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Contabilometria

Aula 11 – Regressão Linear Múltipla e Variáveis Dummy

O Modelo de Regressão Múltipla

Ideia: Examinar a relação linear entre 1 variável dependente (Y)

& 2 ou mais variáveis independentes (Xi).

ikik2i21i10i εXβXβXββY

Modelo de Regressão com k Variáveis Independentes:

Intercepto Inclinações na população Erro Aleatório

Equação da Regressão Múltipla

Os coeficientes do modelo de regressão múltipla

são estimados a partir de dados amostrais

kik2i21i10i XbXbXbbY

Valor estimado

(ou previsto)

de Y

Coeficinetes angulares estimados

Modelo de regressão múltipla com k variáveis independentes

Intercepto

estimado

Neste capítulo usaremos o Excel para obter os coeficientes

angulares da regressão e outras medidas.


Exemplo com

duas variáveis

independentes

Y

X1

X2

22110 XbXbbY


2 Variáveis - Exemplo

• Uma empresa deseja analisar o comportamento dos custos indiretos de fabricação (cif), em função das variáveis: horas de mão-de-obra direta (hmod) e horas-máquina (hm).

– Variável Dependente: Custos Indiretos (em $)

– Variável Independente: Horas de mão-de-obra direta (em h)

Horas-máquina (em h)

• Dados coletados durante 15 meses


2 Variáveis - Exemplo

• CIF = b0 + b1 (hmod) +

b2 (hm)

• CIF = b0 +b1X1 + b2X2

Onde: X1 = hmod

X2 = hm

Equação da Regressão Múltipla:

Período CIF HMOD HM

1 350 4 10

2 400 8 14

3 470 12 16

4 550 10 26

5 620 15 31

6 380 7 12

7 290 6 13

8 490 10 21

9 580 11 26

10 610 13 24

11 560 12 23

12 420 8 12

13 450 11 19

14 510 12 19

15 380 5 11

Regressão Linear Simples

CIF = f(hmod)

Estatística de regressão

R múltiplo 0,883

R-Quadrado 0,780

R-quadrado ajustado 0,763

Erro padrão 48,985

Observações 15

ANOVA

gl SQ MQ F F de significação

Regressão 1 110.299,26 110.299,26 45,967 0,0000130

Resíduo 13 31.194,08 2.399,54

Total 14 141.493,33

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 200,82 41,76 4,81 0,0003 110,60 291,04

HMOD 28,11 4,15 6,78 0,0000 19,15 37,07V

Vvc

Custo Fixo

Vvc

Custo Variável

Regressão Linear Simples

CIF = f(hm)


R múltiplo 0,920

R-Quadrado 0,846


Erro padrão 40,921

Observações 15

ANOVA


Regressão 1 119.724,13 119.724,13 71,496 0,0000012

Resíduo 13 21.769,20 1.674,55

Total 14 141.493,33

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 208,88 32,71 6,38 0,0000 138,20 279,55

HM 14,18 1,68 8,46 0,0000 10,55 17,80

Vvc

Custo Fixo

Vvc

Custo Variável

Regressão Linear Múltipla

CIF = f(hmod;hm)


R múltiplo 0,941

R-Quadrado 0,885


Erro padrão 36,827

Observações 15

ANOVA


Regressão 2 125.218,94 62.609,47 46,165 0,000002

Resíduo 12 16.274,39 1.356,20

Total 14 141.493,33

CoeficientesErro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 184,88 31,76 5,821 0,00008 115,68 254,09

HMOD 11,75 5,84 2,013 0,06712 -0,97 24,46

HM 9,37 2,82 3,317 0,00615 3,21 15,52

,8850141493,33

125218,94

STQ

SQReg2 R

88,5% da variação nos custos

indiretos de fabricação é explicada

pela variação nas horas de mão de

obra direta e horas-máquina.

R2ajustado

• Mostra a proporção da variação em Y explicada pelo conjunto das variáveis X ajustado ao número de variáveis X utilizadas no modelo

(onde n = tamanho da amostra, k = numero de coeficientes da regressão)

– Penaliza o uso excessivo e desnecessário de variáveis independentes

– É menor que r2

– Útil ao comparar modelos com diferentes especificações

)1(1

1 22 Rkn

nRaj

R2ajustado


R múltiplo 0,941

R-Quadrado 0,885


Erro padrão 36,827

Observações 15

ANOVA


Regressão 2 125.218,94 62.609,47 46,165 0,000002

Resíduo 12 16.274,39 1.356,20

Total 14 141.493,33


Interseção 184,88 31,76 5,821 0,00008 115,68 254,09

HMOD 11,75 5,84 2,013 0,06712 -0,97 24,46

HM 9,37 2,82 3,317 0,00615 3,21 15,52

%58,86315

115)88498,01(12

ajR

Como testar a validade da regressão

como um todo

• As hipóteses são definidas em termos do coeficiente

de determinação:

– H0: R2 = 0

– H1: R2 > 0

• O Fteste é calculado pela fórmula:

kn

R

k

R

Fteste

2

2

1

1

Explicada Não Variância

Explicada Variância

R2ajustado


R múltiplo 0,941

R-Quadrado 0,885


Erro padrão 36,827

Observações 15

ANOVA


Regressão 2 125.218,94 62.609,47 46,165 0,000002

Resíduo 12 16.274,39 1.356,20

Total 14 141.493,33


Interseção 184,88 31,76 5,821 0,00008 115,68 254,09

HMOD 11,75 5,84 2,013 0,06712 -0,97 24,46

HM 9,37 2,82 3,317 0,00615 3,21 15,52

Vvc

Custo Fixo

Vvc

Custo Variável

165,46

315

88498,012

88498,0

1

12

2

kn

R

k

R

Fteste

Não significativo

a um α = 5%

• Como hmod e hm foram signficativas quando

consideradas em modelos de regressão linear simples,

e quando colocadas simultaneamente somente uma é

significativa?

• Multicolinearidade!!

Multicolinearidade

• Ocorre quando duas variáveis explicativas são

altamente correlacionadas.

• Neste caso elas fornecerão informações semelhantes

para explicar a variável dependente.

• Isso dificulta entender qual a contribuição de cada

uma, prejudicando a capacidade preditiva do modelo.

• Sintoma: R2ajustado elevado mas com poucos

coeficientes (bi) estatisticamente significativos

• No nosso exemplo, R2ajustado é alto, mas o coeficiente

de hmod não é significativamente diferente de zero.

Multicolinearidade

• Podemos observar o coeficiente de correlação entre as

variáveis explicativas.

• Excel: Ferramentas – Análise de Dados – Correlação

• Um dos métodos mais utilizados pelos pesquisadores

para detectar a multicolinearidade é o FIV (Fator de

Inflação da Variância)

CIF HMOD HM

CIF 1

HMOD 0,882914 1

HM 0,919862 0,845405 1

Detectando a Colinearidade

FIV - Fator Inflacionário da Variância

FIVj é usado para medir a colinearidade:

Se FIVj > 5, Xj é altamente correlacionado

com as outras variáveis independentes

onde R2j é o coeficiente de determinação de um modelo de

regressão que usa Xj como variável dependente e todas as demais

variáveis X como variáveis independentes

21

1

j

jR

FIV

Utilizando Variáveis Binárias

Dummy

• Uma variável dummy é uma variável independente categórica com dois níveis:

– Sim ou não, masculino ou feminino, presente ou não, etc…

– Codificada com 0 ou 1

• Assume-se iguais coeficientes para as demais variáveis

• Se há mais de duas possibilidades, o número de variáveis dummy necessário será (número de possibilidades - 1)

Exemplo de variáveis Dummy

Considere:

Y = vendas de tortas

X1 = preço

X2 = feriado (X2 = 1 se houve feriado durante a semana)

(X2 = 0 se não houve feriado naquela semana)

210 XbXbbY21


Mesma Inclinação

X1 (Preço)

Y (vendas)

b0 + b2

b0

1010

12010

Xb b (0)bXbbY

Xb)b(b(1)bXbbY

121

121

Com feriado

Sem feriado

Diferentes Interceptos

Se H0: β2 = 0 é

rejeitada, então

“Feriado” tem

efeito significativo

nas vendas de

tortas


Vendas: número de tortas vendidas por semana

Preço: preço da torta em $

Feriado: 1 Se houve feriado naquela semana

0 Se não houve feriado

b2 = 15: em média, as vendas são maiores em 15

unidades nas semanas com feriado do que nas semanas

sem feriado, dado o mesmo preço

)15(Feriado 30(Preço) - 300 Vendas

Modelo com variável Dummy

Mais do que dois níveis

• O número de variáveis dummy é o no. de possibilidades

menos um

• Exemplo:

Y = preço do imóvel ; X1 = área do imóvel

• Se o estilo da casa é algo que também influencia o

preço

Estilo = casa um andar, casa duplex, apartamento

• Três níveis, então duas variáveis dummy são necessárias



Exemplo: Assuma que “um andar” é a categoria base, e use X2 e X3 para as outras categorias:

Y = preço da casa

X1 = área da casa

X2 = 1 se casa duplex, 0 caso contrário

X3 = 1 se apartamento, 0 caso contrário

A equação do modelo de regressão múltipla é:

3322110 XbXbXbbY



18,840,045X20,43Y 1

23,530,045X20,43Y 1

Para uma mesma área, uma

casa duplex terá uma

estimativa de preço médio

23,53 milhares de dólares mais

que uma casa de um andar.

Para uma mesma área, um

apartamento terá uma estimativa

de preço médio 18,84 milhares

de dólares a mais que uma casa

de um andar.

Considere a equação da regressão:

321 18,84X23,53X0,045X20,43Y

10,045X20,43Y

Para casa um andar: X2 = X3 = 0

Para casa duplex: X2 = 1; X3 = 0

Para apartamento: X2 = 0; X3 = 1

Interações entre Variáveis Independentes

• Permite avaliar interações entre pares de variáveis X

– A resposta a uma variável X pode ser diferente para

diferentes níveis de outra variável X

• Considera o produto de dois termos

–

)X(XbXbXbb

XbXbXbbY

21322110

3322110

Efeito da Interação

• Dado:

• Sem o termo de interação, o efeito de X1 em Y é

medido por β1

• Com o termo de interação, o efeito de X1 em Y é

medido por β1 + β3 X2

• O efeito muda à medida que X2 muda

εXβXβXββY 21322110 X

Exemplo de Interação

X2 = 1:

Y = 1 + 2X1 + 3(1) + 4X1(1) = 4 + 6X1

X2 = 0:

Y = 1 + 2X1 + 3(0) + 4X1(0) = 1 + 2X1

As inclinações são diferentes se o efeito de X1 em Y depende do valor de X2

X1

4

8

12

0

0 1 0.5 1.5

Y

= 1 + 2X1 + 3X2 + 4X1X2 Suponha que X2 é uma variável dummy a equação da

regressão estimada é Y

Exemplo

• A Cia Leite Black deseja conhecer

a relação entre a evolução das

quantidades vendidas (q) e preços

(p). Para isso, selecionou uma

amostra com valores relativos aos

últimos 14 meses. A empresa

enfrentou uma greve do quinto ao

sétimo mês. Como a greve

influenciou o modelo formado

pelas variáveis p e q?

Qde. Vendida Preço

Meses (q) (p)

1 98 0,79

2 100 0,80

3 103 0,82

4 105 0,82

5 80 0,93

6 87 0,95

7 94 0,96

8 113 0,88

9 116 0,88

10 118 0,90

11 121 0,93

12 123 0,94

13 126 0,96

14 128 0,97

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