Τριγωνομετρία - kglykos.grkglykos.gr/data/documents/Trigonometria-BL-2018-pro_4.pdf ·...

Τριγωνομετρία

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΙΙΙ δδδ ιιι ααα ίίί τττ εεε ρρρ ααα μμμ ααα θθθ ήήή μμμ ααα τττ ααα

6 9 7 . 3 0 0 . 8 8 . 8 8

KKKggglllyyykkkooosss...gggrrr

2 0 / 7 / 2 0 1 8

Κώστας Γλυκός

Άλγεβρα

Κεφάλαιο 3

391 ασκήσεις

και τεχνικές σε 16 σελίδες

εκδόσεις

Καλό πήξιμο

εκδόσεις

ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ τηλ. Οικίας : 210-2610.178 κινητό : 697-300.88.88

1 Εκδόσεις : Καλό Πήξιμο www.kglykos.gr

395. Αν 4 3

,5 2

x

, να βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς

3 4 3, ,

5 3 4

396. Ομοίως αν 1

,02 2

x x

3 3, , 3

2 3

397. Ομοίως αν 2,2

x x

2 1 1, ,

2 2 2

398. Δίνεται 1, 1x x Σ ή Λ

399. Δίνεται 1 1

,2 2

x x Σ ή Λ

400. Δίνεται 1, 0x x Σ ή Λ

401. Αν 2 22 , 3 9 4 ;x a y a x y

36

402. Ν.δ.ο. 1

1

x x

x x

403. 1

1

x x

x x

404. 1 2

1

x x

x x x

Τα πάντα για την

τριγωνομετρία

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών

Τριγωνομετρικές ταυτότητες

2 2 1x x

xx

x

,

xx

x

1x x

Τα παραπάνω χρησιμοποιούνται σε

ασκήσεις : (π.χ.)

Αν 3

,5 2

x

τότε να

βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς

αριθμούς .

1 , 1x x , ,x x

Αν α ακτίνια και μ μοίρες :180

a

0 6

4

3

2

ημω

0

1

2

2

2

3

2

1

συνω

1

3

2

2

2

1

2

0

εφω

0

3

3

1

3

-

σφω

-

3

1 3

3

0

395 έως 409



405. 1 2

1

x x

x x x

406. 2

1 1

x x

x x x

407. 1 1

x x

408.

409. 2 2 2 2

410. Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς :

3( ), ( ), ( ), (2 ), ( ), ( )

2 2 2

,

3( ), ( )

2 2

411. 3

( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), (2 ), (2 )2 2

412. 3 3

( ), ( ), ( ), ( ), ( )2 2 2 2 2

,

3 3( ), ( )

2 2

413. 3

( ), (2 ), ( ), (2 )2

, ( ), ( ), (3 )

414. 21 23 13

(5 ), (4 ), (2 ), ( ), ( ), ( )2 2 2

415. Ν.δ.ο. ισχύουν οι σχέσεις : 2

2 2 2 2

2 2

1, , 1

1 1x x

416. Ν.δ.ο. 1

x x

417. Αν 2 2

2 2, 1

x yy

a

418. Ν.δ.ο. 1

, 2, ,2 2

x x

419. Να αποδείξεις ότι : 2 2

1 11

x

420. 1

421. 2

Να υπολογίσεις : 3

,2

x x

H O

E

Μετατροπή τριγωνομετρικών αριθμών



422. 2

423. 1

1

424. 1 2

1

425. 2 2 2 2

426. 2

2 2

21

427. 1

1

428.

2

2

1 21

2 1

429. Αν 1 3

, ;5 2

x xx x

24 24

125

430. Αν 1 3

,2 2

x x

, να βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς

2 1, ,2

5 5

431. Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ημ120,συν120,εφ210,σφ300,ημ360,εφ240

3 1 3 3, , , ,0, 3

2 2 3 3

432. Να υπολογίσεις : 3 5 5 5

, , ,4 6 3 6

2 3 1, , 3,

2 2 2

433. Αν 5 1

184

, να βρεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 72ο

10 2 518

4

434. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξεις ότι : ,2 2

435. Να υπολογίσεις :

13( ) (2 )

2

17( ) ( )

2

x x x

x x x



1

436. Να υπολογίσεις 3

( ) ( ) ( ) ( )2 2

x x x x

0

437. ήά

(3 ) (7 )2

7(9 )

2 2

x x x

A

x x x

438. ίόό2( 3 1)

4

ίόύύ

439. άύύώ9

2

έύύί

440. έ

441.

3 3( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2,3(2 ) ( )

( ) ( )2

A

ήά

442. ήά(180 ) (540 ) (450 )

(90 ) (810 ) ( 270)

1

443. ίώ 12 2

444. άέ2 2

445. 2

2 2 1a

446. ή675 390 420 675

30 210

447. 3 3

( , ) . . . ( ) 2 2 3 ( )2 2 2

448. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις :

( ) 2 3, ( ) 1 2 , ( ) 2 3 1, ( ) 3 2 52

f x x g x x h x x k x x

449. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : ( ) 2 3, ( ) 3 2, ( ) 2 3f x x g x x h x x

450. Ομοίως : ( ) 2 2 , ( ) 3 , ( ) 2 2 3f x x g x x h x x

Γραφικές παραστάσεις



451. Με μία ματιά να βρεις τα μέγιστα , ελάχιστα , περίοδο των συναρτήσεων :

( ) 2 3 1, ( ) 1 2 , ( ) 2 33 2 3

xf x x g x x h x

2:1, 3, , :3, 1,2 , : 4, 1,4

3f g h

452. Ομοίως : ( ) 3 , ( ) 5 , ( ) 1 2 53 6

xf x g x x v x x

2 2: 4,2,6 , :1, 1, , :3, 1,

3 5f g h

453. Δίνεται συνάρτηση 22 5 1f x x x

Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π

Να βρεις τα σημεία τομής της με τους άξονες

Να λύσεις την εξίσωση : 2

2 22 8 2 20 0f x x f x x

454. Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 , , 0, 0f x a bx g x a b a b x a b , όπου έχουν την

ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο , να βρεις:

α,β

3 4

A f g

Να λύσεις την εξίσωση : 3 2f x g x στο διάστημα 3

,2

455. Δίνεται η συνάρτηση 2 2 ,f x x x

Να βρεις μέγιστη , ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και την περίοδο

Να σχεδιάσεις τη fC

Να βρεις τα σημεία τομής της fC με την ευθεία 5

2y


2 2 3 0f x f x

456. Δίνεται συνάρτηση : , 0,f x x T και fC διέρχεται από το σημείο , 24

A

Να βρεις τη συνάρτηση

Να βρεις μέγιστη και ελάχιστη τιμή



Να σχεδιάσεις τη fC

457. Δίνεται συνάρτηση 1 1

1 1f x x xx x

Να βρεις πεδίο ορισμού

Να απλοποιήσεις τον τύπο της συνάρτησης

Να βρεις πότε η fC βρίσκεται πάνω από την 2, 0,y x

458. Δίνεται συνάρτηση : 2 22

f x x x

Να γίνει fC

Να βρεις μέγιστη , ελάχιστη τιμή και περίοδο

Να βρεις πότε fC βρίσκεται κάτω από 1, 0,y x

459. Δίνεται συνάρτηση :

20 22

75 4

2

x x

f x

x x

Να βρεις πεδίο ορισμού της

Ν.δ.ο. είναι περιοδική με περίοδο 2π


2f x

460. Δίνεται συνάρτηση : 1 x

f xx


Να βρεις συμμετρία fC

Να λύσεις την εξίσωση : f x x

461. Δίνεται συνάρτηση : 2 2 2f x x x

Να παραγοντοποιήσεις τη συνάρτηση

Ν.δ.ο. η fC βρίσκεται πάνω από τον οριζόντιο άξονα

Να βρεις που τέμνει τους άξονες η fC

Ν.δ.ο. είναι άρτια

Ν.δ.ο. είναι περιοδική με περίοδο 2π

Ν.δ.ο. έχει μέγιστο το 4

462. Δίνεται συνάρτηση 23 3 1 1, 0,2

f x x x x

Να βρεις που τέμνει τους άξονες η fC



Αν α η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης , ν.δ.ο.

92

21

171821

2

a a a

A

a a a

463. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x

Να βρεις πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών της

Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή

Να λύσεις την εξίσωση : 2 23f x x x

Ν.δ.ο. είναι ανεξάρτητη του x η ποσότητα :

2 2

3 98 7

2 2

13

2

f x f x f x f x

A

f x f x

464. Δίνεται συνάρτηση : 1

x xf x

x


Ν.δ.ο. 1

1f xx

Ν.δ.ο. η fC παρουσιάζει συμμετρία ως προς τον κατακόρυφο άξονα

Ν.δ.ο. 4 1

2 2

kf x f x


f x

465. Να λυθούν οι εξισώσεις : 3 2

, , 12 2

x x

466. 24 1 0x

467. 24 3 0x

468. 8 2 2 94

469. 4 3 33

2x k

470. 22 2 2 1 2 0x x

52 , 2

6 6x k x k

2

2

x a

x

x

2

x a

x

x

x

x

x

Τριγωνομετρικές εξισώσεις



471. 2 24 3 4x x

32 , 2

2 2x k x k

472. 0, 0,2x x x

3 7,

4 4x x

473. 1

3 , 0,22

x x

474. 7

475. 4x x

476. x x

477. 4

4

478. 5

2

5

479. 3

480. 6

481. 1

2

3

2

482. 3

483. 3 2 02 3

x

484. 2 3 2 1 0x x

485. 3 0x x

,2 4

kx k x

486. 3 0x x

,4 2 8

kx k x

487. 04 6

x x

488. 2 5 06

x x

489. 22 1 3x x

490. 23 4 3x x

491. 4 4 1

2x x

Ανωμαλίες σε τριγωνομετρικές εξισώσεις :

ΤΥΠΟΙ ΑΛΛΑΓΗΣ με τετράγωνο : 2 21x x ,

2 21x x ,

1x

x

,

1x

x

Χωρίς τετράγωνο :

,2 2

x x x x

,2 2

x x x x

Με - :

,x x x x

( ), ( )x x x x



492. 2 2x x x

32 , 2 , 2

2 4 4x k x k x k

493. 32 x x

3 5, 2 , ,

4 4 4x k x k

494. 2 2 2 0, 2 ,4x x

17 19 25 27, , ,

8 8 8 8x x x x

495. 2 2 1x x x x

52 , 2 , 2

6 6x k x k x k

496. 2

11 x

x

,4

x k x k

497. 2 1x x

x k

498. 3 1x x

4 8

kx

499. 1x x

2 , 22

x k x k

500. x x

4x k

501. 2 2x x

2 8

kx

502. 1x x x x

2 , 22

x k x k

503. 2 3 21 x x x x

2x k

504. 3 22 2 1x x x

32 , 2 , 2

4 4x k x k x k



505. 3 22 1 2x x x

3, 2 , 2

2 4 4x k x k x k

506. 1x x x x

507. 2 21 2 x x x x

2 ,2 4

x k x k

508. ίί3

2 6

kx

509. ί

2 , 22

x k x k

510. x k

511. 3

5,

12 2 12

kx k x

512. 5

2

42 ,

11 11x k x k

513. 5

2

2x k

514. x k a

515.

52 , 2

6 6x k x k

516. 5

2 , 26 6

x k x k

517.

518. ύί 25

8 28,

30 30x x

519.



5

kx

520. 3

521. 522.

2 2 5, ,

3 18 4 3 18x k x k x k

523.

2 ,2

x k x k

524.

4 8

kx

525. 3

3x k

526. Έστω η εξίσωση 1x x x , να βρεις πότε ορίζεται η εξίσωση αυτή .Να λύσεις για 0,3x

2 , 0, ,22

x k x

527. Το βάθος νερού σε λιμάνι κατά της διάρκειας της ημέρας δίνεται από τύπο : ( ) 35 106

th t

σε μέτρα

0 24t , να βρεις ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 40 μέτρα , ποιο το μέγιστο και ποιο το

ελάχιστο βάθος του νερού .Ποια ώρα της ημέρας το νερό έχει το μέγιστο βάθος

1,13,5,17,max 45,min 25, 3,15t t

ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

514. 3 3

, 1, 1,2 3

x x x x

515. 1 2 0,2 0, 2 0, 2 1 0x x x x

516. 3 1 0, 3 3 0, 2 6 0x x x

517. 1 2 0, 3 3 1 0x x x x

518. 1

1 1 0xx

519. 2 2 20, 2 0, 3 0x x x x

520. 2 2 22 1 0, 3 2 0, 4 3 0x x x x x x



521. 2 2 1x x

x k

522. 2 1 3 1

, , 1, 32 2 3

x xx x

523. 3 0, 3 1 0,1 0, 6 2 0x x x x

524. 3 1 2 0x x

525. 2 2 22 2 0, 1 0, 1 0x x x

526. 2 21 2 1 2 0x x

527. 2 43 0,4 1 0,2 1 0x x x

528. 2 0, 3 2 0, 3 4 0x x x x x x

529. 3 5 , 2 , 5 05

x x x x x x

530. 2

1, , 26 4 3

xx x x x

x

531. 2

0, 2 0, 1x

x x x xx

532. 2 2 22 2 0,2 5 0,3 2 5 2 0x x x x x x

533. 2 ,2 3 2 2 , 1x x x x x x x x x

534. 2 2 2 21 , 2 2 0, 2x x x x x x x x

535. Να μελετήσεις της τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς περίοδο , άρτια και περιττή .

536. Να σχεδιάσεις ( ) 3f x x σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και την ίδια σε πλάτος 2π .

537. Αν ( ) 2 12

xf x να βρεις : μέγιστο , ελάχιστο

,περίοδο και γραφική παράσταση

3, 1,4

538. Να μελετήσεις τη συνάρτηση ( ) 2 2 1f x x

539. Να βρεις τη χρονική στιγμή όπου η συνάρτηση 1

( ) 34

x t t παίρνει την τιμή 1/8

Άρτια συμμετρία χχ’

Περιττή συμμετρία Αρχή των αξόνων

Δύσκολες



5,

18 18

540. Να βρεις τα εύρος της συνάρτησης y=3ημ2t

6

541. Η θερμοκρασία σε πλανήτη t ώρες μετά τα μεσάνυχτα

δίνεται από τύπο ( ) , 0,2412

tt t

.Να βρεις

το κ αν στις 8 το πρωί η θερμοκρασία είναι 5 3 .Πότε έχει ελάχιστη θερμοκρασία ο πλανήτης και ποια

η μέγιστη θερμοκρασία του .

min max10, 18, 6k t t

542. Να λυθεί η εξίσωση : 2 2 1 0, 0,2x x . Να παραστήσεις τη λύση σε τριγωνομετρικό κύκλο

και να βρεις το είδος και το εμβαδό του σχήματος που δημιουργείται .

2

2E

543. Αν ( ) 2 2 13

f x x

, να βρεις πότε η f παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή .

544. Να βρεις για ποιο χ η ποσότητα 3 ,0 22

x x

έχει τη μέγιστη τιμή .

545. Δίνεται συνάρτηση 2

, 03

xf x a b a , η οποία έχει μέγιστο το 3 και η fC τέμνει τον

κατακόρυφο άξονα στο 1

Να βρεις α,β

Να βρεις που τέμνει η fC τους άξονες

Ν.δ.ο. 2

2 31 1 4

4f x f x

Να λύσεις την εξίσωση : 6 3 , 0,f x f x x

546. Δίνονται οι συναρτήσεις : 2 , 24 8

f x x g x x

Ν.δ.ο. οι συναρτήσεις έχουν την ίδια περίοδο

Να βρεις τα σημεία τομής των fC , gC

Ν.δ.ο. 3

02 4 4

f f f f

Να υπολογίσεις : 2 2

16f x g x


f x a x b

, όπου η fC διέρχεται από , 1 , ,14 4

A B

Περιοδική ( ) ( )f x T f x

Άρτια ( ) ( )f x f x

Περιττή ( ) ( )f f x



Να βρεις τα α,β

Να βρεις μέγιστη και ελάχιστη τιμή και περίοδο

Να γίνει η fC

Να λύσεις : 2 24

f x

Να υπολογίσεις : 3 5 7 9

4 4 4 4 4f f f f f

548. Δίνεται συνάρτηση 2 2f x x x

Ν.δ.ο. είναι περιοδική

Ν.δ.ο. κανένα σημείο της fC δεν βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα

Να βρεις τα σημεία της fC στο 0, με τεταγμένη 2

Να λύσεις : 2

f x f x

549. Δίνεται συνάρτηση 2 2 3 2f x x x x

Ν.δ.ο. είναι περιοδική

Ν.δ.ο. η fC έχει ελάχιστο το 1

8

Να βρεις τα κοινά σημεία της fC με τον οριζόντιο άξονα

Να βρεις τα κοινά σημεία της fC με τη , 2 3gC g x x

Να λύσεις : , 0,f x f x x


11

xf x

x


Να γίνει η fC

Να υπολογίσεις 2 2331

2x x

Να λύσεις την εξίσωση : 22 1 0f x x

551. Το βάθος του νερού σε μέτρα κάτω από γέφυρα της Χαλκίδας δίνεται από τη συνάρτηση :

20 4 , 0,243

tf t t

σε ώρες .

Να βρεις περίοδο συνάρτησης

Να βρεις μέγιστο και ελάχιστο βάθος νερού και σε ποια ώρα

Αν το ύψος της γέφυρας από πυθμένα θάλασσας είναι 30μ , να εξετάσεις αν ένα σκάφος ύψους

8μ από την επιφάνεια της θάλασσας μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα στις 12 το

μεσημέρι

Να βρεις το βάθος του νερού 1πμ και 5μμ . Ποιες άλλες ώρες της ημέρας το νερό θα έχει το ίδιο

βάθος



552. Οι μηνιαίες πωλήσεις προιόντος σε χιλιάδες κομμάτια δίνονται από τύπο : ( ) 75 506

tx t

, όπου

to χρόνος σε μήνες .

Να βρεις σε πόσους μήνες θα έχω 100000 πωλήσεις .

Να βρεις τις μέγιστες πωλήσεις .

Να βρεις το μήνα με τις μέγιστες πωλήσεις .

1,5,max 125000, 3t t

553. Αν 1 3

,5 2

x x

, να υπολογίσεις την παράσταση : x x

x x

554. Αν 1

,2 2

x x

, να βρεις το συνχ

555. Ν.δ.ο. 2 2 2 2

556. Ν.δ.ο. 1

1

557. Ν.δ.ο. 1 2

1

558. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης : 2 2

2 2a b

559. Να υπολογίσεις

13(5 ) (10 )

2

17(21 ) ( )

2

x x x

x x x

1

560. Να βρεις μέγιστο , ελάχιστο και περίοδο με μία ματιά στις συναρτήσεις :

( ) 2 3 1, ( ) 1 2 , ( ) 3 (3 1)2 2

xf x x g x h x x

2 2:3, 1, , :3, 1,4 , : 4,2,

3 3f g h

561. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : 2 3 1, 1 22 2

xy x y

ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

562. 2 2 1 06

x

,6 2

x k x k

563. 3 2 03 3

x



2x k

564. 2 05 5

x

,4 20

x k x k

565. 04 6

x x

566. 0x x

567. 2 0x x

568. 2 0x x

569. 2

11x

x

570. 2 2x x x

571. 23 4 3x x

572. 2 3 0x x x

573. 22 3 3 , 90,270x x x

574. x x

575. 32 x x

576. 26 5x x

577. 24 (2 2 3) 3 0x x

578. 02 2

x x

579. 02 3

x x

580. 1

(1 ) 1 0xx

581. 2 3 0,x x x

582. 4 4 1

2x x

583. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις : 3 3x x x x

584. 3x x

585. 4 4x x x

586. 33 3

x x



587. 2 2x x x x

588. 3 3x x x

589. 2 25 7

18 9x x

590. 2 3

2 02 2 2

x x

591. Να βρεις τη σχέση των α,β αν γνωρίζεις ότι οι συναρτήσεις έχουν την ίδια περίοδο :

( ) , ( )f x ax g x bx

592. Να βρεις τις τιμές του χ ώστε x x

593. Να λυθεί η εξίσωση : 22 2 2 1 2 0x x

594. Να συγκρίνεις 130, 140& 210, 220

595. Δίνεται η συνάρτηση 5

( ) 2 32

f x a x

με μέγιστη τιμή το 7

2 . Να βρεις τη γωνία α .

596. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α<Β<Γ=3Α , ισχύει 3 0 , να βρεις το είδος του τριγώνου ως προς

τις γωνίες του και ν.δ.ο. 1 3

2 2

597. Υπολόγισε : 5 5

12 12 12 12

1

2

598. Υπολόγισε : 165 15 165 15

1


2 2 2 2

a

600. Υπολόγισε : 65 25 25 65

Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών

Μετατροπή τριγωνομετρικών αριθμών

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

1

a ba b

a b

1

a ba b

a b



1

601. Ν.δ.ο. 24 4

602. Ν.δ.ο. 2 2

603. Υπολόγισε : 10202010

11191119

3

604. Ν.δ.ο. )()(1

22

22

605. Αν 1)( , να αποδείξεις ότι : 0)2(

606. Να λύσεις την εξίσωση : 2 34 4

x x

607. Ν.δ.ο.

2

608. Αν 0 2

609. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης : 33 12 57 12

2

2

610. Ν.δ.ο. 45

611. Ν.δ.ο. 2 2

2 21

612. Ν.δ.ο. 120 240 0

613. Ν.δ.ο. ( ) ( )

614. Ν.δ.ο. 4

615. Ν.δ.ο. x y x y x x x x

616. Δίνεται 1

, ;4 3

x y x y

617. Δίνεται 2

60, ;5

x y y x



618. Δίνονται , ;x y k x y m x y

619. Αν a b a b , να αποδείξεις ότι : 22 a b a b

620. Ν.δ.ο. 45 45 45 45x y x y x y

621. Ν.δ.ο. 2 2 1a b a b a b

622. Αν 90a b c , να αποδείξεις ότι : 1a b a c b c

623. Αν 90a b c , να αποδείξεις ότι : a b c b c

624. Να λυθεί η εξίσωση : 2 34 4

x x

625. Ν.δ.ο. 3 3

2

626. Ν.δ.ο. 2 2

2 2

23

1 2

627. Αν 3 , να λυθεί στο διάστημα [0,2π] η εξίσωση : 2x x

628. Ν.δ.ο.


24 4

1


2

2

631. Υπολόγισε : 22 15 1

3

2

632. Υπολόγισε : 2

2 22,5

1 22,5

1

Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλασίου τόξου

2

2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

1 2

aa

aa

aa

a

2 2

2

2

2

2 2

2

2 2 1

2 1 2

22

1

a a a

a a a

a a

a a

aa

a



633. Ν.δ.ο. 2

1 2

634. Ν.δ.ο. 22 2 2

635. Ν.δ.ο.

2

2

2

2

636. Ν.δ.ο. 21

2 2

637. Ν.δ.ο. 1 2

2


639. Αν 1

, 2 , 2 , 2 ;3 2

4 2 7 4 2, ,

9 9 7

640. Ν.δ.ο. 2

1 2

xx

x

641. Ν.δ.ο. 21 2

1 2

xx

x

642. Ν.δ.ο. 4 44 4 8

643. Ν.δ.ο. 1 2 2

1 2 2

644. Ν.δ.ο. 1 4 2

24 2

645. Ν.δ.ο. 2

1 2 1 2

646. Ν.δ.ο. 1 2

1 1 2

647. Να λυθεί η εξίσωση : 2 4 5 0x x

648. Να λυθεί η εξίσωση : 22x x

649. Να λυθεί η εξίσωση : 2 2x x

650. Να λυθεί η εξίσωση : 2 12

651. Να λύσεις την εξίσωση : 2 2 1 0




xx


xx

654. Ν.δ.ο. 2 24 4

655. Ν.δ.ο. 1

22

656. Να βρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : 12

: ,02 13 2

657. Να λυθεί η εξίσωση : 2

2

658. Δίνεται συνάρτηση 3 3 ,f x x x x x x

Ν.δ.ο. 1

22

f x x

Ν.δ.ο. η παράσταση 2 2 24 2 8

2 4

x xf x x f

έχει σταθερή

τιμή

Ν.δ.ο. 2 2 12

4 4 2f x f y f x f y

Να λύσεις την εξίσωση : 3 32 3 1f x x x x x

659. Δίνεται συνάρτηση 3 ,f x x x x

Ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π

Ν.δ.ο. 23

f x x

Να σχεδιάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων : , , 2f gC C g x x

Να λύσεις την εξίσωση : 3 1x x

Επαναληπτικές δύσκολες



Ν.δ.ο. 2 2 22

f x f x f x


1 2

xf x

x

Να βρεις το fA

Ν.δ.ο. f x x

Αν 2 25 ;3 6 3 6

f x f x f x f x

Αν 3 3

, 2 ;4 2

f x x x

661. Δίνεται συνάρτηση ,3 3

f x x x x

Ν.δ.ο. f x x

Να λύσει την εξίσωση : 2 52 1

2f x f x

Να βρεις την περίοδο της 2g x f x

Να σχεδιάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων , , 0,2f gC C x

Ν.δ.ο.

2

22

1

f xx

f x

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ,02

A x x

, ν.δ.ο.

f A f

2 2

f

662. Αν εφα,εφβ οι ρίζες της εξίσωσης : 2 3 3 2 3 0 ;x x a b

663. Να λύσεις το σύστημα : 3

41

4

x y

x y

664. Να λύσεις την εξίσωση : 26

665. Ν.δ.ο. 5 3 2 5 2 3

666. 1 2

4 2

667. Να λυθεί η εξίσωση : 2 2 0x x



668. Ποιο το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όπου : 21 2 02

A

669. Ποιο το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όπου : 2 22 1 1 22 2

A B

670. Να λυθεί η εξίσωση : 2 3x x

671. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :

90

672. Ν.δ.ο .σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ : 2

673. Ν.δ.ο. 22 2

2 2 2

x x x

x x

674. Ν.δ.ο. 2 4 5 1

12 12 16

675. Ν.δ.ο. 43 4 2

3 4 2 2

676. Να λύσεις εξίσωση : 2 2x x

677. Να λύσεις εξίσωση : 2 3x x

678. Να λύσεις την εξίσωση : 12

xx x

679. Ν.δ.ο. 1 3

410 10

680. Να λύσεις την εξίσωση : 8 2x x x

Τριγωνομετρία - kglykos.grkglykos.gr/data/documents/Trigonometria-BL-2018-pro_4.pdf ·...

Documents

Transcript of Τριγωνομετρία - kglykos.grkglykos.gr/data/documents/Trigonometria-BL-2018-pro_4.pdf ·...