Transformaty. Kodowanie transformujace˛...Transformata Z ciagu˛ ff ngjest uogólnieniem DFT i dana...

Transformaty. Kodowanietransformujące

Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10

Filip Zagórski

10 maja 2009

Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące

Szeregi Fouriera

Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako

f (t) = a0 +∞∑

n=1

an cos nω0t +∞∑

i=1

bn sin nω0t =∞∑

n=−∞

cneinω0t

gdzie ω0 = 2πT i cn =1T

∫ T0 f (t)e

−inω0t dt .

Co daje reprezentacja Fouriera?

Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.


Szeregi Fouriera


f (t) = a0 +∞∑

n=1


i=1


n=−∞

cneinω0t


∫ T0 f (t)e

−inω0t dt .

Co daje reprezentacja Fouriera?Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.

Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.


Szeregi Fouriera


f (t) = a0 +∞∑

n=1


i=1


n=−∞

cneinω0t


∫ T0 f (t)e

−inω0t dt .

Co daje reprezentacja Fouriera?Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.


Transformata Fouriera

Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).

Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =

∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )

przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera

cn =1T

∫ T/2−T/2

fP(t)e−inω0t dt

Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy

fP(t) =∞∑

n=−∞

C(n,T )T

ein∆ωt dt



Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =


przyjmujemy f (t) = 0.

fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera

cn =1T

∫ T/2−T/2

fP(t)e−inω0t dt


fP(t) =∞∑

n=−∞

C(n,T )T

ein∆ωt dt



Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =


przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera

cn =1T

∫ T/2−T/2

fP(t)e−inω0t dt


fP(t) =∞∑

n=−∞

C(n,T )T

ein∆ωt dt



Aby odtworzyć f (t) obliczamy

limT→∞,∆ω→0

∫ T/2−T/2

fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞

f (t)e−iωt dt

Transformatą Fouriera nazywamy równanie

F (ω) =∫ ∞−∞

f (t)e−iωt dt

Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω)eiωt dω





∫ T/2−T/2


f (t)e−iωt dt


F (ω) =∫ ∞−∞

f (t)e−iωt dt

Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.

Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω)eiωt dω





∫ T/2−T/2


f (t)e−iωt dt


F (ω) =∫ ∞−∞

f (t)e−iωt dt

Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω)eiωt dω


Dyskretna transformacja Fouriera

Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcjiciągłych w czasie a w kompresji mamy do czynieniaz ciągiem wartości (próbkowanie).

Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T .Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako

Fk =1T

∫ T0

f (t)N−1∑n=0

δ(t − nT/N)eikω0t dt

=1T

N−1∑n=0

f (nT/N)ei2πkn/N



Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcjiciągłych w czasie a w kompresji mamy do czynieniaz ciągiem wartości (próbkowanie).Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T .Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako

Fk =1T

∫ T0

f (t)N−1∑n=0

δ(t − nT/N)eikω0t dt

=1T

N−1∑n=0

f (nT/N)ei2πkn/N



Przyjmując T = 1 i fn = f (n/N) otrzymamywspółczynniki dyskretnego szeregu Fouriera

Fk =N−1∑n=0

fnei2πkn/N

Przeprowadzając odpowiednie przekształceniaotrzymamy

fn =1N

N−1∑k=0

Fkei2πkn/N


Transformata Z

Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.

Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera

F (ω) =∞∑

n=−∞

fneiωnT ,

gdzie fn = f (nT ).Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem

F (z) =∞∑

n=−∞

fnz−n

gdzie z = eσT +iωT .


Transformata Z

Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera

F (ω) =∞∑

n=−∞

fneiωnT ,

gdzie fn = f (nT ).

Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem

F (z) =∞∑

n=−∞

fnz−n

gdzie z = eσT +iωT .


Transformata Z

Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera

F (ω) =∞∑

n=−∞

fneiωnT ,

gdzie fn = f (nT ).Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem

F (z) =∞∑

n=−∞

fnz−n

gdzie z = eσT +iωT .Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące

Kodowanie transformujące - wprowadzenie

Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.

Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki

1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją

bezstratną.

Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.



Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki


bezstratną.





1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.

2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją

bezstratną.





1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.

3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją

bezstratną.





1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.

4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresjąbezstratną.






bezstratną.



Przykład

Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)

Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie

θ = Az, gdzie z =[

xy

]odpowiada parze

wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci

A =[

cosφ sinφ− sinφ cosφ

]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.


Przykład

Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .

Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie

θ = Az, gdzie z =[

xy

]odpowiada parze


A =[




Przykład

Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie

θ = Az, gdzie z =[

xy

]odpowiada parze


A =[




PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)

Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy

A =[

cosφ − sinφsinφ cosφ

]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)


PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.

Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy

A =[


]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)


PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy

A =[


]

Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)


PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy

A =[


]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)


Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób

θj =N−1∑i=0

xiaj,i

Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego

xj =N−1∑i=0

θibj,i

Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).



θj =N−1∑i=0

xiaj,i


xj =N−1∑i=0

θibj,i

Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).

Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).



θj =N−1∑i=0

xiaj,i


xj =N−1∑i=0

θibj,i

Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).


Przekształcenie Karhunena-Loevego

Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.

Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać

[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]

Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).



Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać







Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.

Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).


PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.

Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego

R =[

RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)

]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy

postać V1 =[αα

]oraz V2 =

[β−β

], gdzie α, β są

odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/

√2.

Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.


PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego

R =[


]

Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy

postać V1 =[αα

]oraz V2 =

[β−β



√2.




R =[



postać V1 =[αα

]oraz V2 =

[β−β


odpowiednimi stałymi.

Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/

√2.




R =[



postać V1 =[αα

]oraz V2 =

[β−β



√2.



Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)

Macierz przekształcenia N × N

[C]i,j =

√

1N cos

(2j+1)iπ2N dla i = 0√

2N cos

(2j+1)iπ2N dla i 6= 0

Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.




[C]i,j =

√

1N cos

(2j+1)iπ2N dla i = 0√

2N cos

(2j+1)iπ2N dla i 6= 0

Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.

Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.




[C]i,j =

√

1N cos

(2j+1)iπ2N dla i = 0√

2N cos

(2j+1)iπ2N dla i 6= 0

Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.

Używana do obrazów i dźwięków.




[C]i,j =

√

1N cos

(2j+1)iπ2N dla i = 0√

2N cos

(2j+1)iπ2N dla i 6= 0

Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.


Baza DCT

(numery odpowiadają wierszom macierzyprzekształcenia)


Macierze bazy DCT


Porównanie DFT i DCT

DFT:

DCT:


Dyskretne przekształcenie sinusowe


[S]i,j =

√2

N + 1sin

π(i + 1)(j + 1)N + 1

Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]

jest mały.

Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.


Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda

Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:

H2N =[

HN HNHN −HN

]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).

Bardzo proste do uzyskania i implementacji.Minimalizuje ilość obliczeń.




H2N =[

HN HNHN −HN


Bardzo proste do uzyskania i implementacji.

Minimalizuje ilość obliczeń.




H2N =[

HN HNHN −HN


Bardzo proste do uzyskania i implementacji.Minimalizuje ilość obliczeń.


Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG

Zalecaną transformacją jest DCT.

Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.



Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].

Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.



Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.

Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.



Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.

Stosujemy kwantyzację jednolitą.



Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.


Algorytm JPEG – kolejność kodowania


Zastosowanie do kompresji dźwięków

Stosowane w MPEG Layer III.

Kodowanie oparte na DCT i DST.


Zastosowanie do kompresji dźwięków

Stosowane w MPEG Layer III.Kodowanie oparte na DCT i DST.


Transformaty. Kodowanie transformujace˛...Transformata Z ciagu˛ ff ngjest uogólnieniem DFT i dana...

Documents

Transcript of Transformaty. Kodowanie transformujace˛...Transformata Z ciagu˛ ff ngjest uogólnieniem DFT i dana...