1. Teorema Fundamental da Trigonometria 1cossen 22 =+

2. Demonstrao ... ) 1 cos sen 1 -1 -1 0 sen cos 3. Continuao... ) 1 cos sen 1 -1 -1 0 sen cos 1 4. Continuao... ) sen cos 1 Utilizando o teorema de Pitgoras h2 = c2 + c2 , temos : 1cossen 22 =+ C M P Q D 5. Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ) Cateto Adjacente CatetoOposto Hipotenusa 6. Continuao ... Cotangente de Secante de Cossecante de Tangente de Cosseno de Seno de Relao no Tringulo Retngulo Ente Trigonomtrico HI CO sen = HI CA cos = CO HI sen 1 seccos = = CA CO tg = CA HI cos 1 sec = = CO CA tg 1 gcot = = 7. Na Circunferncia Trigonomtrica ) cos sen 0 sen cos tg tg 8. Continuao ... ) 0 cotgcotg secante cossec 9. Arcos Notveis 30150 210 330 45135 225 315 60120 240 300 cos sen 0 tg 90 180 270 0/360 10. arco 0 30 45 60 90 180 270 360 rad 0 6 4 3 2 3 2 2 seno 0 2 1 2 2 2 3 1 0 - 1 0 cosseno 1 2 3 2 2 2 1 0 - 1 0 1 tangente cos sen 0 3 3 1 3 - - - 0 - - - 0 Tabela de Entes Trigonomtricos 11. Vamos pensar . . . 12. Que tal fazermos um teste para verificao do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relao ao ngulo , podemos dizer que o sen vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b c b hip .o.c sen == 13. 2) Em relao ao ngulo , podemos dizer que o cos vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b c a hip .a.c cos == 14. 3) Em relao ao ngulo , podemos dizer que a tg vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c a b .a.c .o.c tg == 15. 4) Em relao ao ngulo , podemos dizer que a cotg vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c b a .o.c .a.c gcot == 16. 5) Em relao ao ngulo , podemos dizer que tg .cotg vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1 1 .o.c .a.c . .a.c .o.c gcot.tg = 17. 6) Se a = 3b, podemos dizer ento, que sen2 + cos2 vale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2 ) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2 + cos2 = 1 portanto, 18. 7) Em relao ao ngulo , podemos dizer que sec2 - 1 vale: a) tg2 b) cotg2 c) - 1 d) 0 e) 1 ( ) = = = 2 2 2 2 cos 1 sec cos 1 sec olog, cos 1 sec = = 22 2 2 2 2 2 2 tg1sec cos sen cos cos1 1 cos 1 1sec ( ) = = = 2 2 2 2 2 cos sen tg cos sen tg olog, cos sen tg = =+ 22 22 cos1sen 1cossen = 22 tg1sec 19. 8) Em relao ao ngulo , podemos dizer que cossec2 - 1 vale: a) tg2 b) cotg2 c) - 1 d) 0 e) 1 ( ) = = = 2 2 2 2 sen 1 seccos sen 1 seccos olog, sen 1 seccos = = 22 2 2 2 2 2 2 gcot1seccos sen cos sen sen1 1 sen 1 1seccos ( ) = = = 2 2 2 2 2 sen cos gcot sen cos gcot olog, sen cos gcot = =+ 22 22 sen1cos 1cossen = 22 gcot1seccos 20. 9) Se sen = b/c, ento, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1 + = += cos 1cos .)cos1(. sen cos y cos 1 1.)cos1(.gcoty = =+ 22 22 cos1sen 1cossen += cos 1 1.)cos1(.gcoty ( ) )coscos1(cos. sen 1 y 1cos.)cos1(. sen 1 y 2 + = + = )cos1(. sen 1 y 2 = = 2 sen. sen 1 y c b y seny = = 21. Voltando para a parte terica... 22. Lei dos Senos Seja um tringulo ABC qualquer temos : == Csen c Bsen b Asen a ) ( ^ A ^ C ^ B A B C a c b 23. Lei dos Cossenos Seja um tringulo ABC qualquer temos : += += += Ccosba2bac ouBcosca2cab ouAcoscb2cba 222 222 222 ) ( ^ A ^ C ^ B A B C a c b 24. Continuao ... Curiosidade : Quando um dos ngulos do tringulo reto, por exemplo, = 90, temos : += 90coscb2cba 222 Sabe-se que cos 90 = 0, logo ... 0cb2cba 222 += Temos, portanto ... 222 cba += Teorema de Pitgoras 25. Grficos das funes trigonomtricas sen x y x 0 540 720450 630 360 270 180 -180 -90 90 1 -1 26. Continuao ... cos x y x 0 540 720450 630360270 180-180 -90 90 1 -1 27. Continuao ... tg x y x 0 360 -90 90 180 270 450 540 630 28. Continuao ... y x 0 540 720450 630 360 270 180 -180 -90 90 1 -1 cossec x 29. Continuao ... 0 540 720450 630360270 180-180 -90 90 sec x y x 1 -1 30. Continuao ... cotg x y x 0 360 90 180 270 450 540 630 720 31. TRIGONOMETRIA APLICADA Modelo matemtico que indica ao nmero de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana, t dias aps 1 de janeiro. += )80t( 365 2 sen8,212)t(L Fonte : J.Stewart Clculo vol. I Pg. 34 32. Continuao ... dt 2 t sen)x(S x 0 2 = Fonte : J.Stewart Clculo vol. I Pg. 394 Funo de Fresnel, assim chamada em homenagem ao fsico francs Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus trabalhos em tica. Esta funo foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difrao de ondas de luz de Fresnel, porm recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas. 33. Continuao ... Integrao por Substituio trigonomtrica Caso Radical Substit. Trigonomtrica Transformada Trigonometria no Tringulo Retngulo I 222 .uba sen. b a u = cos.sen1. 2 aa = CA CO tg = II 222 .uba + tg b a u .= sec.1. 2 atga =+ HI CA =cos III 222 . aub sec. b a u = tgaa .1sec. 2 = HI CO =sen Demonstrando o Caso I ... ==== = )sen1.(sensen.sen. 222222 2 2 22 2 22222 aaa b a ba b a bauba === 22 cossen1. aa cos.a C M P Q D 34. Trigonometria Algumas Aplicaes 35. Parte Prtica O exemplo clssico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prdio, sem a necessidade de subir ao terrao, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessrio somente 2 elementos. So eles: uma distncia um ngulo Observe a seguir . . . 36. hd.tg d h tg .a.c .o.c tg = == temos que: portanto: = tg.dh Conhecendo a distncia d que vale 50 metros e o ngulo que vale 30, podemos dizer ento que: metros8675,28h 95773502691,0.50h 30tg.50h tg.dh = = = = 37. Exemplo 1 A inclinao de uma rampa 38. Uma rampa com inclinao constante, (como a que existe em Braslia) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro comeou a subir, e nota que aps ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa est a 2,0 metros de altura em relao ao solo. Ser que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora cientfica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinao em relao ao solo? 39. Como poderamos resolver essa situao? Como sugesto, faremos um desenho do que representa essa situao. Observemos: 6 metros 16,4 metros 2 metros Comprimento total da rampa solo 40. 6 metros 16,4 metros 2 metros Observemos o tringulo retngulo em destaque . . . 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Temos em relao ao ngulo : hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 41. 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 121219512195,0 4,16 2 hip .o.c sen === Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: qual o arco, cujo seno vale 1/2?, a resposta seria dizer que = 30. 42. Em nosso exerccio, chegamos a concluso que: sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ngulo , com o auxlio da calculadora que normalmente utiliza as funes ASIN ou SIN-1 , ento, devemos digitar 0,121951219512 e a opo acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, dever ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7. Encontramos assim, a inclinao da rampa! 43. 2,49 121219512195,0 6 7sen 6 sen o.c hip sen o.c hip.o.chip.sen hip .o.c sen == = = === 6 metros = 7 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Notamos que os tringulos abaixo so semelhantes, portanto, podemos dizer que vlido para ambos Como: Chegamos a concluso que o comprimento total da rampa 49,2 metros 44. Exemplo 2 Mecnica Geral ou Trigonometria? 45. Os conceitos trigonomtricos aparecem com muita freqncia no estudo da Fsica, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Observemos os exemplos a seguir: Em relao ao sistema de foras representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, voc seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ngulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)? 46. Em primeiro lugar, teremos que fazer as projees de 2F nos eixos das abscissas e das ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F e )y(2F . Analogamente, encontraremos as projees de 3F , encontrando os componentes )x(3F e )y(3F . 47. A resultante relativa ao eixo das abscissas )x(R obtida da seguinte maneira: )x(31)x(2)x( FFFR += ===== ===== 60cos.FFFF.60cos F F 60cos. hip a.c cos 45cos.FFFF.45cos F F 45cos. hip a.c cos Como 3)x(3)x(33 3 )x(3 2)x(2)x(22 2 )x(2 === === N20F5,0.4060cos.FF N70F70,0.10045cos.FF totanPor )x(33)x(3 )x(22)x(2 )x(31)x(2)x( FFFR += N70R 202070R )x( )x( = += 48. A resultante relativa ao eixo das abscissas )y(R obtida da seguinte maneira: )y(34)y(2)y( FFFR = ===== ===== 60sen.FFFF.60sen F F 60sen. hip o.c sen 45sen.FFFF.45sen F F 45sen. hip o.c sen Como 3)y(3)y(33 3 )y(3 2)y(2)y(22 2 )y(2 === === N4,34F86,0.4060sen.FF N70F70,0.10045sen.FF totanPor )y(23)y(3 )y(22)y(2 )y(34)y(2)y( FFFR = N6,25R 4,341070R )y( )y( = = 49. Colocando )x(R e )y(R , nos eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente, Percebemos que a figura formada pelas foras um tringulo retngulo, em que sua hipotenusa a Fora Resultante R , )x(R o cateto adjacente a e )y(R o cateto oposto a , ento, vale o teorema de Pitgoras para calcularmos o valor de R . 50. ( ) ( ) N53,74R 36,5555R 36,5555R 36,6554900R 6,2570R RRR cch 2 2 22 2 2 )y( 2 )x( 2 222 = = = += += + = += 51. Para o clculo do ngulo , temos: 3657,0 70 6,25 R R .a.c .o.c tg )x( )y( ==== 3657,0tg = Esse o valor da tangente do ngulo . Para calcularmos o valor do ngulo , temos que encontrar o arctg , ento: == 20 3657,0arctgarctg Conclumos ento que a Resultante N53,74R= e forma um ngulo 20 com o eixo x. 52. Desafio ! 53. Um alpinista muito gil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. No se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a concluso das medidas abaixo mencionadas. Quando chega at a rvore ele percebe que o nico caminho que o levar at o ponto C escalando-a. (a altura da rvore representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade mdia de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13 = 54. Soluo: Resumidamente, temos o tringulo ao lado que representa nosso desafio. )II(y.3h y.60tghhy.60tg y h .a.c .o.c 60tg )I()y20(. 3 3 h )y20(.30tghh)y20(.30tg )y20( h .a.c .o.c 30tg = ==== += +==+ + == 55. metros10y y220yy320y.3)y20( y.3.3)y20(.3y.3)y20(. 3 3 y.3h)II()y20(. 3 3 h)I( = ===+ =+=+ =+= Igualando o h das equaes ( I ) e (II) Como metros17h 10.7,1h y.3h = = = 56. 30 metros 17 metros para subir a rvore 17 metros para descer da rvore Agora com o valor das medidas temos condio de determinar quanto ele percorreu do ponto A at o ponto C, observe: De A at C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros segundos20eutosmin5touutosmin333,5t 60 segundos320 tsegundos320 2,0 64 t V s tst.V t s V == === == = v = 0,2 m/s