TRIGONOMETRIA E COORDINATE - geometripd.it E... · Indice Angoli e sistemi di misura angolare...

TRIGONOMETRIA E COORDINATETRIGONOMETRIA E COORDINATE

X’X’

OO

AA

(AB)(AB)

Y’Y’

B’B’

(Y(YB B –– YYAA))

200200cc

-- αα

BB

YY

XX

(X(XB B –– XXAA))

X’X’

OO

AA

(AB)(AB)

Y’Y’

B’B’


200200cc

-- αα

BB

YY

XX


Indice

Angoli e sistemi di misura angolareAngoli e sistemi di misura angolare

Funzioni trigonometricheFunzioni trigonometriche

Risoluzione dei triangoli rettangoliRisoluzione dei triangoli rettangoli

Risoluzione dei poligoniRisoluzione dei poligoni

Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro areaRisoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area

Risoluzione dei quadrilateri e loro areaRisoluzione dei quadrilateri e loro area

Coordinate cartesiane e polari pianeCoordinate cartesiane e polari piane

Passaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polPassaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polariari

AzimutAzimut

Azimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane noteAzimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note

Area con le coordinate cartesiane (Gauss)Area con le coordinate cartesiane (Gauss)

Utilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poliUtilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poligonigoni

Angoli

Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano

limitate da due semirette (lati) uscenti da uno stesso punto limitate da due semirette (lati) uscenti da uno stesso punto

(vertice). Gli angoli in topografia sono orientati in senso (vertice). Gli angoli in topografia sono orientati in senso

orario. L’angolo si ottiene facendo ruotare il segmento orario. L’angolo si ottiene facendo ruotare il segmento

SA fino a farlo coincidere con il segmento SBSA fino a farlo coincidere con il segmento SB

BSA

AA

SS

BB

BSA BSAASB ASB

Angoli BBBSA è un angolo rettoè un angolo retto

AA

SS

BB

è un angolo giroè un angolo giroBSA

SS

BSA è un angolo piattoè un angolo piatto

BB

SS

AA

AA

BSA BSA

BSA BSA

BSA BSA

I sistemi di misura angolare

sessagesimale e centesimale

300300CC

0°0°

90°90°

180°180°

270°270°

360°360°

100100CC

200200CC

400400CC 00CC

P 163° 27’ 48’’P 163° 27’ 48’’

P 181P 181cc,6259,6259

60’’60’’1’1’

60’60’1°1°

100’’100’’1’1’

100’100’11CC

I sistemi di misura angolare

Passaggi da un sistema ad un altro

4633,°163=3600

'48'+

60

27'+ °163

Per passare dai gradi sessagesimali ai centesimali è Per passare dai gradi sessagesimali ai centesimali è

necessario necessario decimalizzaredecimalizzare i gradi sessagesimali dividendo i i gradi sessagesimali dividendo i

primi per 60 e i secondi per 3600primi per 60 e i secondi per 3600

C

C

200

α=

°180

°α

successivamente dalla proporzionesuccessivamente dalla proporzione

6259,181=°180

200×4633,°163=α

CC

C

si ottienesi ottiene

Le funzioni trigonometriche

100100cc

OO

A’A’ XXaa

YYaa

00cc = 400= 400cc

αα

AA

200200cc

300300cc

Le funzioni trigonometriche associano Le funzioni trigonometriche associano

ad ogni angolo un numero puro. ad ogni angolo un numero puro.

Studieremo di seguito le quattro Studieremo di seguito le quattro

funzioni funzioni senoseno, , cosenocoseno, , tangentetangente e e

cotangentecotangente..

Si consideri una circonferenza di Si consideri una circonferenza di

centro O e raggio OA, riferita ad un centro O e raggio OA, riferita ad un

sistema di assi cartesiani con origine sistema di assi cartesiani con origine

nel centro della circonferenza. Al nel centro della circonferenza. Al

variare della posizione del punto A variare della posizione del punto A

varia l’ampiezza dell’angolo varia l’ampiezza dell’angolo αα


seno e coseno

100100cc

OO

A’A’ XXaa

YYaa

00cc = 400= 400cc

αα

AA

200200cc

300300cc

Si definisce seno Si definisce seno

delldell’’angolo angolo αα ((sen sen αα)) il il

rapporto fra lrapporto fra l’’ascissa del ascissa del

punto A, Xpunto A, Xaa, ed il raggio , ed il raggio

della circonferenza OAdella circonferenza OA

Si definisce coseno Si definisce coseno

delldell’’angolo angolo αα ((cos cos αα)) il il

rapporto fra lrapporto fra l’’ordinata del ordinata del

punto A, Ypunto A, Yaa, ed il raggio , ed il raggio

della circonferenza OAdella circonferenza OA

OA

Xa=αsen

OA

Ya=αcos

100100cc


tangente e cotangente

OO

A’A’ XXAA

YYAA

00cc = 400= 400cc

αα

AA

200200cc

300300cc

Si definisce tangente Si definisce tangente

delldell’’angolo angolo αα ((tan tan αα)) il il

rapporto fra lrapporto fra l’’ascissa del ascissa del

punto A, Xpunto A, Xaa, e la sua , e la sua

ordinata Yordinata Yaa

Si definisce cotangente Si definisce cotangente

delldell’’angolo angolo αα ((cot cot αα)) il il

rapporto fra lrapporto fra l’’ordinata del ordinata del

punto A, Ypunto A, Yaa, e la sua , e la sua

ascissa Xascissa Xaa

Ya

Xa=αtan

Xa

Ya=αcot

Funzioni trigonometriche

Quadro generale

+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞000000001111111100000000400400400400400400400400cccccccc

00000000

+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞

00000000

cotangentecotangentecotangentecotangentecotangentecotangentecotangentecotangente

+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞

+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞00000000--11111111300300300300300300300300cccccccc

00000000--1111111100000000200200200200200200200200cccccccc

+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞0000000011111111100100100100100100100100cccccccc

00000000111111110000000000000000cccccccc

tangentetangentetangentetangentetangentetangentetangentetangentecosenocosenocosenocosenocosenocosenocosenocosenosenosenosenosenosenosenosenosenogradigradigradigradigradigradigradigradi

Le funzioni trigonometriche utilizzate per la risoluzione dei

triangoli rettangoli

BB CC

AA

Le funzioni trigonometriche sono Le funzioni trigonometriche sono

utilizzate per risolvere i triangoli utilizzate per risolvere i triangoli

rettangoli. Nella risoluzione è rettangoli. Nella risoluzione è

necessario conoscere almeno due necessario conoscere almeno due

elementi. La sommatoria degli angoli elementi. La sommatoria degli angoli

interni (nel sistema centesimale) è di interni (nel sistema centesimale) è di

200200cc

AB

BC=Atan

AC

BC=Asen

AC

AB=Acos

BC

AB=Ctan

AC

AB=Csen

AC

BC=Ccos

A

B C

Le funzioni inverse

BB CC

AA

Da uno dei qualsiasi rapporti precedentemente visti, che Da uno dei qualsiasi rapporti precedentemente visti, che

definiscono le funzioni trigonometriche, si ottiene come definiscono le funzioni trigonometriche, si ottiene come

risultato un risultato un numero puronumero puro il cui valore numerico e il segno il cui valore numerico e il segno

dipendono dall’ampiezza dell’angolo e dalla funzione che dipendono dall’ampiezza dell’angolo e dalla funzione che

all’angolo risulta associata. Per conoscere l’angolo, nota la all’angolo risulta associata. Per conoscere l’angolo, nota la

funzione, è necessario utilizzare la “funzione, è necessario utilizzare la “funzione inversafunzione inversa”. Sulle ”. Sulle

calcolatrici le funzioni inverse sono indicate con calcolatrici le funzioni inverse sono indicate con sensen--11, , coscos--11, , tantan--11

ACBC=Asen

)ACBC(sen=A 1- A

B C

Acos×AC=ABrisulta cui daAC

AB=Acos

Asen×AC=BCrisulta cui daAC

BC=Asen

A-100=C100=C+A

100=Bma200=C+B+A

A verticenel angolol' eAC ipotenusal' noti Sono

c c

cc

BB CC

AA

Triangoli rettangoli

Risoluzione

( )

A-100=C100=C+A

100=Bma200=C+B+A

AC

BCsen=A cui da

AC

BC=Asen

BC+AB =AC

AC ipotenusal' calcolare possibile è Pitagora di T.il con

BC e AB cateti due i noti Sono

CC

CC

)(1-

22


Risoluzione

BB CC

AA


Risoluzione

γcos×b=arisulta cui dab

a=γcos

γsen

c=brisulta cui da

b

c=γsen

γ-90=α90=γ+α

90=βma180=γ+β+α

)γ(C verticenel angolol' e (c) AB cateto il noti Sono

oo

oo

BB CC

AA

aa

bbcc

ββ

αα

γγ


Quadro generale

C = 100C = 100CC -- AA

AC = AB / cos AAC = AB / cos A

BC = √(ACBC = √(AC2 2 -- ABAB22))

angolo in Cangolo in C

ipotenusaipotenusa

catetocateto

catetocateto

angolo in Aangolo in A

A = 100A = 100CC -- C C

AB = AC x sen CAB = AC x sen C

BC = √(ACBC = √(AC2 2 -- ABAB22))

angolo in Aangolo in A

due catetidue cateti

ipotenusaipotenusa

angolo in Cangolo in C

BC = √(ACBC = √(AC2 2 -- ABAB22))

A = cosA = cos-- 1 1 (AB/AC)(AB/AC)

C = 100C = 100CC -- AA

catetocateto

due angolidue angoli

ipotenusaipotenusa

catetocateto

AB = √(ABAB = √(AB2 2 + BC+ BC22))

A = senA = sen-- 1 1 (BC/AC)(BC/AC)

C = 100C = 100CC -- AA

ipotenusaipotenusa

due angolidue angolidue catetidue cateti

risoluzione risoluzione risoluzione risoluzione risoluzione risoluzione risoluzione risoluzione incognite incognite incognite incognite incognite incognite incognite incognite elementi notielementi notielementi notielementi notielementi notielementi notielementi notielementi noti

AA

BB CC

AA

BB CC

AA

BB CC

AA

BB CC

Risoluzione poligoni di N lati

Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi elementRisolvere un poligono significa determinare tutti i suoi elementi a i a

partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in generalpartire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in generale i e i

lati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi piùlati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi più

semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli, semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli,

mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia

sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per usempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per un n

poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementipoligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi

che si ottengono dalla formula che si ottengono dalla formula

NNee = ( 2 x N = ( 2 x N –– 3 )3 )

Tra questi devono essere noti almeno Tra questi devono essere noti almeno ( N ( N –– 2 ) lati2 ) lati

Somma degli angoli interni in un

poligono di N lati

La somma degli angoli interni in un poligono di N lati si ottienLa somma degli angoli interni in un poligono di N lati si ottiene e

dalla formula:dalla formula:

ΣαΣα = 200= 200cc x ( N x ( N –– 2 )2 )

AA

BB

CC

DD

EE

ΣαΣα = 200= 200cc x ( 5 x ( 5 –– 2 ) = 6002 ) = 600cc

Triangoli non rettangoli

Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario chePer la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che siano siano

noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli.noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli.

Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi,Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi, due due

teoremi:teoremi:

TEOREMA DI CARNOTTEOREMA DI CARNOT

TEOREMA DEI SENITEOREMA DEI SENI

La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è dLa sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di 200i 200C C


Teorema di Carnot

Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questoNoti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questo

teorema permette il calcolo del terzo lato incognitoteorema permette il calcolo del terzo lato incognito

)BCOSBCABBCAB(AC ××××××××××××−−−−++++==== 222

AA

BB

CC


Teorema dei seni

r×=Bsen

CA=

Asen

BC=

Csen

AB2

““Il rapporto fra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è Il rapporto fra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante costante

ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al trianged uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo”olo”

AA

BB

CC


Teorema dei seni

Il T. dei seni permette di calcolare un lato quando siano noti iIl T. dei seni permette di calcolare un lato quando siano noti il l

rispettivo angolo opposto ed una coppia di elementi in relazionerispettivo angolo opposto ed una coppia di elementi in relazione

tra loro. Se sono noti il lato AB e gli angoli nei vertici C e Btra loro. Se sono noti il lato AB e gli angoli nei vertici C e B, è , è

possibile calcolare ACpossibile calcolare AC

Csen

Bsen×AB=ACcui da

Bsen

AC=

Csen

AB

AA

BB

CC


Teorema dei seni

)BC

Asen×AB(sen=Ccui da

Asen

BC=

Csen

AB 1-

Anche gli angoli possono essere calcolati. Se sono noti AB, BC eAnche gli angoli possono essere calcolati. Se sono noti AB, BC e

l’angolo in A è possibile ottenere l’angolo nel vertice Cl’angolo in A è possibile ottenere l’angolo nel vertice C

AA

BB

CC

Asen×AC×AB×=S21

AA

CC

BB

Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, l’area si l’area si

ottiene dalla formulaottiene dalla formula


Area

AA

CC

BBA

bb

hh

BB11

Se nella formula:

Poniamo: b = AB, dal triangolo rettangolo ACB1 risulta:

si ottiene la formula finale:

hbS ××××××××====21

AsenAChcuidaAC

hAsen ××××========

AsenACABS ××××××××××××====21


Area

Se sono notiSe sono noti i tre latii tre lati del triangolo del triangolo l’area si ottiene dalla l’area si ottiene dalla formula formula

di Eronedi Erone


Area con la formula di Erone

AA

CC

BB

SABC = √ SABC = √ [ p x ( p [ p x ( p –– AB ) x ( p AB ) x ( p –– BC ) x ( p BC ) x ( p –– CA )CA ) ]]

in cui: p = ( AB + BC + CA ) / 2in cui: p = ( AB + BC + CA ) / 2

è il semiperimetroè il semiperimetro

Se è noto un solo lato e tutti e tre gli angoli interni l’area sSe è noto un solo lato e tutti e tre gli angoli interni l’area si i

ottiene dalla formulaottiene dalla formula


Area

AA

CC

BB

)( B sen

C sen×A sen×AC×

2

1=S

2

ABC


Risoluzione

AA

CC

BB

( )

A sen×AC×AB×2

1=S

)C+A(-200=B

)BC

A sen×AB(sen =C

A cos×AC×AB×2-AC+AB=BC

A verticenel angolol' e AC ,AB noti Sono

ABC

c

1-

22


Risoluzione

C sen×CB×AC×2

1=S

)C cos×CB×AC×2-CB+AC(=AB

A sen

B sen×BC =AC

)C+B(-200=A

C e B in angoli gli e BC lato il noti Sono

ABC

22

c

AA

CC

BB

Risoluzione dei quadrilateri

Per la risoluzione dei quadrilateri è necessario conoscere almenPer la risoluzione dei quadrilateri è necessario conoscere almeno o

cinque elementi (combinazione di lati, angoli, area).cinque elementi (combinazione di lati, angoli, area).

I metodi di risoluzione più utilizzati, sono:I metodi di risoluzione più utilizzati, sono:

•• divisione del quadrilatero con diagonali in due triangolidivisione del quadrilatero con diagonali in due triangoli

•• divisione del quadrilatero in figure semplici (triangoli rettandivisione del quadrilatero in figure semplici (triangoli rettangoli e goli e

rettangoli) rettangoli)

•• trasformazione del quadrilatero in un triangolotrasformazione del quadrilatero in un triangolo

La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è dLa sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di i

400400CC

Metodi per la risoluzione dei

quadrilateri

Divisione in triangoli

CCBBANGOLIANGOLI

CDCDBCBCABABDISTANZEDISTANZE

ELEMENTI NOTIELEMENTI NOTI

È questo il caso più semplice perchè esistono due possibilità di risoluzione sia con la diagonale AC

che con quella BD. Tracciata la diagonale AC, si risolve come

segue:

Triangolo 1

diagonale AC con Carnot angolo in C1 con i seni

Triangolo 2

angolo C2 per differenza C – C1

lato AD con Carnot angolo in D con i seni

angolo in A per differenza a 400c

area totale come somma delle aree parziali di due triangoli

11111111

22222222

CCCCCCCC

AAAAAAAA

BBBBBBBB

DDDDDDDD

CCCCCCCC

AAAAAAAA

BBBBBBBB

DDDDDDDD

1C

2C

D

A AC

CCAAANGOLIANGOLI

ADADBCBCABABDISTANZEDISTANZE


L’unica diagonale che permette di risolvere il problema è la diagonale BD,

perchè nel triangolo 1 sono noti 3 elementi, mentre nel triangolo 2 gli

elementi noti sono insufficienti

Triangolo 1diagonale BD con Carnot

angolo D1 con i seni

Triangolo 2angolo D2 con i seni

angolo D somma di D1 + D2

angolo B per differenza a 400c

angolo B2 per differenza a 200c

lato CD con Carnot o seni

area totale come somma delle aree parziali di due triangoli


quadrilateri


11111111

22222222

CCCCCCCC

AAAAAAAABBBBBBBB

DDDDDDDD

CCCCCCCC

AAAAAAAABBBBBBBB

DDDDDDDD

1D

B

DB

2D

CD

2B

DDCCAAANGOLIANGOLI

BCBCABABDISTANZEDISTANZE


Anche se sono noti cinque elementi è necessario, come prima cosa, calcolare per differenza l’angolo nel vertice B. Si traccia

successivamente la diagonale AC

B = 400c – (A + C + D)

AC = √(AB2 + BC2 – 2 x AB x BC x cos B)

C1 = sen -1 (AB x sen B / AC)

C2 = C – C1

AD = (AC / sen D) x sen C2

A2 = 200c – (D + C2)

CD = (AC / sen D) x sen A2

S1 = 0.5 x AB x BC x sen B

S2 = 0.5 x AD x DC x sen D

S1 + S2 = St


quadrilateri


AAAAAAAA

AAAAAAAA

11111111

22222222

CCCCCCCC

BBBBBBBB

DDDDDDDD

CCCCCCCC

BBBBBBBB

DDDDDDDD

2C

B

AC

AD

CD

1C

2A


quadrilateri

Divisione in triangoli rettangoli

In questo caso è necessario dividere il quadrilatero

in più triangoli rettangoli, utilizzando nella

risoluzione le funzioni trigonometriche

CCCCCCCC

AAAAAAAA BBBBBBBB

DDDDDDDD

11111111 22222222

33333333

CCCCCCCC

AAAAAAAA BBBBBBBB

DDDDDDDD

rettangolo un e rettangoli triangoli tre di somma come

area

FB + (DH) EF + AE = AB

) C + B + A ( - 400 = D

C + C = C

) CDDH ( sen = C

)2CH - 2CD ( = DH

3 triangolo

DE - CF = CHB - 100 =C

B cos x BC = BFB sen x BC = CF

2 triangolo

A cos x AD= AEA sen x AD= DE

1 triangolo

C

21

1 -2

C1

EEEEEEEE FFFFFFFF

HHHHHHHH

BBAAANGOLIANGOLI

DADACDCDBCBCDISTANZEDISTANZE


1C

2C


quadrilateri

Trasformazione in un triangolo

AA

EE

DD

CC

BB

1D

1C

E

A

B

C

D

DEC-ABEABCD

DEC

ABE

11

C1

C1

C

C

SS=S

E sen x EC x DE x21

=S

E sen x EB x AE x21

=S

CE-BE=BCDE -AE=AD

E sen

D sen x CD =CE

E sen

C sen x CD =DE

E senA sen x AB

=EBE sen

B sen x AB =AE

D - 200=DC - 200=C

) B+ A ( - 200 =E

E in BC e AD prolungano si

) C+B+ A ( -400=D

Per risolvere questo caso è necessario prolungare i due

lati AD e BC trasformando il quadrilatero nel triangolo

ABE di cui sono noti il lato AB e gli angoli in A e B

CCBBAAANGOLIANGOLI

CDCDABABDISTANZEDISTANZE


Area dei quadrilateri

Divisione in due triangoli

Il calcolo della superficie del quadrilatero può essere ricondotIl calcolo della superficie del quadrilatero può essere ricondotto al to al

calcolo della superficie di due triangolicalcolo della superficie di due triangoli

AAAAAAAA

BBBBBBBB

DDDDDDDD

CCCCCCCC11111111

22222222

SSABCDABCD = S= S11 + S+ S22

SS11 = = 0.5 x AD x DC x sen D0.5 x AD x DC x sen D

SS22 = 0.5 x AB x BC x sen B= 0.5 x AB x BC x sen B

Area dei quadrilateri

Formula del camminamento

Se sono noti tre lati adiacenti e gli angoli fra essi compresi èSe sono noti tre lati adiacenti e gli angoli fra essi compresi è

possibile applicare la formula di camminamentopossibile applicare la formula di camminamento

AAAAAAAA

BBBBBBBB

DDDDDDDD

CCCCCCCC

SSSSSSSSABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD = = = = = = = = 0.5 x [0.5 x [0.5 x [0.5 x [0.5 x [0.5 x [0.5 x [0.5 x [ AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C AB x BC x sen B + BC x CD x sen C ––––––––+ AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) + AB x CD x sen ( B + C ) ]]]]]]]]

Coordinate cartesiane piane

Q.3Q.3

Q.4Q.4

XX

Q.1Q.1

Q.2Q.2

YY

00

P (+ ; +)XP

YP

R (+ ; -)

S (- ; -)

T (- ; +)

Coordinate polari piane

O (polo)O (polo)

(OA)(OA)

OAOA

AA

ass

e p

olare

ass

e p

olare

N (0N (0cc))

Si consideri un punto del piano detto Si consideri un punto del piano detto polo o originepolo o origine, ed una retta , ed una retta

comunque orientata passante per tale punto, comunque orientata passante per tale punto, asse polare. .

Rispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono coordinatRispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono coordinate e

polari del punto A, la distanza orizzontale OA e l’Azimut o polari del punto A, la distanza orizzontale OA e l’Azimut o

angolo di direzione orizzontale (OA)angolo di direzione orizzontale (OA)

Passaggio da coordinate polari a

cartesiane

O (polo)O (polo)

(OA)(OA)

OAOA

AAass

e p

olare

ass

e p

olare

N (0N (0cc))YY

XX

A’A’ XXAA

YYAA

Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se:Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se:

le origini dei due sistemi coincidonole origini dei due sistemi coincidono

il semiasse positivo delle Y coincide con l’asse polareil semiasse positivo delle Y coincide con l’asse polare

Passaggio da coordinate polari a

cartesiane

O (polo)O (polo)

(OA)(OA)

OAOA

AA

YY

XX

A’A’ XXAA

YYAA

O (polo)O (polo)

(OA)(OA)

OAOA

AA

YY

XX

YY

XX

A’A’ XXAA

YYAA

Dal triangolo rettangolo OAA’ risulta:

Al variare dell’azimut tra 0c e 400c, le coordinate calcolate

assumono il segno relativo ai quattro quadranti.

)OA(cos×OA=Y:cuidaOA

Y=)OA(cos

)OA(sen×OA=X:cuidaOA

X=)OA(sen

AA

AA

Passaggio da coordinate

cartesiane a polari

O (polo)O (polo)

(OA)(OA)

OAOA

AA

N (0N (0cc))YY

XX

A’A’ XXAA

YYAA

Anche il passaggio da coordinate cartesiane a polari è Anche il passaggio da coordinate cartesiane a polari è possibile. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora possibile. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora mentre per l’azimut, la funzione inversa della tangente.mentre per l’azimut, la funzione inversa della tangente.

)Y

X(tan=)OA()Y+X(=OA

A

A1-2

A

2

A

Come si ottiene il valore dell’azimut

(OA) nel II° quadrante ?

L’inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell’azL’inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell’azimut imut

solo se l’angolo calcolato è inferiore a 100solo se l’angolo calcolato è inferiore a 100cc. Nel II°, III° e IV° . Nel II°, III° e IV°

quadrante per ottenere il valore dell’azimut (OA) si opera nellaquadrante per ottenere il valore dell’azimut (OA) si opera nella

seguente manieraseguente maniera

XXOO

AA

(OA)(OA)

YY

A’A’XXAA

YYAA

200200cc

-- αα

c

A

A- 200 + α -=)Y

X(tan=)OA( 1

Nel II° quadrante risultaNel II° quadrante risulta

OO

AA

(OA)(OA)

YY

A’A’XXAA

YYAA

200200cc

XX

+ + αα

c

A

A1 - 200 + α +=)Y

X(tan=)OA(

Nel III° quadrante risultaNel III° quadrante risulta


(OA) nel III° quadrante ?

c

A

A1 - 400+ α -=)Y

X(tan=)OA(

Nel IV° quadrante risultaNel IV° quadrante risulta

OO

AA

(OA)(OA)

YY

A’A’XXAA

YYAA

XX

400400cc

-- αα


(OA) nel IV° quadrante ?

AA

BB

XX

YY Y’Y’

OO

(AB)(AB)

XXBB

XXAA

YYBB

YYAA

Azimut (AB) e distanza AB tra due punti di coordinate

cartesiane note

A e B sono due punti di coordinate cartesiane note.A e B sono due punti di coordinate cartesiane note.

Si definisce azimut (AB), l’angolo orizzontale destrorso che Si definisce azimut (AB), l’angolo orizzontale destrorso che

il segmento orizzontale AB forma con il sistema di il segmento orizzontale AB forma con il sistema di

riferimento posto nel vertice Ariferimento posto nel vertice A

E l’Azimut (BA) ?

L’azimut (BA) si ottiene nel momento in cui il sistema di L’azimut (BA) si ottiene nel momento in cui il sistema di riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel

vertice A viene posto nell’altro estremo B. Il suo calcolo è vertice A viene posto nell’altro estremo B. Il suo calcolo è semplice nel caso in cui sia già noto l’azimut (AB). Infatti:semplice nel caso in cui sia già noto l’azimut (AB). Infatti:

(BA) = (AB) (BA) = (AB) ± 200± 200cc

(AB)(AB)

Y’Y’

200200cc

(BA)(BA)

AA

BB

(AB)(AB)

Calcolo della distanza orizzontale

tra due punti di coordinate

cartesiane note

AA

BB

XX

YY Y’Y’

OO

ABAB

XXBB

XXAA

YYBB

YYAA

A’A’

La distanza orizzontale AB rappresenta l’ipotenusa del triangoloLa distanza orizzontale AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo

rettangolo AA’B di cui si conoscono i due cateti A’B e AA’ rettangolo AA’B di cui si conoscono i due cateti A’B e AA’

A’B = XA’B = XBB –– XXAA AA’ = YAA’ = YBB –– YYAA

Applicando il T. di Pitagora si ottiene la “Applicando il T. di Pitagora si ottiene la “distanza tra due puntidistanza tra due punti””

AB = AB = √√ [ ( X[ ( XBB –– XXAA ))22 + ( Y+ ( YBB –– YYAA ))22 ]]

( X( XB B –– XXA A ))

( Y( YB B –– YYA A ))

Calcolo dell’Azimut (AB) tra due punti

di coordinate cartesiane note

AA

BB

XX

YY Y’Y’

OO

XXBB

XXAA

YYBB

YYAA

A’A’ ( X( XB B –– XXA A ))

( Y( YB B –– YYA A )) (AB)(AB)

Applicando l’inverso della tangente all’interno del triangolo Applicando l’inverso della tangente all’interno del triangolo

rettangolo AA’B si ottiene per “rettangolo AA’B si ottiene per “l’azimut (AB)l’azimut (AB)””

)Y-Y(

)X-(Xtan=)AB(

AB

AB1-

)Y-Y(

)X-(Xtan=)AB(

AB

AB1- [[

[[

Calcolo dell’Azimut (AB) tra due punti di

coordinate cartesiane note

Anche in questo caso la formula precedente fornisce Anche in questo caso la formula precedente fornisce

direttamente il valore dell’azimut (AB) solo se il punto B si trdirettamente il valore dell’azimut (AB) solo se il punto B si trova ova

nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel

vertice A. Per gli altri tre quadranti risultavertice A. Per gli altri tre quadranti risulta

X’X’

OO

AA

(AB)(AB)

Y’Y’

B’B’


200200cc

-- αα

BB

YY

XX


Con B nel II° quadrante Con B nel II° quadrante

rispetto al sistema posto in A rispetto al sistema posto in A

risultarisulta

c

AB

AB1- 200 + α- =)Y-Y()X-(X

tan=)AB( c

AB

AB1- 200 + α- =)Y-Y()X-(X

tan=)AB( [[

[[

Con B nel III° quadrante rispetto al Con B nel III° quadrante rispetto al

sistema posto in A risultasistema posto in A risulta



X’X’

OO

AA

(AB)(AB)

Y’Y’

B’B’


200200cc

++αα

BB

YY

XX


c

AB

AB1- 200 + α+ =)Y-Y()X-(X

tan=)AB( c

AB

AB1- 200 + α+ =)Y-Y()X-(X

tan=)AB( [[

[[



Con B nel IV° quadrante rispetto al sistema posto Con B nel IV° quadrante rispetto al sistema posto

in A risultain A risulta

c

AB

AB1- 400 + α- =)Y-Y()X-(X

tan=)AB( c

AB

AB1- 400 + α- =)Y-Y()X-(X

tan=)AB( [[

[[

X’X’

OO

AA(AB)(AB)

Y’Y’

B’B’(X(XB B –– XXAA))

200200cc

--αα

BB

YY

XX


Calcolo dell’area di poligoni di cui sono note le coordinate

cartesiane dei vertici (formula di Gauss)

AA

CC

BB

Se sono note le coordinate cartesiane dei vertici di un poligonoSe sono note le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono

l’area si può calcolare applicando la “l’area si può calcolare applicando la “formula di Gaussformula di Gauss””

( ) ( ) ( )[ ]BACACBCBAABC X-X×Y+X-X×Y+X-X×Y×=S21

AA

BB

CC

DD

( ) ( ) ( ) ( )[ ]CABDBCACDBDAABCD X-X×Y+X-X×Y+X-X×Y+X-X×Y×=S21

L’area assume un segno L’area assume un segno

diverso (diverso (++//--) se il ) se il

poligono considerato è poligono considerato è

percorso in senso orario percorso in senso orario

o antiorarioo antiorario

Utilizzo delle cordinate cartesiane per la risoluzione dei

poligoni

AA

CC

BB

Le coordinate cartesiane possono essere utilizzate per risolvereLe coordinate cartesiane possono essere utilizzate per risolvere i i

poligoni. I lati si ottengono con la distanza tra due punti, glipoligoni. I lati si ottengono con la distanza tra due punti, gli angoli angoli

per differenza di azimut e l’area con la formula di Gaussper differenza di azimut e l’area con la formula di Gauss

(AB)(AB)

(AC)(AC)

( ) ( )AB-AC=A

( ) ( )BC-BA=B

( ) ( )CA-CB=C

AB = √ AB = √ [(X[(XBB -- XXAA))22 + (Y+ (YBB –– YYAA))

22]]

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