Figura3.1La rotazione angolare media del fluido rispetto agli assi coordinati. e’

Pertanto la media tra le due velocità angolari è

−

∂∂+= dtudtx

x

uu

x 211

22

1

1 δδ

δβ

−

∂∂+= dtudtxx

uu

x 122

11

2

1 δδ

δα

che è la componente del vettore ω = ∇ × u intorno all’asse x3 perpendicolare al piano del disegno. Ovviamente questa considerazione può essere estesa alle altre coordinate in modo da ottenere l’intero vettore ω = ∇ × u, (detto, per un fluido, vorticita) che ha pertanto una direzione ortogonale al la velocita’ totale u dell’ elemento fluido.

Figura 3.1

Si e’ visto che nel caso di un fluido, data la proprietà di deformarsi quando sottoposti a sforzi di taglio, gli angoli di rotazione di un elemento di fluido rispetto ad sistema di riferimento si calcolano come valor medio degli angoli di due facce ortogonali dell’ elemento fluido, in modo

da eliminare gli effetti della deformazione che e’ calcolata separatamente.Gli angoli di rotazione dei lati 1 e 2 nel tempo dt sono:

dθ/dt = ½ d(β−α)/dt =

Fenomeni di rotazione

(3.2)

(3.1)

ωz =

θ

Equazione di vorticitàEquazione di vorticità

Per mezzo dell’identità vettoriale

l’equazione di Eulero

può riscriversi nella forma

prendendone il rotore, e nell’ipotesi che f sia conservativa f = -∇Φ , dato che

e

si ottiene:

dove (3.14)è il vettore vorticità.

(3. 12)

(3.11)

(3.13)

Utilizzando la definizione di vorticità, l’ equazione di Eulero si può scrivere in funzione della sola velocità del fluido e delle forze applicate

pppp ∇×∇=∇×∇

−+∇×

−∇=

∇−×∇ ρρρρρ 2

11110=Φ∇×∇

Il rotore di una funzione vettoriale F, ha una definizione legata alla funzione circuitazione (o circolazione) lungo un percorso chiuso C. Infatti il teorema di Stokes impone:

(3.3)

e quindi che la vorticità in un punto è diversa da zero solo se la circuitazione del campo di velocità attorno a quel punto non è nulla.

La vorticità è pertanto legata ad una rotazione, ma è importante sottolineare comequesta rotazione sia una rotazione di tipo locale, ossia definita in ogni punto diversa da quella dei corpi rigidi

La vorticità non coincide con la velocità angolare. Infatti, se indichiamo con Ω, la velocità angolare è

(3.4)come risulta evidente nel caso della particella rigida dove v = Ω x x essendo x il vettore distanza dall’asse di rotazione. Si puo’ però verificare che la 3.4) vale in generale.

Vediamo adesso alcuni esempi concreti per renderci conto del significato fisico della vorticità.

Flusso uni-dimensionale stratificato (moto laminare)

La velocità è non nulla solamente nella direzione x, ma dipende solo dalla direzione y. `E evidente che la coordinata z gioca nessun ruolo in questa geometria e può essere trascurata. Risulta pertanto:

e quindi ω ≠ 0 anche se non c’ è nessuna rotazione.

Figura 3.2

0)(

00)(

≠∂

∂−=

∂∂

∂∂

∂∂=×∇= z

zyx

uωy

yu

yuzyx

x

x

Dal punto di vista matematico la cosa si spiega prendendo una circuitazione chiusa come in Fig.3.2 in cui si vede che mentre i due contributi perpendicolari alla direzione della velocità si annullano, questo non vale per i due contributi paralleli alla velocità in quanto il campo di velocità nel ramo superiore è più forte di quello inferiore con il risultato quindi che l’integrale non si annulla.

Si noti inoltre che anche un punto materiale in moto rettilineo ha un momento angolare L = x x m v , 0 rispetto ad un asse non parallelo alla sua direzione.

u

(3.5)

Campo di velocità con dipendenza radiale

Un caso diametralmente opposto è quello in cui in cui si ha vorticità nulla pur essendo in presenza di una rotazione.

Si consideri un campo di velocità che, in coordinate cilindriche (vρ vφ vz) abbiano diversa da zero solo la componente della velocità tangenziale il cui valore dipende dalla distanza dall’asse. come indicato in Figura 3.3 in cui v = vφ (ρ) eφ = (K /ρ) eφ (K` è una costante arbritraria)

Utilizzando l’espressione del rotore della velocità in coordinate cilindriche

Figura 3.3

Dato che il moto non ha componenti in direzione z:

In questo caso, la vorticità ω = 0 ` e il fluido e’ irrotazionale anche se ruota attorno all’asse z, Anche in questo caso la circuitazione deve essere diversa da zero. Infatti, il campo di velocità descritto dalla funzione v = v(ρ) ha l’aspetto descritto in Figura (3.4)

(3.6)

Figura 3.4 :

Figura 3.5:

Il campo di velocità del moto descritto ha linee di flusso mostrate in Figura 3.4. La circuitazione lungo un percorso che non includa l’ origine delle coordinate, (ad esempio quello mostrato in Figura 3.5) è nulla perche’:

mentre lo stesso integrale lungo i percorsi radiali e’ nullo dato che v·dl = 0. Si conclude che questo moto ha una vorticità nulla quasi dappertutto.

Tuttavia, se la circutazione è calcolata su un percorso su un raggio r ≠ 0 che includa l’ origine (ad esempio con cammino su una linea di flusso):

D’altra parte, per il teorema di Stokes:

Pertanto la vorticità e’

ossia il campo di velocità del moto ha vorticità non nulla per ogni percorso che includa l’origine. E’ pertanto necessario che la vorticità sia non nulla nell’origine dove dia un contributo singolare (infinito) all’ integrale in modo da mantenerlo finito. Questa singolarità si chiama vortice e non viene descritta da una funzione ordinaria.

Teorema di KelvinTeorema di Kelvin

CIl teorema di Kelvin dice che la circuitazione della velocità in un fluido ideale

su un percorso chiuso C e’ costante ossia

Infatti derivando la (3.7) rispetto al tempo:

Applicando l’ equazione di Eulero nel campo gravitazionale

Trasformando l’ integrale con il teorema di Stokes

Entrambi imembri di questa equazine sono nulli (rotore di gradiente e di vettore costante

(3.7)

(3.8)

(3.9)

= I1 +I2

Il secondo integrale è anch’ esso nullo. Infatti se dl e’ lo spostamento elementare sul contorno sia v la velocità nel punto x e v’ = v+dv nel punto x + dl ossia

E’ pertanto:

in quanto d(v2) `e un differenziale esatto su un percorso chiuso e quindi si deve annullare

(3.10)

Teorema di Kelvin (1869)Teorema di Kelvin (1869)

(3.12)

La variazione del flusso concatenato con una superficie S è dovuta a due effetti:

- Alla variazione intrinseca di Q con il tempo, - Al moto della superficie S

Con riferimento alla Fig. 3.6, un elemento di area dS al tempo t si trasforma in dS’ al tempo t’ = t+δt.

Le due superfici formano le sezioni di un cilindro di altezza u δt; l’elemento di area laterale del cilindro sarà dA = −u δt × dl = - (u δt) dl sin(θ) n) , dove dl è l’elemento di linea del perimetro dell’area dS, θ l’ angolo fra i due vettori e n la normale a S uscente.

Figura. 3.6

Il teorema di Kelvin si applica ad ogni grandezza fisica vettoriale Q per cui vale la relazione:

e dice più genericamente che:

e quindi

per cui avremo:

. (3.10)

L’integrale di linea a secondo membro, quando venga fatta l’ulteriore integrazione degli elementi dS, corrisponde all’integrazione sulla linea C che circonda l’intera superficie S. Utilizzando il teorema di Stokes si ottiene:

e infine, tenendo conto della (3.11):

Poichè l’area vettoriale di una superficie chiusa è necessariamente nulla:

risulta:(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(A×B)·C = C·(A×B)

Quando per Q si intenda la vorticità ω,

il risultato esprime il fatto che il flusso della vorticità concatenato con una superficie che si muove con il fluido si conserva, ossia i vortici si muovono con il fluido.

Questo risultato è osservabile sperimentalmente ad esempio nel caso di un fiume: i vortici vengono trascinati dalla corrente, pur essendo in parte deformati se le linee di corrente non sono uniformi. Va però notato che se in un fluido ideale in moto non sono presenti inizialmente vortici, questi non possono generarsi nel tempo. Per lo sviluppo di vorticità è necessaria la viscosità, come vedremo in una lezione successiva, oppure la presenza di gradienti di densità e pressione non paralleli, come mostrato dalla).

(3.13)

Utilizzando il teorema della circolazione di Stokes con ω = × u∇ si può scrivere il teorema di Kelvin come conservazione della circuitazione Γ:

(3.18)

(3.17)

Superficie di un fluido in rotazioneSuperficie di un fluido in rotazioneLa superficie libera di un fluido ideale ed incompressibile contenuto in un recipiente cilindrico e posto in rotazione con velocità angolare ω in modo tale che il liquido ruoti solidalmente con il recipiente (cioè come un corpo rigi (Figura 3).è concava.

Si vuole calcolare l’equazione della superficie cioè una equazione del tipo z = g(x; y) in coordinate cartesiane. La velocità v del fluido e’

con

Dunque sviluppando il determinante(3.19)

L’ equazione di continuità associata all’ equazione di Eulero e’ automaticamente soddisfatta.

h

p0

Infatti ricordando che il fluido è incompressibile, si deve avere che

(3.20)che è identicamente verificata data la forma del campo di velocità (3.19).

Tenendo conto della condizione di stazionarietà, , l’equazione di Eulero si scrive

dove il primo membro può essere calcolato dalla conoscenza del campo di velocità (3.19)

usando (3.22)

In questo modo, proiettando l’equazione di Eulero lungo le tre componenti x, y, e z, si scompone in:

Si integra il sistema di equazioni integrando la prima e ottenendo una funzione di x più una arbitraria funzione di y e z. Questa soluzione si inserisce nella seconda e il suo integrale fornisce una funzione di y più una arbitraria funzione di z. Infine questo risultato di inserisce nella terza ottenendo una funzione di z più una constante di integrazione che deve essere calcolata con la condizione al contorno.

(3.21)

Come si vede immediatamente, il risultato per la pressione `e

(3.23)

dove P0 è il valore della pressione nell’origine. Quest’ultimo è incognito, ma può essere calcolato dal valore della pressione nel punto (x = 0; y = 0; z = h) dove h è l’altezza del liquido in rotazione nel centro del recipiente (che supponiamo nota). In questo punto la pressione è quella atmosferica P0 e quindi dalla legge di Stevino (2.16)

(3.24)

che può essere quindi sostituita nella soluzione (3.23). Abbiamo quindi ottenuto la soluzione per la pressione in ogni punto del liquido. Per calcolare l’equazione della superficie del liquido, basta sfruttare il fatto che la pressione sulla superficie deve essere quella atmosferica. Quindi su tutti i punti z della superficie, la pressione deve essere uguale a P0 e dunque, dividendo per g, si ha

(3.25)

che rappresenta la soluzione della superficie di rotazione del liquido. In termini matematici, questa soluzione rappresenta un paraboloide di rotazione attorno all’asse z che è tipico di vortici.

= 0

Un fluido per cui

si dice irrotazionale, Come è noto, in generale la condizione implica che esiste una funzione Φ tale che

(3.26)Ovvero che il campo di velocità ammette un potenziale, in analogia coi fenomeni elettrodinamici..

Fluidi irrotazionaliFluidi irrotazionali

= 0

Φ∇=u