V˙ U D L,D H U L U P U P Y D L U Y gH D Y V U D L U...

5
III U 1 = U 2 = 4 ˙ V D 2 π = 4 · 5 · 10 -3 0.05 2 π =2.545 m/s - p v ρ + gH + Y P 1 = ζ + λ L D U 2 1 2 Y P 2 = - p v ρ + gH + ζ + λ L D U 2 2 2 H L, D L, D P 1 P 2 p v U 1 U 2 Y P 1 = 61.43 J/kg Y p2 = 19.53 J/kg Y P 1 = Y P 2 p v = ρgH p v = 49.05 kPa U 2 U 3 ˙ V 2 = ˙ V 3 = V t = 40 18 · 60 =0.037 m 3 /s U 2 = U 3 = 4 ˙ V 2 D 2 2 π =1.176 m/s , D 2 = D 3 = 200 mm. H ζ k ζ k ζ k ζ u ζ v1 ζ v1 ζ v2 ζ v3 L 1 ,D 1 L 2 ,D 2 L 3 ,D 3 ρ U 1 U 2 U 3

Transcript of V˙ U D L,D H U L U P U P Y D L U Y gH D Y V U D L U...

MEHANIKA FLUIDA B- rexe�a III testa -1. Kako su proto i kroz oba evovoda jednaki, atakoÆe i preqni i, bi�e jednake i brzine stru-ja�aU1 = U2 =

4 V

D2π=

4 · 5 · 10−3

0.052π= 2.545 m/sBernulijeva jednaqina (kroz pumpu 1)

−pv

ρ+ gH + YP1 =

(

ζ + λL

D

)

U2

1

2(1)Bernulijeva jednaqina (kroz pumpu 2)

YP2 = −pv

ρ+ gH +

(

ζ + λL

D

)

U2

2

2(2)

PSfrag repla emen H

L, D

L, D

P1 P2

pv

U1

U2

Iz jednaqina (1) i (2) mogu se izraqunati jediniqni radovi (napori) pumpi, i oni iznoseYP1 = 61.43 J/kg Yp2 = 19.53 J/kgVrednost potpritiska pri kojoj �e napori pumpi biti jednaki, se odreÆuje iz jednaqina (1) i (2),podrazumevaju�i da su brzine struja�a u evovodima jednake

YP1 = YP2 ⇒ pv = ρgH ⇒ pv = 49.05 kPa2. Na osnovu zadatog vremena pu�e�a, koje je isto za obe isterne, odreÆuju se brzine struja�a U2 iU3. Zapreminski protok kojom se pune isterne

V2 = V3 =V

t=

40

18 · 60= 0.037 m3/spa su brzine struja�a

U2 = U3 =4V2

D2

= 1.176 m/s , jer je D2 = D3 = 200 mm.

���������������������������������

���������������������������������

����������������������

����������������������

����������������������

����������������������

���������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

����������������������

����������������������

����������������������

����������������������

����������������������

����������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

PSfrag repla emen H

ζk

ζkζk

ζu

ζv1ζv1

ζv2ζv3

L1, D1

L2, D2

L3, D3

ρ

U1

U2U3

1

Jednaqina kontinuiteta za raqvu:V1 = V2 + V3 ⇒ U1D

2

1= (U2 + U3)D

2

2⇒ U1 =

(

D2

D1

)2

(U2 + U3) ⇒ U1 = 1.945 m/sBernulijeve jednaqine za nivo u rezervoaru i izlazne preseke evi kojima se pune isterneYP = gH +

U2

2

2+

(

ζu + 2ζv1 + 2ζk + λL1

D1

)

U2

1

2+

(

ζv2 + λL2

D2

)

U2

2

2, (3)

YP = gH +U2

3

2+

(

ζu + 2ζv1 + 2ζk + λL1

D1

)

U21

2+

(

ζv3 + ζk + λL3

D3

)

U23

2. (4)Iz jednaqina (3) i (4), imaju�i u vidu da je U2 = U3 sledi da je

ζv2 = ζv3 + ζk + λ

(

L3

D3

−L2

D2

)

⇒ ζv2 = 2.95Jediniqni rad pumpe YP se odreÆuje iz jednaqine (3) ili (4). Zamenom brojnih vrednosti, dobija seYP = 60.23 J/kgZapreminski protok kroz pumpu

V1 = V2 + V3 ⇒ V1 = 0.074 m3/sSnaga potrebna za pogon pumpeP =

m1YP

ηP

=ρV1YP

ηP

⇒ P = 5.571 kW3. Sila koja optere�uje zavrta�sku vezu je jednaka sili kojom teqnost deluje na krivinu. Ta silase odreÆuje primenom jednaqine balansa koliqine kreta�a za kontrolnu zapreminu prikazanu nasli i.PSfrag repla emen

H

D

ζk

ζmAA

Vα α

d Kontrolnazapremina(m~U)1

(m~U)2

~P1

~P2

A1

A2

Aw

Aw

x

y

112 2

Opxta jednaqina balansa koliqine kreta�a u sluqaju sta ionarnog struja�a je oblika∮

A

ρ ~U ~U · ~n dA =∑

i

~Fi.U konkretnom primeru ona svodi na∫

A1

ρ ~U ~U · ~ndA +

A2

ρ ~U ~U · ~ndA +

Aw

ρ ~U ~U · ~ndA = ~P1 + ~P2 + ~Fw ,odnosnom1β1

~U1 − m2β2~U2 = ~P1 + ~P2 + ~Fw ⇒ ~FR = m1β1

~U1 − m2β2~U2 + ~P1 + ~P2 + ~G (5)gde su: 2

• ~P1 i ~P2 - sile pritiska na kontrolnim povrxima 1 i 2 (povrxinske sile kojima ostatak fluidadeluje na fluid u kontrolnoj zapremini), Pi = (pi − pa)Ai

• m1β1~U1 - fluks koliqine kreta�a kroz kontrolnu povrx 1 u kontrolnu zapreminu (ulaznifluks)

• m2β2~U2 - fluks koliqine kreta�a kroz kontrolnu povrx 2 iz kontrolne zapremine (izlaznifluks)

• ~G - sila te�ine fluida unutar kontrolne zapremine (masena sila)• ~Fw - sila kojom zid krivine deluje na fluid u kontrolnoj zapremini preko povrxi kontaktafluida i krivine (povrxinska sila)• ~FR = −~Fw - sila kojom fluid deluje na krivinu• β1 i β2 - Busineskovi koefi ijenti u prese ima 1 i 2Uz pretpostavke da se radi o turbulentnom struja�u (β ≈ 1) i da se sila te�ine mo�e zanemaritiu odnosu na vrednosti ostalih veliqina, i imaju�i u vidu jednaqinu kontinuiteta (m = const),jednaqina (5) se svodi na

~FR = m(

~U1 −~U2

)

+ ~P1 + ~P2 (6)Prav i i smerovi svih vektora na desnoj strani jednaqine (6) su u potpunosti odreÆeni. Kako jeu preseku 2 pritisak jednak atmosferskom, sila pritiska P2 je jednaka nuli. Intenziteti ostalihvektora se odreÆuju iz jednaqine kontinuitete i Bernulijeve jednaqine.• Jednaqina kontinuiteta:

m = const ⇒ U1 =4m

ρD2π, U2 =

4m

ρd2π⇒ U1 = 1.589 m/s , U2 = 6.357 m/s

• Iz Bernulijeve jednaqine 1 → 2

pa + pmA

ρ+

U21

2=

pa

ρ+

U22

2+ gH + ζk

U21

2+ ζm

U22

2,sledi jednaqina iz koje se mo�e odrediti vrednost natpritiska pmA

pmA = ρgH + ρU2

2

2+ ζk ρ

U2

1

2+ ζm ρ

U2

2

2− ρ

U2

1

2⇒ pmA = 23.28 kPaProjektova�em jednaqine (6) na dva meÆusobno upravna prav a x i y dobijaju se projek ije FRx i

FRy, odnosno sile isteza�a i smi a�a koje opter�uju zavrta�sku vezu A-A• Sila isteza�a:

FRx ≡ Fist = m (U1 − U2 cosα) + pmA

D2π

4⇒ Fist = 536.4 N

• Sila smi a�aFRy ≡ Fsm = −m U2 sin α ⇒ Fsm = −158.9 N4. �utnovski fluid karakterixe linearna veza izmeÆu tenzora napona i tenzora brzine deforma ije.U sluqaju da je taj fluid i nestixiv, ta rela ija je oblika

P = −pE + 2ηS ⇔ pij = −pδij + 2ηSij (7)gde je E jediniqni tenzor. Rela ija (7) se mo�e zapisati i u matriqnom oblikuP =

−p + 2η ∂u∂x

η(

∂u∂y

+ ∂v∂x

)

η(

∂u∂z

+ ∂w∂x

)

η(

∂v∂x

+ ∂u∂y

)

−p + 2η ∂v∂y

η(

∂v∂z

+ ∂w∂y

)

η(

∂w∂x

+ ∂u∂z

)

η(

∂w∂y

+ ∂v∂z

)

−p + 2η ∂w∂z

(8)3

5. Navije-Stoksove jednaqine u prirodnim koordinatama (prava du� strujni e s, prava upravan nastrujni e n)∂U

∂t+ U

∂U

∂s= −g

∂z

∂s−

1

ρ

∂p

∂s+ ν

∂2U

∂n2(9)

U2

R= −g

∂z

∂n−

1

ρ

∂p

∂n(10)Ako su strujni e paralelne, polupreqnik krivine R → ∞, odnosno normalno ubrza�e je jednakonuli, pa iz druge jednaqine sledi

1

ρ

∂p

∂n= −g

∂z

∂n⇒ p = −ρgz + Cgde je C konstanta koja se mo�e me�ati od strujni e do strujni e. Dakle, raspodela pritiska upravu upravnom na strujni e je hidrostatiqka.6. Handout, potpoglave 5.3.2, str. 111. U sluqaju sta ionarnog struja�a Struhalov broj je pribli�nojednak nuli.7. Handout, potpoglave 5.8.1, str. 133. Atributi se odnose na preptpostavke: sta ionarno, potpunorazvijeno struja�e nestixivog fluida.Smi ajni napon na zidu se odreÆuje iz bilansa koliqine kreta�a za kontrolnu zapreminu oblika ilindra qiji se omotaq poklapa sa unutrax�im zidom evi. Uti aj zida evi na fluid se izra�avapreko tangen ijalnog napona na zidu τw.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

PSfrag repla emen L

RP1

P2

FtrKontrolnazapreminaKako je struja�e potpuno razvijeno ulazni i izlazni fluksevi koliqine kreta�a su isti, pa sejednaqina bilansa koliqine kreta�a svodi na dinamiqku ravnote�u sila

P1 = P2 + Ftr ⇔ p1R2πL = p2R

2πL − τw2RπL ⇒ τw = ∆p2R

L= ∆p

D

L8. Ako se ploqa kre� konstantnom brzinom, suma svih sila koje na �u deluju je jednaka nuli (dinamiqkaravnote�a). Na ploqu fluid deluje silom koja je odreÆena izrazomFtr =

A

τwdA, τw = η

(

du

dy

)

y=Hi ona je usmerena suprotno smeru struja�a fluida. U konkretnom primeru, za zadati profil brzinedobija seτw = η

[

d

dy

(

U0

y

H

)

]

y=H

= ηU0

H.Dakle, napon na ploqi je konstantan, pa se izraz za silu svodi na

Ftr = ηU0

HbL.Ova sila je jednaka tra�enoj sili F kojom treba vu�i ploqu

F = ηU0

HbL .4

9. Oba signala odgovaraju turbulentnom struja�u fluida. Leva slika odgovara statistiqki sta io-narnom struja�u, dok desna odgovara statistiqki nesta ionarnom struja�u. 8.2

8.25

8.3

8.35

8.4

8.45

8.5

0 2 4 6 8 10

PSfrag repla emen U[m

/s]

t[ s]

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

0 2 4 6 8 10

PSfrag repla emen U[m

/s]

t[ s]10. Handout, potpoglave 5.8.5, str 143 + predava�a.

5