Transformarea z - Infoelectronica · transformata sa bilaterala exista in tot planul, cu exceptia...

1

Transformarea z

{ }

[ ] [ ] [ ]0

2 2

0 0 0 0 0

Raspunsul unui sistem discret liniar si invariant in timp la exponentiala complexa discreta de modul neunitar

; ; si

;

j

j nn n n n k n

k k

z x jy re x, y R z r x y arg z

z r e y n h n z h k z z h

Ω

∞Ω −

=−∞ =−∞

= + = ∈ = = + Ω =

= ⋅ = ∗ = ⋅ = ⋅ ∑ [ ]

( ) [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] ( )

0

0 0 ;

k

k n

kn n

k k k k kk k

k z

H z h k z y n z H z

x n c z y n c H z z .

∞−

∞−

=−∞

⋅

= ⋅ = ⋅

= ⇒ =

∑

∑

∑ ∑

Transformarea z bilaterala

[ ]{ }( ) ( ) [ ]

[ ]{ }( ) [ ]( ) [ ]{ }( )[ ]{ }( ) [ ]{ }( )

( ) [ ] [ ]

[ ] 1

0

0

1

n j

n

n j n n

nj

n j n n

n nn

x n z X z x n z z r e r .

x n z x n r e r x n r .

z r , x n e x n .

X z r x n e r x n

r x n l .

∞− Ω

=−∞∞

− − Ω −

=−∞Ω

∞ ∞− − Ω −

=−∞ =−∞−

= = ⋅ = ⋅ ≥

= ⋅ ⋅ = ⋅ Ω ≥

= = = Ω

≤ ⋅ = < ∞

∈

∑

∑

∑ ∑

Z ; ,

Z F ;

Z F

2

Exemple

[ ] [ ]

( ) ( )( )

( )

1

0 0

11

1 1

111

11

n

nn n

n n

j

. x n a n a .

X z a z az

az X z z a .az

X .ae

∞ ∞− −

= =

−−

− Ω

= σ <

= +

< ⇒ = >−

Ω =−

∑ ∑

,

Daca ,

[ ] [ ]

( ) ( )

( )

1 11

11

1 10

1 11

1

2 1

1

1 1

1 1111

11

n

nnn n

n n nn

n

. x n a n

X z a z azaz

az a z

X za z az

az

; a .az

− − ∞− −

−=−∞ =−∞ =

∞

− −=

− −−

−

= − σ − −

⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

< = − =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= <−

∑ ∑ ∑

∑

Daca atunci

z

3

Proprietatile domeniului de convergenta al transformarii z

bilaterale

[ ] ( )

[ ]

a.convergent de domeniuldin sunt infinit, la de punctului a eventual exceptiacu zplan din punctele toateatunci ,bilaterale z

atei transformal aconvergent de domeniuldin este cercul daca si dreapta spre infinita intinderecu semnalun este Daca 3

si/sau 0punctelor a evenual exceptiacu planul,in tot exista bilaterala sa tatransforma

finita, durata de suportulcu semnalun este Daca 2.acesteia. al polun nici contine

poatenu bilateralezateitransformalaconvergent de Domeniul 1.

0

0

,r

rznx.

.zz

,zXnx

>

=

∞==

[ ]

[ ]

.rz

rznx

,rz,rz

nx

0

0

0

0

cercul include ce circulara coroana o este acesta atunci,bilaterale z teitransforma

al aconvergent de domeniulin inclus este cercul daca si dreapta la sicat stanga laatat infinita intinderecu semnalun este Daca 5.

a.convergent de domeniuldin sunt originedin punctului a eventual exceptiacu plan din punctele toateatunci bilaterale z

atei transformal aconvergent de domeniulin inclus este cercul daca si stanga spre infinita intinderecu semnalun este Daca 4.

=

=

≤

=

4

Exemplu[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

( ).

aza

azaz

za

aa

.a

zz

a

na

na

.azaz

na

.nxnxnxnanxnanxaanx.

n

nn

n

n

nn

1 ; 1

1

1 , 11

1

111

; 1

1 , 1

, , 10 , 3

2

1

1

212

1

−

→σ

+=−−σ=σ=

5

Definirea transformatei z bilaterale prin constelatia de poli

si zerouri( )

( )( )( )

( )

( ).kz

zX.k

zXzz

.DCzzz

zzkzX

zX

k

pk

N

kpk

M

kk

constanta si determina poate se DC,din punctanumit un -intr valoareasi plus

in cunoaste se Daca constantei exceptiacu cunoaste apentru zerourilor

a si polilor acunoastere suficienta Este

;

:rationala fractie o este Daca

0

0

0

1

10

∈−

−=

∏

∏

=

=

Exemplu

( ) [ ]

[ ]

( )

( )

( ) ( ) ( ) ;

radianiin cerc de arcului lungimea unghiul laplasat unitar, cercul pe deA punctul Fie

5011

50:discret in timpFourier

ata transformsi are semnalul DC interiorulin esteunitar

cercul Deoarece 50 dedefinit este DC atunci cauzal

este semnalul Daca 501

150

1Pentru

50si0cu figuradin zerouri si poli deaconstelati Fie

1

0

.XargAP

OAX

.

e,,eeΩX

nx

.,zz

nx.z,,z

zzX:k

.,zz

____

____

jj

j

p

p

ϕ−ψ=Ω=ΩΦ=Ω

Ω−

=−

=

=>−

=−

==

==

Ω−Ω

Ω

−

6

( ) ( )

ric.trigonometcel fiind sensul A, punctulin pana si 0 xsemiaxa

cu acestuia aintersecti la deunitar, cercul pe radiani,in masurat cerc de arcului lungimea reprezinta Frecventa

;

:atunci ,orizontala axacu si vectoriiformeaza le care pe unghiurile si cu si

zerourilesipoliicu sicu notand general,cazulIn

1 1

1

10

0

0

>

Ω

ϕ−ψ+=ΩΦ=

ϕψ

∑ ∑

∏

∏

= =

=

= M

k

N

kkkN

k

______

pk

M

k

______

k

k

pkkk

kpk

.kargAz

AzkzX

AzAz

zz

Transformata z unilaterala

[ ]{ }( ) ( ) [ ]

nule.initialeconditiiau nu careconstanti icoeficientcu si liniare finite diferentecu ecuatii de atecaracteriz

cauzale sistemelor studiulpentru indicata este aunilateral z taTransforma origine.in centrulcu disc unui exteriorul fie

planul tot fie este eunilateral atei transformal aconvergent de domeniul aceea De cauzal. semnal unui a bilaterala z

ata transformsi ca privita fi poate aunilateral z taTransforma0

.znxzXznxZ nn

uu−∞

=∑==

7

Proprietatile transformarii z

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( )

[ ]{ } [ ] ( ) [ ]

[ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) [ ] ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −↔−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +==−=−

>∞=

==−=−

∈↔−

+↔+

∈+↔+

↔∈↔↔∈↔

∑

∑ ∑∑∑

∑ ∑∑

−

−=

−−

∞

=

−

−=

−−−−−∞

−=

∞

=

=−−

−∞

−∞=

∞

−∞=

−+−=−∞

−∞=

−

−

1

0

0

1

000

0

00

00

0

0

0

0

00

0

0

000

0

,

0pentru e,unilateral arii transformcazulIn DC.din elimina se , 0 dacaiar DCdin elimina se 0z 0 Daca

:D

, in timp Translatia 2.

putin cel , ; eLiniaritat 1

; , ; ,

:Notatii

nn

nu

n

m nm

mmnnm

nmn

mnnn

u

m

m m

nnmmnn

n

n

n

uu

yx

u

Z

y

Z

u

Z

x

Z

znxzXznnx

zmxzmxzzzmxznnxnnxZ

:nzn,n

zmxzzznnxnnxZ

.DCzzXznnx

zbYzaXnbynaxDCDCzzbYzaXnbynax

..zYnyDCzzYnyzXnxDCzzXnx

uu

∩

[ ] ( )[ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] ( )

[ ] [ ]

[ ] ( )

[ ]{ } [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) [ ].xzXznxnx

DCzzXznxnxn

.z

Xz

mxznxnxZ

.DCz

zXnx

.zzXnxz

zz

zzXnxz

.zeXnxe,zenxznxenxeZ

.DCzzeXnxe

u

n m

mnmn

unn

ju

njnj

n

n

n

njnj

jnj

111; ; 11

domeniulin reaDiferentie 5.

11 D.

1 ,

semnalului aReflectare 4.

DC;

:general Mai

D.

, in timp Modularea 3.

1

1

1

00

000

00000

00

−−−↔−−∈−↔−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=−

∈↔−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛↔∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛↔

↔==

∈↔

−

−

∞

−∞=

∞

−∞=

−−=−

−

Ω−Ω−Ω−∞

−∞=

−∞

−∞=

ΩΩ

Ω−Ω

∑ ∑

∑∑

8

[ ] ( ) ( ) { }[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]( ) [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] ( )

[ ] ( ).dz

zdXznnx

zdz

zdXznnx

z

.kxy,yzYzzXnynynx

.zz

kxzXkx

.zXz

zY

;zYzzXnynynxkxny

.zzzzXz

zzzXkx

n

u

ku

kun

k

m

k

n

k

−↔

∈−↔

=−−−−=↔−−=

>−

+↔

−=

−=↔−−=⇒=

>=∈−

=−

↔

∑

∑∑

∑

∑

−

−∞=

−

−

−

−∞=

−∞=

−

−

−∞=

−−∞=

DC. ;

domeniulin reaDiferentie 7.

1 111 D.

1 ; 1

11

11 Fie D.

1DC ;DCDC ; 11

domeniulin Insumarea 6.

11

1

1

1

1

**1 ∩

[ ] ( )[ ] ( )

[ ]{ } [ ] [ ]( )( ) ( )

[ ] [ ][ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( )

{ } { }

{ }[ ] [ ] ( ) DC. ,

21

DC inmultirePrin

si DC ; DC

DC. , 21

timpdomeniulin semnalelor produsului Teorema 10.

D.

putin. cel DCDC

timpdomeniulin iconvolutie Teorema 9.

; D.

DC. , 8.

∈Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π↔

⋅

9

[ ] [ ]{ } [ ] [ ] ( ) [ ]

( ) [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ΩΩπ

=Ωπ

=

=Ωπ

=

Ω==⇒=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

=⇒

⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

↔⇒=∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

==

∫∫

∫∑

∫∑

∫

∫∑∫

∑ ∫∑

∞

∞−

∞

∞−

Ω

Ω

ΩΩπ

π−

Ω∞

∞=

ΩΩ−Ω

Γ−∞

−∞=

Γ

Γ

−∞

−∞=Γ

−∞

−∞=

−Γ

−∞

−∞=

dXdeX

edejeXeX

jnx

djedueueu

.udu

uzXuX

jznx

udu

uzXuX

jnxnxny.lnx

.udu

uzYuX

judu

uznyuX

j

znyduuuXj

znynxnynxZ

j

j

jj*j

jj*j

*

**n

n

*

***

n

n

n

n

nn

n

22

2

-n

2

22

1

21

21

21

si si Daca

21

21

izari.Particular

21

21

21 D.

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) [ ][ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ).zXzxxzXzxx

,xzXzznxnx

z

.zxzXzzXxzmxz

zXzmxzXznxznxnx

.zXzzXzx

...xz

xznxzXzX

.zXzXx

uzuz

uz

n

nz

uum

m

um

mmn

n nu

nn

zuz

n

nu

zuz

1lim 01lim0 :sau

01lim1lim

:obtine se 1pentru limita la Trecand

010

11 D.

1lim1limcauzaldiscret semnal unui a finale valoriiTeorema 12.

enunt.din relatia obtine se limita la Trecand

110 D.

limlim0cauzaldiscret semnalaunuiinitiale valoriiTeorema 11.

11

101

0

1

11

0 0

11

0

−=∞⇔−−=−∞

−−=−+

→

−−=−−=

=−=−+=−+

−=−=∞

++===

==

→→

→

−∞

=→

−∞

=

∞

=

−−=+∞

=

∞

=

−−

→→

−∞

=

∞→∞→

∑

∑

∑∑ ∑

∑

10

Relatia dintre transformata z si transformata Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ) [ ] [ ]{ } [ ] ( )

( ) ( ){ } [ ]{ }( ) ( ){ } [ ]{ }.nxZttx

.nxZttx

znTxznxnxZnxnTx

.enTxnTtnTxtx̂

nTtnTxtx̂sXtx

duzeTa

dzeTa

n

nea

n

ndddea

n

snTeae

nea

neeaaa

esTe

esTe

e

=δ

=δ

==⇒=

=−δ=⇒

⇒−δ=↔

=

=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

∑∑

∑∑

∑

uL

L

LL

obtine se eesantionar Prin

Studiul sistemelor discrete liniaresi invariante in timp prin

intermediul transformarii z

Forma simpla a teoremei convolutiei semnalelordiscrete face din transformata Z un instrument util pentru studiul sistemelor discrete LIT. Daca sistemul studiat este cauzal si nu are conditii initiale nule, este utila transformareaZ unilaterala.

11

Functia de sistem a unui sistemdiscret, liniar si invariant in timp

Functia H(z), numita "functia (de) sistem" sau"functia de transfer a sistemului" caracterizeazacomplet comportarea sa în planul complex z, dupa cum raspunsul la impuls h[n] caracterizacomplet comportarea sistemelor in timp.

Daca sistemul discret este stabil, exista si transformataFourier in timp discret a lui h[n] si prin urmare cerculunitar este in domeniul de convergenta al functiei de sistem ce caracterizeaza un sistem stabil.

Daca sistemul este cauzal: Hu(z) = H(z), atunci domeniulde convergenta al functiei este exteriorul unui disc.

Daca sistemul este stabil si cauzal, cercul unitar este in DC. Toti polii functiei sistem a unui sistem stabil si cauzal au modulul subunitar ceea ce este ehivalent cufaptul ca sunt cuprinsi în interiorul discului unitar.

12

Determinarea raspunsului unuisistem discret liniar si invariant întimp, utilizand transformarea Z

Daca x[n] este dat si se specifica h[n] ↔H(z) atuncise aplica semnalului de intrare transformareadirecta rezultand X(z). Raspunsul in complex este Y(z)=H(z)X(z).

Aplicand transformarea Z inversa, rezulta semnalulraspuns, y[n]. Daca se lucreaza cu sisteme si semnale cauzale în conditii initiale nenule, se va utiliza numai transformarea Z unilaterala.

Calculul transformarii z inverse

Sunt aplicabile trei metode:1. Calculul direct al integralei,2. Transformarea functiei Y(z) intr-o suma

de fractii simple,3. Metoda dezvoltarii functiei Y(z) in serie

de puteri.

13

2. Transformarea functiei Y(z)intr-o suma de fractii simple

Metoda se aplica in cazurile in care Y(z) este o functie rationala. Functia Y(z) poate fi un raport de polinoame în z-1 sau z. Recomandam sa se lucreze în z-1, notand

pentru comoditate z-1 = x, deoarece in majoritatea cazurilor tabelele sunt date înfunctie de puterile lui z-1.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) [ ]( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) .xDxRxx

dxd

!isb

xDxRxxa

.xx

bxx

axDxR

knczcxcxI

.xDxRxI

xDxNzYxY

kk

k

k

m

k

xxs

kis

is

kki

xxmm

m k

s

i ik

ki

m

m

k kk

kk

k

kk

=−

−

=

=

−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−+

−=

−δ↔==

+===

∑ ∑ ∑

∑ ∑∑

1

1

1

;

Se aplica transformarea inversa fiecarui termen din suma, dupa ce se revine mai intai la z-1 = x, utilizand tabelele de transformate si tabelele de proprietati ale transformarii.

14

Exemple( ) ( )( ) ( ) { }

( ) ( )( ) ( )( )( )

[ ] ( ) ( )[ ] [ ]( ) { }

[ ] ( ) ( )[ ] [ ]( ) { }

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ].n,n,ny,z,zzY

.n,,ny

,zzzY.n,,ny

.z,z,zz

zY

xxxxx

zzzzY

.zzzY.z.z

zzY

nn

nn

nn

u

σ−−−σ−=

15

( ) ( ) { }( ) ( ) [ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( ) [ ]

( )

: lui ale negative puteriledecat continenu cauzal semnalului ata transformdeoarece in catului forma urmarind impartirea efectueaza Se

, 1

1 d)

11

consecintain si 01lim0 da initiale valorii teoremacauzal, fiind Semnalul

1 ; 11

DC , 1 c)

1

1

1

1

1

1

1

zz

.azaz

zY

.nan

ny

azlny

.nn

anyzn

azY

.azzazlnzY

nn

z

nnn

n

nn

−

−

−

∞→

+−∞

=

+

−

>−

=

−σ−=

=+=

≥−=↔−=

>=+=

∑

[ ] [ ].nany nσ= :deci obtine Se

( )

( ) :forma sub impartirea efectueaza se si scrie

se aceea De . lui ale pozitive puterile numai contine sa taTransforma .anticauzal

estetor corespunza semnalul ,pentru definita este 1

1 Daca 1

azzzY

z

azaz

zY

−=

<−

= −

( ) ( )[ ] [ ].nany

zazazYn

m n

nnmnm

1 este

semnalului forma consecintain si :ca Rezulta1

11

−−σ−=

−=−= ∑ ∑∞

=

−

−∞=

−−=

−

16

Sisteme discrete liniare si invariante in timp, caracterizate

prin ecuatii cu diferente finiteliniare si cu coeficienti constanti

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )( )i.numitorulu graduldecat egalsau mic mai fie sa trebuieluinumaratoru gradul

limlim0 :initiale valorii teoremeiconform caz,acest In unitar. cercului

interiorulin gasesc se sai polii toticauzal si stabil este sistemul Daca .sistemului polii numesc se 0 ecuatiei radacinile ,sistemului zerourile numesc se 0 ecuatiei Radacinile

sau in rationala fractie o este ,

:rezulta bilaterala z ata transformegalitatii Aplicand 0 ,

1

0

0

00

0 00

⇒==

==

===

≠−=−

∞→∞→

−

=

−=

−

=

−

=

−

= =

∑

∑∑∑

∑ ∑

zDzNzHh

zDzN

.zzzH.zDzN

za

zbzHzXzbzYza

aknxbknya

zz

M

k

kk

N

k

kkM

k

kk

N

k

kk

N

k

M

kkk

Contributia polilor unui sistemdiscret cauzal in raspunsul la

impuls al acestuia

( )

[ ]

( )

[ ]( )

oscilator.-limita la eStabilitat ).excitatiei disparitia dupa si(chiar fixa eamplitudin de oscilatie ,

:forma de este lalor aContributi unitar, cercul pe situati simpli poli :aparte Cazinstabil.-sistem l,exponentia creste raspunsul ,1 Daca

.sistemului ateinstabilit conferanu poli de perechea a,amortizeaz se raspunsul 1 Daca

forma de este in lor acontributiiar 11

:sunt simple fractiiin lui readescompunein toricorespunza Termenii si conjugati;complex simpli poli de Perechi 1.

identic. modin se-tratanducazuri celelalte dubli,sisimplipolilor cazul numai considera Vom

11

pp

p

p

np

jp

*

jp

jp

*p

jpp

nsinAnh

r

,r.nsinA

nh...zer

azer

a...

zHerzerz

pp

pp

Φ+Ω

>

<

Φ+Ω

+−

+−

+

==

−Ω−−Ω

Ω−Ω

17

( ) ( )

( ) ( )[ ] [ ]

instabil. sistem-in timp creste raspunsul ,1 Daca

stabil. sistem-amortizat este raspunsul ,1 Daca

:forma de este impuls la raspunsulin lor aContributi1111

...

:forma de este transfer de functia lalor aContributi

dublii, polisunt si conjugati,complex dublii Poli 2.

21

21

221

21

11

1

>

<

σΦ+Ω+Φ+Ω

+−

+−

+−

+−

+

==

−Ω−−Ω−Ω−−Ω

Ω−Ω

p

p

ppnppp

np

jp

*

jp

jp

*

jp

jp

*p

jpp

r

r.nnsinnrAnsinrA

...zer

a

zer

azer

azer

a

erzerz

pppp

pp

Calculul raspunsului unui SLIT discret caracterizat printr-o

ecuatie cu diferente finite

[ ] [ ]

[ ]{ } [ ]{ }

( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ][ ]

( ) [ ][ ] ( )[ ]( ) ( ) [ ].nyzYzX

.zXzbznyzYza

nx

.znxzXzbznyzYza

knxZbknyZa

Z

,aknxbknya

uu

M

ku

kk

N

k

k

n

nu

kk

M

k

k

n

nu

kk

N

k

k

n

nu

kk

M

kuk

N

kuk

u

M

kk

N

kk

apoi si determina se initiale, conditiile si Cunoscand

:devine ecuatia si 0,npentru 0 cauzal, este intrare de semnalul Daca

:tetransforma

acesteiilor proprietat baza pe sau,

:obtine se , a,unilateral Zata transformmembri ambiiin Aplicand

nenule. initiale conditiicu 0 ,

:finitediferentecu ecuatiadeat caracteriznecauzal, SLIT considera Se

00 1

0 10 1

00

000

∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∑∑

∑∑

=

−

= =

−

= =

−

= =

−

==

==

=−+

>=−

−+=−+

−=−

≠−=−

18

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) [ ]( )

( ) ( )( )[ ]

[ ]

[ ] [ ]( )

[ ] .zanea

keea

kayany

.az

ayazea

kazeea

keaz

ayazze

kzY

.zze

kzyzYazzY

,ynkenxnxnayny

j

nj

j

nn

jjj

j

ju

juu

nj

1 , 1 ; 1

11

11

11

11

11

1 ; 1

1

01 , , 1Exemplu

0

0

0

000

0

0

0

0

111

111

111

11

>−

=−+−

≠−σ==−−

Ω

+Ω

Ω

++

−−Ω−ΩΩ

Ω

−−−Ω

−Ω−

Ω

Sisteme de ordinul I[ ] [ ] [ ] ( ) DC. ;

11 1 ∈−

=−

=⇒=−− − zazkz

azkzHnkxnayny

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )

sus. cefiltru tre pentru rezulta maximul ,01 Dacajos. cefiltru tre 0 minim,

pentru frecventain iraspunsulu maximul 10 Daca

1

,a,

PA,a

.ePA

ePA

OAH.nkanh

____

j____

j____

____

n

π=Ω

19

Sisteme de ordinul doi[ ] [ ] [ ] [ ] ( )

.aaa

z

azazkz

zazakzHnkxnyanyany

,p 24

polii si originein 2 ordinul de zeroun Avem

1 21

2211

21

212

2

22

11

21

−+−=

++=

++=⇒=−+−+ −−

.aaaaaa

.aaaaa-

aaa

aaaaaa

aa

aa

.ezaa jp ,

1 ; 1 ; 04:rezulta iinegalitat de sistemul Rezolvand

04 ; 242

:realisunt polii dacasau 4

, 1

4 ; 124

ea.stabilitat obtine apentru si iicoeficientscaindeplinea le sa trebuiecare pe conditiile

cauta se si cauzal sistemul considera Se reali.sunt polii 4 Daca

conjugaticomplex sunt poli doi cei 4 Daca

1212221

2212

211

21

22

2212

212

21

21

221

221 21

−>−−>≥−

≥−

20

Functia de sistem echivalenta unorsisteme discrete conectate in serie

si in paralel

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ).zHzHzH

nhnhnh

e

e

21

21 ; +=

+=[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ).zHzHzH

nhnhnh

e

e

21

21 ; =

∗=

Forme de implementare ale filtrelor numerice utilizand

transformarea Z

Forma specifica de reprezentare a implementarii in forma directa I. S-a considerat a0 = 1.

21

Forma specifica de reprezentare a implementarii in forma directa II. S-a considerat a0 = 1 .

Forma laticiala a unui filtru avandnumai poli

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown

/Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

Transformarea z - Infoelectronica · transformata sa bilaterala exista in tot planul, cu exceptia...

Documents

Transcript of Transformarea z - Infoelectronica · transformata sa bilaterala exista in tot planul, cu exceptia...