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CAPITOLO X

DIAGRAMMA DI STABILITÀ STATICA DI UNA NAVE

1 – Il digramma di stabilità statica. Si consideri una nave avente dislocamento Δ e baricentro G, liberamente galleggiante ed in equilibrio nella posizione dritta. L’ipotesi Δ=cost impone che la nave non sia soggetta a variazioni di peso (imbarchi o sbarchi) ed ha come conseguenza che qualunque posizione assuma la nave il galleggiamento sarà isocarenico. La costanza della posizione di G (sul piano di simmetria, essendo la posizione dritta di equilibrio) impone che ogni peso costituente la portata lorda sia fisso 1. Si ipotizzi anche che il mare sia perfettamente calmo e che non vi sia vento. Si supponga, infine, che la nave si inclini trasversalmente 2 in un tempo molto lungo 3. Si consideri il solo momento trasversale, cioè quello chiamato momento di stabilità, espresso dalla relazione già trovata M = Δ (h - a) sen ϕ (1) Tale momento è, quindi, per un dato dislocamento Δ, funzione del solo angolo di inclinazione ϕ e ciò, non solo per la presenza di senϕ, ma anche perché

1 Si suppone, quindi, che non vi siano carichi scorrevoli, rotolanti, sospesi e che i carichi liquidi o riempiono completamente i relativi compartimenti e/o casse o che si comportino comunque come se fossero congelati. Ovviamente ciò farà scaturire successive correzioni da apportare al risultato finale. 2 Come più volte detto, sono le inclinazioni trasversali quelle che più preoccupano e che, quindi, vanno esaminate. 3 Tale che si possano ritenere nulle le forze di inerzia; in questo caso si dice che la nave si inclina staticamente.

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la quota h del prometacentro H sul centro B della carena iniziale è funzione dell’angolo ϕ 4. In luogo della relazione (1) si consideri quella che l’esplicita e che qui si riporta: ( )M h a z y zB B G= − = + −Δ Δ Δ Δsen sen cos sen' 'ϕ ϕ ϕ ϕ (2) Se è nota la coordinata verticale zG del baricentro G della nave e, per ogni valore dell’angolo di inclinazione trasversale ϕ, si determinano le coordinate yB’ e zB’ del centro della relativa carena B’, è possibile determinare il momento di stabilità M attraverso la (2). Si chiama, anche se impropriamente, diagramma di stabilità la curva che rappresenta la (2) cioè che esprime, in forma grafica, il momento di stabilità M (ordinate) in funzione dell’angolo di inclinazione ϕ (ascisse). Si chiama anche diagramma di stabilità la curva che esprime, in forma grafica, il braccio di stabilità [ GD =(h-a)senϕ, (ordinate)] in funzione dell’angolo di inclinazione ϕ (ascisse). Del diagramma di stabilità si usa tracciare solo la parte relativa alle ϕ positive. Non viene disegnata la parte relativa agli angoli negativi in quanto si presenterebbe emisimmetrico rispetto alla precedente, stante la simmetria della nave rispetto al piano longitudinale che è normale al piano di inclinazione. Se λ è la scala delle ascisse (espresse in radianti o, più frequentemente, in gradi 5) e τ è la scala delle ordinate (espresse in tonnellate metro), il punto generico B della curva del momento di stabilità (figura 1) ha:

ascissa ϕ= λ OA (3 a) ordinata M=τAB (3 b)

per cui il coefficiente angolare del vettore OB (figura 1) è:

( )tg AB

OAM h a

γλτ ϕ

λτ

ϕϕ

= = =−Δ sen

(4)

Si ha che per ϕ → 0 che OE→ t (tangente alla curva nell’origine O), h → r γ → γ0

4 Si ricorda che, nel caso che si sta trattando (nave ed inclinazioni trasversali), al tendere a zero di ϕ l’altezza prometacentrica h tende al raggio metacentrico trasversale di carena r per cui è, per angoli infinitesimi, h-a=r-a. 5 Si ricorda che la misura dell’arco in radianti è 57° 17’ 44.8” pari a circa 57.3°.

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FIG. 1

Il valore di γ0 è dato da:

tg dMd

γλτ ϕ ϕ

00

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

(5)

e, quindi:

( )[ ]tg r aγλτ

ϕϕ0 0

= −=

Δ cos

⇒ ( )tg r aγλτ0 = −Δ

⇒ ( )τλ

γtg r a0 = −Δ

e per la (5) ( )dMd

r aϕ

ϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

=0

Δ

Preso un punto qualunque F della tangente t alla curva nell’origine e detti OE l’ascissa ed FE l’ordinata di tale punto, risulta

τλ

γτλ

tg EFOE0 =

per cui è

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( )dMd

r a tg EFOEϕ

τλ

γτλϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − = =

=00Δ (6)

In particolare, se l’ascissa del punto F è proprio quella che rappresenta un radiante (1 rad =57° 17’ 44.8”), allora è λ OE = 1 (rad) e la (6) diventa:

( )dMd

r a EFϕ

τϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − =

=0

Δ

quindi l’ordinata τ EF del punto F rappresenta il coefficiente di stabilità Δ(r-a) nella scala τ dei momenti. Analogamente si può dimostrare che la tangente in un punto generico P alla curva M=f(ϕ) individua alla distanza PN=1 rad un segmento NL che rappresenta il coefficiente di momento della nave inclinata dell’angolo ϕP. Come mostra chiaramente la figura 2, navi diverse aventi lo stesso valore del coefficiente di stabilità Δ(r-a) possono avere diagrammi di stabilità molto differenti tra loro per cui è un errore grave basare il giudizio sulla stabilità di una nave sul solo coefficiente di stabilità 6.

FIG. 2

6 O sulla sola altezza metacentrica trasversale della carena iniziale (r-a). Fino ai primi anni di questo secolo ciò veniva fatto normalmente e non pochi gravissimi disastri ebbero come causa principale tale errata valutazione della stabilità.

200

Ovviamente, nel caso in cui il diagramma di stabilità è quello dei bracci [ GD= (h-a) senϕ], 7 si ha che la tangente alla curva nell’origine individua, alla distanza di 1 rad sulle ascisse, il piede dell’ordinata avente valore pari all’altezza metacentrica iniziale (r-a). Si supponga ora che il diagramma di stabilità M=f(ϕ) si presenti come in figura 3. I punti in cui la curva incontra l’asse delle ascisse sono tre, corrispondenti a ϕ=0, ϕ=ϕi e ϕ=ϕc, e sono i soli punti di equilibrio della carena nel campo considerato. Infatti, essendo per essi M=0, è nullo il braccio di stabilità il che vuol dire che il peso Δ e la spinta S hanno la stessa retta d’azione e, quindi, il baricentro G della nave ed il centro di carena Bϕ sono allineati 8.

FIG. 3

Per quanto riguarda il punto O, ad un incremento infinitesimo dϕ corrisponde un valore infinitesimo negativo di M che porta la nave ad allontanarsi (momento sbandante) ulteriormente dalla posizione iniziale; pertanto

7 Si tenga presente che l’effetto raddrizzante o sbandante è prodotto dal momento Δ (h-a) senϕ nel quale ha pari importanza sia la forza Δ sia il braccio (h-a) senϕ per cui due navi aventi gli stessi bracci di stabilità (quindi lo stesso diagramma di stabilità relativo ai bracci), ma diverso dislocamento si comportano in modo diverso e tale modo è evidenziato dal diagramma di stabilità relativo ai momenti. 8 Nel punto O (ϕ=0) il braccio è nullo perché è senϕ=0; nei punti ϕ=ϕi e ϕ=ϕc il braccio è nullo perché (hϕ-a)=0.

201

la posizione dritta (ϕ=0) è di equilibrio instabile come è posto in evidenza anche dall’essere il coefficiente di stabilità Δ(r-a)<0 e, quindi, essendo Δ>0, dall’essere (r-a)<0 e quindi r<a, cioè il baricentro è più alto del metacentro. Preso un punto arbitrario sulla curva, prossimo ad O, si ha tgγo<0 e, quindi, γo<0. Per quanto riguarda il punto in cui è ϕ=ϕi , ad un incremento infinitesimo dϕ corrisponde un valore infinitesimo positivo di M che porta la nave nella posizione precedente (momento raddrizzante); pertanto la posizione inclinata di ϕi è di equilibrio stabile come è posto in evidenza anche dall’essere positivo il coefficiente di stabilità; il che indica che il metacentro μi della carena inclinata di ϕi è più in alto del baricentro, che giace sulla retta della spinta (essendo posizione d’equilibrio). Preso un punto arbitrario sulla curva, prossimo a ϕi , si ha tgγi>0 e, quindi, γi>0. Per quanto riguarda il punto in cui è ϕ=ϕc, ad un incremento infinitesimo dϕ corrisponde un valore infinitesimo negativo di M che porta la nave ad allontanarsi ulteriormente (momento sbandante) dalla posizione inclinata di ϕc; pertanto questa posizione è di equilibrio instabile come è posto in evidenza anche dall’ essere tgγc<0 e, quindi, γc<0; in questo caso il metacentro μc della carena inclinata di ϕc è più in basso del baricentro che giace sulla retta della spinta (essendo posizione d’equilibrio) 9. Si può allora concludere che: i punti del diagramma di stabilità per i quali il momento è nullo (il braccio è nullo) sono punti di equilibrio, e tali punti sono di equilibrio stabile o instabile a seconda che, rispettivamente, è positivo o negativo l’angolo γ che la tangente al diagramma nel punto considerato forma con l’asse delle ascisse ϕ. A volte può capitare che la posizione dritta (ϕ=0) è di equilibrio (M=0), ma in esso è tgγo=0. In tale caso la posizione dritta può essere di equilibrio stabile, instabile o indifferente. Assunto, a partire da O, un intervallo Δϕ - piccolo, ma finito - se nel punto di ascissa Δϕ è γo>0 (curva a della figura 4) l’equilibrio è stabile; se è γo<0 (curva b) l’equilibrio è instabile; se è γo=0 (curve c e d) l’equilibrio è indifferente. 2 - Ingavonamento di una nave. La posizione di equilibrio stabile e caratterizzata da un angolo ϕi≠0 relativa ad una nave - avente baricentro G sul piano di simmetria - la cui posizione dritta è di equilibrio instabile, è detta posizione di nave ingavonata e l’angolo ϕi è detto angolo di ingavonamento.

9 Nella figura 3 la costruzione relativa è stata omessa.

202

FIG. 4

Da quanto esposto risulta evidente che il nome diagramma di stabilità, come già detto, è improprio in quanto tale diagramma non rappresenta la stabilità e tanto meno la misura 10, ma rappresenta i momenti (o i bracci di questi) in funzione dell’angolo ϕ. La stabilità, infatti, presuppone l’equilibrio e, pertanto, non si può parlare di stabilità prescindendo dall’equilibrio della posizione individuata dall’angolo ϕ. Poiché solo i punti del diagramma in cui è M=0 sono di equilibrio, solo per essi ha senso parlare di stabilità. In tali punti la stabilità dipende, come ampiamente illustrato, dal solo coefficiente angolare tgγ della tangente alla curva e quindi dall’essere γ>0 (posizione di equilibrio stabile) o γ<0 (posizione di equilibrio instabile) o γ=0 per un intervallo piccolo ma finito (posizione di equilibrio indifferente). Si esamini il diagramma di stabilità rappresentato in figura 3. Con nave in posizione dritta il centro B di carena si trova, stante la simmetria della nave, sul piano diametrale. Essendo la posizione dritta (ϕ=0) di equilibrio (M=0) la normale alla curva dei centri di carena in B (che coincide con la traccia del piano diametrale sul piano di inclinazione, traccia che coincide con l’asse z) deve passare per il baricentro G per cui quest’ultimo deve stare sul piano diametrale. Poiché la posizione dritta è di equilibrio instabile deve essere (r-a)<0, cioè a>r; allora G dovrà stare più in alto del metacentro trasversale M. In posizione inclinata dell’angolo ϕi la nave è in equilibrio (M=0) con galleggiamento W’L’ isocarenico al precedente, pertanto la normale nel centro B’i alla curva proiezione dei centri di carena deve passare per il baricentro G. Poiché la detta normale in B’i interseca l’asse z nel punto Hi (prometacentro), se ne deduce che è G≡Hi.

10 La stabilità è una qualità dell’equilibrio e come tutte le qualità non può essere quantizzata.

203

Poiché per ϕ=0 il prometacentro H0≡M e per ϕ=ϕi il prometacentro Hi≡G e G è sopra M, se ne deduce che per inclinazioni ϕ tali che 0<ϕ<ϕi (posizioni non di equilibrio) i prometacentri H si trovano tra M ed Hi e, quindi, l’evoluta metacentrica è a rami inizialmente ascendenti. Ciò è confermato anche dall’essere il metacentro μi relativo alla carena inclinata di ϕi posizionato sopra G e, quindi, sopra Hi, essendo posizione inclinata di equilibrio stabile (γi>0). Queste osservazioni connesse al diagramma di stabilità rappresentato in figura 3 portano alla situazione rappresentata in figura 5.

Situazione di nave ingavonata

FIG. 5 La particolare situazione descritta porta alla seguente definizione di nave ingavonata e di angolo di ingavonamento 11:

una nave che abbia la posizione dritta di equilibrio instabile pur avendo il proprio baricentro sul piano diametrale e si trova in

11 Tale definizione del fenomeno dell’ingavonamento (o altra rigorosamente equivalente) è esatta nell’ambito dell’ingegneria navale è più specificamente nell’ambito della Geometria dei Galleggianti e della Statica della Nave. In ambito marinaresco, la particolare condizione trattata viene ignorata ed il termine assume diverso e generico significato. I dizionari fanno riferimento esclusivo all’ambito marinaresco e non a quello scientifico, fornendo per “ingavonare” i significati di sbandare e/o inclinarsi e/o capovolgersi, ecc. riferiti alla nave.

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equilibrio stabile in una posizione inclinata di ϕi si dice ingavonata e l’angolo ϕi è detto angolo di ingavonamento.

La posizione di nave ingavonata viene raggiunta in quei casi in cui la distribuzione dei pesi costituenti la portata lorda (di solito in percentuale piccola rispetto a quella massima) è simmetrica rispetto al piano di simmetria (yG=0), ma è tale da realizzare zG>zM. La posizione di nave ingavonata può, a volte, essere raggiunta quando il carico pagante è stato completamente sbarcato (stive vuote), i consumabili sono ridotti al minimo e non si è ancora provveduto ad imbarcare una sufficiente quantità di acqua di zavorra. Più raramente viene raggiunta quando i consumabili sono al minimo, alcune stive sono state scaricate, ma è ancora presente del carico (ad esempio, legno) in coperta, e la quantità di acqua di zavorra è insufficiente. Da quanto detto risulta chiaro che se si osserva una nave inclinata trasversalmente di un angolo ϕ, non è lecito affermare che essa sia ingavonata in quanto non può essere escluso che la nave sia sbandata cioè che sia inclinata a causa di una distribuzione non simmetrica (rispetto al piano diametrale) dei pesi costituenti la portata lorda, la qual cosa rende yG≠0, cioè non può essere escluso che la situazione sia quella rappresentata in figura 6.

Situazione di nave sbandata

FIG. 6 Oltre alle due distinte condizioni di nave ingavonata (figura 5) e di nave sbandata trasversalmente (figura 6) si può avere anche una situazione nella quale le due condizioni sono concomitanti, cioè che la nave risulti nel medesimo istante sia ingavonata (zG>zM) sia sbandata (yG≠0) come è rappresentato nella figura 7.

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Situazione di nave ingavonata e sbandata

FIG. 7

FIG. 8

Se una nave è ingavonata, per portarla nella posizione dritta e affinché questa da instabile diventi stabile (o per ridurre l’angolo di ingavonamento) non

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serve spostare pesi dal lato con immersione maggiore a quello con immersione minore, figura 8. Così facendo la nave verrebbe ad essere sottoposta ad un momento raddrizzante (rispetto alla posizione inclinata) dato da MQ=Q d cosϕ [essendo Q il peso totale spostato e d lo spostamento]. Essendo Qd=cost il momento MQ ha forma cosinusidale. Al diagramma di stabilità va allora associato, figura 9, il diagramma di MQ (ovviamente nelle stesse scale) e la loro somma algebrica dà luogo ad un nuovo diagramma di stabilità, detto diagramma di stabilità residua, come mostrato in figura 10, curva a.

FIG. 9

Come può notarsi, il momento applicato porta la nave in una nuova posizione di equilibrio stabile, ma inclinata di un angolo ϕi’≠ ϕi (a seconda dell’entità di Qd). Inoltre la posizione ϕ=0 non è più di equilibrio essendo MT = M + MQ ≠ 0.

FIG. 10

Se una nave è ingavonata per portarla nella posizione dritta e affinché questa da instabile diventi stabile (o per ridurre l’angolo di ingavonamento) è

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necessario traslare verticalmente pesi verso il basso. Così facendo la nave verrebbe ad essere sottoposta - vedi figura 11 - ad un momento raddrizzante dato da MQ=Q d senϕ. Al diagramma di stabilità va allora associato, figura 12, il diagramma sinusoidale di MQ (ovviamente nelle stesse scale) e la loro somma algebrica dà luogo ad un nuovo diagramma di stabilità, come mostrato in figura 10 curva b. Se Qd è congruo, in relazione al valore di ϕi, dalla condizione rappresentata in figura 5 si può passare a quella rappresentata in figura 11 del capitolo precedente.

FIG. 11

FIG. 12

La posizione di nave ingavonata può risultare pericolosa se l’angolo ϕi non è piccolo (qualche grado) e se una qualche causa sbandante interviene. Infatti, ad esempio, se il momento MQ prima visto (punto A) non fosse positivo, ma negativo, cioè sbandante, il diagramma risultante sarebbe quello indicato con c nella figura 10 e l’angolo di equilibrio sarebbe dovuto all’effetto combinato di ingavonamento e di sbandamento, cioè sarebbe ϕi+S.

208

L’angolo di ingavonamento può essere determinato analiticamente se si ipotizza che i galleggiamenti isocarenici interessino solo una zona nella quale le murate sono verticali 12. Solo in tale caso si ha

tg r ariϕ = −−2 (7)

nella quale il radicale è positivo essendo, nella condizione di nave ingavonata, (r-a)<0. La (7) può anche scriversi:

tg ariϕ = −1 4142 1. (8)

per cui il valore di ϕi dipende solo dal rapporto a/r>1. Nella tabella seguente sono riportati alcuni valori di ϕi:

a/r⇒ 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.010 1.015 1.020 1.025 ϕ°⇒ 0.0 3.6 5.1 6.2 7.2 8.0 9.8 11.3 12. 6

a/r⇒ 1.030 1.035 1.040 1.045 1.050 1.055 1.060 1.065 1.070 ϕ°⇒ 13.8 14.8 15.8 16.7 17.5 18.3 19.1 19.80 20.5

3 – Nave prossima al capovolgimento Sia data una nave avente baricentro G sul piano diametrale e la cui posizione dritta sia di equilibrio stabile. Si supponga di inclinare trasversalmente, in modo isocarenico e molto lentamente, la nave fino a raggiungere la successiva posizione di equilibrio (M=0) che è instabile ed il cui angolo è indicato con ϕc vedi figura 1). Raggiunta tale posizione, se si fornisce alla nave un ulteriore incremento di inclinazione dϕ, la nave, lasciata libera, continuerà ad inclinarsi fino a raggiungere un’altra posizione di equilibrio, questa volta stabile, che è generalmente a nave capovolta (ϕ=180°, non rappresentato in figura 1). L’angolo ϕc al quale ha inizio la rotazione che porta al capovolgimento è detto angolo di capovolgimento. Si è supposto, ovviamente, che durante tutte le fasi (da nave dritta a nave capovolta), non vi sia stata variazione dei pesi né in valore (Δ=cost) né nella distribuzione (yG=0 e zG=cost). Se la nave è ingavonata (posizione dritta di equilibrio instabile e posizione a ϕ=ϕi di equilibrio stabile), l’angolo di capovolgimento ϕc sarà quello successivo a ϕi nel quale il momento (il braccio) di stabilità è nuovamente nullo (figura 3).

12 Cioè se la nave è un galleggiante cilindrico. Ai galleggianti cilindrici è dedicato un capitolo del presente lavoro.

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In definitiva si ha che la posizione di equilibrio instabile e caratterizzata da un angolo ϕc≠0 relativa ad una nave la cui posizione dritta è di equilibrio stabile (figura 1) o instabile (figura 3) o indifferente (curve c e d di figura 4) è detta posizione di nave prossima al capovolgimento e l’angolo ϕc è detto angolo di capovolgimento. Pertanto si può dare la seguente definizione generale di angolo di capovolgimento:

l’angolo ϕc corrispondente alla posizione di equilibrio instabile (M=0 e γc<0) successivo a quello corrispondente alla posizione di equilibrio stabile (M=0 e γ>0) è detto angolo di capovolgimento.

4 - Dipendenza del diagramma di stabilità dal tipo di evoluta metacentrica e dalla posizione verticale del baricentro nave.

Come si è visto l’evoluta metacentrica può essere a rami inizialmente ascendenti o discendenti; inoltre, in corrispondenza del metacentro trasversale M della nave dritta, l’evoluta metacentrica può presentare una cuspide o un vertice; infine, il baricentro nave [relativo a Δ=cost e supposto fisso sul piano diametrale (yG=0)] può essere ubicato sopra, in coincidenza o sotto il metacentro M. Risulta evidente che la combinazione di tali condizioni ha influenza sul diagramma di stabilità e, quindi, sul comportamento della nave. Nel presente paragrafo vengono studiate le possibili situazioni che sono riassunte nella seguente tabella; alcune delle quali sono irrealistiche, essendo la nave instabile in tutte le posizioni (esclusa quella a nave capovolta).

caso evoluta metacentrica a rami

presenza in M di una posizione di G rispetto ad M

1° ascendenti cuspide sopra 2° ascendenti cuspide coincidente 3° ascendenti cuspide sotto 4° ascendenti vertice sopra 5° ascendenti vertice coincidente 6° ascendenti vertice sotto 7° discendenti cuspide sopra 8° discendenti cuspide coincidente 9° discendenti cuspide sotto 10° discendenti vertice sopra 11° discendenti vertice coincidente 12° discendenti vertice sotto

210

Si suppone che le inclinazioni siano isocareniche e puramente trasversali e che il piano di inclinazione resti quello iniziale, cioè quello contenente G ed il centro B della carena dritta iniziale. Si suppone inoltre che le inclinazioni date alla nave avvengano lentamente in modo che siano assenti le forze d’inerzia. Nelle figure che illustrano i diversi casi è possibile omettere la sezione della nave in quanto essa è individuata, nella sua posizione dritta, dal galleggiamento WL, da M e da G; mentre nelle posizioni inclinate essa è individuata dai relativi galleggiamenti e centri di carena. Si suppone infine che la nave abbia geometria tale da comportare l’evoluta metacentrica presa in considerazione.

CASO 1° Evoluta metacentrica a rami ascendenti con una cuspide nel metacentro M e con il baricentro sopra M.

La posizione dritta è di equilibrio instabile per cui la nave tende ad abbandonarla. Lasciata tale posizione - figura 13 - le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, fintanto che i rami dell’evoluta metacentrica sono ascendenti, si innalzano allontanandosi dal metacentro iniziale M ed avvicinandosi al baricentro G. Raggiunto G si ha una posizione di equilibrio stabile nella quale la nave è ingavonata con angolo ϕi. Se si inclina la nave, i prometacentri H vengono a trovarsi sopra G fino a che i rami dell’evoluta sono ascendenti; quando diventano discendenti i prometacentri H si spostano verso G e, raggiunto tale punto, si ha una nuova posizione di equilibrio che è instabile in quanto il metacentro relativo μ è più in basso del baricentro G. Qui la nave ha raggiunto l’angolo ϕc, detto di capovolgimento. La nave, infatti, non può restare in tale posizione di equilibrio instabile, per cui si inclina ulteriormente fino a raggiungere la posizione capovolta.

CASO 2° Evoluta metacentrica a rami ascendenti con una cuspide nel metacentro M e con il baricentro coincidente con M.

La posizione dritta è di equilibrio indifferente, essendo (r-a)=0, e solo per angoli infinitamente piccoli. Inclinando la nave - figura 14 - le rette di azione della spinta incontreranno l’asse Z nei prometacentri H i quali, fintanto che i rami dell’evoluta ascendono, si sposteranno lontani da G verso l’alto; successivamente, quando i rami dell’evoluta discendono, i punti H si abbasseranno tendendo verso G. Quando sarà H≡G≡M, la nave avrà raggiunto l’angolo di capovolgimento ϕc. Subito dopo il momento di stabilità diventa negativo e la nave ruoterà fino a capovolgersi. Il diagramma di stabilità M=Δ(h-a)senϕ è tangente in ϕ=0 all’asse delle ϕ e, poi, si sviluppa tutto nel campo dei momenti positivi.

211

FIG. 13 (caso 1°)

FIG. 14 (caso 2°)

212

CASO 3° Evoluta metacentrica a rami ascendenti con una cuspide nel metacentro M e con il baricentro sotto M.

La posizione dritta è di equilibrio stabile. Inclinando la nave - figura 15 - le rette di azione della spinta incontreranno l’asse Z nei prometacentri H i quali, fintanto che i rami dell’evoluta ascendono, si sposteranno più lontani da G verso l’alto; successivamente, quando i rami dell’evoluta discendono, i punti H si abbasseranno tendendo verso G. Quando sarà H≡G, la nave avrà raggiunto l’angolo di capovolgimento ϕc. Il diagramma di stabilità M=Δ(h-a)senϕ - fino a che il prometacentro H, in fase discendente, non torna a passare per il metacentro trasversale M - avrà ordinate superiori alla sinusoide Δ(r-a)senϕ. Successivamente, avrà ordinate inferiore e quando è nuovamente H≡G si sarà raggiunto l’angolo ϕc. Subito dopo il momento di stabilità diventa negativo e la nave ruoterà fino a capovolgersi.

FIG. 15 (caso 3°)

213

CASO 4° Evoluta metacentrica a rami ascendenti con un vertice nel metacentro M e con il baricentro sopra M.

La posizione dritta -figura 28 - è di equilibrio instabile per cui la nave tende ad abbandonarla. Per valori 0≤ϕ≤ϕ*, essendo 2ϕ* l’angolo definito dalle due tangenti nel vertice in M (metacentro iniziale) ai due rami iniziali dell’evoluta, il momento inclinante è Δ(r-a)senϕ. Per angolo ϕ*<ϕ<ϕi le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, poiché i rami dell’evoluta ascendono, si innalzeranno allontanandosi dal metacentro iniziale M ed avvicinandosi al baricentro G. Quando è H≡G, la nave si trova in equilibrio stabile (in quanto il metacentro relativo μ è più in alto del baricentro G), ma ingavonata all’angolo ϕ=ϕi. Se si inclina la nave oltre ϕi, i prometacentri H si allontanano dal baricentro G andando verso l’alto fino a che i rami dell’evoluta sono ascendenti. Quando i rami dell’evoluta diventano discendenti, i prometacentri si abbassano e tendono verso G. Raggiunta la condizione H≡G, la nave si trova in equilibrio instabile (in quanto il metacentro relativo μ è più basso del baricentro G) e l’angolo ϕ=ϕc qui raggiunto è quello di capovolgimento perché la nave non può restare in tale posizione di equilibrio instabile e tende alla successiva posizione di equilibrio stabile che corrisponde alla nave capovolta.

FIG. 16 (caso 4°)

214

CASO 5° Evoluta metacentrica a rami ascendenti con un vertice nel metacentro M e con il baricentro coincidente con M.

La posizione dritta - figura 17 - è di equilibrio indifferente e così pure le successive caratterizzate da 0≤ϕ≤ϕ*, essendo 2ϕ* l’angolo definito dalle due tangenti nel vertice in M (metacentro iniziale) ai due rami iniziali dell’evoluta. Per angolo ϕ>ϕ*, le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, fintanto i rami dell’evoluta ascendono, si allontanano da G≡M innalzandosi; poi, quando i rami dell’evoluta discendono, si abbassano tendendo verso il baricentro G. Quando si ha H≡G, la nave si trova in equilibrio instabile (in quanto il metacentro relativo μ è più in basso del baricentro G), e l’angolo ϕ=ϕc qui raggiunto è quello di capovolgimento perché la nave non può restare in tale posizione di equilibrio instabile e tende alla successiva posizione di equilibrio stabile che corrisponde alla nave capovolta.

FIG. 17 (caso 5°)

215

CASO 6° Evoluta metacentrica a rami ascendenti con un vertice nel metacentro M e con il baricentro sotto M.

La posizione dritta - figura 18 - è di equilibrio stabile. Inclinando la nave, fino a che è 0≤ϕ≤ϕ*, essendo 2ϕ* l’angolo definito dalle due tangenti nel vertice in M (metacentro iniziale) ai due rami iniziali dell’evoluta, le rette di azione della spinta passano tutte per il metacentro iniziale M. Pertanto, fino a ϕ=ϕ*, il diagramma di stabilità espresso da Δ(h-a)senϕ coincide con quello espresso da Δ(r-a)senϕ. Per angoli ϕ>ϕ*, le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, fintanto che i rami dell’evoluta ascendono, si allontanano dal metacentro iniziale M innalzandosi; poi, quando i rami dell’evoluta discendono, si abbassano tendendo verso il baricentro G. Quando si ha H≡G, la nave si trova in equilibrio instabile (in quanto il metacentro relativo μ è più in basso del baricentro G), e l’angolo ϕ=ϕc qui raggiunto è quello di capovolgimento perché la nave non può restare in tale posizione di equilibrio instabile e tende alla successiva posizione di equilibrio stabile che corrisponde alla nave capovolta.

FIG. 18 (caso 6°)

216

CASO 7° Evoluta metacentrica a rami discendenti con una cuspide nel metacentro M e con il baricentro sopra M.

La posizione dritta - figura 19 - è di equilibrio instabile per cui la nave tende ad abbandonarla. Le rette di azione della spinta incontrano l’asse Z in punti ubicati sotto il metacentro iniziale M e, quindi, sotto il baricentro G. La nave tende a raggiungere la posizione di equilibrio stabile capovolta (ϕ=180°) senza incontrare alcuna posizione di equilibrio intermedia. Il diagramma di Δ(h-a)senϕ è, pertanto tutto nel campo negativo e le sue ordinate sono maggiori di quelle del diagramma di Δ(r-a)senϕ.

FIG. 19 (caso 7°)

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CASO 8° Evoluta metacentrica a rami discendenti con una cuspide nel metacentro M e con il baricentro coincidente con M.

La posizione dritta - figura 20 - è di equilibrio indifferente per angoli infinitesini; per angoli piccolissimi, ma finiti, la posizione iniziale è di equilibrio instabile, per cui la nave tende ad abbandonarla. Le rette di azione della spinta incontrano l’asse Z in punti ubicati sotto il metacentro iniziale M e, quindi, sotto il baricentro G. La nave tende a raggiungere la posizione di equilibrio stabile capovolta (ϕ=180°) senza incontrare alcuna posizione di equilibrio intermedia. Il diagramma di Δ(h-a)senϕ è tangente in ϕ=0° all’asse delle ϕ ed è tutto nel campo negativo; il diagramma di Δ(r-a)senϕ non esiste in quanto è (r-a)=0.

FIG. 20 (caso 8°)

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CASO 9° Evoluta metacentrica a rami discendenti con una cuspide nel metacentro M e con il baricentro sotto M.

La posizione dritta - figura 21 - è di equilibrio stabile. Inclinando la nave le rette di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali si avvicinano al baricentro G. Il diagramma di Δ(h-a)senϕ ha ordinate inferiori a quelle del diagramma di Δ(r-a)senϕ. La successiva posizione di equilibrio si ha quando H≡G ed è di equilibrio instabile (in quanto il metacentro relativo μ è più in basso del baricentro G), e l’angolo ϕ=ϕc qui raggiunto è quello di capovolgimento perché la nave non può restare in tale posizione di equilibrio instabile e tende alla successiva posizione di equilibrio stabile che corrisponde alla nave capovolta.

FIG. 21 (caso 9°)

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CASO 10° Evoluta metacentrica a rami discendenti con un vertice nel metacentro M e con il baricentro sopra M.

La posizione dritta - figura 34 - è di equilibrio instabile per cui la nave tende ad abbandonarla. Per valori 0≤ϕ≤ϕ*, essendo 2ϕ* l’angolo definito dalle due tangenti nel vertice in M (metacentro iniziale) ai due rami iniziali dell’evoluta, il momento inclinante è Δ(r-a)senϕ. Per ϕ>ϕ* le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, poiché i rami dell’evoluta discendono, si abbassano allontanandosi dal metacentro iniziale M e, quindi, dal baricentro G. Pertanto il diagramma del momento di stabilità Δ(h-a)senϕ si distacca da quello di Δ(r-a)senϕ in quanto il primo presenta ordinate maggiori rispetto a quelle del secondo. La nave continua a tendere e, poi, raggiunge la posizione di equilibrio stabile capovolta (ϕ=180°) senza incontrare alcuna posizione di equilibrio intermedia.

FIG. 22 (caso 10°)

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CASO 11° Evoluta metacentrica a rami discendenti con un vertice nel metacentro M e con il baricentro coincidente con M.

La posizione dritta - figura 23 - è di equilibrio indifferente e così pure le successive caratterizzate da 0≤ϕ≤ϕ*, essendo 2ϕ* l’angolo definito dalle due tangenti nel vertice in M (metacentro iniziale) ai due rami iniziali dell’evoluta. Per ϕ>ϕ* le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, poiché i rami dell’evoluta discendono, si abbassano allontanandosi dal metacentro iniziale M e, quindi, dal baricentro G. La nave continua a tendere e, poi, raggiunge la posizione di equilibrio stabile capovolta (ϕ=180°) senza incontrare alcuna posizione di equilibrio intermedia.

FIG. 23 (caso 11°)

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CASO 12° Evoluta metacentrica a rami discendenti con un vertice nel metacentro M e con il baricentro sotto M.

La posizione dritta - figura 24 - è di equilibrio stabile. Inclinando la nave, fino a che è 0≤ϕ≤ϕ*, essendo 2ϕ* l’angolo definito dalle due tangenti nel vertice in M (metacentro iniziale) ai due rami iniziali dell’evoluta, le rette di azione della spinta passano tutte per il metacentro iniziale M. Pertanto, fino a ϕ=ϕ*, il diagramma di stabilità espresso da Δ(h-a)senϕ coincide con quello espresso da Δ(r-a)senϕ. Per angoli ϕ>ϕ*, le linee di azione della spinta incontrano l’asse Z nei prometacentri H i quali, si allontanano dal metacentro iniziale M abbassandosi ed avvicinandosi al baricentro G. Pertanto per ϕ>ϕ*, il diagramma di stabilità espresso da Δ(h-a)senϕ ha ordinate più piccole di quelle del diagramma di Δ(r-a)senϕ. Quando si ha H≡G, la nave si trova in equilibrio instabile (in quanto il metacentro relativo μ è più in basso del baricentro G), e l’angolo ϕ=ϕc qui raggiunto è quello di capovolgimento perché la nave non può restare in tale posizione di equilibrio instabile e tende alla successiva posizione di equilibrio stabile che corrisponde alla nave capovolta.

FIG. 24 (caso 12°)

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5 – Esempio di diagrammi di stabilità di una nave.

Durante l’esercizio, una nave si trova ad operare a dislocamento diverso e con diverso valore della coordinata verticale del baricentro. Ad esempio, per una nave ro-ro (per il trasporto passeggeri, auto e veicoli industriali), avente le seguenti caratteristiche principali:

lunghezza fuori tutto ................................................... 148.31 m lunghezza tra le perpendicolari ................................... 135.00 m larghezza massima ...................................................... 22.70 m immersione al galleggiamento di progetto ................... 6.30 m altezza al ponte principale ........................................... 7.50 m altezza al ponte di coperta ........................................... 12.92 m

sono stati eseguiti i relativi calcoli e tracciati i diagrammi dei bracci di stabilità ( )GD h a= − senϕ 13, espressi in metri - figura 25 - per le condizioni di carico

riportate in tabella unitamente al dislocamento ed alla quota del baricentro. CASO CONDIZIONE DI CARICO Δ

(t) ZG(m)

A Nave scarica ed asciutta, con i soli liquidi in circolazione 6074 9.61 B Nave con carico omogeneo solo sul ponte di coperta;

presenza del 100% dei consumabili 9303 9.99

C Nave con carico omogeneo sul ponte di coperta e sul ponte principale; presenza del 100% dei consumabili

11343 10.07

D Nave alla partenza; cioè con carico omogeneo sul ponte di coperta, sul ponte principale e in stiva; consumabili fino a raggiungere la portata massima

11476 10.05

E Nave all’arrivo; cioè con carico omogeneo sul ponte di coperta, sul ponte principale e in stiva; consumabili ridotti al 10% del totale

10861 10.49

F Nave in zavorra alla partenza; cioè con 2576 t di zavorra liquida, 1229 t di consumabili, 20 t per equipaggio, effetti personali e diversi

9902 7.55

G Nave in zavorra all’arrivo; cioè con 2576 t di zavorra liquida, 199 t di consumabili, 20 t per equipaggio, effetti personali e diversi

9166 8.00

H Nave pronta per l’immissione in bacino; cioè con 50 t di zavorra liquida, 199 t di consumabili, 20 t per equipaggio, effetti personali e diversi

6343 9.39

13 In letteratura tecnica, di solito, il braccio di stabilità è indicato con GZ e non con GD.

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FIG. 25

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Come può notarsi, la maggiore stabilità si ha nella condizione F (nave in zavorra, alla partenza; cioè con 2576 t di zavorra liquida, 1229 t di consumabili, 20 t per l’equipaggio ed effetti personali); ciò perchè la quota del baricentro della nave è molto piccola, per l’assenza del carico pagante sui ponti e per la presenza della zavorra e soprattutto dei consumabili le cui casse sono ubicate in basso. La stabilità è grande anche nella condizione G (nave in zavorra, all’arrivo; cioè con 2576 t di zavorra liquida, 199 t di consumabili, 20 t per l’equipaggio ed effetti personali), perchè, rispetto alla condizione precedente (F), sono stati sottratti dai depositi (ubicati in basso) 1030 t di consumabili. La condizione di nave all’arrivo; cioè con carico omogeneo sul ponte di coperta, sul ponte principale e in stiva, nonché con i consumabili ridotti al 10% del totale (E) è quella di minore stabilità per l’azione combinata di presenza del carico pagante sui ponti e di assenza del 90% dei consumabili.

6 - Influenza dei carichi mobili sul diagramma di stabilità di una nave.

Nel capitolo V si è accennato dei carichi mobili che possono essere presenti a bordo di una nave. Tali carichi hanno influenza sul diagramma di stabilità perchè, spostandosi, alterano la posizione del baricentro della nave facendo sì che la posizione iniziale non è più di nave dritta (nave sbandata), se lo spostamento del baricentro è orizzontale e verso una murata, e/o riducendo l’altezza prometacentrica h-a (ed anche quella metacentrica, r-a), se lo spostamento del baricentro è verticale e verso l’alto, e/o facendo sì che la nave cambi assetto, se lo spostamento del baricentro della nave è orizzontale e cerso poppa o prua. Per quanto riguarda le persone presenti a bordo, si è già detto che se queste sono rappresentate dai componenti l’equipaggio (navi da carico), il loro spostarsi da un posto ad un altro altera la posizione del baricentro della nave in modo tanto piccolo, stante l’esiguo peso in relazione al dislocamento della nave, che gli effetti sul baricentro può essere trascurato. Nel caso di navi per passeggeri, invece, lo spostamento di una folla di individui sui ponti più alti e verso un solo lato della nave (ad esempio, per ammirare la costa) può produrre un notevole spostamento del baricentro della nave. La componente trasversale dello spostamento del baricentro nave produce una inclinazione della nave, mentre quella verticale (verso l’alto) produce una riduzione dell’altezza prometracentrica (h-a), a causa dell’incrementato valore di a (quota del baricentro sul centro di carena. Per quanto riguarda i carichi scorrevoli (granaglie, semi, carbone, minerali, ecc.) che non occupano completamente la stiva, possono generare

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inclinazioni non trascurabili. Infatti, se con il moto di rollio si raggiungono e superano inclinazioni trasversali pari all’angolo di naturale declivio del carico, questo inizierà a scorrere e si sposta verso una murata e non ritorna più nella posizione iniziale quando la nave ritorna nella posizione dritta o rolla dalla parte opposta. Tale comportamento del carico è favorito dalle azioni dinamiche dovute alle accelerazioni provocate dal mare mosso. Se ciò avviene, il baricentro della nave subirà uno spostamento trasversale che provocherà uno sbandamento della nave che influenzerà notevolmente il diagramma di stabilità. Per ovviare a tale pericoloso inconveniente le navi specializzate nel trasporto di carichi alla rinfusa hanno stive di forma autostivante (navi bulk carrier), cioè dotate, nella parte alta, di pareti inclinate come la superficie che assume il carico scorrevole quando viene immesso dall’alto nella stiva. Nelle navi non specializzate per carichi alla rinfusa, occorre maggiormente avere cura di caricare le stive al massimo (“a tappo”); se non è possibile, occorre inserire, durante il caricamento, paratie longitudinali mobili in legno o metallo (dette “casci”), oppure avere cura di disporre al disopra del carico alla rinfusa, sacchi contenenti la stessa merce (“saccatura” della superficie libera). Per quanto riguarda i carichi rotolanti (tronchi di albero, prodotti cilindrici di siderurgia, bobine di carta o di prodotti della siderurgia, ecc.), se vengono mal disposti nelle stive e non vengono ben fissati alle strutture della nave e/o legati tra loro e/o zeppati, durante i moti della nave possono rotolare verso un lato della nave producendo uno spostamento del baricentro. Se ciò avviene, il detto spostamento del baricentro provocherà uno sbandamento della nave che influenzerà notevolmente il diagramma di stabilità. Per quanto riguarda i carichi spostabili (veicoli gommati, prodotti siderurgici in lastre o barre, ecc.), se tali carichi non vengono rizzati e/o zeppati e/o legati tra loro e/o ben fissati alle strutture della nave, durante i moti della nave tali carichi possono spostarsi verso un lato della nave producendo uno spostamento del baricentro della nave che influenzerà notevolmente il diagramma di stabilità. Per quanto riguarda la presenza di carichi sospesi, la situazione può essere pericolosa solo se la somma dei detti pesi è notevole e/o se i loro punti di sospendita sono molto alti. La situazione deve essere opportunamente valutata nel caso di pontoni gru o navi adibite ad operazioni di recupero. Infatti, in tale caso si ha che il peso movimentato può essere ingente ed il punto di sospendita molto alto. Infatti un peso Q sospeso ad un punto (ad esempio, asse della puleggia) e libero di oscillare avrà retta di azione sempre verticale e passante per il punto di sospendita, qualunque sia l’inclinazione della nave. Pertanto, tale peso Q, qualunque sia la sua quota, si comporta come se il suo baricentro si trovi nel punto di sospendita. L’essere sospeso comporta, quindi, un innalzamento del baricentro della nave e, quindi, una riduzione dell’altezza prometacentrica h-a. Il

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momento inclinante che genera il carico sospeso a causa di una inclinazione trasversale φ – considerando la distanza z tra il baricentro del corpo di peso Q ed il punto di sospendita – è dato da:

M=Q z senφ

La presenza del carico sospeso innalza, quindi, il baricentro della nave della quantità ∆ZG=Q z/∆, quantità che rappresenta anche la riduzione di altezza prometacentrica. Per quanto riguarda i carichi liquidi, presenti in tutte le navi (consumabili) e, per talune navi, costituenti il carico pagante (navi cisterna per il trasporto di petrolio, derivati liquidi del petrolio, vino, acqua, prodotti chimici, succhi di frutta concentrati, ecc.), se i depositi e le cisterne contenenti liquidi non sono riempite completamente, la superficie libera del liquido si mantiene, ovviamente, orizzontale, mentre la nave muta posizione a causa dei moti di rollio e beccheggio o a causa di inclinazioni aventi altra origine (errata caricazione, spostamento di carichi solidi, azione del vento, ecc.). Poiché la superficie libera deve restare orizzontale, avverrà uno spostamento del liquido che produce uno spostamento del baricentro della nave. I carichi mobili sono diffusamente trattati nei testi di “Statica della Nave”.