V˙ U D L,D H U L U P U P Y D L U Y gH D Y V U D L U...
Transcript of V˙ U D L,D H U L U P U P Y D L U Y gH D Y V U D L U...
MEHANIKA FLUIDA B- rexe�a III testa -1. Kako su proto i kroz oba evovoda jednaki, atakoÆe i preqni i, bi�e jednake i brzine stru-ja�aU1 = U2 =
4 V
D2π=
4 · 5 · 10−3
0.052π= 2.545 m/sBernulijeva jednaqina (kroz pumpu 1)
−pv
ρ+ gH + YP1 =
(
ζ + λL
D
)
U2
1
2(1)Bernulijeva jednaqina (kroz pumpu 2)
YP2 = −pv
ρ+ gH +
(
ζ + λL
D
)
U2
2
2(2)
PSfrag repla emen H
L, D
L, D
P1 P2
pv
U1
U2
Iz jednaqina (1) i (2) mogu se izraqunati jediniqni radovi (napori) pumpi, i oni iznoseYP1 = 61.43 J/kg Yp2 = 19.53 J/kgVrednost potpritiska pri kojoj �e napori pumpi biti jednaki, se odreÆuje iz jednaqina (1) i (2),podrazumevaju�i da su brzine struja�a u evovodima jednake
YP1 = YP2 ⇒ pv = ρgH ⇒ pv = 49.05 kPa2. Na osnovu zadatog vremena pu�e�a, koje je isto za obe isterne, odreÆuju se brzine struja�a U2 iU3. Zapreminski protok kojom se pune isterne
V2 = V3 =V
t=
40
18 · 60= 0.037 m3/spa su brzine struja�a
U2 = U3 =4V2
D2
2π
= 1.176 m/s , jer je D2 = D3 = 200 mm.
���������������������������������
���������������������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
���������������������������������
���������������������������������
���������������������������������
���������������������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen H
ζk
ζkζk
ζu
ζv1ζv1
ζv2ζv3
L1, D1
L2, D2
L3, D3
ρ
U1
U2U3
1
Jednaqina kontinuiteta za raqvu:V1 = V2 + V3 ⇒ U1D
2
1= (U2 + U3)D
2
2⇒ U1 =
(
D2
D1
)2
(U2 + U3) ⇒ U1 = 1.945 m/sBernulijeve jednaqine za nivo u rezervoaru i izlazne preseke evi kojima se pune isterneYP = gH +
U2
2
2+
(
ζu + 2ζv1 + 2ζk + λL1
D1
)
U2
1
2+
(
ζv2 + λL2
D2
)
U2
2
2, (3)
YP = gH +U2
3
2+
(
ζu + 2ζv1 + 2ζk + λL1
D1
)
U21
2+
(
ζv3 + ζk + λL3
D3
)
U23
2. (4)Iz jednaqina (3) i (4), imaju�i u vidu da je U2 = U3 sledi da je
ζv2 = ζv3 + ζk + λ
(
L3
D3
−L2
D2
)
⇒ ζv2 = 2.95Jediniqni rad pumpe YP se odreÆuje iz jednaqine (3) ili (4). Zamenom brojnih vrednosti, dobija seYP = 60.23 J/kgZapreminski protok kroz pumpu
V1 = V2 + V3 ⇒ V1 = 0.074 m3/sSnaga potrebna za pogon pumpeP =
m1YP
ηP
=ρV1YP
ηP
⇒ P = 5.571 kW3. Sila koja optere�uje zavrta�sku vezu je jednaka sili kojom teqnost deluje na krivinu. Ta silase odreÆuje primenom jednaqine balansa koliqine kreta�a za kontrolnu zapreminu prikazanu nasli i.PSfrag repla emen
H
D
ζk
ζmAA
Vα α
d Kontrolnazapremina(m~U)1
(m~U)2
~P1
~P2
A1
A2
Aw
Aw
x
y
112 2
Opxta jednaqina balansa koliqine kreta�a u sluqaju sta ionarnog struja�a je oblika∮
A
ρ ~U ~U · ~n dA =∑
i
~Fi.U konkretnom primeru ona svodi na∫
A1
ρ ~U ~U · ~ndA +
∫
A2
ρ ~U ~U · ~ndA +
∫
Aw
ρ ~U ~U · ~ndA = ~P1 + ~P2 + ~Fw ,odnosnom1β1
~U1 − m2β2~U2 = ~P1 + ~P2 + ~Fw ⇒ ~FR = m1β1
~U1 − m2β2~U2 + ~P1 + ~P2 + ~G (5)gde su: 2
• ~P1 i ~P2 - sile pritiska na kontrolnim povrxima 1 i 2 (povrxinske sile kojima ostatak fluidadeluje na fluid u kontrolnoj zapremini), Pi = (pi − pa)Ai
• m1β1~U1 - fluks koliqine kreta�a kroz kontrolnu povrx 1 u kontrolnu zapreminu (ulaznifluks)
• m2β2~U2 - fluks koliqine kreta�a kroz kontrolnu povrx 2 iz kontrolne zapremine (izlaznifluks)
• ~G - sila te�ine fluida unutar kontrolne zapremine (masena sila)• ~Fw - sila kojom zid krivine deluje na fluid u kontrolnoj zapremini preko povrxi kontaktafluida i krivine (povrxinska sila)• ~FR = −~Fw - sila kojom fluid deluje na krivinu• β1 i β2 - Busineskovi koefi ijenti u prese ima 1 i 2Uz pretpostavke da se radi o turbulentnom struja�u (β ≈ 1) i da se sila te�ine mo�e zanemaritiu odnosu na vrednosti ostalih veliqina, i imaju�i u vidu jednaqinu kontinuiteta (m = const),jednaqina (5) se svodi na
~FR = m(
~U1 −~U2
)
+ ~P1 + ~P2 (6)Prav i i smerovi svih vektora na desnoj strani jednaqine (6) su u potpunosti odreÆeni. Kako jeu preseku 2 pritisak jednak atmosferskom, sila pritiska P2 je jednaka nuli. Intenziteti ostalihvektora se odreÆuju iz jednaqine kontinuitete i Bernulijeve jednaqine.• Jednaqina kontinuiteta:
m = const ⇒ U1 =4m
ρD2π, U2 =
4m
ρd2π⇒ U1 = 1.589 m/s , U2 = 6.357 m/s
• Iz Bernulijeve jednaqine 1 → 2
pa + pmA
ρ+
U21
2=
pa
ρ+
U22
2+ gH + ζk
U21
2+ ζm
U22
2,sledi jednaqina iz koje se mo�e odrediti vrednost natpritiska pmA
pmA = ρgH + ρU2
2
2+ ζk ρ
U2
1
2+ ζm ρ
U2
2
2− ρ
U2
1
2⇒ pmA = 23.28 kPaProjektova�em jednaqine (6) na dva meÆusobno upravna prav a x i y dobijaju se projek ije FRx i
FRy, odnosno sile isteza�a i smi a�a koje opter�uju zavrta�sku vezu A-A• Sila isteza�a:
FRx ≡ Fist = m (U1 − U2 cosα) + pmA
D2π
4⇒ Fist = 536.4 N
• Sila smi a�aFRy ≡ Fsm = −m U2 sin α ⇒ Fsm = −158.9 N4. �utnovski fluid karakterixe linearna veza izmeÆu tenzora napona i tenzora brzine deforma ije.U sluqaju da je taj fluid i nestixiv, ta rela ija je oblika
P = −pE + 2ηS ⇔ pij = −pδij + 2ηSij (7)gde je E jediniqni tenzor. Rela ija (7) se mo�e zapisati i u matriqnom oblikuP =
−p + 2η ∂u∂x
η(
∂u∂y
+ ∂v∂x
)
η(
∂u∂z
+ ∂w∂x
)
η(
∂v∂x
+ ∂u∂y
)
−p + 2η ∂v∂y
η(
∂v∂z
+ ∂w∂y
)
η(
∂w∂x
+ ∂u∂z
)
η(
∂w∂y
+ ∂v∂z
)
−p + 2η ∂w∂z
(8)3
5. Navije-Stoksove jednaqine u prirodnim koordinatama (prava du� strujni e s, prava upravan nastrujni e n)∂U
∂t+ U
∂U
∂s= −g
∂z
∂s−
1
ρ
∂p
∂s+ ν
∂2U
∂n2(9)
U2
R= −g
∂z
∂n−
1
ρ
∂p
∂n(10)Ako su strujni e paralelne, polupreqnik krivine R → ∞, odnosno normalno ubrza�e je jednakonuli, pa iz druge jednaqine sledi
1
ρ
∂p
∂n= −g
∂z
∂n⇒ p = −ρgz + Cgde je C konstanta koja se mo�e me�ati od strujni e do strujni e. Dakle, raspodela pritiska upravu upravnom na strujni e je hidrostatiqka.6. Handout, potpoglave 5.3.2, str. 111. U sluqaju sta ionarnog struja�a Struhalov broj je pribli�nojednak nuli.7. Handout, potpoglave 5.8.1, str. 133. Atributi se odnose na preptpostavke: sta ionarno, potpunorazvijeno struja�e nestixivog fluida.Smi ajni napon na zidu se odreÆuje iz bilansa koliqine kreta�a za kontrolnu zapreminu oblika ilindra qiji se omotaq poklapa sa unutrax�im zidom evi. Uti aj zida evi na fluid se izra�avapreko tangen ijalnog napona na zidu τw.
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen L
RP1
P2
FtrKontrolnazapreminaKako je struja�e potpuno razvijeno ulazni i izlazni fluksevi koliqine kreta�a su isti, pa sejednaqina bilansa koliqine kreta�a svodi na dinamiqku ravnote�u sila
P1 = P2 + Ftr ⇔ p1R2πL = p2R
2πL − τw2RπL ⇒ τw = ∆p2R
L= ∆p
D
L8. Ako se ploqa kre� konstantnom brzinom, suma svih sila koje na �u deluju je jednaka nuli (dinamiqkaravnote�a). Na ploqu fluid deluje silom koja je odreÆena izrazomFtr =
∫
A
τwdA, τw = η
(
du
dy
)
y=Hi ona je usmerena suprotno smeru struja�a fluida. U konkretnom primeru, za zadati profil brzinedobija seτw = η
[
d
dy
(
U0
y
H
)
]
y=H
= ηU0
H.Dakle, napon na ploqi je konstantan, pa se izraz za silu svodi na
Ftr = ηU0
HbL.Ova sila je jednaka tra�enoj sili F kojom treba vu�i ploqu
F = ηU0
HbL .4
9. Oba signala odgovaraju turbulentnom struja�u fluida. Leva slika odgovara statistiqki sta io-narnom struja�u, dok desna odgovara statistiqki nesta ionarnom struja�u. 8.2
8.25
8.3
8.35
8.4
8.45
8.5
0 2 4 6 8 10
PSfrag repla emen U[m
/s]
t[ s]
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
0 2 4 6 8 10
PSfrag repla emen U[m
/s]
t[ s]10. Handout, potpoglave 5.8.5, str 143 + predava�a.
5