MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · PDF filetransformasi linear, jika untuk setiap...

Click here to load reader

  • date post

    28-Jun-2019
  • Category

    Documents

  • view

    224
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · PDF filetransformasi linear, jika untuk setiap...

  • Transformasi Linear

    MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

    TIM DOSEN

    7

  • Definisi Transformasi Linear

    Matriks Transformasi

    Kernel dan Jangkauan

    2 4/15/2017

    Sub Pokok Bahasan

    MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

    Grafika KomputerPenyederhanaan Model Matematikadan lain-lain

    Aplikasi Transformasi Linear

  • Misalkan V dan W adalah ruang vektor T: V W dinamakan

    transformasi linear, jika untuk setiap a, b V dan R

    T a + b = T a + T b

    T a = T(a)

    Jika V = W maka T dinamakan operasi linear

    Contoh 1:

    Tunjukan bahwa T: R2 R3, dimana

    Txy =

    x yxy

    Merupakan transformasi linear

    3 4/15/2017

    Transformasi Linear

    MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Jawab:

    Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarang di R2,

    Misalkan u =u1u2

    , v =v1v2

    Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v)

    T u + v = Tu1u2

    +v1v2

    =

    (u1 + v1) (u2 + v2)(u1 + v1)(u2 + v2)

    =

    u1 + v1 u2 v2u1 v1u2 + v2

    =

    u1 u2 + v1 v2u1 v1u2 + v2

    =

    u1 u2u1u2

    +

    v1 v2v1v2

    = T u + T(v)

    Terbukti bahwa T u + v = T u + T(v)

    4 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Akan ditunjukan bahwa T u = T u

    T u = T u1u2

    = Tu1u2

    =

    u1 u2(u1)u2

    =(u1 u2)()(u1)

    u2

    =

    u1 u2u1u2

    = T u

    Terbukti bahwa T u = T u

    Jadi, merupakan transformasi linear

    5 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Contoh 2:

    Misalkan merupakan suatu transformasi dari 22 ke yang didefinisikan oleh = det(), untuk setiap 22. Apakah merupakan Transformasi Linear?

    Jawab:

    Misalkan =11 1221 22

    22

    Maka untuk setiap berlaku

    det = det11 1221 22

    = 2 1122 1221 = 2det()

    Perhatikan bahwa det det()

    Jadi bukan transformasi linear

    6 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Contoh 3:

    Diketahui : 2 (Polinom orde 2) 2, dimana

    + + 2 =

    a. Apakah merupakan transformasi linear

    b. Tentukan (1 + + 2)

    Jawab:

    a.Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarangdi 2, Misalkan u = u1 + u2x + u3x

    2, v = v1 + v2x + v3x2

    Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v)T u + v = T u1 + u2x + u3x

    2 + v1 + v2x + v3x2

    = T (u1+1) + u2 + 2 x + (u3+3)x2

    =(u1+1) u2 + 2(u1+1) (u3+3)

    7 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • =(u1+1) u2 + 2(u1+1) (u3+3)

    =1 + 1 2 21 + 1 3 3

    =1 2 + 1 21 3 + 1 3

    =1 21 3

    +1 21 3

    = T u1 + u2x + u3x2 + v1 + v2x + v3x

    2

    = T u + T(v)

    Akan ditunjukan bahwa T u = T uT u = T( u1 + u2x + u3x

    2 )

    = T u1 + u2x + u3x2

    =1 21 3

    =(12)(13)

    = 1 21 3

    = 1 + 2 + 32 = T u

    Jadi, T merupakan Transformasi Linear8 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • b. 1 + + 2 =1 11 1

    =00

    Suatu Transformasi Linear : dapat direpresentasikan dalambentuk:

    =

    Untuk setiap

    ( dinamakan matriks Transformasi dari )

    Contoh 4:

    Misalkan, suatu transformasi linear : 2 3 didefinisikan oleh:

    =

    9 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Jawab:

    Perhatikan bahwa

    =

    =1 11 00 1

    Jadi matriks transformasi untuk : 2 3 adalah

    =1 11 00 1

    Secara umum, jika : merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah

    10 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Misalkan

    = {1, 2} basis bagi ruang vektor dan : 2 3 merupakan

    transformasi linear dimana

    = untuk setiap = 1, 2

    Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara:

    Tulis: 1 = 1 = 1 2 = 2 = 2

    Sehingga32 1 2 22 = 1 2 22

    Jadi = 1 2 1 2

    1

    11 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Contoh 5:

    Misalkan

    1 =111

    , 2 =011

    , 3 =001

    adalah basis bagi 3.

    : 3 1 Transformasi linear didefinisikan = = untuksetiap = 1,2,3.

    Jika

    1 = 1 ; 2 = 1; 3 = 2

    Tentukan:

    Tentukan hasil transformasi dari 112

    12 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Jawab:

    Definisikan:

    1 = 1 =11

    ; 2 = 1 =10

    ; 3 = 2 =02

    Karena =

    Maka

    1 0 01 1 01 1 1

    =1 1 01 0 2

    Atau

    =1 1 01 0 2

    1 0 01 1 01 1 1

    1

    13 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Invers matriks dicari dengan OBE:1 0 01 1 01 1 1

    1 0 00 1 00 0 1

    1 + 21 + 3

    ~

    1 0 00 1 00 1 1

    1 0 01 1 01 0 1

    2 + 3~

    1 0 00 1 00 0 1

    1 0 01 1 00 1 1

    Sehingga

    =1 1 01 0 2

    1 0 01 1 00 1 1

    =0 1 01 2 2

    Jadi matriks transformasi adalah 0 1 01 2 2

    14 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Sementara itu,

    112

    = 112

    =0 1 01 2 2

    112

    =11

    Ingat bahwa11

    = 1 +

    Jadi

    112

    = 1 +

    15 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Contoh 6:

    Diketahui basis dari polinom orde dua adalah 1 + , + 2, 1 + 2

    Jika : 2 3 adalah transformasi linear dimana

    1 + =012

    ; + 2 =120

    ; 1 + 2 =210

    Tentukan

    1 + 2

    16 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

    Gunakan konsepmembangunruang

  • Jawab:

    Perhatikan bahwa

    Himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

    Maka polinom tersebut ditulis menjadi1 + 2 = 1 1 + + 2 +

    2 + 3 1 + 2

    Dengan menyederhakan persamaan diatas, didapat SPL sebagaiberikut

    1 + 3 = 11 2 + 3 = 1

    2 3 = 1

    Dengan solusi 1 = 0, 2 = 2, dan 3 = 1

    17 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Jadi kombinasi linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk:1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2

    Atau

    1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2

    Karena merupakan Transformasi linear maka 1 + 2 = 0 1 + + 2 + 2 + 1 1 + 2

    = 0012

    + 2120

    + 1210

    =450

    18 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Misalkan : merupakan transformasi linear. Semua unsur di yang dipetakan ke vektor nol di dinamakan KERNEL

    notasi ker() atau

    ker = = 0}

    Contoh 7:

    Transformasi linear : 2 2

    + + 2 =

    Perhatikan bahwa 1 + + 2 =1 11 1

    =00

    Maka 1 + + 2 ker()

    Sementara itu, 1 + 2 + 2 ker

    Karena 1 + 2 + 2 =11

    0

    19 4/15/2017

    Kernel dan Jangkauan

    MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakanunsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyaivektor tak nol sebagai unsur kernel .

    Teorema :

    Jika T V W adalah transformasi linear maka ker T merupakansubruang dari V

    Bukti :

    Ambil a, b ker T sembarang dan R

    1.Karena setiap a ker T artinyna setiap a sehingga a = 0,Maka ker

    20 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • 2. Perhatikan bahwa 0 ker .

    Artinya setiap 0 = 0= 0

    oleh karena itu ker {}

    3. Karena a, b ker T dan ker Ingat bahwa merupakan ruang vektor, sehingga berlaku

    a + b

    akibatnya a + b = a + b = 0 + 0 = 0

    Jadi a + b ker()

    4. a ker T dan a Karena adalah ruang vektor, maka untuk setiap berlaku:

    = = 0 = 0

    Jadi ker()

    Dengan demikian, terbukti bahwa

    Jika : adalah transformasi linear maka ker() merupakan subruang dariruang vektor

    21 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • 22 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

    ker subruang?Basis ker ?

  • Contoh 8:

    Diketahui transformasi linear : 3 2 dengan

    = + + 2 + 2 + + 2

    Tentukan basis dan dimensi ker() dan () (R(T) adalah jangkauandari T)

    Jawab:

    Perhatikan bahwa:

    = + + 2 + 2 + + 2 = 0

    Ini memberikan + 2

    2 + + =

    000

    23 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Sehingga

    = + 2

    2 + + =

    1 1 00 2 12 1 1

    Jadi matriks transformasi bagi adalah

    =1 1 00 2 12 1 1

    Dengan melakukan OBE pada matriks yang telah diperbesar makadidapat

    1 1 00 2 12 1 1

    000~ ~

    1 0 00 1 00 0 1

    000

    Jadi (0,0,0) adalah satu-satunya anggota dari ker(T).

    Sehingga, basis ker =

    dan nulitasnya adalah nol24 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Perhatikan hasil OBE,

    maka basis ruang kolom dari matriks adalah102

    ,121

    ,011

    oleh karena itu, basis jangkauan dari adalah:{1 + 22, 1 + 2 + 2, + 2}

    sehingga rank(dimensi basis )=3

    25 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Contoh 9:

    Diketahui transformasi linear : 4 3 didefinisikan oleh:

    = + 2

    + 2

    Tentukan basis kernel dari dan nulitasnya

    Jawab:

    = + 2

    + 2

    =1 10 01 1

    0 01 21 2

    26 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Jadi

    =1 10 01 1

    0 01 21 2

    Basis ker() dan Nulitasnya?

    ker() adalah ruang solusi dari

    = = 0

    =

    4

    Dengan OBE

    =1 10 01 1

    0 01 21 2

    ~ ~1 10 00 0

    0 01 20 0

    27 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • ker = ruang solusi dari = 0

    Yaitu

    |

    =

    1100

    +

    0011

    2

    ; , 0

    Jadi basis ker adalah

    1100

    ,

    0011

    2

    nulitas = Dimensi dari ker = 2

    28 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

  • Suatu T