MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · PDF filetransformasi linear, jika untuk setiap...
date post
28-Jun-2019Category
Documents
view
224download
0
Embed Size (px)
Transcript of MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · PDF filetransformasi linear, jika untuk setiap...
Transformasi Linear
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
TIM DOSEN
7
Definisi Transformasi Linear
Matriks Transformasi
Kernel dan Jangkauan
2 4/15/2017
Sub Pokok Bahasan
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Grafika KomputerPenyederhanaan Model Matematikadan lain-lain
Aplikasi Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor T: V W dinamakan
transformasi linear, jika untuk setiap a, b V dan R
T a + b = T a + T b
T a = T(a)
Jika V = W maka T dinamakan operasi linear
Contoh 1:
Tunjukan bahwa T: R2 R3, dimana
Txy =
x yxy
Merupakan transformasi linear
3 4/15/2017
Transformasi Linear
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab:
Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarang di R2,
Misalkan u =u1u2
, v =v1v2
Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v)
T u + v = Tu1u2
+v1v2
=
(u1 + v1) (u2 + v2)(u1 + v1)(u2 + v2)
=
u1 + v1 u2 v2u1 v1u2 + v2
=
u1 u2 + v1 v2u1 v1u2 + v2
=
u1 u2u1u2
+
v1 v2v1v2
= T u + T(v)
Terbukti bahwa T u + v = T u + T(v)
4 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Akan ditunjukan bahwa T u = T u
T u = T u1u2
= Tu1u2
=
u1 u2(u1)u2
=(u1 u2)()(u1)
u2
=
u1 u2u1u2
= T u
Terbukti bahwa T u = T u
Jadi, merupakan transformasi linear
5 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 2:
Misalkan merupakan suatu transformasi dari 22 ke yang didefinisikan oleh = det(), untuk setiap 22. Apakah merupakan Transformasi Linear?
Jawab:
Misalkan =11 1221 22
22
Maka untuk setiap berlaku
det = det11 1221 22
= 2 1122 1221 = 2det()
Perhatikan bahwa det det()
Jadi bukan transformasi linear
6 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 3:
Diketahui : 2 (Polinom orde 2) 2, dimana
+ + 2 =
a. Apakah merupakan transformasi linear
b. Tentukan (1 + + 2)
Jawab:
a.Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarangdi 2, Misalkan u = u1 + u2x + u3x
2, v = v1 + v2x + v3x2
Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v)T u + v = T u1 + u2x + u3x
2 + v1 + v2x + v3x2
= T (u1+1) + u2 + 2 x + (u3+3)x2
=(u1+1) u2 + 2(u1+1) (u3+3)
7 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
=(u1+1) u2 + 2(u1+1) (u3+3)
=1 + 1 2 21 + 1 3 3
=1 2 + 1 21 3 + 1 3
=1 21 3
+1 21 3
= T u1 + u2x + u3x2 + v1 + v2x + v3x
2
= T u + T(v)
Akan ditunjukan bahwa T u = T uT u = T( u1 + u2x + u3x
2 )
= T u1 + u2x + u3x2
=1 21 3
=(12)(13)
= 1 21 3
= 1 + 2 + 32 = T u
Jadi, T merupakan Transformasi Linear8 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
b. 1 + + 2 =1 11 1
=00
Suatu Transformasi Linear : dapat direpresentasikan dalambentuk:
=
Untuk setiap
( dinamakan matriks Transformasi dari )
Contoh 4:
Misalkan, suatu transformasi linear : 2 3 didefinisikan oleh:
=
9 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab:
Perhatikan bahwa
=
=1 11 00 1
Jadi matriks transformasi untuk : 2 3 adalah
=1 11 00 1
Secara umum, jika : merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah
10 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan
= {1, 2} basis bagi ruang vektor dan : 2 3 merupakan
transformasi linear dimana
= untuk setiap = 1, 2
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara:
Tulis: 1 = 1 = 1 2 = 2 = 2
Sehingga32 1 2 22 = 1 2 22
Jadi = 1 2 1 2
1
11 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 5:
Misalkan
1 =111
, 2 =011
, 3 =001
adalah basis bagi 3.
: 3 1 Transformasi linear didefinisikan = = untuksetiap = 1,2,3.
Jika
1 = 1 ; 2 = 1; 3 = 2
Tentukan:
Tentukan hasil transformasi dari 112
12 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab:
Definisikan:
1 = 1 =11
; 2 = 1 =10
; 3 = 2 =02
Karena =
Maka
1 0 01 1 01 1 1
=1 1 01 0 2
Atau
=1 1 01 0 2
1 0 01 1 01 1 1
1
13 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Invers matriks dicari dengan OBE:1 0 01 1 01 1 1
1 0 00 1 00 0 1
1 + 21 + 3
~
1 0 00 1 00 1 1
1 0 01 1 01 0 1
2 + 3~
1 0 00 1 00 0 1
1 0 01 1 00 1 1
Sehingga
=1 1 01 0 2
1 0 01 1 00 1 1
=0 1 01 2 2
Jadi matriks transformasi adalah 0 1 01 2 2
14 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sementara itu,
112
= 112
=0 1 01 2 2
112
=11
Ingat bahwa11
= 1 +
Jadi
112
= 1 +
15 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 6:
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah 1 + , + 2, 1 + 2
Jika : 2 3 adalah transformasi linear dimana
1 + =012
; + 2 =120
; 1 + 2 =210
Tentukan
1 + 2
16 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Gunakan konsepmembangunruang
Jawab:
Perhatikan bahwa
Himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2
Maka polinom tersebut ditulis menjadi1 + 2 = 1 1 + + 2 +
2 + 3 1 + 2
Dengan menyederhakan persamaan diatas, didapat SPL sebagaiberikut
1 + 3 = 11 2 + 3 = 1
2 3 = 1
Dengan solusi 1 = 0, 2 = 2, dan 3 = 1
17 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jadi kombinasi linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk:1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2
Atau
1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2
Karena merupakan Transformasi linear maka 1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2
= 0012
+ 2120
+ 1210
=450
18 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan : merupakan transformasi linear. Semua unsur di yang dipetakan ke vektor nol di dinamakan KERNEL
notasi ker() atau
ker = = 0}
Contoh 7:
Transformasi linear : 2 2
+ + 2 =
Perhatikan bahwa 1 + + 2 =1 11 1
=00
Maka 1 + + 2 ker()
Sementara itu, 1 + 2 + 2 ker
Karena 1 + 2 + 2 =11
0
19 4/15/2017
Kernel dan Jangkauan
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakanunsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyaivektor tak nol sebagai unsur kernel .
Teorema :
Jika T V W adalah transformasi linear maka ker T merupakansubruang dari V
Bukti :
Ambil a, b ker T sembarang dan R
1.Karena setiap a ker T artinyna setiap a sehingga a = 0,Maka ker
20 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
2. Perhatikan bahwa 0 ker .
Artinya setiap 0 = 0= 0
oleh karena itu ker {}
3. Karena a, b ker T dan ker Ingat bahwa merupakan ruang vektor, sehingga berlaku
a + b
akibatnya a + b = a + b = 0 + 0 = 0
Jadi a + b ker()
4. a ker T dan a Karena adalah ruang vektor, maka untuk setiap berlaku:
= = 0 = 0
Jadi ker()
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika : adalah transformasi linear maka ker() merupakan subruang dariruang vektor
21 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
22 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
ker subruang?Basis ker ?
Contoh 8:
Diketahui transformasi linear : 3 2 dengan
= + + 2 + 2 + + 2
Tentukan basis dan dimensi ker() dan () (R(T) adalah jangkauandari T)
Jawab:
Perhatikan bahwa:
= + + 2 + 2 + + 2 = 0
Ini memberikan + 2
2 + + =
000
23 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sehingga
= + 2
2 + + =
1 1 00 2 12 1 1
Jadi matriks transformasi bagi adalah
=1 1 00 2 12 1 1
Dengan melakukan OBE pada matriks yang telah diperbesar makadidapat
1 1 00 2 12 1 1
000~ ~
1 0 00 1 00 0 1
000
Jadi (0,0,0) adalah satu-satunya anggota dari ker(T).
Sehingga, basis ker =
dan nulitasnya adalah nol24 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Perhatikan hasil OBE,
maka basis ruang kolom dari matriks adalah102
,121
,011
oleh karena itu, basis jangkauan dari adalah:{1 + 22, 1 + 2 + 2, + 2}
sehingga rank(dimensi basis )=3
25 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 9:
Diketahui transformasi linear : 4 3 didefinisikan oleh:
= + 2
+ 2
Tentukan basis kernel dari dan nulitasnya
Jawab:
= + 2
+ 2
=1 10 01 1
0 01 21 2
26 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jadi
=1 10 01 1
0 01 21 2
Basis ker() dan Nulitasnya?
ker() adalah ruang solusi dari
= = 0
=
4
Dengan OBE
=1 10 01 1
0 01 21 2
~ ~1 10 00 0
0 01 20 0
27 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
ker = ruang solusi dari = 0
Yaitu
|
=
1100
+
0011
2
; , 0
Jadi basis ker adalah
1100
,
0011
2
nulitas = Dimensi dari ker = 2
28 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Suatu T