volumen de control:• Fijo• No deformable
t+ δ tIt+δt
IIt
IIIt+δt
inoutVCsist BB
dtdB
dtdB && −+=
dmdBbydVbdmbB
Vsistsistsist === ∫∫ ρ
velocidad de cambio de B del sistema que ocupa el VC en el instante t
velocidad de acumulación de B en el VC
flujo neto que atraviesa la SC
IIt+δt
dtdB
dtdB VCsist ?
¿Cómo relacionamos la derivada temporal de una propiedad, B, del sistema con la derivada temporal de B dentro de un VC?Teorema de Transporte de Reynolds
4
Mecánica de Fluidos
Términos de flujo¿cuánto vale el diferencial de caudal másico que arrastra la propiedad b?
Superficie Quieta
( )dAnvmd (& .ρ=
( )dAnvbBoutin AoA
outin ∫= (& ./ ρ
¿Superficie en movimiento?
( )dAnvbBoutin AoA
routin ∫= (& ./ ρ
( ) 0. <⇒ nvr(
( ) 0. >⇒ nvr(
• Flujo entrante• Flujo saliente
?=B&∫= dmbB ∫= mdbB &&
Mecánica de Fluidos
( )dAnvbdt
dBdt
dB
SCr
VCsist ∫+= (.ρ
Teorema de Reynolds
( )dAnvbdVbdtd
dtdB
VC SCr
sist ∫ ∫+= (.ρρ
Simplificaciones• VC es fijo
• VC es rígido
• Flujo incompresible ⇒
fluidorVC vvv =⇒=⇒ 0( )∫∫ ∂
∂=⇒
VCVC
dVbt
dVbdtd ρρ
( ) ( )
( ) ( )dAnvbdAnvb
dVbt
dVbt
SCr
SCr
VCVC
∫∫
∫∫=
∂∂
=∂∂
(( .. ρρ
ρρ
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Mecánica de Fluidos
Selección del VC
Mecánica de Fluidos
Conservación de masaconstm
sist= 0=
dtdmsist
1==⇒=dmdBbmB
( ) 0. =+= ∫ ∫ dAnvdVdtd
dtdm
VC SCr
sist (ρρ
Simplificaciones
• VC fijo y no deformable
• Flujo incompresible
( )∫∫ =+∂∂
SCVC
dAnvdVt
0. (ρρ
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =⇒=in outA ASC
dAnvdAnvdAnv ((( ..0. ρρρ
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Mecánica de Fluidos
Conservación de masa• VC fijo y no deformable• Flujo incompresible
outsalidas
salsalnentradas
ententnin mAvAvm && === ∑∑ −− ρρ
outin mm && =
• Velocidad uniforme en las entradas y salidas
Si las velocidades entrantes y salientes son perpendiculares a las áreas
outsalidas
salsalmentradas
ententmin mAvAvm && === ∑∑ −− ρρ
Si la densidad no cambiaout
salidassalsalm
entradasententmin QAvAvQ === ∑∑ −−
ejemplos
Mecánica de Fluidos
Conservación de cantidad de movimiento
sistsistsistelsobre
mF a=∑ ( )dtvmdF sist
sistelsobre
=∑
Sistema de referencia inercial
vdmdBbvmB ==⇒= ¿qué velocidad?
( ) ( ) ( ) ∑∫ ∫ =+=VCsobreVC SC
rsist FdAnvvdVv
dtd
dtvmd (.ρρ
libre cuerpo como oconsiderad material, VC el sobre fuerzas∑VCsobre
F
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Mecánica de Fluidos
Conservación de cantidad de movimiento
Tres ecuaciones, una en cada dirección
) ( ) ( )
) ( ) ( )
) ( ) ( )dAnvwdVwdtdFk
dAnvvdVvdtdFj
dAnvudVudtdFi
VC SCrz
VC SCr
Cy
VC SCr
Cx
∫ ∫∑
∫ ∫∑
∫ ∫∑
+=
+=
+=
((
((
((
.
.
.
VCsobre
Vsobre
Vsobre
ρρ
ρρ
ρρ
Mecánica de Fluidos
Conservación de cantidad de movimiento
Análisis de cada término:
( )∫VC
dVvdtd ρ
• Acumulación de cantidad de movimiento
( )∫ ∂∂
VC
dVtvρ ∫ ∂
∂
VC
dVtvρ 0=
∂∂
tv
=
VC rígido
=
flujo incompresible
flujo estacionario
• Flujo de cantidad de movimiento
( )dAnvvMSC
rSC ∫= (& .ρ ( )⎩⎨⎧<>
entrante flujo0saliente flujo0
.nvr(
Si velocidad uniforme en el área
( ) ( )∑∑ −=entradas
entradassalidas
salidasSC vmvmM &&&
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Mecánica de Fluidos
Conservación de cantidad de movimiento• Fuerzas sobre el Volumen de Control
∑ ∑∑∑ ++= LESINTERFACIALESSUPERFICIAASVOLUMETRIC FFFFVCelsobre
• Fuerza de presión
dAnpFSC
p(
∫ −= )(
• Fuerza de gravedad
dVgFVC
g ∫= ρ
• Fuerza viscosa (de corte)
( ) ∫∫ ==SC
iijSC
v dAndAnF ττ (. ejemplos
Mecánica de Fluidos
Volumen de control acelerado
r
relv
R
arrrelabsoluta aaa +=
x
y
zSistema de referencia inercial
x
y
z
Ω
Sistema de referencia no inercial
rdtRd
dtrdvvv
RrS
arrrelpart
part
×Ω++=+=
+=
¿Cuánto vale la aceleración absoluta
de la partícula?
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Mecánica de Fluidos
Volumen de control acelerado
( )4444444 34444444 21
arra
2a 2
2
rvrdt
ddt
Rddtvd
relrel
part ×Ω×Ω+×Ω+×Ω
++=
( ) ( ) ( )dAnvvdVvdtd
dtvmd
dVFVC SC
rrelrelsistrel
VCVC∫ ∫∫∑ +==− (.aarr
sobre
ρρρ
Mecánica de Fluidos
Conservación de energía
dtdEWQ sist
realizaentra=− &&
específica energíaedmdBbEB ==⇒=
( )∫∫ +==−SC
rVC
sist
realizaentra
dAnvedVedtd
dtdE
dtdW
dtdQ (.ρρ
¿Qué tipos de energía incluye e?
e = einterna + ecinética + epotencial + eotras
~0( )↑+++= zzgvue 2
21ˆ
• Cambios de composición química
• Reacciones nucleares• Energía
elestrostática• Energía
electromagnética
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Mecánica de Fluidos
Conservación de energía: Trabajo
vpm
osesf.viscospresiónmotor
WWWW
WWWW&&&&
&&&&
++=
++=
viscosasfuerzas las a debidon deformació de trabajo:
presión de fuerzas las de trabajo:áquinascon turbom vemoslo :
v
p
m
W
WW
&
&
&
Mecánica de Fluidos
Trabajo del presiónvFW . :definición =&
( )dAnvpWSC
p ∫= (& .
( )∫ −=SC
p dAnpF (rv
n(
VCvvFW pp . :convenciónx −=&
( )( ) ( ) ( )dAnvpdAnvpdAnvvpWSC
rSC
VCSC
rVCp ∫∫∫ +=+= (((& ...
trabajo de deformación
trabajo de flujo
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Mecánica de Fluidos
Trabajo de fuerzas viscosas
dAvWSC
SCv ∫= .τ&
Casos particulares
• Superficie sólida, impermeable y quieta00 =⇒= vWv &
• Superficie sólida, impermeable y móvil
mW&en incluyo lo• Entradas o salidas
00
elijo generalen ≈⇒
⎭⎬⎫
≈ vii
Wvn &
(
τ
flujo elen corriente de superficie unaen -libre corriente de superficie unaen -
choque de onda una deinterior elen -:excepto siempre, casi0≈vW&
Mecánica de Fluidos
Conservación de energía
( )dAnvedVedtd
dtdEWWWQ
VC SCrpvm ∫ ∫+==−−− (&&&& .ρρ
para VC fijo o moviendose a velocidad constante
( ) ( ) ( )dAnvedVedtddAnvpdAnvpWWQ
VC SCr
SCr
SCVCvm ∫ ∫∫∫ +=−−−− (((&&& ... ρρ
( ) ( )dAnvpedVedtddAnvpWWQ
VC SCr
SCVCvm ∫ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−−− ((&&& ..ρ
ρρ
( ) ( )dAnvgzvhdVgzvudtddAnvpWWQ
VC SCr
SCVCvm ∫ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−−− ((&&& .
2ˆ
2ˆ.
22
ρρ
12
Mecánica de Fluidos
Conservación de energíaCasos particulares
• VC rígido y fijo vvyv rVC == 0
( )dAnvgzvhdVt
gzvuWWQ
VC SCvm ∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++∂
=−− (&&& .2
ˆ2ˆ
2
2
ρρ
• Flujo estacionario
( )dAnvgzvhWWQSC
vm ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−− (&&& .
2ˆ
2
ρ
• Entradas y salidas uniformes
entradasentradasentradas
salidassalidassalidasvm gzvhmgzvhmWWQ ∑∑ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−−
2ˆ
2ˆ
22
&&&&&
Mecánica de Fluidos
Conservación de energía en una línea de corriente
Tomo un VC fijo, rígido y coincide con un tubo de corrienteen un flujo estacionario
( )dAnvgzvhWWQSC
vm ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−− (&&& .
2ˆ
2
ρ
mmm &&& ==⇒ 21masa deón conservaci1
2
12
2
2 2ˆ
2ˆ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−− gzvhmgzvhmWWQ vm &&&&&
vm wwqgzvhgzvh ++−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
2
2
1
2
2ˆ
2ˆ
dmdW
mWw
dmdW
mWw
dmdQ
mQq
vvv
mmm
==
==
==
&
&&
&&
&
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Mecánica de Fluidos
Línea de nivel energéticoremanso de entalpía:
21definición 2 gzvhH ++≡
vm wwqHH ++−= 21
vmq hhhzg
vgu
gpz
gv
gu
gp
++−+++=+++ 2
2222
1
2111
2ˆ
2ˆ
ρρ
gwh
gwh
gqh
vv
mm
q
=
=
=
LNE ,energético nivel de línea o totalAltura
:2
definición2
0 zg
vg
ph ++≡ρ
gquuhhhh vm
−−+++= 12
0201ˆˆ
Mecánica de Fluidos
Ecuación de Bernoullí
Por lo tanto si:flujo estacionario,Incompresible,no hay transferencia de calor,no se entrega, ni extrae trabajo motor,no hay trabajo de fuerzas viscosas.
gquuhhhh vm
−−+++= 12
0201ˆˆ
2
222
1
211
22z
gv
gpz
gv
gp
++=++ρρ
( ) ( ) 02
.112
21
222
1
2
1=−+
−++
∂∂
∫ ∫ zzgvv
gdpsd
tv
g ρ
No estacionario
14
Mecánica de Fluidos
Ejemplos
Mecánica de Fluidos
Línea de altura motrizg
vLNEg
p2
z :(LAM) Motriz Altura de Línea2
−=+ρ
LAM
LNE
zg
vg
pLNE ++=2
2
ρ
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Mecánica de Fluidos
Conservación de momento angular
dtHdM sist
sistelsobre
o =∑ ( ) puntuales masas de sistema:∑ ×=i
iisist vrmH rr( ) puntual masa : vrmH sist
rr×=
( ) contínuoun para:dmvrHsist
sist ∫ ×=
( )vrdmdBbHB ×==⇒=
Aplicando el Teorema de Reynolds
( ) ( )
( ) ( )( )dAnvvrdVvrdtd
dVrFr
VC SCrrelrel
VCo
∫ ∫
∫∑
×+×
=×−×
(.
aarrsistelsobre
ρρ
ρ
para un VC acelerado y deformable:
Mecánica de Fluidos
Conservación de momento angular : simplificaciones
• VC fijo y rígido
• Entradas y salidas uniformes
( ) ( )[ ] ( )( )dAnvvrdVt
vrFrVC SC
o ∫ ∫∑ ×+∂×∂
=× (.sistelsobre
ρρ
( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∫∑ ×−×+∂×∂
=×ent
ententsal
salsalVC
o vrmvrmdVt
vrFr &&ρ
sistelsobre
• Flujo estacionario
( ) ( ) ( )∑∑∑ ×−×=×ent
ententsal
salsalo vrmvrmFr &&sistelsobre
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Mecánica de Fluidos
TurbomáquinasMáquinas hidráulicas rotativasDispositivos utilizados para entregar o extraer energía del fluidoClasificación:
Bombas (entregan energía al fluido)Líquidos → bombaGases → ventilador, soplante o compresor (psal)
Turbinas (extraen energía del fluido)
Mecánica de Fluidos
TurbomáquinasBombas
desplazamiento positivo (cambios de volumen)dinámicas o de intercambio de momento (paletas o álabes móviles)
Según el flujoaxialradialmixto
17
Mecánica de Fluidos
Bombas de desplazamiento positivo
Mecánica de Fluidos
Turbomáquinas típicas
Nos concentramos en las centrífugas:
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Mecánica de Fluidos
Bomba centrífuga
Carcasa
Rotor
Difusor
Álabes
Mecánica de Fluidos
Conservación de energíaAsumiendo:
VC fijo y rígido coincidente con el rotorFlujo estacionarioIncompresibleEntradas y salidas uniformesNo hay transferencia de calorNo hay trabajo de esfuerzos viscosos
fmsalent
hhzg
vg
pzg
vg
p++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
22
22
ρρ
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Mecánica de Fluidos
Parámetros básicosfmentsal hhhhH −=−≡ 00 :bomba la de carga de Altura
gpHzzvv
ρ∆
≈⇒≈≈ 2121 y teGeneralmen
HQg :útil Potencia ρ=wP
TPf ω= :freno al Potencia
Potencia entregada al fluido
Potencia requerida para moverel rotor
THQg
PP
f
w
ωρη ==b :bomba la de oRendimient
HQgT
PP
w
f
ρωη ==t : turbinala de Eficiencia
Mecánica de Fluidos
Teoría elemental de bombas
ω
r1
r2
r
z
b
wuv +=
22 ru ω=
2w
2v
β2
α2
2nv
2tv
velocidad del fluido velocidad
del álabe
velocidad del fluido relativa al álabe
β1
1w 1vα1
1tv1nv
11 ru ω=
20
Mecánica de Fluidos
Teoría elemental de bombasr
z
b
1. b es chico ⇒ flujo radial2. VC fijo y rígido3. Es flujo periódico4. Tomo promedio en el tiempo y
considero estacionario5. Flujo incompresible6. Velocidad uniforme y perpendicular a
la entrada y la salida
Mecánica de Fluidos
Teoría elemental de bombasTomo conservación de momento angular:
( ) ( ) ( )( )dAnvvrdVvrdtdFr
VC SCo ∫ ∫∑ ×+×=× (.
bomba lasobre
ρρ
0¿Qué fuerzas hacen momento?
¿presión?¿peso?¿fuerzas viscosas?Torque del motor
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Mecánica de Fluidos
Teoría elemental de bombasConservación de momento angular:
( ) ( ) 111222 mvrmvrTo && ×−×=
Conservación de masa:
Qmmm ρ=== &&& 12
Reemplazando
( )1122 tto vrvrQT −= ρ
222
111
AvQAvQ
n
n
==
Mecánica de Fluidos
Ecuaciones de Euler para turbomáquinas
( )( )1122
1122
ttw
tto
vuvuQPvrvrQT
−=−=
ρωωρω
fww PPQg
PH ηρ
==
¿cómo es H vs Q?
22
Mecánica de Fluidos
Curva de la bomba
H
Q
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