: Variáveis padronizadas Z t = ( Z (1) Z (1) (2) Z(1) Z(2) Z · YX Y, X Y V Corr ( ) ......
25
Exemplo 1: Variáveis padronizadas Z t = ( Z 1 (1) , Z 2 (1) , Z 1 (2) , Z 2 (2) ) Z (1) = Z 1 (1) Z (2) = Z 1 (2) Z 2 (1) Z 2 (2) Matriz de correlações: 22 21 12 11 Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ 1.0 0.4 0.5 0.6 0.4 1.0 0.3 0.4 0.5 0.3 1.0 0.2 0.6 0.4 0.2 1.0 De onde se obtém: 0681 . 1 2229 . 0 2229 . 0 0681 . 1 1/2 11 Ρ 0417 . 1 2083 . 0 2083 . 0 0417 . 1 22 1 Ρ 1096 . 0 2178 . 0 2178 . 0 4371 . 0 1/2 11 21 1 22 12 1/2 11 Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Com autovalores: 0.5458 e 0.0009, e, cujo primeiro autovetor é: 4466 . 0 8947 . 0 1 e . Assim, o vetor de coeficientes da 1 a variável canônica é dado por: 2776 . 0 8561 . 0 4466 . 0 8947 . 0 0681 . 1 2229 . 10 2229 . 0 0681 . 1 1 1/2 11 1 e Ρ a . Desta forma, a primeira variável canônica é: ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 2776 . 0 8561 . 0 Z Z U
Transcript of : Variáveis padronizadas Z t = ( Z (1) Z (1) (2) Z(1) Z(2) Z · YX Y, X Y V Corr ( ) ......
Exemplo 1: Variáveis padronizadas Z t = ( Z1
(1), Z2
(1), Z1
(2), Z2
(2) )
Z(1)
= Z1
(1)
Z(2)
= Z1
(2)
Z2(1)
Z2(2)
Matriz de correlações:
2221
1211
ΡΡ
ΡΡΡ
1.0 0.4 0.5 0.6
0.4 1.0 0.3 0.4
0.5 0.3 1.0 0.2
0.6 0.4 0.2 1.0
De onde se obtém:
0681.12229.0
2229.00681.11/211Ρ
0417.12083.0
2083.00417.122
1Ρ
1096.02178.0
2178.04371.01/21121
12212
1/211 ΡΡΡΡΡ
Com autovalores: 0.5458 e 0.0009,
e, cujo primeiro autovetor é:
4466.0
8947.01e .
Assim, o vetor de coeficientes da 1a variável canônica é dado por:
2776.0
8561.0
4466.0
8947.0
0681.12229.10
2229.00681.11
1/2111 eΡa .
Desta forma, a primeira variável canônica é:
)1(
2)1(
11 2776.08561.0 ZZU
Para 11/2
221 fΡb temos que:
11/2
11211/2
221 eΡΡΡf
Substituindo 1f em 1b e, considerando que 11/2
111 eΡa , tenos
1211
221211/2
221/2
221 aΡΡaΡΡΡb
Fazendo as contas:
5443.0
4026.01b .
Como 1)( 1 122t1 bΡbVVar
e como: 5460.05443.0
4026.05443.04026.0
22Ρ ,
vamos padronizar 1b fazendo:
7366.0
5448.0
5443.0
4026.0
5460.0
11b .
Consequentemente:
)2(
2)2(
11 7366.05448.0 ZZV
Finalmente, as variáveis canônicas são dadas por:
)2(2
)2(11
)1(2
)1(11
7366.05448.0
2776.08561.0
ZZV
ZZU
Cuja correlação é: 1* 7388.05458.0),( 11 VUCorr .
Desenvolvimento Matricial
Seja o vetor de variáveis X , de dimensão )( qp , dividido em dois
grupos e, com matriz de covariâncias XΣ .
(2)
(1)
X
XX e
2221
1211
XΣΣ
ΣΣXΣ )(Cov
Então, os p pares de variáveis canônicas são definidos por:
(2)
(1)
XBV
XAU ,
em que A e B são as matrizes cujas linhas são formadas pelos
coeficientes das combinações lineares que definem as variáveis canônicas.
Como a k-ésima combinação linear tem coeficientes
k
1/2
11k ePa , pk ,,2,1 ,
sendo ke o k-ésimo autovetor de 1/2
1121
1
2212
1/2
11 ΡΡΡΡΡ
, escrevendo os
p autovetores como colunas de uma matriz E , temos:
p21 e||e|eE ,
logo, t
p21
1/2
11 Aa||a|aEP .
Portanto, temos 1/2
11
t
1/2
11
t
p
t
2
t
1
t1/2
11 PE
P
e
e
e
EPA
.
Da mesma forma 1/2
22
t
1/2
22
t
p
t
2
t
1
PF
P
f
f
f
B
,
em que kf , pk ,,2,1 , são autovetores de 1/2
2212
1
1121
1/2
22 ΡΡΡΡΡ
.
Portanto, temos: 1/2
11
tPEA
e 1/2
22
tPFB
.
Das relações acima, definindo
V
UY e
B0
0AC , as
variáveis canônicas podem se escritas por:
(2)
(1)
(2)
(1)
XB
XA
X
X
B0
0A
V
UY ,
ou seja, XCY
Nessa representação, fica fácil calcular as correlações das variáveis
canônicas Y com as variáveis originais X .
)(),( XCXCXΣYX CovCov
2221
1211
XYXΣΣ
ΣΣ
B0
0AΣCΣ
(2)XV,
(1)XV,
(2)XU,(1)XU,
2221
1211
YX ΣΣ
ΣΣ
ΣBΣB
ΣAΣAΣ
Vamos definir as matrizes diagonais 1/2
11V e 1/2
22V , cujos elementos
são dados pelas raízes quadradas das diagonais de 11Σ e 22Σ , ou seja,
pelos desvios padrões das variáveis de (1)
X e (2)
X .
Desta forma, fazendo
1/2
22
1/2
111/2
XV0
0VV e como, IVY ,
temos que IV1/2
Y e,
1/2
XYX
1/2
YYX VΣVXY,P )(Corr
1/2
22
1/2
11
2221
1211
YXV0
0V
ΣBΣB
ΣAΣAP
1/2
2222
1/2
1121
1/2
2212
1/2
1111
YXVΣBVΣB
VΣAVΣAP
(2)XV,
(1)XV,
(2)XU,(1)XU,
YX PP
PPP
Caso as variáveis originais estejam padronizadas, as expressões são as
mesmas, com uma simplificação no cálculo da matriz de correlações das
variáveis canônicas com as variáveis originais (agora padronizadas), uma
vez que IVX .
(2)
(1)
Z
ZZ e
2221
1211
PP
PPXZ )()( CorrCov
As variáveis canônicas, nesse caso, serão:
(2)
Z
(1)
Z
ZBV
ZAU ,
em que ZA e ZB são as matrizes de coeficientes no caso em que as
variáveis originais estão padronizadas.
Desta forma, temos
(2)
Z
(1)
Z
(2)
(1)
Z
Z
ZB
ZA
Z
Z
B0
0A
V
U,
ou seja, ZCY Z
Nesse caso, teremos XZPCZY,ZY, )()( CorrCov
22Z21Z
12Z11Z
2221
1211
Z
Z
XZYXPBPB
PAPA
PP
PP
B0
0APCP
Matrizes de erros de aproximações
Da definição de variáveis canônicas, temos que:
VBx
UAx(2)
(1)
1
1
ˆ
ˆ
E também as matrizes de covariâncias:
t111(1)
11 AUAUAxS )ˆ)(()ˆ()ˆ()( CovCovCov
t11
11 AAS )ˆ)(ˆ(
Da mesma forma, temos:
t11
BBS )ˆ)(ˆ(22
t11
1 B0AS )ˆ(
00
00
00
)ˆ(
*
*
2
*
1
2
p
.
Assim, se escolhemos os r (r < p) primeiros pares canônicos, então:
r
2
1
(r)(2)(1)(1)
U
U
U
a||a|ax
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ~
e,
r
2
1
(r)(2)(1)(2)
V
V
V
b||b|bx
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ~
,
em que: (1)
x~ e (2)
x~ são os dois grupos de variáveis amostrais
aproximados pelos r pares canônicos e, (i)
a e (i)
b são as i-ésimas
colunas de 1
Aˆ e
1B
ˆ , respectivamente.
Desta forma, as matrizes 11S , 22S e 12S são aproximadas por:
t(r)(r)t(2)(2)t(1)(1)t11(1)
11 aaaaaaAAxS ˆˆˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()(~
Cov
t(r)(r)t(2)(2)t(1)(1)t11(2)
22 bbbbbbBBxS ˆˆˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()(~
Cov
t(r)(r)t(2)(2)t(1)(1)(2)(1)
12 bababaxxS ˆˆˆˆˆˆ);(~ **
2*1 rCov
As matrizes de erros de aproximações são, portanto, definidas por:
121212
222222
111111
SSε
SSε
SSε
~
~
~
e, assim, a matriz de erros de aproximações é dada por:
2221
1211
εε
εεε
Nota: Como no cálculo das matrizes de covariâncias aproximadas foram
consideradas apenas os r primeiros pares de variáveis canônicas, então os
(p − r) pares restantes serão responsáveis pelas diferenças referentes aos
valores originais, ou seja, serão, de fato, as matrizes de erros:
t(p)(p)t11)(r1)(r
111111 aaaaSSε ˆˆˆˆ~
t(q)(q)t1)(r1)(r
222222 bbbbSSε ˆˆˆˆ~
t(p)(p)t1)(r1)(r
121212 babaSSε ˆˆˆˆ~ **
1 pr
Exemplo 2: No exemplo (1) temos:
0551.16766.0
2777.28560.0zA e
7064.08630.0
7366.05448.0zB
Resultando em:
7845.06201.0
2546.09671.01zA e
5338.08456.0
7218.06921.01zB
Desta forma, retendo r = 1 par de variáveis canônicas, temos as
seguintes matrizes de correlações aproximadas
3846.05997.0
5997.09352.06201.09671.0
6201.0
9671.0~11P ;
7151.05853.0
5853.04791.08456.06921.0
8456.0
6921.0~22P ;
3874.03171.0
6041.04945.08456.06921.0
6201.0
9671.0)7387.0(
~12P .
Matriz de correlações aproximadas
7151.05853.03874.06041.0
5853.04791.03171.04945.0
3874.03171.03846.05997.0
6041.04945.05997.09352.0
~P
E a matriz de erros de aproximações:
2849.03853.00126.00041.0
3853.05209.00171.00055.0
0126.00171.06154.01997.0
0041.00055.01997.00648.0
~PPε
lembrando que:
Ρ
1.0 0.4 0.5 0.6
0.4 1.0 0.3 0.4
0.5 0.3 1.0 0.2
0.6 0.4 0.2 1.0
Proporção de variação explicada
Considere a retenção de r variáveis canônicas, então, a proporção da
variância amostral do 1o grupo explicada por U é dada por:
)tr(
)~
tr(
11
11
U|X S
S(1) .
Se considerarmos as variáveis padronizadas, temos
p
)~
tr(
)tr(
)~
tr( 11
11
11
U|Z
R
R
R(1) .
De forma análoga, a proporção da variância amostral do 2o grupo
explicada por V é dada por:
)tr(
)~
tr(
22
22
V|X S
S(2) .
Se considerarmos as variáveis padronizadas, temos
q
)~
tr(
)tr(
)~
tr( 22
22
22
V|Z
R
R
R(2) .
Exemplo 3: No exemplo (2), com r = 1, temos as matrizes de correlações
aproximadas
3846.05997.0
5997.09352.0~11P e
7151.05853.0
5853.04791.0~22P ,
as proporções de variações explicadas em cada um dos grupos são dadas
por:
6599.02
3846.09352.0
U|Z(1)
5971.02
7151.04791.0
V|Z(2)
Exemplo 4: Estudo do efeito da estrutura organizacional na satisfação
profissional - n = 784.
X(1)
=
X1(1)
feedback
X(2)
=
X1(2)
satisfação com a supervisão
X2(1)
significância das
tarefas
X2
(2) satisfação com a carreira
X3(1)
variedades das
tarefas
X3
(2) satisfação financeira
X4(1)
identificação com as
tarefas
X4
(2)
satisfação com a carga de
trabalho
X5(1)
autonomia
X5(2)
identificação com a
empresa
X6(2)
satisfação com o tipo de
trabalho
X7(2)
satisfação geral
X(1)
= grupo características do trabalho;
X(2)
= grupo satisfação com o trabalho
Matriz de correlações:
2221
1211
RR
RRR
1.0 0.49 0.53 0.49 0.51 0.33 0.32 0.20 0.19 0.30 0.37 0.21
0.49 1.0 0.57 0.46 0.53 0.30 0.21 0.16 0.08 0.27 0.35 0.20
0.53 0.57 1.0 0.48 0.57 0.31 0.23 0.14 0.07 0.24 0.37 0.18
0.49 0.46 0.48 1.0 0.57 0.24 0.22 0.12 0.19 0.21 0.29 0.16
0.51 0.53 0.57 0.57 1.0 0.38 0.32 0.17 0.23 0.32 0.36 0.27
0.33 0.30 0.31 0.24 0.38 1.0 0.43 0.27 0.24 0.34 0.37 0.40
0.32 0.21 0.23 0.22 0.32 0.43 1.0 0.33 0.26 0.54 0.32 0.58
0.20 0.16 0.14 0.12 0.17 0.27 0.33 1.0 0.25 0.46 0.29 0.45
0.19 0.08 0.07 0.19 0.23 0.24 0.26 0.25 1.0 0.28 0.30 0.27
0.30 0.27 0.24 0.21 0.32 0.34 0.54 0.46 0.28 1.0 0.35 0.59
0.37 0.35 0.37 0.29 0.36 0.37 0.32 0.29 0.30 0.35 1.0 0.31
0.21 0.20 0.18 0.16 0.27 0.40 0.58 0.45 0.27 0.59 0.31 1.0
Matrizes de Coeficientes (obtidas pelo SAS)
0.4217 0.3429 -0.8577 -0.7884 0.0308
0.1951 -0.6683 0.4434 -0.2691 0.9832
t
A = 0.1676 -0.8532 -0.2592 0.4688 -0.9141
-0.0229 0.3561 -0.4231 1.0423 0.5244
0.4597 0.7287 0.9799 -0.1682 -0.4392
0.4252 -0.088 0.4918 -0.1284 -0.4823
0.2089 0.4363 -0.7832 -0.3405 -0.7499
t
B = -0.0359 -0.0929 -0.4778 -0.6059 0.3457
0.0235 0.926 -0.0065 0.4044 0.3116
0.2903 -0.1011 0.2831 -0.4469 0.7030
0.5157 -0.5543 -0.4125 0.6876 0.1796
-0.1101 -0.0317 0.9285 0.2739 -0.0145
Matrizes de Correlações
Correlações do vetor U com o grupo X(1)
RU.1
U1 U2 U3 U4 U5
X1(1)
0.829 0.109 -0.485 -0.247 0.061
X2(1)
0.730 -0.437 0.200 0.002 0.486
X3(1)
0.753 -0.466 -0.106 0.302 -0.336
X4(1)
0.616 0.223 -0.205 0.661 0.303
X5(1) 0.861 0.266 0.389 0.148 -0.125
Correlações do vetor U com o grupo X(2)
RU.2
U1 U2 U3 U4 U5
X1(2)
0.419 0.011 0.041 -0.009 -0.019
X2(2)
0.357 0.085 -0.021 -0.026 -0.019
X3(2) 0.214 0.009 -0.021 -0.039 0.024
X4(2)
0.209 0.187 -0.001 0.029 0.019
X5(2)
0.362 0.026 0.025 -0.032 0.025
X6(2)
0.445 -0.057 -0.028 0.029 0.011
X7(2) 0.278 0.039 0.059 -0.014 0.004
Correlações do vetor V com o grupo X(1)
RV.1
V1 V2 V3 V4 V5
X1(1)
0.459 0.026 -0.058 -0.018 0.004
X2(1)
0.404 -0.103 0.024 0.000 0.028
X3(1)
0.417 -0.110 -0.013 0.022 -0.019
X4(1)
0.341 0.053 -0.025 0.048 0.017
X5(1) 0.477 0.063 0.046 0.011 -0.007
Correlações do vetor V com o grupo X(2)
RV.2
V1 V2 V3 V4 V5
X1(2)
0.756 0.045 0.340 -0.129 -0.337
X2(2)
0.644 0.358 -0.172 -0.353 -0.334
X3(2) 0.387 0.037 -0.177 -0.535 0.415
X4(2)
0.377 0.792 -0.005 0.289 0.334
X5(2)
0.653 0.108 0.209 -0.438 0.435
X6(2)
0.804 -0.242 -0.235 0.405 0.196
X7(2) 0.502 0.163 0.493 -0.189 0.068
Testes parciais para as correlações canônicas
k * 1 – 2* 5 * )ˆ1(
2
ki i T
gl Valor p
1 0.5537 0.6934 0.6399 346.68 35 0
2 0.2364 0.9441 0.9228 62.38 24 0.000029
3 0.1192 0.9858 0.9774 17.72 15 0.277557
4 0.0722 0.9948 – – –
5 0.0573 0.9967 – – –
Matrizes de aproximações: considerando p = 2 variáveis canônicas
(as matrizes 1
Aˆ e
1Bˆ são apresentadas truncadas)
0.8294 0.1093
0.7564 0.0446
0.7304 -0.4366
0.6439 0.3582
1Aˆ =
0.7533 -0.4661
1Bˆ = 0.3872 0.0373
0.6160 0.2225
0.3772 0.7919
0.8606 0.2660
0.6532 0.1084
0.8040 -0.2416
0.5024 0.1629
Matriz aproximada:
2221
1211
RR
RRR ~~
~~~
0.6998 0.5580 0.5738 0.5352 0.7428 0.3485 0.3049 0.1788 0.1937 0.3028 0.3630 0.2349
0.5580 0.7240 0.7537 0.3527 0.5124 0.3013 0.2234 0.1528 0.0708 0.2530 0.3501 0.1864
0.5738 0.7537 0.7848 0.3603 0.5243 0.3106 0.2291 0.1574 0.0701 0.2605 0.3620 0.1916
0.5352 0.3527 0.3603 0.4289 0.5893 0.2603 0.2384 0.1340 0.1703 0.2285 0.2615 0.1799
0.7428 0.5124 0.5243 0.5893 0.8115 0.3633 0.3294 0.1869 0.2295 0.3181 0.3679 0.2497
0.3485 0.3013 0.3106 0.2603 0.3633 0.5741 0.5030 0.2946 0.3206 0.4989 0.5974 0.3873
0.3049 0.2234 0.2291 0.2384 0.3294 0.5030 0.5429 0.2627 0.5265 0.4594 0.4311 0.3818
0.1788 0.1528 0.1574 0.1340 0.1869 0.2946 0.2627 0.1513 0.1756 0.2570 0.3023 0.2006
0.1937 0.0708 0.0701 0.1703 0.2295 0.3206 0.5265 0.1756 0.7694 0.3322 0.1119 0.3185
0.3028 0.2530 0.2605 0.2285 0.3181 0.4989 0.4594 0.2570 0.3322 0.4385 0.4990 0.3459
0.3630 0.3501 0.3620 0.2615 0.3679 0.5974 0.4311 0.3023 0.1119 0.4990 0.7048 0.3646
0.2349 0.1864 0.1916 0.1799 0.2497 0.3873 0.3818 0.2006 0.3185 0.3459 0.3646 0.2789
Matriz de erros: RRεε
εεε
2221
1211 ~
0.3002 -0.0680 -0.0438 -0.0452 -0.2328 -0.0185 0.0151 0.0212 -0.0037 -0.0028 0.0070 -0.0249
-0.0680 0.2760 -0.1837 0.1073 0.0176 -0.0013 -0.0134 0.0072 0.0092 0.0170 -0.0001 0.0136
-0.0438 -0.1837 0.2152 0.1197 0.0457 -0.0006 0.0009 -0.0174 -0.0001 -0.0205 0.0080 -0.0116
-0.0452 0.1073 0.1197 0.5711 -0.0193 -0.0203 -0.0184 -0.0140 0.0197 -0.0185 0.0285 -0.0199
-0.2328 0.0176 0.0457 -0.0193 0.1885 0.0167 -0.0094 -0.0169 0.0005 0.0019 -0.0079 0.0203
-0.0185 -0.0013 -0.0006 -0.0203 0.0167 0.4259 -0.0730 -0.0246 -0.0806 -0.1589 -0.2274 0.0127
0.0151 -0.0134 0.0009 -0.0184 -0.0094 -0.0730 0.4571 0.0673 -0.2665 0.0806 -0.1111 0.1982
0.0212 0.0072 -0.0174 -0.0140 -0.0169 -0.0246 0.0673 0.8487 0.0744 0.2030 -0.0123 0.2494
-0.0037 0.0092 -0.0001 0.0197 0.0005 -0.0806 -0.2665 0.0744 0.2306 -0.0522 0.1881 -0.0485
-0.0028 0.0170 -0.0205 -0.0185 0.0019 -0.1589 0.0806 0.2030 -0.0522 0.5615 -0.1490 0.2441
0.0070 -0.0001 0.0080 0.0285 -0.0079 -0.2274 -0.1111 -0.0123 0.1881 -0.1490 0.2952 -0.0546
-0.0249 0.0136 -0.0116 -0.0199 0.0203 0.0127 0.1982 0.2494 -0.0485 0.2441 -0.0546 0.7211
Proporção de variação explicada:
0.6905
3.4489)~
( 11)1( p
traço R
0.4947
3.4599)~
( 22)2( q
traço R
Exemplo 5: Waugh (1942), apresenta medidas de n = 138 mostras de
trigo duro vermelho canadense de primavera, sendo que as medidas foram
obtidas dos grãos de trigo e da farinha produzida. As variáveis
padronizadas são: (1)
Z = variáveis referentes aos grãos:
)1(
1Z = textura dos grãos;
)1(
2Z = peso dos grãos;
)1(
3Z = grãos danificados;
)1(
4Z = sujeira/corpos estranhos;
)1(
5Z = proteína bruta no trigo.
(2)
Z = variáveis referentes à farinha produzida:
)2(
1Z = trigo por barril de farinha;
)2(
2Z = cinzas na farinha;
)2(
3Z = proteína bruta na farinha;
)2(
4Z = índice de qualidade do glúten.
Matriz de correlações:
2221
1211
RR
RRR
1 0.754 -0.690 -0.446 0.692 -0.605 -0.479 0.780 -0.152
0.754 1 -0.712 -0.515 0.412 -0.722 -0.419 0.542 -0.102
-0.690 -0.712 1 0.323 -0.444 0.737 0.361 -0.546 0.172
-0.446 -0.515 0.323 1 -0.334 0.527 0.461 -0.393 -0.019
0.692 0.412 -0.444 -0.334 1 -0.383 -0.505 0.737 -0.148
-0.605 -0.722 0.737 0.527 -0.383 1 0.251 -0.490 0.250
-0.479 -0.419 0.361 0.461 -0.505 0.251 1 -0.434 -0.079
0.780 0.542 -0.546 -0.393 0.737 -0.490 -0.434 1 -0.163
-0.152 -0.102 0.172 -0.019 -0.148 0.250 -0.079 -0.163 1
Testes parciais para as correlações canônicas
k * 1 – 2* 5 * )ˆ1(
2
ki i T
gl Valor p
1 0.9092 0.1733 0.0955 310.0 20 0.000
2 0.6364 0.5950 0.5512 78.63 12 0.000
3 0.2559 0.9345 0.9263 10.11 6 0.120
4 0.0939 0.9912 0.9912 1.168 2 0.558
Pelo teste quiquadrado, r = 2 correlações canônicas são significativas.
Matrizes de Coeficientes
Z1.1 Z1.2 Z1.3 Z1.4 Z1.5
A =
U1
U2
0.2146 0.1719 -0.3297 -0.2638 0.2976
0.9232 -0.5848 0.6526 0.3415 0.5508
Z2.1 Z2.2 Z2.3 Z2.4
B = V1
V2
-0.5350 -0.2877 0.4569 0.0250
1.0102 0.0274 0.9782 -0.1796
Matriz de correlações aproximadas
R~
=
0.8696 0.6616 -0.6543 -0.5183 0.8149
0.6616 0.7753 -0.7661 -0.6187 0.4567
-0.6543 -0.7661 0.7570 0.6114 -0.4521
-0.5183 -0.6187 0.6114 0.4941 -0.3510
0.8149 0.4567 -0.4521 -0.3510 0.8616
-0.5897 -0.5280 0.7667 -0.1453
-0.7150 -0.4430 0.5352 -0.1036
0.7065 0.4380 -0.5294 0.1025
0.5713 0.3488 -0.4173 0.0809
-0.3926 -0.4700 0.7474 -0.1404
-0.5897 -0.7150 0.7065 0.5713 -0.3926
-0.5280 -0.4430 0.4380 0.3488 -0.4700
0.7667 0.5352 -0.5294 -0.4173 0.7474
-0.1453 -0.1036 0.1025 0.0809 -0.1404
0.9233 0.4495 -0.4460 0.0886
0.4495 0.4039 -0.5873 0.1113
-0.4460 -0.5873 0.9559 -0.1792
0.0886 0.1113 -0.1792 0.0336
Matriz de erros de aproximações:
ε =
0.1304 0.0924 -0.0357 0.0723 -0.1229
0.0924 0.2247 0.0541 0.1037 -0.0447
-0.0357 0.0541 0.2430 -0.2884 0.0081
0.0723 0.1037 -0.2884 0.5059 0.0170
-0.1229 -0.0447 0.0081 0.0170 0.1384
-0.0153 0.0490 0.0133 -0.0067
-0.0070 0.0240 0.0068 0.0016
0.0305 -0.0770 -0.0166 0.0695
-0.0443 0.1122 0.0243 -0.0999
0.0096 -0.0350 -0.0104 -0.0076
-0.0153 -0.0070 0.0305 -0.0443 0.0096
0.0490 0.0240 -0.0770 0.1122 -0.0350
0.0133 0.0068 -0.0166 0.0243 -0.0104
-0.0067 0.0016 0.0695 -0.0999 -0.0076
0.0767 -0.1985 -0.0440 0.1614
-0.1985 0.5961 0.1533 -0.1903
-0.0440 0.1533 0.0441 0.0162
0.1614 -0.1903 0.0162 0.9664
Com r = 2 pares de variáveis canônicas, as proporções de variações
explicadas em cada um dos grupos são:
752.05
8616.04941.07570.07753.08996.0ˆ
U|Z(1)
579.04
0336.09559.04039.09233.0ˆ
V|Z(2)
Exemplo 5: Medidas de ossos e do crânio de n = 276 frangos brancos de
granja. )1(
1X = comprimento do crânio;
)1(2X = amplitude do crânio;
)2(1X = comprimento do fêmur;
)2(2X = comprimento da tíbia.
Variáveis padronizadas Z t = ( Z1
(1), Z2
(1), Z1
(2), Z2
(2) )
Matriz de correlações amostrais:
2221
1211
RR
RRR
1.0 0.505 0.569 0.602
0.505 1.0 0.422 0.467
0.569 0.422 1.0 0.926
0.602 0.467 0.926 1.0
De onde se obtém:
1062.18560.0
034457808.0ˆ
zA e
4749.26482.2
9439.00603.0ˆ
zB ,
cujas inversas são:
6739.07388.0
2974.09548.0ˆ 1
zA e
0227.09997.0
3564.09343.0ˆ 1
zB
Testes parciais para as correlações canônicas
k * 1 – 2* 2 * )ˆ1(
2
ki i T
gl Valor p
1 0.6311 0.6017 0.5998 139.3 4 0
2 0.0568 0.9968 0.9968 0.8804 1 0.767
Desta forma, retendo r = 1 par de variáveis canônicas, temos as
seguintes matrizes de correlações aproximadas
6739.07054.0
7054.09116.03445.07808.0
3445.0
7808.0~11R ;
9995.09341.0
9341.08730.09439.00603.0
9439.0
0603.0~22R ;
4661.04356.0
6024.05630.09439.00603.0
3445.0
7808.0)6311.0(
~12R .
Matriz de correlações aproximadas
9995.09341.04661.06024.0
9341.08730.04356.05630.0
4661.04356.05458.07054.0
6024.05630.07054.09116.0
~R
E a matriz de erros de aproximações:
0005.00081.00009.00004.0
0081.01270.00136.00060.0
0009.00136.04542.02004.0
0004.00060.02004.00884.0
~RRε
Considerando r = 1 par de variáveis canônicas, as proporções de
variações explicadas em cada um dos grupos são:
729.02
5458.09116.0ˆ
U|Z(1)
936.02
9995.08730.0ˆ
V|Z(2)
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