Väntevärde, standardavvikelse och...

Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 61Mats Gunnarsson

Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde

och standardavvikelse (varians), �̅ochs��.

På liknande sätt kan en sannolikhetsfördelning med kända

förutsättningar sammanfattas med väntevärde, µ, och

standardavvikelse, σ.

µ anger vilket medelvärde och

σ anger vilken standardavvikelse man kan förvänta sig att få

om mäter många gånger.

Väntevärde, standardavvikelse och varians



Οm ξ är en diskret stokastisk variabel med utfallsrummet{xi, i = 1,...}.

Väntevärdet för ξ, E[ξ], ofta betecknat µ, definieras då som

Variansen för ξ, ofta betecknad σ2, definieras som

Standardavvikelsen, ofta betecknad med σ, definieras som

E x P xi i

i

[ ] ( )ξ ξ= =∑

2222 )()()(])[(][ µξξµµξξ −==−=−= ∑ ExPxEVi

ii

σξξ == )(][ DV



Om ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med frekvensfunktionen

f(x). Väntevärdet för ξ, E[ξ], ofta betecknad µ, definieras då som

Variansen för ξ, ofta betecknad σ2 definieras som

Standardavvikelsen, ofta betecknad med σ, definieras som

][][ ξξσ DV ==

∫∞

∞−

== dxxxfE )(][ξµ

22222 ][)()(])[(][ µξµµξξσ −=−=−== ∫∞

∞−

EdxxfxEV


Median, kvartil och percentilDen stokastiska variabeln ξ har fördelningsfunktionen F(x).

Medianen definieras som det tal, m, som uppfyller

F(m) = 0,5

Den stokastiska variabeln ξ har fördelningsfunktionen F(x). Den p:te

percentilen definieras som det tal Lp som uppfyller

F(Lp) = p% = (p/100)

Med kvartiler avses Q1 = L25 , Q2 = L50 (medianen) och Q3 = L75.

p%(100-p)%

Lp

f(x)


ξ diskret stokastisk variabel med utfall � , �, … , �� och

given sannolikhetsfunktion p(xk).

Med Mathematica beräknas väntevärde och varians enligt.

x={x1,x2,.., xn}

px={p(x1),p(x2),.., p(xn)}

my=x.px (skalärprodukt)

varians=x2.px-my2

Väntevärde, standardavvikelse m.m med

Mathematica


ξ kontinuerlig stokastisk variabel med utfall � � � � �och given frekvensfunktion f(x).

Med Mathematica beräknas väntevärde och varians direkt

med definitionen

my=� ��

��

varians=� ��

��-my2


Mathematica


För de ”kända” fördelningarna använder man

my=Mean[fördelning]resp.

varians=Variance[fördelning]

median=Median[fördelning]

kvartiler=Quartiles[fördelning]

ex.

Mean[BinomialDistribution[n,p]]

Variance[ExponentialDistribution[λ]]

Median[PoissonDistribution[λ]]

Quartiles[NormalDistribution[µ,σ]]


Mathematica


Några vanliga fördelningar


Oberoende stokastiska variabler

Vi har 2 stokastiska variabler ξ1,och ξ2

Om P(ξ1<x1 och ξ2<x2) = P(ξ1<x1 )P(ξ2<x2 )

för alla tal x1 och x2

så sägs ξ1 och ξ2 vara oberoende stokastiska variabler.

Jämför: Om A = (ξ1<x1) och B = (ξ2<x2),

A och B oberoende händelser gäller

P(ξ1<x1 och ξ2<x2) = P(A∩B) = P(A)P(B) =

= P(ξ1<x1 )P(ξ2<x2 )


Oberoende stokastiska variabler

Vi har n stokastiska variabler ξ1, ξ2, ..., ξn

Om

P(ξ1<x1 och ξ2<x2 och ... och ξn<xn) =

= P(ξ1<x1 )P(ξ2<x2 ) ... P(ξn<xn)

för alla tal x1, x2, ... xn

så är ξ1, ξ2, ..., ξn oberoende stokastiska variabler

Sannolikheten för att ξi<xi påverkar inte sannolikheten för de

övriga.


Räkneregler för väntevärde och varians

för funktioner av stokastiska variabler

nde är oberoen

, ... , om

],n

V[n

a ... ] V[ a] n

a ... V[a

]n

E[n

a ... ] E[ an] n

a ... E[a

nde är oberoe och ], om V[] V[] V[

] E[] E[] E[

]V[ ab] V[ab] aE[b] E[a

ξξ

ξξξξ

ξξξξ

ξξξξξξ

ξξξξ

ξξξξ

1

21

2111

2

1111

212121

2121

2

++=++•

++=++•

+=+•

+=+•

=+•+=+•

Sats 5A-C


Medelvärde av oberoende försök

Vi har n oberoende stokastiska variabler ξ1, ξ2, ..., ξn

Alla har samma väntevärde: E[ξi] = µAlla har samma varians: V[ξi] = σ2

Sätt

Då gäller

∑=

=n

i

iξn

ξ1

1

E och V n[ ] [ ] /ξ µ ξ σ= = 2

Detta är tillämpligt vid till exempel upprepade mätningar på samma variabel


Normalfördelningen

Normalfördelningen är vanligt förekommande

– Den bestäms av två parametrar, väntevärde, µ, samt standardavvikelse, σ

f x e x( ) ( ) /( )= − −1

2

2 22

σ πµ σ

F x e dtt

x

( ) ( ) /( )= − −

−∞∫

1

2

2 22

σ πµ σ

ξ µ σ∈ N ( , )


Normalfördelningen

För normalfördelningen är F(x) omöjlig att beräkna utan numeriska

metoder (den går inte att lösa algebraiskt)

Därför finns tabeller för N(0,1), vilken har fördelningsfunktionen

För denna finns tabeller

∫∞−

−=x

/t dteπ

Φ(x) 22

2

1

−Φ=≤∈

σµ

ξσµξx

xPattgällersåNOm )( ),(

Φ(x)x)Φ( −=− 1ξ µσ−

∈ N ( , )0 1


Allmänna egenskaper

Sats

Sats

Om ξ œ N(µ,σ) då är E(ξ)=µ och D(ξ) = σ.Dessutom gäller

Y = aξ + b œ N(aµ + b; |a|σ)

).1,0(blir Då

och ),( Om

NY

YN

∈

−=∈

σµξ

σµξ


Allmänna egenskaper forts.

För alla normalfördelningar gäller:

P(m-σ <ξ < m +σ) = 0.682 P(m-2σ <ξ < m +2σ) = 0.954P(m-3σ <ξ < m +3σ) = 0.997

P(m-1.96σ <ξ < m +1.96σ) = 0.95P(m-2.58σ <ξ < m +2.58σ) = 0.99P(m-3.29σ <ξ < m +3.29σ) = 0.999


Fler egenskaperSats

Sats

);

);

gäller

oberoende och , Om

2

2

2

12121

2

2

2

12121

222111

(

(

σσµµξξ

σσµµξξ

+−∈−

++∈+

∈∈

N

N

);σN(µξ);σN(µξ

( ) ( )nNnnN

ccN

nicN

i

i

n

i

ii

n

i

iii

iii

/;och ;

fås med;

gäller

,...,1 givna,är och samt oberoendeoch );( Om

n

1i

n

1i 1

22

1

i

σµξσµξ

µµσµξ

σµξ

∈∈

=

∈

=ℜ∈∈

∑

∑ ∑∑

=

= ==


Centrala gränsvärdessatsen

Vi har n oberoende likafördelade stokastiska variabler

ξ1, ξ2, ..., ξn, med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ

Om n går mot oändligheten gäller att

Praktiskt: summan av antal slumpvariabler är approximativt

normalfördelade om n är stort. (Tumregel n ≥ 30)

Normalapproximationer är mycket användbara

Φ(x)xnσ

nµξ

P

n

i

i

→

≤−∑

=1


och

Oavsett bakomliggande fördelning, bara n är tillräckligt

stort, tum regel: n > 30

Följder av centrala gränsvärdessatsen

)n/,N(ivt approximatär att gäller Det σµξ

),( eladnormalfördivt approximatär 1

nnNn

ii

σµξ∑=


Följder av centrala gränsvärdessatsen

( ).15)( :egelstort tumrär om

,gäller så )(

>=

≈∈

λξλλλξ

Vn

NξPoOm

( ).10)1()( : tumregelstort,är om

)1(,gäller så ),(

>−=

−≈∈

pnpVn

pnpnpNξpnBinOm

ξ

ξ

.101

)1()( : tumregelstort,är om

1)1(,gäller så ),,(

>

−−

−=

−−

−≈∈

N

nNpnpVn

N

nNpnpnpNξpnNHypOm

ξ

ξ


Approximationsregler - centrala gränsvärdessatsen

Hyp(N, n, p)

Bin(n, p) Po(λ)λ = np

n > 10

p < 0,1

λ = np

p+n/N < 0,1

n > 10

n/N < 0,1 N(µ, σ)

np(1-p)>10

λ>15

(N-n)np(1-p) /(N-1)>10

Väntevärde, standardavvikelse och...

Documents

Transcript of Väntevärde, standardavvikelse och...