NAMA :NURUL CHAIRUNNISA

UTAMI PUTRI

NIM :1620070008

MATA KULIAH :ANALISIS

MATEMATIKATeorema 7.8

Terdapat suatu barisan fungsi { f n }, yang di definisikan oleh E, konvergen seragam padaE jika hanya jika untuk setiap ε>0 terdapat suatu bilangan asli N (bulat positif) sedemikian sehingga m≥N , n≥ N, x∈ E yang mengakibatkan

|f n (x )−f m( x)|<ε…(13)

Bukti :

Dimisalkan barisan fungsi { f n } konvergen seragam padaE, dan misalkan f sebagai limit fungsi. Ketika terdapat suatu bilangan asli N (bulat positif) sedemikian sehingga n≥ N, x∈ E mengakibatkan

|f n (x )−f (x )|< ε2 ,

supaya

|f n (x )−f m( x)|<|f n ( x )−f (x)|+|f ( x )−f m(x)|<ε ,

Jika n≥ N, m≥N , x∈E

Sebaliknya, dimisalkan berpegang pada kondisi bilangan Chauchy. Dari teorema 3.11, suatu barisan { f n ( x ) } yang konvergen, untuk setiap x, untuk sebuah limit yang kita sebut f (x). Sehingga suatu barisan fungsi { f n }yang konvergen padaE, untuk f . Kita dapat membuktikan bahwa ini konvergen seragam.

Ambil sembarangε>0, dan pilih N sedemikian sehingga

|f n (x )−f m( x)|<ε…(13 ) .

Menentukan n, dan misalkan m→∞ dalam persamaan (13). Ketika f m (x )→f (x ) dengan m→∞ , maka di berikan

|f n (x )−f (x )|<ε… (14)

Untuk setiap n≥ N dan setiap x∈ E, dimana pembuktian berhasil terbukti.