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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI ROMA TRE

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE PER LA

PROTEZIONE

Relazione di fine tirocinio

“Sviluppo e applicazione di una metodologia di progetto per il

rinforzo di volte con materiali FRM”

Relatore: Candidato:

Prof. Gianmarco de Felice Edoardo Pela

Correlatore:

Dott. Giovanni Tomaselli

Anno Accademico 2017/2018

2

Sommario

Premessa .................................................................................................................... 3

Raccolta dati .............................................................................................................. 4

Prove sperimentali ..................................................................................................... 4

Simulazione delle prove: Procedura teorica ............................................................... 7

Calibrazione coefficienti Alfa .................................................................................... 22

3

Premessa

La seguente relazione descrive le attività effettuate ai fini dello svolgimento del tirocinio

formativo, nel periodo tra marzo -giugno 2018.

Il lavoro svolto è stato finalizzato all’apprendimento e all’utilizzo del software di calcolo Matlab

R2018.

La prima fase del tirocinio è stata dedicata all’interpretazione di prove in laboratorio effettuate da

ricercatori della nostra e di altre università sulle volte in muratura rinforzate. Da queste prove

sono stati estrapolati dati relativi alle caratteristiche meccaniche dei materiali, alle caratteristiche

geometriche, nonché i risultati ottenuti a seguito dell’applicazione dei vari sistemi di rinforzo.

Una procedura di calcolo teorica è allora stata implementata sul software di calcolo MatlabR2018

al fine di simulare le prove sperimentali e confrontare i risultati teorici con quelli sperimentali.

Tale procedura di calcolo si è resa inoltre indispensabile al fine di tarare dei coefficienti riguardanti

le deformazioni dei materiali e l’incremento di resistenza dovuto al rinforzo che saranno descritti

in maniera più approfondita di seguito.

4

Raccolta dati

Come primo passo sono state studiate tutte le prove sperimentali effettuate sugli archi in

muratura con materiali di rinforzo in FRM. Gli obiettivi dell’analisi di queste prove sono stati

molteplici:

• Ottenere un data-base per comprendere le caratteristiche dei materiali adottati in tale

problema

• Simulare le prove sperimentali sulla base del teorema cinematico

• Tarare dei coefficienti relativi alle deformazioni dei materiali di rinforzo, previsti dalle

norme ACI 549, alle quali il lavoro di tesi fa riferimento.

Prove sperimentali

I dati ottenuti dallo studio delle prove sperimentali sono di seguito riportati e rappresentano i dati

di input utilizzati all’interno del programma MatlabR2018 al fine di simulare le prove in via teorica.

Nome Materiale Zona

Rinforzo Tipo di collasso Rinfianco Hrinfianco

Focacci-Pbo-Extr Pbo Extr Debonding No 0

Focacci-CFrcm-Intr Cfrcm Intr Crushing No 0

Focacci-Pbo-Intr Pbo Intr Debonding No 0

Girardello-Srg-Estr-Ca Srg Extr Shear sliding No 0

De Santis-Srg8-Extr Srg Extr Shear sliding-Crushing Si 0,1

De Santis-Srg4-Extr Srg-min Extr Shear sliding Si 0,1

De Santis-Srg4-intr Srg-min Intr Crushing -fiber rupturing Si 0,1

De Santis-Btrm-Extr Btrm Extr 4 cerniere (fiber rupturing) Si 0,1

Carozzi-Arch Srg Extr Crushing No 0

Carozzi-Volt Trm-V Extr 4 cerniere (fiber rupturing) No 0

Cescatti-Extr Srg Extr Crushing No 0

Garmendia -Ex1 Btrm Extr 4 cerniere (fiber rupturing) No 0

Garmendia -In1 Btrm Intr Joint Sliding No 0

Borri - Ex1 Srg2 Extr Shear Sliding No 0

Borri - In1 Srg Intr Laminate Rupture No 0

Borri - In2-Anch Srg Intr Laminate Debonding No 0

Santandrea - In Btrm Intr 4 cerniere (fiber rupturing) No 0

Santandrea - Ex Btrm Extr 4 cerniere (fiber rupturing) No 0

5

Nome Densità α-in α-fin Ri Re t B

Focacci-Pbo-Extr 20 23,95 156,05 0,866 0,961 0,095 0,095

Focacci-CFrcm-Intr 20 23,95 156,05 0,866 0,961 0,095 0,095

Focacci-Pbo-Intr 20 23,95 156,05 0,866 0,961 0,095 0,095

Girardello-Srg-Estr-Ca 18 24,01 155,99 1,550 1,670 0,120 0,700

De Santis-Srg8-Extr 15,8 48,89 131,11 1,845 1,900 0,055 0,500

De Santis-Srg4-Extr 15,8 48,89 131,11 1,845 1,900 0,055 0,500

De Santis-Srg4-intr 15,8 48,89 131,11 1,845 1,900 0,055 0,500

De Santis-Btrm-Extr 15,8 48,89 131,11 1,845 1,900 0,055 0,500

Carozzi-Arch 18 49,89 130,11 2,030 2,150 0,120 0,250

Carozzi-Volt 18 49,03 130,97 2,030 2,150 0,060 0,300

Cescatti-Extr 18 41,39 138,61 3,608 3,888 0,280 0,800

Garmendia -Ex1 20 30,31 149,69 0,660 0,780 0,120 0,250

Garmendia -In1 20 30,31 149,69 0,660 0,780 0,120 0,250

Borri - Ex1 24 38,81 141,19 1,261 1,361 0,100 0,150

Borri - In1 24 38,81 141,19 1,261 1,361 0,100 0,150

Borri - In2-Anch 24 38,81 141,19 1,261 1,361 0,100 0,150

Santandrea - In 18 41,56 138,44 1,810 1,930 0,120 0,800

Santandrea - Ex 18 41,56 138,44 1,810 1,930 0,120 0,800

Nome fmu Coesione εmu Ef εdb tf Bf

Focacci-Pbo-Extr 8,53 0,200 0,0076 255900 0,00431 0,014 0,095

Focacci-CFrcm-Intr 8,53 0,200 0,0076 242000 0,00471 0,047 0,095

Focacci-Pbo-Intr 8,5 0,200 0,0076 255900 0,00431 0,014 0,095

Girardello-Srg-Estr-Ca 5,97 0,100 0,0054 186000 0,00899 0,084 0,224

De Santis-Srg8-Extr 8 0,200 0,0035 186000 0,00899 0,168 0,150

De Santis-Srg4-Extr 8 0,200 0,0035 186000 0,00899 0,084 0,150

De Santis-Srg4-intr 8 0,200 0,0035 186000 0,00899 0,084 0,150

De Santis-Btrm-Extr 8 0,200 0,0035 52100 0,0121 0,064 0,500

Carozzi-Arch 3,5 0,200 0,0076 186000 0,00899 0,102 0,250

Carozzi-Volt 3,5 0,200 0,0076 72000 0,00427 0,048 0,250

Cescatti-Extr 3 0,200 0,0035 186000 0,00899 0,084 0,250

Garmendia -Ex1 5,6 0,200 0,0035 52100 0,0121 0,042 0,250

Garmendia -In1 5,6 0,200 0,0035 52100 0,0121 0,042 0,250

Borri - Ex1 15,3 0,100 0,0076 160000 0,00899 0,383 0,150

Borri - In1 15,3 0,100 0,0076 186000 0,00899 0,098 0,150

Borri - In2-Anch 15,3 0,100 0,0076 186000 0,00899 0,098 0,150

Santandrea - In 9 0,200 0,0035 70000 0,0121 0,032 0,400

Santandrea - Ex 9 0,200 0,0035 70000 0,0121 0,032 0,400

6

Nome γ1 γ2 γ3 γ4 Fmax-sper μ

Focacci-Pbo-Extr 31,9 67,7 109,6 150 4,891 0,4

Focacci-CFrcm-Intr 30 67,8 123,2 150 7 0,4

Focacci-Pbo-Intr 31,9 67,7 109,6 150 5,48 0,4

Girardello-Srg-Estr-Ca 18 62 123 165 13,47 0,4

De Santis-Srg8-Extr 41 76 92 120 15,9 0,4

De Santis-Srg4-Extr 44 76 100 120 11,7 0,4

De Santis-Srg4-intr 56 76 100 116 16,2 0,4

De Santis-Btrm-Extr 61 76 96 115 14,1 0,4

Carozzi-Arch 59 71 105 124 8,83 0,4

Carozzi-Volt 63 65 106 117 4,485 0,4

Cescatti-Extr 41 68 85 126 86,64 0,4

Garmendia -Ex1 31 71 102 150 16,26 0,4

Garmendia -In1 31 71 102 150 11,309 0,4

Borri - Ex1 41,45 66,73 108,1 141,19 11,4 0,4

Borri - In1 38,81 66,73 92,62 141,19 15,45 0,4

Borri - In2-Anch 38,81 66,73 92,62 141,19 21,7 0,4

Santandrea - In 56 71 101 125 45,77 0,4

Santandrea - Ex 56 71 101 125 40,6 0,4

Nelle precedenti tabelle le sigle utilizzate hanno i seguenti significati:

• Extr o Intr: rispettivamente per rinforzo applicato all’estradosso o all’intradosso.

• Densità: si riferisce a quella della muratura costituente l’arco

• α-in e α-fin sono gli angoli alle imposte

• Ri e Re sono rispettivamente il raggio interno e il raggio esterno della volta

• t: spessore della volta

• B: profondità dell’arco

• fmu: resistenza a compressione della muratura

• εmu: deformazione ultima della muratura

• Ef: modulo di elasticità del rinforzo adottato

• εdb : deformazione di debonding della fibra di rinforzo adottato

• tf: spessore equivalente in [mm] del rinforzo

• Bf: larghezza del rinforzo

• γ1, γ2, γ3, γ4: angoli in cui si vengono a formare le cerniere del meccanismo di collasso

• Fmax-sper: forza massima di collasso ottenuta per via sperimentale

• μ : coefficiente di attrito considerato.

7

Simulazione delle prove: Procedura teorica

Una volta ottenuti tutti i dati di input è stato possibile andare a simulare le prove sperimentali. A

tal fine è stata scritta, nel linguaggio di programmazione di Matlab una procedura teorica che ha

permesso di arrivare a trovare la soluzione in tempi di calcolo relativamente brevi. Il problema

infatti è abbastanza complesso e lungo in quanto richiede, in alcuni casi, un numero molto elevato

di iterazioni. Proprio per tale motivo uno dei principali obiettivi del tirocinio è stato

l’apprendimento all’utilizzo di tale software che si è reso indispensabile per gli obiettivi sopra

descritti, nonché per elaborare tutta la procedura progettuale oggetto della tesi.

Oltre alle funzioni di base del programma, sono stati utilizzati:

• Il ciclo “ for “ che permette di svolgere calcoli che richiedono un numero molto elevato di

iterazioni. Per fare un semplice esempio, nel caso in cui si ha il riempimento, questo può

essere discretizzato in un numero molto elevato di parti. Per ciascuna di queste parti andrà

calcolata la risultante che corrisponde una forza esplicata da quella porzione di

riempimento e il baricentro della parte di rinfianco considerata in cui andrà applicata la

forza.

• Il ciclo “ if “ che permette di seguire due diversi approcci a seconda della condizione che si

verifica e che è stato utilizzato anche al fine di condurre alcune verifiche.

• Funzioni che permettono di svolgere integrali.

• Funzioni “ min ” e “ max “ che permettono di ottenere i valori minimi e massimi di una

variabile avente un numero molto elevato di componenti.

• Grafici, utilizzati al fine di effettuare le verifiche necessarie.

Di seguito viene riportato in linguaggio MatlabR2018 La procedura teorica adottata.

8

%Geometrical Properties of the arch

%internal Ray of Curvature

Rint=1.845; %m

%Thickness of the arch

t=0.055; %m

%External Ray of Curvature

Rext=Rint+t; %m

%Width of the arch

B=0.5; %m

%value of the angle where the arch start

Gamma0=10*pi/180;

%value of the angle where the arch edn

GammaEnd=170*pi/180;

%Mechanical Properties of the arch

%Density

Ro=15.8; %kN/mc

%Nominal Compressive Strenght

Fmuk=12; %Mpa

%Strengh Reduction Factor

GammaM=1.5;

%Nominal Compressive Strenght (Design Value)

Fmu=Fmuk/GammaM;%Mpa

%Compressive last ultimate strain

EpsMu=0.0035;

%Stress Block Factors

Beta=0.8;

Gamma=0.85;

%Kinematic Condition

%Guess value of the angle of the first hinge of the kinematic

Gamma1=44*pi/180;

Gamma1grad=44;

%Value of the angle of the hinge where the force it 's applied

Gamma2=76*pi/180;

Gamma2grad=76;

9

%Guess value of the angle of the third hinge of the kinematic

Gamma3=100*pi/180;

Gamma3grad=100;

%Guess value of the angle of the forth hinge of the kinematic

Gamma4=120*pi/180;

Gamma4grad=120;

%Properties of Buttress (if present)

%Density of Buttress

RoB=12.5; %kN/mc

tfill=0.1; %m

HfillGamma1=Rext+tfill-Rext*sin(Gamma1);




%%SECTION 2: Behaviour of the Unreinforced Arch

%Weight of the parts of arch and buttress relative to each hinge

%Weight of the part of arch from the bond to the fi rst hinge (part

1)

Pgamma1=Ro*Gamma1/2*B*(Rext^2-Rint^2);

%Weight of the part of arch from the bond to the lo ad hinge (part

2)


%Weight of the part of arch from the bond to the th ird hinge (part

3)


%Weight of the part of arch from the bond to the fo rth hinge (part

4)


%Weight of the part of buttress from the bond to th e first hinge

(part 1)

clear Xint

clear Yint

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Xint=0:0.00001:Gamma1;

for ii=1:length(Xint)

Yint(ii)=(Rext+tfill-Rext*sin(Xint(ii)))*Rext*s in(Xint(ii));

end

PBgamma1=RoB*B*trapz(Xint,Yint);

%Weight of the part of buttree from the bond to the load hinge

(part 2)

clear Xint

clear Yint




end


%Weight of the part of buttress from the bond to th e third hinge

(part 3)

clear Xint

clear Yint




end


%Weight of the part of buttress from the bond to th e forth hinge

(part 4)

clear Xint

clear Yint




end


%Center of gravity of the parts of arch and buttres s relative to

each hinge

11

%X coordinate of the center of gravity of part 1

XPgamma1=-4/3*(Rext^3-Rint^3)*sin(Gamma1/2)/((Rext^ 2-

Rint^2)*Gamma1)*cos(Gamma1/2);










%X coordinate of the center of gravity of part 1but t

clear Xint

clear Yint



Yint(ii)=(Rext^2)*(Rext+tfill-

Rext*sin(Xint(ii)))*cos(Xint(ii))*sin(Xint(ii));

end

XPBgamma1=-RoB*B/PBgamma1*trapz(Xint,Yint);


clear Xint

clear Yint





end



clear Xint

clear Yint



12



end



clear Xint

clear Yint





end


%Weight of the parts of arch and buttress included between each

hinge

%Weight of the part of arch between the first and t he second hinge

(part I)

P1=Pgamma2-Pgamma1;

%Weight of the part of arch between the second and the third hinge

(part II)

P2=Pgamma3-Pgamma2;

%Weight of the part of arch between the third and t he forth hinge

(part III)

P3=Pgamma4-Pgamma3;

%Weight of the part of buttress between the first a nd the second

hinge (part I)

PB1=PBgamma2-PBgamma1;

%Weight of the part of buttress between the second and the third

hinge (part II)


%Weight of the part of buttress between the third a nd the forth

hinge (part III)


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%Center of gravity of the parts of arch and buttres s included

between each hinge

%X coordinate of the center of gravity of part I

Xg1=(XPgamma2*Pgamma2-XPgamma1*Pgamma1)/P1;

%X coordinate of the center of gravity of part II


%X coordinate of the center of gravity of part III


%X coordinate of the center of gravity of part Ib

XBg1=(XPBgamma2*PBgamma2-XPBgamma1*PBgamma1)/PB1;

%X coordinate of the center of gravity of part IIb


%X coordinate of the center of gravity of part IIIb


%Coordinates of each hinge

%First Hinge

X1=-Rint*cos(Gamma1);

Y1=Rint*sin(Gamma1);

%Second Hinge

X2=-Rext*cos(Gamma2);

Y2=Rext*sin(Gamma2);

%Third Hinge

X3=-Rint*cos(Gamma3);

Y3=Rint*sin(Gamma3);

%Forth Hinge

X4=-Rext*cos(Gamma4);

Y4=Rext*sin(Gamma4);

%X coordinate of the point that rules the kinematic

Xass=((X4-X3)*(X1*(Y2-Y1)+(Y3-Y1)*(X2-X1))-X3*(Y4-Y 3)*(X2-

X1))/((Y2-Y1)*(X4-X3)-(Y4-Y3)*(X2-X1));

%Virtual rotation of the parts of arch

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%Virtual rotation of part I

Fi1=57.2958*pi/180;

%Virtual rotation of part II

Fi2=-Fi1*(X2-X1)/(Xass-X2);

%Virtual rotation of part III

Fi3=Fi1*(X2-X1)*(X3-Xass)/((Xass-X2)*(X4-X3));

%Virtual rotation between part II and part III

Fi23=Fi3-Fi2;

%Virtual rotation between part I and part II

Fi12=Fi1-Fi2;

%Virtual displacement of the center of gravity of p arts of arch,

part of buttress, load point

%Virtual displacement of the center of gravity of p art I

Eta1=Fi1*(Xg1-X1);

%Virtual displacement of the center of gravity of p art II

Eta2=Fi2*(Xg2-Xass);

%Virtual displacement of the center of gravity of p art III

Eta3=Fi3*(Xg3-X4);

%Virtual displacement of the center of gravity of p art Ib

Eta1B=Fi1*(XBg1-X1);

%Virtual displacement of the center of gravity of p art IIb

Eta2B=Fi2*(XBg2-Xass);

%Virtual displacement of the center of gravity of p art IIIb

Eta3B=Fi3*(XBg3-X4);

%Virtual displacement of load point

Etaf=Fi1*(X2-X1);

%Collapse load for the unstrenghtened arch

Fmax_un=(-(P1*Eta1+P2*Eta2+P3*Eta3)-

(PB1*Eta1B+PB2*Eta2B+PB3*Eta3B))/Etaf;

%%SECTION 3: Mesh reinforcement properties (input d ata-extrados

reinforcement)

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%Design thickness of composite strips

tf=0.084; %mm

%Tensile modulus of elasticity

Ef=186000; %Mpa

%Ultimate tensile strain

Epsfu=0.02244/2;

%Design tensile strain

Epsfd=min(Epsfu,0.03);

%Strain amplification factor (intermediate debondin g)

Alpha=1;

%Width of reinforcement

wf=150; %mm

%Effective Anchor Lenght

Leff=0.3; %m

%Length of the reinforcement before the first hinge

L1=0.3; %m

%Reinforcement side application: A: Extrados, B: In trados

%Reside=A;

%%SECTION 4: Behaviour of the extrados reinforced A rch-study

procedure

%• Step 1 - Data of PBO Reinforcement

%Area of reinforcement

Af=tf*wf;

%Force exerted by the PBO reinforcement

Ff=Af*Ef*Epsfd/1000;

%Design Force exerted by the PBO reinforcement

Ffd=Alpha*Af*Ef*Epsfd/1000;

%Design tensile strain at Hinge 1

Epsfd1=Epsfd/Leff*(2*L1-L1^2/Leff);

%Design tensile strain at Hinge 3

Epsfd3=Epsfd;

%Design Force exerted by the PBO reinforcement at H inge 1

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Ffd1=Af*Ef*Epsfd1/1000;

%Design Force exerted by the PBO reinforcement at H inge 3

Ffd3=Ffd;

%• Step 2 - Determination of the collapse load for the

strenghtened arch and evaluation of the stresses in the arch

%Collapse load for the strenghtened arch

Fmax_str=-(P1*Eta1+P2*Eta2+P3*Eta3-Ffd1*t*Fi1-

Ffd3*t*Fi23+PB1*Eta1B+PB2*Eta2B+PB3*Eta3B)/Etaf;

Soll=zeros(4,Gamma4grad-Gamma1grad+1);

Fmax_str(1,1)=Fmax_str;

%• Step 3 - Iterative Process

for ii=1:100

%Calcolo Reazioni Vincolari

Mcoeff=[(X2-X1),0,-(Y2-Y1);0,(X4-X2),-(Y2-Y4);1 ,1,0];

VknownTerms=[P1*(X2-Xg1)+Ffd1*t+PB1*(X2-XBg1);P 2*(Xg2-

X2)+P3*(Xg3-X2)+PB2*(XBg2-X2)+PB3*(XBg3-

X2);P1+P2+P3+PB1+PB2+PB3+Fmax_str(1,ii)];

Vsol=linsolve(Mcoeff,VknownTerms);

%Calcolo riduzione causa asse neutro

%Cerniera 1

Cu1=t*EpsMu/(Epsfd1+EpsMu);

Fm1=1000*(Gamma*Fmu*Beta*Cu1*B)*1000;

Ff1=wf*tf*Epsfd1*Ef;

Ncerniera1=1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma1-

Pgamma1))*cos((Gamma1))+Vsol(3,1)*sin((Gamma1)));

Nstor1(ii)=Ncerniera1;

if Ncerniera1>-Ff1+Fm1

Regione1(1,1)=1;

else

Regione1(1,1)=2;

end

if Regione1(1,1)==1

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Cu11=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera1)+((Ef*Eps Mu*tf*wf-

Ncerniera1)^2+4*(1000*Gamma*Fmu*Beta*B*1000)*(Ef*Ep sMu*tf*wf*t))^0

.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);

Cu12=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera1)-((Ef*Eps Mu*tf*wf-


.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);

Cu1Sec=max(Cu11,Cu12);

Ffd1Sec=EpsMu*(t-Cu1Sec)*Ffd1/(Epsfd1*Cu1Se c);

else

Cu1Sec=(tf*wf*Epsfd1*Ef+Ncerniera1)/(1000*Gamma*Fmu *Beta*B*1000);

Ffd1Sec=Ffd1;

end

%Cerniera 3

Cu3=t*EpsMu/(Epsfd3+EpsMu);

Fm3=1000*(Gamma*Fmu*Beta*Cu3*B)*1000;

Ff3=wf*tf*Epsfd3*Ef*Alpha;

Ncerniera3=1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma3-Pgamma1)-( PBgamma3-

PBgamma1)-Fmax_str(1,ii))*cos((Gamma3))+Vsol(3,1)*s in((Gamma3)));

Nstor3(ii)=Ncerniera3;


Regione3(1,1)=1;

else

Regione3(1,1)=2;

end

if Regione3(1,1)==1

Cu31=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera3)+((Ef*Eps Mu*tf*wf-

Ncerniera3)^2+4*(1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B)*(Ef*Ep sMu*tf*wf*t))^0

.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);

Cu32=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera3)-((Ef*Eps Mu*tf*wf-

Ncerniera3)^2+4*(1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B)*(Ef*Ep sMu*tf*wf*t))^0

.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);


Ffd3Sec=EpsMu*(t-Cu3Sec)*Ffd3/(Epsfd3*Cu3Se c*Alpha);

else

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Cu3Sec=(tf*wf*Epsfd3*Alpha*Ef+Ncerniera3)/(1000*Gam ma*Fmu*Beta*B*1

000);

Ffd3Sec=Ffd3;

end

%Calcolo Nuova Fmax

tred1=t-Cu1Sec;

tred3=t-Cu3Sec;

Fmax_new=-

(P1*Eta1+P2*Eta2+P3*Eta3+PB1*Eta1B+PB2*Eta2B+PB3*Et a3B-

Ffd1Sec*tred1*Fi1-Ffd3Sec*tred3*Fi23)/Etaf;

%if FattRid==0

Fmax_str(1,ii+1)=(Fmax_new+Fmax_str(1,ii))/ 2;

%else

%Fmax_str(1,ii+1)=min((Fmax_new+Fmax_str(1,ii))/2,F max_str(1,ii)/F

attRid);

%end

if abs((Fmax_str(1,ii+1)-Fmax_str(1,ii))/Fmax_str(1,i i))<=0.01

break

end

end

%%Riduzione Taglio

Mcoeff=[(X2-X1),0,-(Y2-Y1);0,(X4-X2),-(Y2-Y4);1,1,0 ];

VknownTerms=[P1*(X2-Xg1)+Ffd1*t+PB1*(X2-XBg1);P2*(X g2-X2)+P3*(Xg3-

X2)+PB2*(XBg2-X2)+PB3*(XBg3-

X2);P1+P2+P3+PB1+PB2+PB3+Fmax_str(1,ii)];

Vsol=linsolve(Mcoeff,VknownTerms);

%Cerniera2

Ncerniera2=1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma2-

Pgamma1))*cos((Gamma2))+Vsol(3,1)*sin((Gamma2)));

Ff2=Ff3;

Epsfd2=Epsfd3;

Ffd2=Ffd3;


19

Regione1(1,1)=1;

else

Regione1(1,1)=2;

end

if Regione1(1,1)==1

Cu21=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera2)+((Ef*EpsMu*t f*wf-


.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);

Cu22=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera2)-((Ef*EpsMu*t f*wf-


.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);


Ffd2Sec=EpsMu*(t-Cu2Sec)*Ffd2/(Epsfd2*Cu2Sec);

else


Ffd2Sec=Ffd2;

end

AreaRed2=Cu2Sec*B;

Coesione=0.2*1000; %kN/m^2;

Vres2=0.4*1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma2-

Pgamma1))*cos((Gamma2))+Vsol(3,1)*sin((Gamma2)))+Co esione*AreaRed2

;

Ved2=1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma2-Pgamma1))*sin((Gamma 2))-

Vsol(3,1)*cos((Gamma2)));

FattoreTaglio2=Ved2/Vres2;

%Cerniera4

Ncerniera4=1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma4-Pgamma1)-(PBga mma4-PBgamma1)-

Fmax_str(1,ii))*cos((Gamma4))+Vsol(3,1)*sin((Gamma4 )));

Ff4=Ff1;

Epsfd4=Epsfd1;

Ffd4=Ffd1;


Regione1(1,1)=1;

else

20

Regione1(1,1)=2;

end

if Regione1(1,1)==1

Cu41=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera4)+((Ef*EpsMu*t f*wf-


.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);

Cu42=(-(Ef*EpsMu*tf*wf-Ncerniera4)-((Ef*EpsMu*t f*wf-


.5)/(2*1000*1000*Gamma*Fmu*Beta*B);


Ffd4Sec=EpsMu*(t-Cu4Sec)*Ffd4/(Epsfd4*Cu4Sec);

else


Ffd4Sec=Ffd4;

end

AreaRed4=Cu4Sec*B;

Coesione=0.2*1000; %kN/m^2;

Vres4=0.4*1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma4-Pgamma1)-(PBgam ma4-PBgamma1)-

Fmax_str(1,ii))*cos((Gamma4))+Vsol(3,1)*sin((Gamma4 )));

Ved4=1000*((Vsol(1,1)-(Pgamma4-Pgamma1)-(PBgamma4-P Bgamma1)-

Fmax_str(1,ii))*sin((Gamma4))-Vsol(3,1)*cos((Gamma4 )));

Fmax_str(1,ii+1)

FattoreTaglio4=Ved4/Vres4;

if max(FattoreTaglio2,FattoreTaglio4)>=1

Fattore=max(FattoreTaglio2,FattoreTaglio4)

Fmax_str(1,ii+1)/max(FattoreTaglio2,FattoreTagl io4)

else

Fmax_str(1,ii+1)

end

21

Il teorema cinematico, su cui la precedente procedura teorica si basa, per brevità, non viene

riportato in tale elaborato ma può essere facilmente ritrovato nella letteratura nonché nel lavoro

di tesi.

Come detto in precedenza applicando tale procedura per le varie prove sperimentali è stato

possibile ottenere i risultati teorici del carico ultimo di collasso da confrontare con quelli

sperimentali. I risultati ottenuti sono sintetizzati nella seguente tabella.

Nome Fmax-sper Collasso Ffin

Focacci-Pbo-Extr 4,891 Fibra 4,84

Focacci-CFrcm-Intr 7 Fibra 7,03

Focacci-Pbo-Intr 5,48 Fibra 5,48

Girardello-Srg-Estr-Ca 13,47 Fibra 13,80

De Santis-Srg8-Extr 15,9 Mur 15,52

De Santis-Srg4-Extr 11,7 Fibra 9,21

De Santis-Srg4-intr 16,2 Fibra 11,80

De Santis-Btrm-Extr 14,1 Fibra 14,10

Carozzi-Arch 8,83 Mista 8,97

Carozzi-Volt 4,485 Fibra 2,18

Cescatti-Extr 86,64 Mista 87,11

Garmendia -Ex1 16,26 Mista 19,39

Garmendia -In1 11,309 Fibra 9,02

Borri - Ex1 11,4 Fibra 13,69

Borri - In1 15,45 Fibra 14,69

Borri - In2-Anch 21,7 Fibra 14,69

Santandrea - In 45,77 Fibra 45,75

Santandrea - Ex 40,6 Fibra 40,70

Come si può notare nella quasi totalità dei casi i carichi sono praticamente coincidenti.

22

Calibrazione coefficienti Alfa

La procedura precedentemente riportata si è inoltre resa indispensabile al fine di calibrare dei

coefficienti presenti nella norma ACI 549 che fanno riferimento alle deformazioni dei materiali di

rinforzo. Infatti secondo tale norma la deformazione di calcolo �� del rinforzo adottato deve

essere calcolata come il minimo tra la deformazione di debonding ε�� moltiplicata per un

coefficiente α1 e la deformazione caratteristica di rottura ε�� divisa per un coefficiente α2. Tale

condizione può essere espressa nel seguente modo:

�� = min α� ∙ ε��

; ε��α� ∙ ��

�

Dove:

�� è un coefficiente di sicurezza posto pari a 1,5.

In particolare al fine di calibrare tali coefficienti è stata seguita la seguente procedura:

1. È stato scelto un primo valore di α con il quale è stato possibile andare a calcolare la

deformazione di calcolo del materiale di rinforzo di ciascuna prova e quindi, nota tale

deformazione e le altre caratteristiche meccaniche e geometriche del problema è stato

calcolato, con la procedura teorica, il carico di collasso relativo ad ogni prova.

2. Sono stati riportati su un grafico, in ascisse i valori dei carichi di collasso teorici e in

ordinate i corrispondenti valori sperimentali.

3. Quindi è stata trovata la retta di regressione imponendo il passaggio per l’origine

4. Poiché si ha coincidenza tra risultati teorici e sperimentali quando la retta di regressione ha

un’angolazione di 45°, sono stati scelti nuovi valori di α che inseriti nella procedura

fornissero dei valori teorici più vicini possibile a quelli sperimentali

5. È allora stato scelto, tra i vari α considerati, quello che ha portato ad una maggior

sovrapposizione tra valori di laboratorio e valori sperimentali.

Tale procedura dal passo 1 al passo 5 è stata ripetuta due volte, per calibrare separatamente i

coefficienti α1 e α2.

I risultati ottenuti sono riportati nei seguenti grafici:

23

- Grafico α1

- Grafico α2

24

Nei precedenti grafici sono stati riportati, per avere una maggior chiarezza visiva, solo i risultati

relativi agli α1 e α2 scelti.

Come si può notare si ha che: α1 =1.5 e α2 = 1.0. La calibrazione di tali coefficienti relativi al caso

delle volte in muratura rinforzate è stata molto importante al fine di essere integrata nelle norme

ACI 549.

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