Transformasi Linear

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

TIM DOSEN

7

Definisi Transformasi Linear

Matriks Transformasi

Kernel dan Jangkauan

2 4/15/2017

Sub Pokok Bahasan

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Grafika KomputerPenyederhanaan Model Matematikadan lain-lain

Aplikasi Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor T: V W dinamakan

transformasi linear, jika untuk setiap a, b V dan R

T a + b = T a + T b

T a = T(a)

Jika V = W maka T dinamakan operasi linear

Contoh 1:

Tunjukan bahwa T: R2 R3, dimana

Txy =

x yxy

Merupakan transformasi linear

3 4/15/2017

Transformasi Linear

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab:

Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarang di R2,

Misalkan u =u1u2

, v =v1v2

Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v)

T u + v = Tu1u2

+v1v2

=

(u1 + v1) (u2 + v2)(u1 + v1)(u2 + v2)

=

u1 + v1 u2 v2u1 v1u2 + v2

=

u1 u2 + v1 v2u1 v1u2 + v2

=

u1 u2u1u2

+

v1 v2v1v2

= T u + T(v)

Terbukti bahwa T u + v = T u + T(v)

4 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Akan ditunjukan bahwa T u = T u

T u = T u1u2

= Tu1u2

=

u1 u2(u1)u2

=(u1 u2)()(u1)

u2

=

u1 u2u1u2

= T u

Terbukti bahwa T u = T u

Jadi, merupakan transformasi linear

5 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 2:

Misalkan merupakan suatu transformasi dari 22 ke yang didefinisikan oleh = det(), untuk setiap 22. Apakah merupakan Transformasi Linear?

Jawab:

Misalkan =11 1221 22

22

Maka untuk setiap berlaku

det = det11 1221 22

= 2 1122 1221 = 2det()

Perhatikan bahwa det det()

Jadi bukan transformasi linear

6 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 3:

Diketahui : 2 (Polinom orde 2) 2, dimana

+ + 2 =

a. Apakah merupakan transformasi linear

b. Tentukan (1 + + 2)

Jawab:

a.Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarangdi 2, Misalkan u = u1 + u2x + u3x

2, v = v1 + v2x + v3x2

Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v)T u + v = T u1 + u2x + u3x

2 + v1 + v2x + v3x2

= T (u1+1) + u2 + 2 x + (u3+3)x2

=(u1+1) u2 + 2(u1+1) (u3+3)

7 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

=(u1+1) u2 + 2(u1+1) (u3+3)

=1 + 1 2 21 + 1 3 3

=1 2 + 1 21 3 + 1 3

=1 21 3

+1 21 3

= T u1 + u2x + u3x2 + v1 + v2x + v3x

2

= T u + T(v)

Akan ditunjukan bahwa T u = T uT u = T( u1 + u2x + u3x

2 )

= T u1 + u2x + u3x2

=1 21 3

=(12)(13)

= 1 21 3

= 1 + 2 + 32 = T u

Jadi, T merupakan Transformasi Linear8 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

b. 1 + + 2 =1 11 1

=00

Suatu Transformasi Linear : dapat direpresentasikan dalambentuk:

=

Untuk setiap

( dinamakan matriks Transformasi dari )

Contoh 4:

Misalkan, suatu transformasi linear : 2 3 didefinisikan oleh:

=

9 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab:

Perhatikan bahwa

=

=1 11 00 1

Jadi matriks transformasi untuk : 2 3 adalah

=1 11 00 1

Secara umum, jika : merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah

10 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Misalkan

= {1, 2} basis bagi ruang vektor dan : 2 3 merupakan

transformasi linear dimana

= untuk setiap = 1, 2

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara:

Tulis: 1 = 1 = 1 2 = 2 = 2

Sehingga32 1 2 22 = 1 2 22

Jadi = 1 2 1 2

1

11 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 5:

Misalkan

1 =111

, 2 =011

, 3 =001

adalah basis bagi 3.

: 3 1 Transformasi linear didefinisikan = = untuksetiap = 1,2,3.

Jika

1 = 1 ; 2 = 1; 3 = 2

Tentukan:

Tentukan hasil transformasi dari 112

12 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab:

Definisikan:

1 = 1 =11

; 2 = 1 =10

; 3 = 2 =02

Karena =

Maka

1 0 01 1 01 1 1

=1 1 01 0 2

Atau

=1 1 01 0 2

1 0 01 1 01 1 1

1

13 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Invers matriks dicari dengan OBE:1 0 01 1 01 1 1

1 0 00 1 00 0 1

1 + 21 + 3

~

1 0 00 1 00 1 1

1 0 01 1 01 0 1

2 + 3~

1 0 00 1 00 0 1

1 0 01 1 00 1 1

Sehingga

=1 1 01 0 2

1 0 01 1 00 1 1

=0 1 01 2 2

Jadi matriks transformasi adalah 0 1 01 2 2

14 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Sementara itu,

112

= 112

=0 1 01 2 2

112

=11

Ingat bahwa11

= 1 +

Jadi

112

= 1 +

15 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 6:

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah 1 + , + 2, 1 + 2

Jika : 2 3 adalah transformasi linear dimana

1 + =012

; + 2 =120

; 1 + 2 =210

Tentukan

1 + 2

16 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Gunakan konsepmembangunruang

Jawab:

Perhatikan bahwa

Himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

Maka polinom tersebut ditulis menjadi1 + 2 = 1 1 + + 2 +

2 + 3 1 + 2

Dengan menyederhakan persamaan diatas, didapat SPL sebagaiberikut

1 + 3 = 11 2 + 3 = 1

2 3 = 1

Dengan solusi 1 = 0, 2 = 2, dan 3 = 1

17 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jadi kombinasi linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk:1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2

Atau

1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2

Karena merupakan Transformasi linear maka 1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2

= 0012

+ 2120

+ 1210

=450

18 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Misalkan : merupakan transformasi linear. Semua unsur di yang dipetakan ke vektor nol di dinamakan KERNEL

notasi ker() atau

ker = = 0}

Contoh 7:

Transformasi linear : 2 2

+ + 2 =

Perhatikan bahwa 1 + + 2 =1 11 1

=00

Maka 1 + + 2 ker()

Sementara itu, 1 + 2 + 2 ker

Karena 1 + 2 + 2 =11

0

19 4/15/2017

Kernel dan Jangkauan

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakanunsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyaivektor tak nol sebagai unsur kernel .

Teorema :

Jika T V W adalah transformasi linear maka ker T merupakansubruang dari V

Bukti :

Ambil a, b ker T sembarang dan R

1.Karena setiap a ker T artinyna setiap a sehingga a = 0,Maka ker

20 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

2. Perhatikan bahwa 0 ker .

Artinya setiap 0 = 0= 0

oleh karena itu ker {}

3. Karena a, b ker T dan ker Ingat bahwa merupakan ruang vektor, sehingga berlaku

a + b

akibatnya a + b = a + b = 0 + 0 = 0

Jadi a + b ker()

4. a ker T dan a Karena adalah ruang vektor, maka untuk setiap berlaku:

= = 0 = 0

Jadi ker()

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika : adalah transformasi linear maka ker() merupakan subruang dariruang vektor

21 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

22 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

ker subruang?Basis ker ?

Contoh 8:

Diketahui transformasi linear : 3 2 dengan

= + + 2 + 2 + + 2

Tentukan basis dan dimensi ker() dan () (R(T) adalah jangkauandari T)

Jawab:

Perhatikan bahwa:

= + + 2 + 2 + + 2 = 0

Ini memberikan + 2

2 + + =

000

23 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Sehingga

= + 2

2 + + =

1 1 00 2 12 1 1

Jadi matriks transformasi bagi adalah

=1 1 00 2 12 1 1

Dengan melakukan OBE pada matriks yang telah diperbesar makadidapat

1 1 00 2 12 1 1

000~ ~

1 0 00 1 00 0 1

000

Jadi (0,0,0) adalah satu-satunya anggota dari ker(T).

Sehingga, basis ker =

dan nulitasnya adalah nol24 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Perhatikan hasil OBE,

maka basis ruang kolom dari matriks adalah102

,121

,011

oleh karena itu, basis jangkauan dari adalah:{1 + 22, 1 + 2 + 2, + 2}

sehingga rank(dimensi basis )=3

25 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 9:

Diketahui transformasi linear : 4 3 didefinisikan oleh:

= + 2

+ 2

Tentukan basis kernel dari dan nulitasnya

Jawab:

= + 2

+ 2

=1 10 01 1

0 01 21 2

26 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jadi

=1 10 01 1

0 01 21 2

Basis ker() dan Nulitasnya?

ker() adalah ruang solusi dari

= = 0

=

4

Dengan OBE

=1 10 01 1

0 01 21 2

~ ~1 10 00 0

0 01 20 0

27 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

ker = ruang solusi dari = 0

Yaitu

|

=

1100

+

0011

2

; , 0

Jadi basis ker adalah

1100

,

0011

2

nulitas = Dimensi dari ker = 2

28 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Suatu T