5. Transformarea Fourier a semnalelor analogice

O reprezentare spectrala aplicabilasemnalelor neperiodice

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

10 in restT

Tk k

, t Tx t p t

,

x t x t t x t t kT x t kT

Δ

∞ ∞

=−∞ =−∞

⎧ ≤= = ⎨

⎩

= ∗δ = ∗ δ − = −∑ ∑%

( ) ( )T

x t x t→∞→%

( ) ( ) 11 00

1 1

0 1 0 1

1

1

0

0 1

0 0

10

0 1

0

1

1 20 in rest

2 ; 0

21Pentru 0 : Se observa ca : 0,

2 ; 0

2

TT jk tjk t

kT T

jk T jk Tk

T Tk

T

k

Tx t , t ex t c e dtT jk T,

sin k Te e c kjk T k T

Tk c dt c kT T

sin k T kkTc

T

− ω− ω

− −

ω − ω

→∞

−

⎧ <⎪= = = − =⎨ ω⎪⎩

ω−= = ≠

ω ω

= = = → ∀

ω≠

ω=

∫

∫

%

( ) ( )01

1

; 02 ; 2 ; 0

; 0k

X k ksin TX TcT k

k

⎧⎧ ω ≠ω⎪ ω = =⎨ ⎨ω =⎩⎪ =⎩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 02 2

2 2

0 0

1 1 1

1 2 ;

T T

jk t jk t jk tk

T T

j tk

c x t e dt x t e dt x t e dtT T T

X x t e dt c X k ,T T

∞− ω − ω − ω

−∞− −

∞− ω

−∞

= = =

πω = = ω ω =

∫ ∫ ∫

∫

%

( ) ( )0 00 01 2 ; jk t jk t

kk k

x t c e X k eT T

∞ ∞ω ω

=−∞ =−∞

π= = ω ω =∑ ∑%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0 0 0

00

1 12 2

1 12 2

1 ; ; 2

jk t j tkk k

j t j tT k k

j t j t

x t X k e X e

lim x t lim X e X e d

x t X e d X x t e dt

∞ ∞ω ω

ω= ω=−∞ =−∞∞∞ ω ω

→∞ ω → =−∞ ω= ω −∞

∞ ∞ω − ω

−∞ −∞

⎡ ⎤= ω ω = ω ω⎣ ⎦π π

⎡ ⎤= ω ω = ω ω⎢ ⎥π π⎣ ⎦

= ω ω ω =π

∑ ∑

∑ ∫

∫ ∫

%

%

Georg Friedrich Bernhard Riemann, (17 Septembrie, 1826 – 20 Iulie, 1866) a fost un matematiciangerman care a avut contributiiimportante in analiza si geometriediferentiala, unele dintre ele pavanddrumul spre dezvoltarile ulterioare din teoria relativitatii generala. Contributiile sale au devenit ulterior parti majore ale ale geometrieiRiemanniene si ale geometrieialgebrice. Teoria suprafetelor luiRiemann a fost elaborata de Felix Klein si in special de Adolf Hurwitz. Aceasta parte a matematicii este o parte din bazele topologiei si este incaaplicata in forme noi in fizicamatematica.

Transformare Fourier directa.

Densitate spectrala.

Transformare Fourier inversa.

Pereche Fourier.

Spectrele semnalelor periodice sunt spectre de linii.

Spectrele semnalelor aperiodice sunt curbe continue.

Integralele se calculeaza in sensul valorii principale Cauchy.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

12

j t

j t

X x t e dt

x t X e d

x t X

∞− ω

−∞

∞ω

−∞

ω =

= ω ωπ

↔ ω

∫

∫

Transformarea Fourier pentrusemnalele din clasa L1

( ){ }( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

j t

j t

x t x t e dt

X x t e dt x t dt x t

∞− ω

−∞

∞ ∞− ω

−∞ −∞

ω =

ω ≤ = = < ∞

∫

∫ ∫

F

Daca x(t) este din L1

si este cu variatie marginita

pe toata axa atunci:

( ) ( ){ }( )1lim .R

j t

RR

x t x t e dω

→∞−

= ω ω∫ F

Cateva proprietati ale transformarii Fourier in L1

Timpul de intarziere de grup la trecerea unui semnal printr-un sistem cu faza Φ(ω) este:

( )g

ddΦ ω

τ = −ω

In cazul sistemului de intarziere cu t0 timpul de intarziere de grup este egal cu t0.

1. Liniaritatea( ) ( ) ( ) ( )ω+ω↔+ bYaXtbytax

2. Translatia in domeniul timp

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )ω=ττ=−= ω−+τω−∞

∞−

∞

∞−

ω− ∫∫ Xedexdtettxt-tx tjtjtj 0000

1F

( ) ( ) ( )

( )

2

2

22 2 22 ; 2 =2

21 2 2 2212 2

2

sin sinsinp t p t p t

sin sinp t p t

τ τ τ

τ τ

ω ωτ τωτ

↔ = ↔ωω ω

ωτ ωτ⎛ ⎞ = ↔ =⎜ ⎟ ω ω⎝ ⎠

3. Modularea in domeniul timp

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )00 010

j tj t j t j tx t e x t e e dt x t e dt X∞ ∞

− ω−ωω ω − ω

−∞ −∞

= ⋅ = ⋅ = ω−ω∫ ∫F

4. Scalarea variabilei timp

( ){ } ( )1 1 1jax at x e d X

a a a

∞ ω− τ

−∞

ω⎛ ⎞= τ ⋅ τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫F

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1

2 2

01 2 2

0 0

Aria de sub graficul spectrului este: 2 2 2

j t j t

j t

lim p t t

sin sinp t e dt lim p t e dt lim

,sin sint e dt lim lim,

sin sin sA d d

ττ→∞∞ ∞

− ω − ωτ τ

τ→∞ τ→∞−∞ −∞∞

− ω

τ→∞ τ→∞−∞∞ ∞

−∞ −∞

=

ωτ ωτ= ⇒ =

ω ω

∞ ω=⎧ωτ ωτ= = τ = ⎨ ω≠ω ωτ ⎩

ωτ ωτ= τ ω= ωτ =

ωτ ωτ

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

02

4 2

1 2 ; 1 2j t

inu sinudu duu u

sinu sinudu du Siu u

t e dt t

∞

−∞∞ ∞

−∞ −∞∞

− ω

−∞

+ =

= + = ∞ = π

= πδ ω ↔ πδ ω

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )sinlimτ→∞

ωτ= δ ω

πω

5. Conjugarea complexă a semnalului

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *

1 * * *v

j tj tx t x t e dt x t e dt X X∞ ∞

− −ω− ω

−∞ −∞

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = −ω = ω⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫F

6. Reflectarea in timp a semnalului

( ) ( )x t X− → −ω7. Derivarea semnalului

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 ' '

lim lim 0

'

j t j t j t

j t

t t

x t x t e dt x t e j x t e dt

x t e x t

x t j X

∞ ∞− ω − ω ∞ − ω

−∞−∞ −∞

− ω

→±∞ →±∞

= ⋅ = ⋅ + ω ⋅

⋅ = =

→ ω ω

∫ ∫F

8. Integrarea semnalului

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

lim 0 0 0

t

t

t

y t x d y t j Y x t X j Y X

XY y t x d X x d

j

Xx d

j

−∞

∞ ∞

→∞−∞ −∞

−∞

= τ τ → ω ω → ω ω ω = ω

ωω = = τ τ = = τ τ =

ω

ωτ τ →

ω

∫

∫ ∫

∫

;

9. Convolutia semnalelor (teorema convoluţiei)

( ) ( ){ } ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

.

j t j t

j tj j j u

x t y t x y t e dt x y t d e dt

x e y t e dtd x e d y u e du

y t X Y

∞ ∞ ∞− ω − ω

−∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ ∞− ω −τ− ωτ − ωτ − ω

−∞ −∞ −∞ −∞

⎡ ⎤∗ = ∗ ⋅ = τ − τ τ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= τ − τ τ = τ τ ⋅

∗ → ω ⋅ ω

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

F

x t

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2

2

2

2

1

2 22

2

21

2

tp t p t p t

sin sinp t

sintp t

τ τ τ

τ

τ

⎛ ⎞∗ = τ −⎜ ⎟τ⎝ ⎠

ωτ ωτ

↔ = τωτω

ωτ⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

τ − ↔ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ωττ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Spectrul unui semnal din L1 este continuu, marginitsi se anuleaza la infinit.

10. Derivarea spectrului

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1

j t j t j tdX d dx t e dt x t e dt j tx t e dtd d d

dXtx t

j d

∞ ∞ ∞− ω − ω − ω

−∞ −∞ −∞

ω ⎛ ⎞= ⋅ = = − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎝ ⎠

ω→

ω

∫ ∫ ∫

Spectrul unui semnal real si par este real si par.

Spectrul unui semnal real si impar este pur imaginarsi impar.

11. Proprietati ale transformatelor (spectrelor) semnalelor reale

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ) ( ){ } ( )( ) ( ){ } ( )

1 *

* *

*

.

Re Re Im Im

Re

Im

j

p R

i I

Daca x t L si x t R atunci x t x t

x t X X e

x t X

X X X X

X X X X

x t X X

x t j X jX

Φ ω

∈ ∈ =

→ ω = ω

→ −ω

ω = −ω ω = −ω Φ ω = −Φ −ω

ω = −ω ω = − −ω

→ ω = ω

→ ω = ω

Spectrul unui semnal real si impar este pur imaginar si impar.

( )2 2

2 2x t p t p tτ τ

τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 22 2 2 22 2

; ; ; j j j jsin sin sin sin

p t p t e p t e x t e eωτ ωτ ωτ ωτ

− −τ τ τ

ωτ ωτ ωτ ωτ ⎛ ⎞τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟↔ − ↔ + ↔ ↔ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Marc-Antoine Parseval des Chênes (27 aprilie 1755 – 16 august 1836) a fost un matematician francez faimos pentru Teorema lui Parseval, care garanteaza unitaritatea transformarii Fourier. Se pare ca el nu a publicat decat cinci lucrari matematice, in anul 1806 sub titlulMémoires présentés à l'Institute des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, es lus dans ses assemblées. Sciences mathématiques et physiques. (Savans étrangers.) In cea de a doualucrare el a declarat fara a demonstra (afirmand ca este evident) enuntul teoremei care ii poarta in prezent numele. In urmatoarealucrare el a dezvoltat aceasta teorema si a folosit-o pentru a rezolvadiferite ecuatii diferentiale. Aceasta teorema a fost inclusa si de catreLacroix in cartea sa Traité des différences et des séries la pagina 377.

12. O teorema gen Parseval pentru semnale din L1

( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }( )1 1 .x t y t dt x y t d∞ ∞

−∞ −∞

ω = ω ω ω∫ ∫F F

13. Relatia dintre transformata Fourier a unui semnal aperiodic si coeficientii seriei Fourier exponentiale ai semnalului obtinut prin periodizarea semnalului aperiodic

( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

2 2

2 2

0

1 1 1

1 2

T T

jk t jk t jk tk

T T

k

c x t e dt x t e dt x t e dtT T T

c X kT T

∞− ω − ω − ω

−∞− −

= = =

π= ω ω =

∫ ∫ ∫%

0 ; .

( )

( )

0 0

0 00 0

2 1 2

1 1 11 122 dar 2 2 ;2

2 - impar 2 ; 1 2 0 ; 0 1 22 10, - par

kx xk k

x x xk k k

k Tcos cos kc j T c j jT k k kj , k jc c k , ,... c k , , ,...k

kk−

ω− − −− π

= − ω = π ⇒ = − = −ω π π

⎧−⎪= ⇔ = − = = =π⎨ − π⎪⎩

% %

% % %

( )01

22

TcosX j

ω−

ω = −ω

Transformarea Fourier a semnalelor din clasa L2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1

2

2 2

Se considera pentru inceput ca:

1 ; 2

10 relatie de tip Parseval, 2

relatia lui Rayleigh.

Spectrul lu

*

j t *

*

x t L L x t L L

y t x t * x t L Y

y t Y e d x x t d

Y X X X ;

y x d X d

∞ ∞ω

−∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

∈ ∩ ⇒ − ∈ ∩ ⇒

= − ∈ ⇒ ∃ ω

= ω ω = τ τ − τπ

ω = ω ω = ω

= τ τ = ω ωπ

∫ ∫

∫ ∫

( )

( ) ( )

2

2 22 2

i este din si

2

x t L

X x tω = π

( )( ) ( )

2 1Se considera acum ca: \

Se trunchiaza prin inmultire cu

x t L L

x t p t .τ

∈

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ){ }( ) ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )

1 2

1 2 1 2

2 1

1 2

1 21 21 2

1 2

2 21 1

222

2

21 1

, 2

2 1

22

2

2 2

lim 0

. . . .

lim .2

F F

F F

F F

F

j t

j t

y t x t p t p t L L

x t p t x t p t x t p t x t p t

x t dt x t dt

x t p t x t p t

x t l i m x t p t l i m x t e dt

x t x t e dt

τ τ

τ τ τ τ

−τ τ

−τ τ

τ ττ τ →∞τ >τ

τ− ω

ττ→∞ τ→∞−τ

τ− ω

τ→∞−τ

= − ∈ ∩

− = π − =

= π + π

− =

ω = = ⋅

= ⋅

∫ ∫

∫

∫

Teorema lui Plâncherel

( )

( ) ( )

( ) ( )

2Daca atunci:

i) exista , R

ii) pentru are loc egalitatea:

12

j t

Rj t

R R

x t L

X l.i.m x t e dt ,

t R

x t l.i.m X e d

τ− ω

τ→∞−τ

ω

→∞ −

∈

ω = ∀ω∈

∀ ∈

= ω ⋅ ωπ

∫

∫

Michel Plâncherel (16 ianuarie 1885 -4 martie 1967) a fost un matematicianelvetian. S-a nascut la Bussy (Fribourg, Elvetia) si si-a obtinut diploma in matematica de la Universitatea din Fribourg in 1907. A fost numit profesorla Fribourg (1911), si din 1920 s-a mutat la ETH Zurich. El a lucrat in domenile analizei matematice, al fiziciimatematice si al algebrei si estecunoscut pentru teorema lui Planchereldin analiza armonica. A fost casatorit cu Cécile Tercier, au avut noua copii si a prezidat MisiuneaCatolica Franceza din Zürich.

2 2

1

2

Observatii

i) Transformata Fourier a semnalelor din este si ea in .

ii) Toate proprietatile demonstrate pentru transformarea Fourier

raman valabile si pentru transformarea Pentru semnale din

L L

.

ℑ

ℑ

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 2

2

-

este valabila relatia Rayleigh. Ea nu este valabila pentru semnale din

iii) Pentru ( ) si ( ) din are loc relatia:

12

Cele 2 integrale sunt formele de exprimare ale

* *

L

L \ L .

x t y t L

x t y t dt X Y d∞ ∞

∞ −∞= ω ω ω

π∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

unor produse scalare.Relatia poate fi scrisa si in forma:

12

x t , y t X ,Y= ω ωπ

Proprietati suplimentare ale transformarii Fourier din L2

14. Convolutia spectrelor (teorema convolutiei spectrelor)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

122

12 2 2 .2

1 .2

j u t

j u j t j t

Z X Y L

Z X u Y u du X u y t e dt du

y t X u e du e dt x t y t e dt x t y t

x t y t X Y

∞ ∞ ∞− ω−

−∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ω − ω − ω

−∞ −∞ −∞

ω = ω ∗ ω ∈

⎡ ⎤ω = ω− = π =⎢ ⎥π⎣ ⎦

⎡ ⎤= π = π = π ω⎢ ⎥π⎣ ⎦

→ ω ∗ ωπ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ F

În aceasta relatie se face dubla schimbare de variabila

si t tω→ →ω

15. Teorema simetriei

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ){ }( )22 2 2 F F t j t j tx t X e d x t X e d x t∞ ∞

ω − ω

−∞ −∞

π = ω ω π − = ω ω = ω∫ ∫

( ) ( ) ( ){ }( )2 ,Fj tx X t e dt X t∞

− ω

−∞

π −ω = = ω∫

( ) ( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ){ }( )2

F

F

x t X x t

X t x X t

↔ ω = ω

↔ π −ω = ω

Exemple1. Semnalul poarta temporala

( ) ( ) ( ) sin2 .p t t tτ

ωτ= σ + τ −σ − τ ↔

ω2. Semnalul poarta in domeniul frecventa. Se aplica teorema simetriei

( )0

0sin2 2 .

tp

t ω

ω↔ π −ω

3. Semnalul triunghiular simetric

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

/ 2 / 2 / 2

2

/ 2 / 2

2sin21 . ,

2sin 2sin 2sin2 2 2. .

T T T T T

T T T T

Tt

p t p t tri t T p t p tT

T T T

tri t p t p t tri t

ω⎛ ⎞

∗ = = − ↔⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎝ ⎠

ω ω ω⎛ ⎞⎜ ⎟

= ∗ ↔ ⋅ ↔ ⎜ ⎟ω ω ω⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠4. Semnalul triunghiular in domeniul frecventa

( ) ( )

( )

0 0

0

20

20

00

sin2 2 2 ,

2

sin2 2 1 .

2

t

tri trit

t

pt

ω ω

ω

ω⎛ ⎞⎜ ⎟

↔ π −ω = π ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ω⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ω

↔ πω − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Semnal cauzal exponential cazator

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ }( ) ( ){ }( )

( ){ }( ) ( ){ }( )

0 0

0

00

2 200

0

2 20

0

10 .

1 arg .

1, .

1 ;

.

,

;

F F

F F

t t

t

x t e t e tj

X X arctg

x t x t e t x tj

x t x t

Arg x t arctg Arg x t

−ω −ω

ω

= σ ω > σ ↔ω + ω

ωω = Φ ω = ω = −

ωω +ω

= − = σ − ↔ω − ω

ω = ω =ω +ω

ωω = = − ω

ω

( (

(

(

( )

( )

0

0 0

00

0

02 20 0 0

; 0 1

21 1

t

t tj t j t

x t e

X e e dt e e dt

j j

−ω

∞−ω ω− ω − ω

−∞

= < ω <

ω = + =

ω= + =ω + ω ω − ω ω +ω

∫ ∫

Spectrul semnalului Gaussian este Gaussian.

6. Semnalul lui Gauss

( )

( )

( )

2

2 2 22222

22

22 44 24

4

0

2

1

,

;

at

j ja t t a ta aaat j t aa

ua

x t e a

X e dt e dt e e dt

ja t u adt dua

X e e dua

−

⎛ ⎞ω ω ω ω⎛ ⎞∞ ∞ ∞ω− + − −⎜ ⎟ − +− ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−∞ −∞ −∞

ω− −

−∞

= >

ω = = =

ω⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ω =

∫ ∫ ∫

22 2

14

.

, 0. u at ae du e e aa

∞

∞− ω− −

−∞

π= π ↔ >

∫

∫

Johann Carl Friedrich Gauss (30 aprilie 1777– 23 februarie 1855) a fostun matematician german si om de stintacare a contribuit semnificativ in multedomenii, incluzand teoria numerelor, analiza, geometria diferentiala, geodesia, electrostatica, astronomia si optica. Uneori numit “printul matematicienilor”sau “cel mai mare matematician de dupaantichitate” Gauss a avut o influentaremarcabila in multe domenii ale matematicii si stiintei si este consideratcel mai influent matematician din istorie.

Transformarea Fourier pentrudistributii

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ){ }( ) ( )

( ) ( )

0

)

1 0

0

1

1

F

j t

j t j

i Distributia Dirac si transformata ei Fourier

t dt t t dt

t t dt

t t

t e

t t e dt e

t

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

− ω

∞− ω − ω

−∞

δ = ϕ δ = ϕ

ϕ δ − = ϕ

δ − = δ

ϕ =

δ ω = δ = =

δ ↔ ω

∫ ∫

∫

∫

( ) ( ) ( )( )

ii) Spectrul constantei 1( )Aplicand teorema simetriei1 2 2

2

t

t

c c

↔ πδ −ω = πδ ω

↔ π δ ω

( )

( ) ( )

( ) ( )

iii) Treapta unitara si spectrul ei poate fi descompusa intr-o suma dintre ( ) si ( ):

1 0 1 12 si 1 2 202

Semnalul ( ) nu are componenta continua si:

Avem :

t u t v t

, tu t sgnt v t .

, t

u t u' t t .

u

σ

⎫⎧ > ⎪⎪⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪− <⎪ ⎪⎩ ⎭

= δ

ℑ ( ){ }( ) ( ){ }( )

( ){ }( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( )

( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( )

( ) ( )

1

1

Dar: asa ca:1 1 2

21

' t t

u' tu t

j jt u t v t

t u t v tj

tj

ω = ℑ δ ω =

ℑ ωℑ ω = =

ω ω

σ = +

ℑ σ ω = ℑ ω +ℑ ω = + πδ ωω

σ ↔ + πδ ωω

{ } ( ){ }

iv) Semnalul ( ) si spectrul sau1 00 01 0

2 ( )22

2

sgn t, t

sgn t , t, t

sgn t u t

sgn t u tj

sgn tj

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

=

ℑ = ℑ =ω

↔ω

v) Semnalul 1/πt si spectrul sau

Aplicand teorema simetriei perechii:

sgnt↔2/jω

se obtine:

2/jt ↔ 2π sgn(-ω)=-2π sgnω

Inmultind in ambii membri cu j/2π se obtine:

, 01 sgn 0, 0

, 0

jj

tj

− ω >⎧⎪↔ − ω = ω =⎨

π ⎪ ω <⎩

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ }( ) ( ) ( ){ } ( ){ }( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

vi) Transformata integralei unui semnal care are componenta continua.

Fie: dar care are 0 0

adica:

1

Dar: 0 si deci:

t

t

y t x d x t t X

y t x t t x t t

XY X X

j jX X

Xx d

−∞

−∞

= τ τ = ∗σ ≠

ℑ ω = ℑ ∗σ = ℑ ω ℑ σ ω

ω⎡ ⎤ω = ω + πδ ω = + π ω δ ω⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦

ω δ ω = δ ω

τ τ↔

∫

∫( ) ( ) ( )

( )

0

Daca 0 0 atunci se obtine relatia din proprietatea P8.

Xj

X

ω+ π δ ω

ω

=

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0

0

0 0

0

0

vii) Spectrul semnalului complex

Se stie ca :1 2Aplicand teorema de modulare:

1 2adica:

2

j t

j t

j t

e cos t j sin t

t

e t

e

ω

ω

ω

= ω + ω

↔ πδ ω

↔ πδ ω−ω

↔ πδ ω−ω

{ } { } { } ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0

0

0 0 0

0 0 0

viii) Spectrul semnalului 1 12 2

1 1 2 22 2 2 2

In final:

j t j t

j t j t

cos t

cos t e e

cos t e e

cos t

ω − ω

ω − ω

ω

ω = +

π πℑ ω = ℑ + ℑ = δ ω−ω + δ ω+ω

⎡ ⎤ω ↔ π δ ω−ω + δ ω+ω⎣ ⎦

( ) ( )

( ) { } ( ){ } ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

0

0 0 0

0 0

0 0

1 1 22 2

x t cos t p tsinX cos t p t

sin sinX

τ

τ

= ω ⋅

ωτ⎡ ⎤ω = ℑ ω ∗ℑ = δ ω−ω + δ ω+ω ∗⎣ ⎦π π ω

⎡ ⎤ω−ω τ ω+ω τω = τ +⎢ ⎥ω−ω τ ω+ω τ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

0

0 0

0 0 0

ix) Spectrul semnalului 1 12 2

1 12 22 2

j t j t

sin t

x t sin t e ej j

Xj j

sin t j

ω − ω

ω

= ω = −

ω = πδ ω−ω − πδ ω+ω

⎡ ⎤ω ↔ − π δ ω−ω −δ ω+ω⎣ ⎦

Transformarea Fourier pentrusemnale periodice

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ }( ) ( ){ }

( ) ( )

0 00

00

00

0 00

0

0 0

00

1 ; 1 ;

Facand schimbarile de variabila si de constante: , se obtine:

1= Deci:

jk t j tT

k k

jk TT

k k

jk T

k - k

t t kT e t t t eT

t t kT e

t T

- k e .

∞ ∞ − ω − ω

=−∞ =−∞∞ ∞ − ω

=−∞ =−∞

∞ ∞ − ωω

= ∞ =−∞

δ = δ − = δ ↔ δ − ↔

ℑ δ ω = ℑ δ − =

→ω ↔ω

δ ω δ ω ω =ω

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( )0 00 00 0

2 2 Tk k

t t kT kT T

∞ ∞ω

=−∞ =−∞

⎛ ⎞π πδ = δ − ↔ ω δ ω = δ ω−⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0 0

0

0 0 00

13 00

0

;

2

Dar: Deci: 2

Tk

Tk

Py yk k

k

y t x t t x t kT

Y x t t X X k kT

X kc . Y c k

T

∞

=−∞∞

ω=−∞

∞

=−∞

= ∗δ = −

πω = ℑ ∗δ = ω ⋅ω δ ω = ω δ ω− ω

ω= ω = π δ ω− ω

∑

∑

∑

Raspunsul in frecventa al sistemelor liniare si invariante

in timp continuu

Raspunsul sistemului poate fi determinat inversand transformata Fourier a produsului dintre spectrul semnalului de intrare si raspunsul in frecventa al sistemului.

( ) ( ) ( ) ( )x t y t X Y∗ → ω ⋅ ω

Raspunsul sistemelor liniare si invariante in timp continuu la

semnale periodice

( ) ( ) ( )0 00, .jk t jk t

k kk k

x t c e y t c H k eω ω= = ω∑ ∑

Metoda armonica

Raspunsul poate fi exprimat si in forma echivalenta:

( ) ( ){ }( )0 0 0cos argH t Hω ω + ω

Sisteme de ordinul intai( ) ( ) ( ) 0 000 >ωω=ω+ txKty

dttdy

( ) 0

0

KHj

ωω =

ω+ω

( ) ( )0

02 2

00

; .K KH arctg> ω ω

ω = Φ ω = −ωω +ω

Caracteristica de modul este o functie para.

Caracteristica de faza este o functie impara.

Caracteristici de frecventaK=1 si ω0=1

Sisteme de ordinul doi( ) ( ) ( ) ( ),2 2

02002

2txKty

dttdy

dttyd

ω=ω+ξω+

( )20

2 20 0

.2KHjω

ω =−ω + ξω ω + ω

1 si 2/1 0 =ω=ξ

Daca ξ=1, 10 =ω

Efectul trunchierii semnalului

( ) ( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }

0 converge in medie patratica la X̂ X p :

l.i.m x t p t x t

ω

ττ→∞

ω ω = ω

ℑ = ℑ

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

0

0

0

00

00

0

0

0 0

sin

sin 1 2sin ˆ2

1 sinˆ

1 sin 1 1 1ˆ

tx t p

tt

p t p Xt

uX p u duu

uX du Si y Si Siu

ω

τ ω

∞

ω−∞

τ ω+ωω+ω

τ ω−ωω−ω

ω= ↔ ω

πω ωτ

↔ ω ∗ = ωπ π ω

τω = ω− ⋅

π

τ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω = = = τ ω+ω − τ ω−ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦π π π π

∫

∫

Efectul trunchierii spectruluiasupra semnalului reconstruit

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0

0 0

Se considera semnalul dreptunghiular: 2

Se trunchiaza spectrul sau in intervalul de la la : 2

Dar:2 2 si si

S-a d

sinx t p t X

sinˆx̂ t X p

sin t sin tsin sinˆp p t x t p t pt t

τ

ω

ω τ τ ω

ωτ= ↔ = ω

ωωτ

−ω ω ↔ ω = ωω

ω ωωτ ωτ↔ ω ↔ = ∗ ↔ ω

π ω π ω

( ) ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ){ }

0 0

00 0

0 0

0 0

emonstrat deja ca:1 1

Aplicand teorema simetriei se obtine:

1 1 sin2 =2

Deci:1 1

sin t p t Si Sit

sinSi t Si t p p .

x̂ t Si t Si t

τ

ω ω

ω↔ τ ω+ω − τ ω−ω

π π π

−ωτ ωτω + τ − ω − τ ↔ π −ω ω

π π −πω ω

= ω + τ − ω − τπ π

Cateva proprietati spectraleremarcabile ale semnalelor

Relatia de incertitudine Heisenberg-Gabor

( )

( ) ( )

{ } ( )

{ } ( )2 2

- variabila aleatoare; - densitatea de probabilitate a lui

Se stie ca: 0 si ca 1

Variabila aleatoare este caracterizata de :

i) medie,

ii) putere,

X

X X

X X

X

X f x X .

f x , x f x dx .

X

E X xf x dx;

E X x f x

∞

−∞

∞

−∞

≥ ∀ =

μ = =

=

∫

∫

{ } ( ){ } ( ) ( )

( )

2 2

iii) putere de fluctuatie in jurul mediei, numita si dispersie

iv) abatere standard,

X X X

X

dx;

Disp X E X x f x dx

Disp X

∞

−∞

∞

−∞= −μ = −μ

σ =

∫

∫

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

22

2 2

Cum este repartizata in timp energia semnalului ?

asa ca poate fi considerata o densitate de repartitie

in timp a semnalului Prin impartire cu se obtine:

1 ; 0 D

x t

W x t dt x t

x t . W

x t x tdt .

W W

∞

−∞

∞

−∞

=

= ≥

∫

∫( )

( )

2

2

e aceea poate fi privita ca si o densitate

de repartitie in timp a energiei.Vom defini un moment de timp in jurul caruia se grupeaza energia semnalului

si o dispersie a aces

1

tuia,c

t

c

x t

t t x

W

t

:

tW

∞

−∞=

σ

∫( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

22

2

222

22

2

1 c

t c

t x t dtdt

x t dt

t t x t dtt t x t dt

Wx t dt

∞

−∞∞

−∞∞

∞−∞

∞−∞

−∞

=

−

σ = − =

∫

∫

∫∫

∫

( ) ( )

( ) ( )

( )

221 1 asa ca

Cum este repar

p

tizata in frec

oate fi consid

venta energia semnalului

erata o densitate de repar

avand spec

titie2 2

in frecventa a semnalului Prin imparti

trul

re cu

?

W X d X

x t .

x

W

t X

∞

−∞

ω

= ω ω ωπ π∫

( ) ( ) ( )2 2 2

se obtine:

1 ; 0 De aceea poate fi privita ca si o densitate2

de repartitie in frVom defini o frecventa in jurul careia

ecv se

enta a ene grupeaza energia semnalului

si o d

r

i

giei.

sc

X X Xd .

W W W

∞

−∞

ω ω ωω =

ω

≥π∫

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

2

22

2

222

22

2

persie in frecventa,

12

12

c

c

c

:

X dX d

WX d

X dX d

WX d

ω∞

∞−∞∞

−∞

−∞∞

∞−∞

ω ∞−∞

−∞

σ

ω ω ω

ω = ω ω ω =π

ω ω

ω−ω ω ω

σ = ω−ω ω ω =π

ω ω

∫∫

∫

∫∫

∫

Valorile abaterilor standard si ne dau informatii despre durata efectivasi banda efectiva a semnalului ( )

tx t .

ωσ σ

Relatia de incertitudine Heisenberg-Gabor

Daca si pot fi definite, atunci pentru orice semnal avem:

Egalul are loc daca si numai daca este un semnal Gaussian.

tσ ωσ

12t ωσ σ ≥

( )x t

2

26

Substiutind ultimele 2 integrale in expresia dispersiei temporale se obtine:

2 2 1 sau 48 2

3 3Pentru a calcula energia aflata in intervalul de timp se aplica relat2

12

ia:2

tt

a

aa

aa a

,a a

W e−σ

πσ = ⋅ =

π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

=

σ =

( )

( ) ( )

2 2 22

2

33 3 32

2 2 23 3

2

* 2

6

1 2 1 12 2 2 2

1In literatura se gaseste tabelata functia lui Laplace: 2

2 2Se obtine: 3 3 0 99722 2

In consecint

x x xat dt

a

tx

* *

e dx e dx e dxa a

x e dt

W , .a a

−− − −

− −∞ −∞−

−

−∞

σ

⎡ ⎤π ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥π π⎢ ⎥⎣ ⎦

Φ =π

π π⎡ ⎤= Φ −Φ − =⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫

6 2 2a: 0 9972 0 9972 99 722 2

W a, , , %W aσ π= ⋅ = ≡

π

[ ]

( ) ( )

2 23 3

2 2633

Energia semnalului cuprinsa in banda 0 3 este:

1 12 2

2 23 3 0 99722 2

3Daca durata semnalului se declara iar banda sa

3 , atunci, pentru acest semn

xaa

a

* *

,

W ' e d e dxa a

, .a a

Ta

B a

ω

ω− −

σ−−

ω

σ

π= ω = =

π

π π⎡ ⎤Φ −Φ − =⎣ ⎦

=

=

∫ ∫

al si pentru fractia de energie indicata, produsul durata banda este: 9TB .ω =

Observatii1i) Interpretarea inegalitatii Heisenberg-Gabor: 2

Daca durata semnalului creste atunci intinderea sa spectrala descreste.Un exemplu a fost dat cand s-a demonstrat proprietatea d

t

t

Cω

ω

σ σ = ≥

σ σ

e sclare in domeniul timp.La o durata a semnalului fixata, intinderea spectrala este mai mare sau egala cu:

1 Deci dintre toate semnalele de aceeasi durata semnalul Gaussian2

are banda de frect t

C .ωσ = ≥σ σ

vente minima. Reciproc, dintre toate semnalele de banda de frecventeimpusa cea mai mica durata o are semnalul Gaussian. De aici importanta acestuisemnal. Folosirea sa este indicata in telecomunicatii

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

0 220 0

2

deoarece la banda impusaofera cea mai mare viteza de transmisie.ii) Valorile si nu pot fi calculate pentru orice semnal. De exemplu pentru

1 1 avem 2

1

t

t

-x t e t X t x t dt ,

j

W x t dt

ω∞

−ω

∞

∞

−∞

σ σ

= σ ↔ ω = =ω + ω ω

= =

∫

∫( )

020 00

1 1 si deci: 22 22

c, t .= ⋅ ω =ω ωω

[ ]

( ) ( )

[ ]

0 02 2 2

0 0

0

In intervalul 0 energia semnalului se determina cu relatia:

1

2 65Daca impunem 0 995 rezulta

Energia cuprinsa in banda de frecvente 0, B se determina cu relat

T Tt t

T

T

,T

W x t dt e dt e W

,W , W T .

− ω − ω

ω

= = = −

= =ω

∫ ∫

( )2

0

0

ia:

1 2 Daca impunem 0 9952

rezulta 127 3 Deci pentru acest semnal produsul este de 337,3.Un astfel de semnal, la o durata impusa are o banda de frecvente fo

B

B BB

BW X d arctg W . W , W

B , . TBT

ω

ω ωω

ω

−

ω ω

= ω ω = =π π ω

≅ ω

∫

arte larga.

( )

( )2 2

iii) Semnalul poarta temporala, cu 2 In aceasta durata este cuprinsaintreaga energie a semnalului.

1 2 Energia care nu este cuprinsa2

in intervalul de

x

x

B BxB

B B

p t , T .

sin xW X d dx.x

ω

ωω

τ

ωτ=

− −

= τ

τ ⎛ ⎞= ω ω = ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠∫ ∫

[ ]

2

frecvente 0 este:

x

x

B

B B

sin x dxxW W

,BW

ω −ω

⎛ ⎞π− ⎜ ⎟⎝ ⎠−

ε = =π

∫

Pentru:

0 995BW , Wω=

se obtine un produsdurata banda de 130. La aceasidurata impulsulrectangular ocupa o banda mai mica decat exponentiala.

Probleme speciale privindsemnalele

i) Semnale de banda limitata

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Au suportul spectrului compact,

1 Cu notatia avem:2

1 este o functie intreaga, 2

olomorfa in tot planul complex. Este indefinit derivabil

M

M

M

M

M

M M

j t

j z

, .

x t X X p

x t X e d . z t ju,

x z X e d ,

ω

ωω

−ω

ωω

−ω

−ω ω

↔ ω = ω ω

= ω ω = +π

= ω ωπ

∫

∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )

a intot planul, si deci si pe axa reala,

1 2

Prin urmare nu se poate anula pe nici un compact si decisuportul sau este de intindere infinita.

M

M

kk j t

t ,

x t X j e d k N

x t

ωω

−ω= ω ω ω ∀ ∈

π ∫

Semnalele de banda limitata au durata infinita.

Pentru semnale de banda limitata este valabila teorema luiBernstein.

Un semnal marginit superior de M si de banda limitata are toate derivatele marginite:

( ) ( )k kMx t M≤ ω

Se spune despre un astfel de semnal ca este cu variatie lenta.

ii) Semnale cauzale si teorema Palley-Wiener

Conditia necesara si suficienta pentru ca un semnal x(t) sa fie cauzal este ca integrala:

( )21

log XI d

∞

−∞

ω= ω

+ω∫

sa fie convergenta.Modulul spectrului semnalului cauzal nu se poate anula pe niciun compact, deoarece daca ar fi asa integrala I ar fi divergenta.

Semnalele cauzale sunt de banda nelimitata.

Raymond Edward Alan Christopher Paley (7 ianuarie 1907 – 7 aprilie 1933) a fost un matematician englez. S-a nascut la Bournemouth in Anglia. A fost educat la Eton. Apoi a urmat Trinity College, de la Cambridge unde s-a dovedit cel maistralucit student. El a primit in anul 1930 premiul Smith. Contributiile sale includ

teoria grafurilor si colaborarea sa cu Norbert Wiener la formulareateoremei Paley-Wiener. A colaborat si cu A. Zygmund in domeniulseriilor Fourier (inegalitatea Paley–Zygmund) si a muncit alaturi de J. E. Littlewood la ceea ce urma sa devina teoria Littlewood-Paley, o aplicatie a tehnicilor de variabila reala la analiza complexa.

Norbert Wiener (26 noiembrie1894, Columbia, Missouri –18 martie1964, Stockholm, Suedia) a fost un matematician american cu contributiiatat in domeniul teoriei cat si in cel al matematicilor aplicate. A fost un pionier al studiului proceselorstohastice si al semnalelor de tip zgomot, cu contributii remarcabile in ingineria electronica, in comunicatii, si in controlul sistemelor. Este de asemenea fondatorul ciberneticii, un domeniu care formalizeaza notiuneade reactie si are implicatii in inginerie, sisteme de control, stiintacalculatoarelor, biologie, filozofie siorganizarea societatii.