5

Decadimento Q

5.1 Caratteristiche generali del decadimento Q

II decadimento a e un processo di carattere probabilistico in cui si ha la trasformazione di un nucleo con numero di massa A in uno con numero di massa A - 4 tramite l'emissione di un nucleo di 4 He, detto particella a, secondo la reazione

Al(Z,N) --+A2(Z-2,N-2)+a. (5.1)

Le caratteristiche essenziali del decadimento a sono l'energia liberata, data dalla differenza fra l'energia della massa iniziale e quella delle masse finali:

EO'. = mlc2 - (m2c2 + mO'.c2),

e la costante A (0 la vita media foil tempo di dimezzamento T1/ 2 ), che compare nella legge del decadimento radioattivo :

L'energia liberata ha un campo di variabilita piuttosto ristretto,

4MeV < EO'. < 9 MeV,

mentre il tempo di dimezzamento ha un campo di variabilita molto ampio:

Come vedremo nei pros simi paragrafi, il decadimento a e una manifest a­zione delle interazioni forte ed elettromagnetica, della relativita ristretta (in particolare dall'equivalenza massa-energia) e del comportamento ondulatorio delle particelle (tramite l'effetto tunnel); inoltre, esso e una ricca sorgente di informazioni sulle proprieta dei nuclei atomici (carica elettrica, dimensioni e struttura; energia, momento angolare, parita e isospin dei livelli energetici).

G. Bendiscioli, Fenomeni radioattivi© Springer-Verlag Italia 2013

114 5 Decadimento a

II decadimento a puo essere descritto tramite diagrammi a livelli energetici, come quello di fig. 5.1. II livello pili basso corrisponde all'energia associata aIle masse dei nuclei finali (di cui uno e l' 4 He); esso, convenzionalmente, viene assunto come valore zero della scala delle energie. IIlivello pili alto corrisponde all'energia associata alIa massa atomica iniziale; esso si discosta dal livello inferiore di una quantita uguale all'energia liberata E Oi .

212 S. 83 1

T .. = 6.086 MeV

o

E .. = 6.160 MeV

Fig. 5.1. Schema a livelli energetici del decadimento a.

5.2 Fenomenologia del decadimento Q

5.2.1 Aspetti energetici

La trasformazione (5.1) puo avvenire fra nuclei iniziali e finali (0 nuclei genitori e nuclei figli) sia nella stato fondamentale che in stati eccitati. Prendiamo momentaneamente in considerazione i soli stati fondamentali.

Supponendo in quiete il nucleo iniziale, il principio di conservazione dell'energia applicato alIa (5.1) e espresso dalla relazione

2 2 2 rp T mlc = m2c + mOic + 12 + 01, (5.2)

dove T indica l'energia cinetica. La (5.2) rappresenta un significativo esempio di ''trasformazione di massa in energia cinetica". La reazione (5.1) puo accadere se e soddisfatta la condizione

(5.3) = (A - 4)B2 + 4BOi - ABI > 0,

dove B indica l'energia di legame per nucleone. Noti i valori delle masse nucleari, l'energia liberata puo essere calcolata

per tutti i nuclei tramite la (5.3). Prendendo in considerazione solo i nuclei pili stabili, EOi in funzione di Aha l'andamento mostrato in fig. 5.2. Facciamo rilevare Ie seguenti peculiarita. Prima di tutto, sono individuabili tre regioni di A:

5.2 Fenomenologia del decadimento 0: 115

1. Per A < 140 risulta EO'. < 0, COS! che il decadimento a e escluso in modo assoluto.

2. Per 140 < A < 210, EO'. e positiva, rna ''piccola'' « 3 MeV); il decadi­mento e energeticamente possibile, rna ha una probabilita per unita di tempo di verificarsi molto piccola, COS! che nella maggior parte dei casi non e osservabile. 1

3. Per A > 210, EO'. e relativamente grande (> 3 MeV) e i decadimenti sono effettivamente osservati. Appartengono a questa regione di A i nuclei delle famiglie radioattive naturali.

Ea(MeV) 9

6

4 3 2

o

-2

100 140 210 260

Fig. 5.2. Energia liberata in Junzione del numero di mass a A.

A

Inoltre l'andamento di EO'. e caratterizzato da due massimi, uno in cor­rispondenza di A R::: 145 e l'altro di A R::: 212. Si constata che il primo cor­risponde a decadimenti con nuclei jinali aventi un numero magico di neutroni N = 82 e il secondo a decadimenti con nuclei jinali aventi un numero magico di neutroni N = 126. L'origine di questi picchi risulta chiara dall'esame di fig. 5.3, dove e dato l'andamento di EO'. in funzione di A e di Z per tutti i nuclei con A > 196 e Z > 82.

In questa figura Ie linee congiungono isotopi. A partire da Z = 89 (Ac), esse hanno un andamento regolare decrescente; vale a dire, per ogni valore di Z, EO'. decresce al crescere di A. Risulta anche che, per ogni valore di A, EO'. cresce al crescere di Z.

1 Esistono nuclei che decadono 0: anche nella regione con A < 140, per esempio 8 Be e 9 B, e in quella con 140 < A < 212. In questa seconda regione si hanno due nuclei con tempo di dimezzamento molto grande C62Cd e 174 H f, tempo di dimezzamento maggiore di 1014 a) e vari nuclei molto poveri di neutroni (Z R:::

60 - 80) con vita media molto breve (da decine di secondi a millisecondi).

116 5 Decadimento a

encrgia decadimento alra ....

-'0

~ I "" 00

N

8 .., S .... 2

0 .....

o 00

'0 i i'

~A~ 8: ~ ~

~ co .... ;::; ..... :;;: .... ~

~

..... ::;: ..... ~

~ ..... ..... ...

c.. ..... ..... 3 .... co ..... ~

..... OD

..... '-0

t: .... ..... ~ ~

..... 0-

t: 00

~ co .... .... ... ~ .... ... .... .... .... "" is ~ .... ~ .... '" '" N .... 00

_"" co

Fig. 5 .3. Andamento dell'energia liberata in Me V in funzione di A e di Z dei nuclei emettitori. Sono considerate transizioni tra stati fondamentali. !4J

5.2 Fenomenologia del decadimento a 117

Per Z < 89, Ie linee degli isotopi non hanno andamento decrescente rna presentano massimi e minimi. Per esempio, Ea e massima in corrispondenza dei seguenti decadimenti:

§F Po128 --+ §g8 Pb126 §~4 Em 128 --+ §~o Po126

§g311t128 --+ §~913i126 §}5J?r128 --+ §gl11t126

nei quali i nuclei jinali hanno 126 neutroni, ed e minima in corrispondenza dei seguenti decadimenti:

§~913i126 --+ §~5Jrl124 §gl11t126 --+ §~713i124

§~o P0126 --+ §g6 Pb124 §~2 Em 126 --+ §~8 11t124

nei quali sono i nuclei iniziali che hanno un numero magico di neutroni. La spiegazione di questa andamento e la seguente. I nuclei con numero magico di protoni 0 di neutroni hanno un'energia di legame per nucleone pili elevata di quell a dei nuclei contigui. Pertanto, se il nucleo finale e magi co, la differenza (11 - 4)132 - 11131 nella (5.3) ha un valore pili elevato di quello relativo a transizioni fra nuclei nOn magici ed Ea e massima. Se, invece, e magico il nucleo iniziale, la differenza (11- 4)132 - 11131 e minima e la (5.3) fornisce un minimo di Ea.

Assumendo in quiete il nucleo iniziale, per la conservazione dell'impulso applicata alIa (5.1) si ha

P2 + Pol = o. (5.4)

Tenuto conto della relazione nOn relativistica fra impulso ed energia cinetica (Jr = p2/2m), per la (5.3) e la (5.4) si ottiene

(5.5)

Poiche m2 11- 4 196

R::: A R::: 200 R::: 0.98, m2 +ma .t1.

risulta Jra R::: E a , ossia quasi tutta l'energia liberata si ritrova come energia cinetica della particella a.

Se Ie particelle a sono emesse da nuclei iniziali nello stato fondamentale con formazione di nuclei finali in stati eccitati con energia d'eccitazione Ei, l'energia liberata present a uno spettro discreto di valori, detto "struttura fine":

L'energia massima e quella emessa nella transizione fra stati fondamentali. Il nucleo finale eccitato puo passare allo stato fondamentale emettendo "( op­pure decadere (3 0 0:. La probabilita di formazione di un particolare livello eccitato dipende dall'energia liberata e dalla parita e dal momento angolare dei nuclei iniziale e finale. Un esempio e dato dal decadimento del 238 Pu in 234U illustrato in fig. 5.4.

118 5 Decadimento Dc

Consideriamo ora il caso d'emissione a da parte di un nucleo iniziale che puo trovarsi in differenti stati eccitati. Per fissare Ie idee, si consideri l'esempio di fig. 5.5, dove gli stati eccitati del 212 Po, che e un emettitore di a, si formano per decadimento fJ del 212 Bi. L'energia liberata e

Anche in questa caso 10 spettro energetico delle particelle a costituisce un insieme discreto di valori, rna alIa transizione fra gli stati fondamentali cor­risponde il valore minimo. Le particelle a emesse dai livelli eccitati pili elevati sono particolarmente energetiche e sono talvolta chiamate particelle a lungo percorso, perche sono in grado di percorrere tragitti pili lunghi delle altre nel­l'attraversare mezzi materiali. La probabilita di osservare l'emissione a a un livello eccitato dipende dalla probabilita di formazione del livello per decadi­mento fJ del 212 Bi e dalla probabilita che il livello si disecciti per emissione 'Y. Emissione a ed emissione 'Y sono processi fra loro concorrenti e in gene­rale l'emissione 'Y ha una probabilita pili elevata di ordini di grandezza. Per questa l'osservazione di particelle a lungo percorso e praticamente limitata ai decadimenti del 212 Po (vedi fig. 5.5) e del 214 Po.

0+

8 + 5.004

6 + 5.204

4 + 5.352

2 + 5.452 ...... ________ y .. E.,2 0 + 5.495

Fig. 5.4. Decadimento Dc del 238 Pu con transizioni dallivello fondamentale del Pu a diversi livelli dell' 234U. Sono indicate Ie energie liberate nelle differenti transizioni e Ie relative probabilita, la parita e il momento angolare dei livelli e il tipo di radiazione di diseccitazione.

Poiche i nuclei pesanti hanno pili neutroni che protoni, nel decadimen­to a i nuclei perdono percentualmente pili protoni che neutroni; pertanto il decadimento a favorisce la formazione di nuclei figli con eccesso di neutroni

MeV

2,250

1,800

1,680 1.620 1,513

0,727

o

212 Bi

5,2 Fenomenologia del decadimento 0: 119

T1/2 = 60.5 m

M1

y

M1

M1 E2

212 Po

a

0,018 %

0.002 %

0,0035 %

!OO%

208 Pb 4He

Fig. 5.5. Schema dei livelli eccitati del 212 Po ottenuti per decadimento fJ del 212 Bi, dei relativi decadimenti 0: nello stato fondamentale del 208 Pb e dei decadimenti 'Y verso lo stato fondamentale del 212 Po. Sono indicate le energie dei vari livelli, le probabilita relative dei decadimenti fra di essi e il tipo di radiazione elettromagnetica emessa nelle transizioni al livello fondamentale e al primo livello eccitato.

maggiore di quello dei genitori. Per questo motivo spesso i nuclei figli sono emettitori di (3-, come e messo in evidenza in fig. 5.6.

5.2.2 Vita media

Fig. 5.7 mostra l'andamento della vita media misurata in funzione dell'ener­gia cinetica delle particelle a per decadimenti fra nuclei pari-pari negli stati fondamentali (transizioni favorite); la figura mostra anche la correlazione fra vita media, energia delle particelle a, numero di massa e numero atomico. Le linee continue collegano punti relativi a isotopi. La figura mette in evidenza quanta segue:

a) per una data famiglia di isotopi (Z = costante), sono emesse particelle a con energia cinetica Ta decrescente e vita media f crescente al crescere di A;

b) per una famiglia di isobari (A = costante), sono emesse particelle a con Ta crescente e f decrescente al crescere di Z;

c) f decresce al crescere di Ta.

La correlazione fra A, ZeTa e quella gia rilevata, con maggiore evidenza, in fig. 5.3.

120 5 Decadimento Dc

20 • 13- stabile o 13- instabila

~ 15

e «I e

10 ,g .Il! !21 CD c: W 5

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Po At R1Fr RaAcThPa U Np

Numero atomico Z

Fig. 5.6. Energia liberata nei successivi decadimenti Dc e fJ dei nuclei della famiglia dell'attinio. Ogni parabola corrisponde a una famiglia di isobari. Tutti i nuclei sono instabili per decadimento Dc. I cerchietti vuoti contraddistinguono nuclei instabili anche per decadimento fJ-. Modificato da [l}

5.3 Teoria del decadimento Q

5.3.1 La barriera repulsiva coulombiana

Consideriamo l'interazione fra una particella a di energia cinetica T e un nu­cleo pesante, per esempio un isotopo del torio (A = 234, Z = 90). Essa e descrivibile tramite un potenziale costituito da un termine attrattivo a cor­to raggio (responsabile dell'interazione forte fra i nucleoni) e da un termine repulsivo coulombiano (vedi fig. 5.8). Per ragioni di semplicita, supponiamo che il potenziale abbia simmetria sferica (sia quindi dipendente solo dalla di­stanza r fra i due nuclei interagenti), che al di sotto di una certa distanza R dipendente dai "raggi" dei nuclei sia rappresentabile mediante una "buca rettangolare" attrattiva e che, per distanze superiori, coincida con il termine coulombiano, ossia

V(r) = Vn(r) + Vc(r)

r< R (5.6)

5.3 Teoria del decadimento a 121

24

20

16

tJ

~ 12

~ «i ., «i 8 anna 'e .. a . ~

4 "0 ... E !:! ;; 0 OJ)

.2

- 4

- 8

3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 energia decadimento alfa. MeV

Fig. 5 .7. Valori misurati del tempo di dimezzamento in funzio n e dell'energia ci­netica delle particelle a per differenti valori di A e Z. Sono prese in considerazione transizioni fra stati fondamentali di nuclei pari-pari. Le linee collegano isotopi (Z = costante) e sono conformi all'eq. (5.31). Z cresce dal basso all'alto (Po, Z = 84; Fm, Z = 100).[4}

Vc(r) r > R

con

II potenziale coulombiano ostacola l'avvicinamento dei due nuclei e per questo prende anche il nome di barriera repulsiva; al suo valore massimo

B = Vc (R) = Z ze2

R (5.7)

viene dato il nome di altezza della barriera coulombiana. Secondo la meccanica classica, se una particella a viene lanciata da distanza (idealmente) infinita

122 5 Decadimento Dc

v

Zze2 VC=-­

r

E--I-r+----~~=_-T

T R b r

Fig. 5.B. Potenziale d'interazione nucleo-particella Dc.

con energia cinetica T contro il nucleo, essa si avvicina a quest 'ultimo fino alla distanza b determinata dal principio di conservazione dell'energia:

Zze2

T + Vc(oo) = Vc(b) + T(b) = b (5.8)

con Vc(oo) = T(b) = 0

ossia

(5.9)

e poi si riallontana. Se T < B, allora b > Rei due nuclei non possono ''toccarsi''; in altre parole, la particella a non puo accedere alla regione con r<R.

Secondo la meccanica ondulatoria, Ie cose stanno diversamente. 11 moto della particella a e determinato dall'equazione di Schrodinger e la particella a e descritta da una funzione d'onda il cui modulo quadro da la densita di probabilita che la particella si trovi a distanza r dal nucleo. Questa probabilita e in generale divers a da zero per qualunque r, quindi anche per r < R, anche se T < B. Una barrier a repulsiva agisce sull'onda che descrive la particella a come un mezzo rifrangente posta suI cammino di un'onda luminosa: all'entrata e all'uscita dal mezzo l'onda viene in parte rifles sa e in parte trasmessa. La particella aha, pertanto, una certa probabilita di attraversare la barriera repulsiva e di penetrare nella regione con r < R. Questo fenomeno prende il nome di "effetto tunnel".

Le modalita di attraversamento della barriera coulombiana sono identiche alle precedenti anche per una particella ache si trovi con energia positiva E < B all'interno del volume con r < R. Classicamente tale particella sarebbe "imbottigliata" senza possibilita di uscire; invece nell'ambito della meccanica ondulatoria ha una probabilita finita di abbandonare l'interno del volume nucleare. Classicamente il parametro b dato dalla (5.9) rappresenta la distanza dall'origine dove la particella a emerge dalla barrier a repulsiva con energia

5.3 Teoria del decadimento 0: 123

cinetica nulla; essa poi si allontana indefinitamente fino a raggiungere l'energia cinetica T = Zze2 lb. In effetti, come descritto nel par. 5.2, noi osserviamo che da un certo numero di nuclei vengono emesse particelle a con energia cinetica minore dell'altezza della barriera coulombiana. Per esempio, nel decadimento

238U --t 234Th + a 92 90

viene emessa una particella a con energia T = 4.2 MeV e, per Ie (5.6) e (5.7), si ha

R R::: 10jm,

B = 4.1 10-5 erg = 26 MeV.

Classicamente, tenuto conto della (5.9), la particella a "sbucherebbe" all'ester­no della barriera coulombiana alla distanza

b = 61.7 jm,

molto maggiore di R = 10 jm.

5.3.2 Le particelle 0: all'interno dei nuclei

Le particelle a sono costituite da due protoni e da due neutroni fortemente legati, con un'energia di legame per nucleone di circa 7 MeV, superiore a quell a dei nuclei contigui con A = 2, 3, 5 e 6. Un'elevata energia di legame per nucleone caratterizza anche i nuclei leggeri con numero di massa multiplo di 4, come messo in evidenza dall'andamento a cuspidi del diagramma di fig. 5.9. Cia induce a pensare che questi nuclei siano costituiti da sottostrutture a particella a interagenti fra loro. Se cosl fosse, la differenza fra l'energia di legame effettiva dei nuclei (BA) e l'energia ottenuta moltiplicando l'energia di legame di una particella a (Ba) per il numero di particelle a costituenti il nucleo (uguale a ZI2),

Z f1B = BA --B 2 a,

rappresenterebbe l'energia di legame fra Ie particelle a stesse. I valori numerici sono riportati in tab. 5.1. Come si vede, l'energia di legame fra Ie particelle a e piccola rispetto all'energia di legame totale, ossia Ie particelle a risultano essere debolmente legate fra loro. Anzi, nel caso del 8 Be la differenza f1B e positiva, il che significa che Ie particelle a non sono legate.

In effetti, come abbiamo gia rilevato, il 8 Be e instabile e decade in due particelle a liberando un'energia

uguale al valore dell'energia di legame fra particelle a riportato in tab. 5.1. Sottostrutture a particelle a con un debole legame, 0 l'assenza di legame,

con gli altri nucleoni potrebbero formarsi in qualsiasi nucleo.

124 5 Decadimento Dc

"

~ .' ....

~ 8

""" ~ .~ .

V .\.01

V J

,

0 8 16 30 60 90 120 peso atomico A

150 180 240

Fig. 5.9. Energia di legame per nucleone in funzione di A.

Tabella 5.1. BA = Energia di legame effettiva di un nucleo A (Z,NJ. (Z/2)Ba = energia di legame calcolata supponendo il nucleo formato da Z /2 particelle Dc. Le energie sono in Me V.

BA ~Ba .1B

~He -28.29

~Be -56.50 -56.59 0.092

~2C -92.16 -84.89 -7.27

~60 -127.62 -113.18 -14.44

~gNe -160.64 -141.48 -19.17

5.3.3 Trasparenza della barriera coulombiana

In quest'ottica, il nucleo di 238U, gia preso ad esempio nel par. 3.1, puo essere considerato come costituito da una particella a e un nucleo di 234Th non legati fra loro, rna ugualmente trattenuti a distanze nucleari dalla barriera repulsiva coulombiana.

L'esistenza di sottostrutture, anche con A > 4, all'interno dei nuclei e ben provata da numerose osservazioni sperimentali e da adeguate interpre­tazioni teoriche, anche se molti problemi al riguardo sono ancora aperti. Qui

5.3 Teoria del decadimento 0: 125

ci limitiamo a consider are il decadimento a come un'evidenza dell'esistenza di tali strutture e assumiamo che negli emettitori a la probabilita dell'esistenza di sottostrutture a con energia positiva sia uguale a 1. Nel capitolo dedica­to ai decadimenti "esotici", verra present at a l'evidenza dell'esistenza di altre sottostrutture.

La probabilita T che una particella a attraversi la barriera coulombiana (che, per brevita, chiameremo ''trasparenza'' della barriera) e un ben noto risultato della meccanica ondulatoria. La sua espressione, nel caso di moto della particella a e del nucleo residuo con momento angolare £ = 0, e riportata nel punto c) di questo paragrafo, dopo aver richiamato in forma schematica il procedimento per il suo calcolo.

a) Consideriamo prima il caso semplice del mota di una particella di massa m ed energia E (coincidente con la sua energia cinetica T) nella direzione dell'asse x, lungo il quale e disposta una barriera repulsiva di forma rettan­golare come indicato in fig. 5.10. Supponiamo che sia V > E. La particella e in mota libero nelle regioni 1 e 3 ed e soggetta all'azione del poten­ziale nella regione 2. Il mota e descritto dall'equazione di Schrodinger mono dimension ale

V = 0 - 00 < x < 0,

V=Vo

a<x<oo

O<x<a (5.10)

La soluzione deve rappresentare nella regione 1 un'onda piana incidente proveniente da sinistra (Uli) che in x = 0 viene in parte riflessa (Ul r ) e in parte trasmessa nella regione 2 (U2t); questa, a sua volta, in x = a viene in parte riflessa (U2r) e in parte trasmessa nella regione 3 (U3). Nelle tre regioni Ie soluzioni hanno la forma

dove

Ul = A eikx + B e-ikx

U2 = CeKx + De-Kx

U3 = Feikx

-00 < x < 0

K

k=V2mE=!?. Ii Ii

J2m(Vo - E) Ii

O<x<a

a<x<oo

P Ii

(5.11)

(5.12)

Le ampiezze relative B/A, CIA, ecc. vengono determinate imponendo la continuita della funzione d'onda U e della sua derivata prima u' = du/dx per x = 0 e x = a:

126 5 Decadimento Dc

~ ---- --- u2 u3

--- ---

~~ a a x

Fig. 5.10. Barriera di potenziale rettangolare. Sono mostrate Ie junzioni d'onda nelle regioni 1, 2 e 3.

Ul (0) = U2(0)

ui (0) = u~ (0)

U2(a) = u3 (a)

u~(a) = u~ (a) (5.13)

L'andamento qualitativo dell'autofunzione u(x) e rappresentato in fig. 5.10. La trasparenza della barriera e definita dal rapporto fra i flussi emergente per x = a e incidente per x = 0:

(5.14)

dove Vl e V3 sono Ie velocita, uguali fra loro, nelle regioni di mota libero 1 e 3. Tenuto conto delle (5.11) e delle (5.13), risulta

(5.15)

Si puo verificare che per una barriera molto larga (a -+ 00) 0 per una barriera molto alta (Vo -+ 00), la trasparenza tende a zero. Per Ka » 1, che significa una trasparenza molto piccola, la (5.15) diviene

T = 16 E (1 _ E) e-2K a . Vo Vo

(5.16)

Il fattore che moltiplica l'esponenziale varia debolmente con E; esso tende a 0 per E -+ 0 e per E -+ Vo rna si discosta poco dal valore 1/4 per 0.2 Vo :::; E :::; 0.8 Vo. :It, invece, fortemente dipendente da E il termine esponenziale; pertanto, tenuto conto della definizione di K nelle (5.12), assumiamo per la trasparenza l'espressione approssimata

(5.17)

Questa relazione puo essere posta nella forma

(5.18)

5.3 Teoria del decadimento 0: 127

/ VeX)

E

Xl

Fig. 5.11. Barriera di potenziale di forma generica.

che, riscritta nel seguente modo:

T = e-"( = exp [-~ 1~2 ,,12m [V(x) - E] dX] , (5.19)

fornisce la trasparenza nel caso di un potenziale repulsivo V(x) di forma qualsiasi (vedi fig. 5.11).

b) Per descrivere l'interazione fra nucleo e particella a, consideriamo il poten­ziale a simmetria sferica definito dalla (5.6); la soluzione della corrispon­dente equazione di Schrodinger in coordinate polari si puo scrivere nella forma

l}!= u(r) 8('!9) cJ>(cp) r

con u(r) soluzione dell'equazione

d2u 2ft [E _ V ( ) _ C (C + 1) 1l,2~] = dr2 + 1l,2 r 2ft r2 u 0 ,

mam 2 ft = ~ ma·

m a +m2

(5.20)

ft e la massa ridotta e il termine in C rappresenta un potenziale repulsivo determinato dal momento angolare orbit ale del moto relativo (potenziale centrifugo). E rappresenta l'energia liberata Ea. La (5.20) ha la stessa forma della (5.10) e quindi la trasparenza della barriera ha la forma (5.19) con

V(x) = V (r) + C (C + 1) 1l,2 12 . 2ft r

(5.21)

Con riferimento a fig. 5.8, V(r) e il potenziale repulsivo coulombiano e i limiti di integrazione nella (5.19) sono Xl = R e x2 = b.

c) E particolarmente interessante il caso in cui nella (5.21) e C = 0, perche l'integrale ha un'espressione analitica e il risultato si applica molto bene ai nuclei pari-pari. Per la (5.19), la trasparenza ha la forma

[ 2 {b V Zze2 1 T = e-"( = exp - Yi yf2p, JR -r- - E dr . (5.22)

128 5 Decadimento Dc

Integrando e tenendo conto della (5.7) e della (5.9), si ottiene

4Zze2 G= nv

4Zz 137v/c'

[ arccos V¥ -V ~ (1 ~) 1

[arccos~ - V! (1 !) 1 G e detto fattore di Gamow. Per E « B, la (5.23) diviene

7r "(= -G 2 .

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

La funzione f ( E / B) decresce al crescere di E / B, come e messo in evidenza anche dall'esempio di tab. 5.2.

Alla luce delle considerazioni di questa paragrafo e agevole interpretare la dipendenza dell'energia E da A e da Z (per A > 214) messa in evidenza da fig. 5.3 e comment at a nel par. 5.2.1. Per la (5.25), una particella a viene emessa da un nucleo con una probabilita non trascurabile se la sua energia E non e troppo piccola rispetto all'altezza della barriera repulsiva B. Pili alta e la barriera e maggiore deve essere l'energia. L'altezza della barrier a e

ossia cresce al crescere di Z e decresce al crescere di A. Quindi ci si aspetta che, in una famiglia di isotopi (Z = cost ante ), E diminuisca al crescere di A e che, in una famiglia di isobari (A = costante), E cresca al crescere di Z, in accordo con fig. 5.3.

5.3.4 Costante di decadimento

Come si e gia detto, il decadimento a e un processo probabilistico caratteriz­zato da una cost ante di decadimento .A che misura la probabilita per unita di tempo che un nucleo emetta una particella a. Ogni transizione da un parti­colare stato iniziale a un particolare stato finale si distingue per uno specifico valore di .A. E intuitivo che la costante di decadimento debba dipendere dalla trasparenza della barriera coulombiana T. Determiniamo quindi esplicitamente la dipendenza di .A da T seguendo una procedura semplificata.

5.3 Teoria del decadimento 0: 129

Supponiamo che la particella Q sia in moto libero con velocita v* all'inter­no del volume nucleare, che supponiamo sferico di raggio R. La particella si muova lungo un diametro. Ogni volta che incontra la barrier a repulsiva ha una probabilita 7 di attraversarla e un probabilita 1 - 7 di essere riflessa. Dopo n collisioni COn la barriera, la probabilita che la particella sia ancora all'interno del nucleo e

(5.27)

All'istante t a partire dalla prima collisione il numero tot ale di collisioni e n = (v* /2R)t; quindi possiamo riscrivere la (5.27) nella forma

P (t) = (1 - 7) ~; t == e~; In(l-T)t .

Per 7 « 1, In(l - 7) ~ -7 e la (5.28) diviene

P(t) =e-~;Tt.

(5.28)

(5.29)

Se abbiamo a che fare con un numero iniziale di no nuclei, la (5.29) dice che all'istante t ne sono ancora presenti (cioe non si sono ancora disintegrati)

(5.30)

Questa espressione ha 10 stesso significato della legge del decadimento ra­dioattivo e ha anche la stessa forma se si definisce la cost ante di decadimento come

1 v* v* v* E v* R ), = -= = -7 = -e-'Y = _e-G!(]"j) = _e-G!(-r;)

t 2R 2R 2R 2R (5.31)

La (5.31) mette in relazione ), (0 f) con l'energia liberata E, con il nu­mero atomico Z e COn il numero di massa A (tramite il raggio del nucleo RA = roA 1/3). Considerato che la variabilita della vita media dipende in modo sostanziale dal rapporto E / B attraverso la funzione f(E / B), come ap­parira evidente dall'esemplificazione numerica di tab. 5.2, la (5.31) unitamente alla (5.25) indica che a paritd di vita media (a paritd di trasparenza)

i) per A = costante, B cresce COn Z, quindi E cresce al crescere di Z;

ii) per Z = costante, B deere see con A, quindi E deere see al crescere di A.

Questa dipendenza coincide COn quell a gia rilevata a commento di fig. 5.7, che mette anche in evidenza una grande variabilita della vita media al variare dell'energia cinetica delle particelle Q.

Come appare dall'esempio di tab. 5.2 relativo al decadimento

Ea = 4.2MeV f = 6.3109 a

tale variabilita dipende essenzialmente dall'esponenziale e-'Y nella (5.31).

130 5 Decadimento a

Tabella 5.2. Vita media calcolata in Junzione dell'energia liberata E(MeV) per il decadimento a dell'238 U.

2R E E (3 G J (~) 'Y e"Y v f(a) If

(10- 21 s)

3 0.12 0.040 132 1.12 147.0 6.8 1063 1.66 3.581035

4 0.15 0.046 113 0.81 91.6 6.2 1039 1.44 2.851011

4.2 0.16 0.047 111 0.79 87.4 9.1 1037 1.40 4.06109

5 0.19 0.052 102 0.72 73.4 7.91031 1.29 3.24103

8 0.31 0.065 80 0.48 38.3 4.3 1016 1.02 1.39 10-12

Per i parametri nucleari nelle (5.24), (5.25) e (5.31) sono stati usati seguenti valori, alcuni dei quali sono stati calcolati nel par. 5.3.1:

z=2 R= lOfm B = 26MeV m a c2 = 3727.3 MeV Z=90

La velocita v* che compare nella (5.31) e la velocita per r < R, quantita di valore incerto, determinata dall'energia cinetica T* = E + Vo all'interno del nucleo. Supponendo che essa non sia molto diversa dalla velocita v per r > R, poniamo

v* v r::-r (3 = -;; = ~ = V 2~ .

Tab. 5.2 mostra che per una variazione dell'energia E di un fattore 2.6, e'Y e f variano di molti ordini di grandezza. Si vede anche che per E = 4.2MeV, la vita media e della stesso ordine di grandezza di quella misurata (109 a).

Ricordiamo che la (5.31) e stata ricavata assumendo un potenziale alquan­to grossolano per l'interazione nucleo-particella a (vedi la (5.6)); inoltre si e assunto che i nuclei abbiano simmetria sferica e si e tenuto conto solo di par­ticelle a emesse con momento angolare orbit ale £ = o. Nonostante queste limitazioni e semplificazioni, la (5.31) fornisce un andamento della vita media in funzione dell'energia cinetica delle particelle a, di Z e di A in ottimo ac­cordo con Ie osservazioni sperimentali relativamente a transizioni fra gli stati fondamentali di nuclei pari-pari.

5.3.5 Effetto della barrier a centrifuga

Nella (5.20) e presente il termine centrifugo che, per £a -I- 0 , contribuisce a innalzare la barriera repulsiva, come messo in evidenza in fig. 5.12.

Di conseguenza, esso provoca una diminuzione della trasparenza della bar­riera. Tuttavia la diminuzione non e molto elevata, COS! che in pratica e possi­bile osservare l'emissione di particelle a con differenti valori di £a. Per esempio,

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti 131

R r

Fig. 5.12. Effetto congiunto della barriera coulombiana e di quella centrifuga.

la probabilita di emissione di una particella a con £", = 5 da un nucleo pesante diminuisce di un fattore circa 13 rispetto al caso di emissione con £", = O.

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti

Oltre che alle restrizioni imposte dai principi di conservazione dell'energia e dell'impulso, il decadimento a e soggetto a quelle dovute ai principi di conservazione del momento angolare (J), della parita (P) e della spin isotopico (1). Quest'ultima restrizione ha origine dall'interazione forte. Poiche 10 spin e 10 spin isotopico della particella a sono nulli e la sua parita e +, i predetti principi sono espressi dalle seguenti relazioni (dove gli indici i e f si riferiscono al nucleo iniziale e a quello finale e £", e il momento angolare orbitale del mota relativo) :

IJf - Jil :::; £", :::; IJf + Jil

Pi =Pf(-l/a

Ii = If

Se Pi = Pf, £", deve essere pari; se Pi = - Pf, £", deve essere dispari. Se £", = 0, nucleo iniziale e nucleo finale hanno 10 stesso spin, la stessa parita e 10 stesso spin isotopico. E il caso dei decadimenti fra stati fondamentali dei nuclei pari-pari di fig. 5.7 ed e anche il caso trattato nei par. 5.3.3 e 5.3.4. Questi decadimenti sono usualmente chiamati "permessi", rna e meglio definirli "favoriti" .

Se si applica l'eq. (5.31) a decadimenti a fra livelli eccitati di nuclei pari­pari 0 a decadimenti di altri tipi di nuclei, si ottengono valori della costante di decadimento pili piccoli di quelli misurati (0 vite me die pili grandi) anche di ordini di grandezza. Cia dipende dal fatto che questi nuclei sono governati da meccanismi non considerati nella trattazione dei par. 5.3.3 e 5.3.4. Per esempio, nella trattazione svolta si e assunta uguale alIa probabilita di formazione della particella a nel nucleo; presumibilmente questa probabilita e minore in nuclei con A dispari. Inoltre si e considerato un potenziale a simmetria sferica (quindi nuclei a struttura sferica) e non si e tenuto conto di

132 5 Decadimento Dc

una possibile dipendenza dell'interazione dallo spin. Per questo motivo questi decadimenti sono usualmente chiamati "proibiti", ma sarebbe meglio chiamarli "sfavoriti"; anche essi, infatti, pur essendo meno probabili di quelli ''favoriti'', avvengono nel rispetto dei vari principi di conservazione. Senza entrare in ulteriori dettagli, illustriamo alcune peculiarita dei decadimenti sfavoriti con due esempi.

Tabella 5.3. Esempio di decadimento sfavorito: 5/2+ --+ 5/T.

JP

5/2+

7/2+

5/2+

7/T

5/T

J

o 3

3

1 3

frequenza Pi/Pf

13% +1

85% +1

0.2% -1

0.4% -1

fa

2, 4, 6

0,2,4

1,3,5

1,3,5

2128 . 83 I

~~lAm

~~7Np

MeV

~ 6.3 6.2 6.1

0.6

0.4

0.2

o

Fig. 5.13. Esempio di decadimento sfavorito: J = 1 (livello iniziale fondamentale) --+ J = 3 (livello finale fondamentale).

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti 133

Una caratteristica dei decadimenti favoriti e l'aumento regolare della costante di decadimento (0 la diminuzione della vita media) all' aumentare dell'energia della particella a (vedi fig. 5.7); cia equivale a dire che la proba­bilita del decadimento aumenta con l'energia. Tab. 5.3 mostra, invece, che nel decadimento

~gl Am --+ ~~7 Np + a

la transizione pili probabile non e quella in cui viene liberata pili energia, rna quell a fra i livelli energetici con uguale spin e uguale parita (= 5/2+).

Una situazione simile si present a nel decadimento

illustrato in fig. 5.13, in cui la transizione pili probabile e quella fra livelli energetici con 10 stesso momento angolare (= 1).

Bibliografia

1. R. D. Evans, The atomic nucleus, MacGraw-Hill Book Company (1955) 2. F. S. Stephens, The study of nuclear states observed in alpha decay, in Nuclear

spectroscopy, a cura di F. Ajzenberg-Selove, Academic Press (1959) 3. G. T. Emery e W. R. Kane, Gamma ray intensity in the thorium active deposit,

Phys. Rev. 118(1960)755 4. E. Segre, Nuclei e particelle, Zanichelli (1966) 5. L. I. Schiff, Quantum mechanics, McGraw-Hill Book Company, (1968) 6. K. N. Mukhin, Experimental nuclear physics, vol. I, Mir Publisher (1987) 7. S. S. M. Wong, Introductory nuclear physics, Prentice Hall (1990) 8. B. R. Fulton, Clustering in nuclei: nuclear chains, nuclear molecules and other

exotic states of nuclear matter, Contemporary Physics 40(1999)299