48

Teorema 3.2.3 Dacă f : [a, b] × [c, d] → ϒ este continuă, atunci funcţia

F : [c, d] → ϒ, ( )( ) , db

aF t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d], este continuă pe [c, d] şi

( )( )d , d dd b d

c a cF t t f x t t x⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ,

relaţie echivalentă cu ( ) ( ), d d , d dd b b d

c a a cf x t x t f x t t x⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ⎞⎟⎠

d

.

Demonstraţie. Pentru orice u ∈ [a, b] notăm cu

( ) ( ), ,u

ag u t f x t x= ∫ şi ( )( ) , d

d

cG u g u t t= ∫

( )( ) , dd

ch x f x t t= ∫ şi . ( ) ( )d

u

aH u h x x= ∫

Din Teorema 3.2.2, funcţiile ( ),g u t şi g

fu∂

=∂

fiind continue, rezultă

( ) ( )( ) , d , dd d

c c

gG u u t t f u t tu∂′ = =∂∫ ∫ şi . Aşadar,

, ∀ u ∈ [a, b]. Rezultă că cele două funcţii diferă printr-o constantă, deci există c ∈ ϒ astfel încât

( )( ) ( ) , dd

cH u h u f u t t′ = = ∫

( ) ( )G u H u′ ′=

( ) ( )G u H u c= + , ∀ u ∈ [a, b]. Deoarece , rezultă că c = 0, deci ( ) ( ) 0G a H a= = ( ) ( )G u H u= , ∀ u ∈ [a, b].

În particular, pentru u = b avem: ( ) ( )G b H b= adică

( ) ( ), d d , d dd b b d

c a a cf x t x t f x t t x⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ⎞⎟⎠

.

3.3. INTEGRALE GENERALIZATE CU PARAMETRU Definiţia 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu. Dacă pentru orice

t ∈ [c, d], ( ), db

af x t x∫ este convergentă, spunem că ( ), d

b

af x t x∫ este punctual

(simplu) convergentă pe intervalul [c, d]. Ţinând seama de Teorema 3.1.1 rezultă: Observaţia 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu. Atunci

( ), db

af x t x∫ este punctual convergentă pe [c, d] dacă şi numai dacă ∀ t ∈ [c, d] şi

∀ ε > 0, ∃ a < ,t εδ < b astfel încât ∀ ( ),, tu u bεδ′ ′′∈ , avem ( ), du

uf x t x ε

′′

′<∫ .

Page 1

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Există şi un alt tip de convergentă, cu proprietăţi mai bune decât convergenţa

punctuală, în care δ depinde numai de ε şi nu depinde de t. Acest tip de convergenţă se numeşte convergenţă uniformă. Mai precis avem:

Definiţia 3.3.2 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu. Spunem că

( ), db

af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d], dacă ∀ ε > 0, ∃ a < εδ < b astfel

încât, ∀ ( ),u u bεδ′ ′′∈ , şi ∀ t ∈ [c, d] avem ( ), du

uf x t x ε

′′

′<∫ .

Din Definiţia 3.3.2 şi Observaţia 3.3.1 rezultă imediat că: Observaţia 3.3.2 Convergenţa uniformă implică convergenţa punctuală. Teorema 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, b finit sau nu.

Dacă ∃ ϕ : [a, b) → ϒ+ cu proprietăţile: 1) ( ), ( )f x t xϕ≤ , ∀ ( , )x t ∈ [a, b) × [c, d].

2) ( )db

ax xϕ∫ este convergentă, atunci ( ), d

b

af x t x∫ este uniform

convergentă pe [c, d]. Demonstraţie.

Deoarece ( )db

ax xϕ∫ este convergentă, rezultă că ∀ ε > 0, ∃ a < εδ < b astfel

încât ( )du

ux xϕ ε

′′

′<∫ , ∀ ( ), ,u u bεδ′ ′′∈ .

Cum ( ) ( ), d , d ( )du u u

u u uf x t x f x t x x xϕ ε

′′ ′′ ′′

′ ′ ′≤ ≤∫ ∫ ∫ < , pentru orice

( ),u u bεδ′ ′′∈ , şi ∀ t ∈ [c, d], rezultă că ( ), db

af x t x∫ este uniform convergentă pe

[c, d].

Exemplul 3.3.1 , t ∈ ϒ este uniform convergentă pe ϒ.

Într-adevăr,

0sin dxe t

∞ −∫ x

sinx xe t x e− −≤ , ∀ x ∈ [0, ∞) şi ∀ t ∈ ϒ. Cum

0 0d lim d

uxu

e x e x∞ − −

∞=∫ ∫ 1x = x, este convergentă, rezultă că este

0

sin dxe t x∞ −∫

Page 2

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

uniform convergentă pe ϒ .

În continuare, prezentăm fără demonstraţie, un alt criteriu de convergenţă uniformă.

Teorema 3.3.2 (Abel-Dirichlet) Fie f, g : [a, b) × [c, d] → ϒ. Considerăm următoarele condiţii:

(α1) ∃ M > 0 astfel încât ( ), du

af x t x M<∫ , ∀ a < u < b , ∀ t ∈ [c, d].

(β1) Pentru orice t ∈ [c, d], funcţia x → g(x, t): [a, b) → ϒ este monotonă şi ( )lim , 0

x bg x t = , uniform în raport cu t (adică, ∀ ε > 0, ∃ a ε bδ< < astfel

încât ( ),g x t ε< , ∀ ( , )x bεδ∈ şi ∀ t ∈ [c, d)).

(α2) ( ), db

af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d]..

(β2) Pentru orice t ∈ [c, d], funcţia x → g(x, t): [a, b) → ϒ este monotonă şi ∃ M > 0 astfel încât ( ), ,g x t M< ∀ x ∈ [a, b) şi ∀ t ∈ [c, d].

Atunci, dacă sunt îndeplinite condiţiile α1) şi β 1), respectiv α2) şi β2), rezultă

că ( ) ( ), ,b

adf x t g x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d].

Exemplul 3.3.2 0

sin dt x xe xx

∞ −∫ este uniform convergentă pe [0, ∞). Fie

( )sin , 0

,1 ,

x xf x t x

x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ 0

şi ( ), t xg x t e−= , x ∈ [0, ∞), t ∈ [0, ∞). Deoarece

0

sin dx xx

∞∫ este convergentă (Vezi Exemplul 3.1.9) şi nu depinde de t, rezultă că

0

sin dx xx

∞∫ este uniform convergentă pe [0, ∞).

Pe de altă parte, ( ), t xg x t e− 1= ≤ , ∀ x ∈ [0, ∞), ∀ t ∈ [0, ∞) deci g

satisface condiţia β2). Din Teorema 3.3.2 rezultă că 0

sin dt x xe xx

∞ −∫ este uniform

convergentă pe [0, ∞). Lema 3.3.1 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, fie { }nb cu na b b< < un şir cu

proprietatea că şi fie lim nnb

→∞= b ( )( ) , dnb

n aF t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Dacă

Page 3

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

( ), db

af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d], atunci şirul de funcţii { }nF

converge uniform pe [c, d] la funcţia F, unde

( ) ( )( ) ( ) , d lim , db u

a au bF t v f x t x f x t x= =∫ ∫ , ∀ t ∈ [c, d].

Demonstraţie.

Deoarece ( ), db

af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d] rezultă că ∀ ε > 0,

∃ a ε bδ< < astfel încât pentru orice ( ),u u bεδ′ ′′∈ , şi ∀ t ∈ [c, d] avem

( ), du

uf x t x ε

′′

′<∫ (1)

Cum → b, ∃ nb nε∗∈ astfel încât ∈nb ( ),bεδ pentru orice n nε≥ . dacă

presupunem acum că n nε≥ şi m nε≥ , din (1) rezultă că:

( )( ) ( ) , dm

n

bn m b

F t F t f x t x ε− = ∫ < (2)

Aşadar, şirul { }nF este uniform fundamental, deci uniform convergent pe [c, d]. Pe de altă parte, este evident că pentru orice t ∈ [c, d] avem

( )lim ( ) lim , d ( )mbm am m

F t f x t x→∞ →∞

= =∫ F t .

Trecând la limită în (2) după m → ∞ obţinem ( ) ( )nF t F t ε− ≤ , ∀ t ∈ [c, d], deci u

nF F⎯⎯→ pe [c, d]. Teorema 3.3.3 Dacă f : [a, b) × [c, d] → ϒ este continuă, şi dacă

( ), db

af x t x∫ este uniform convergentă pe [c, d], atunci funcţia F : [c, d] → ϒ,

definită prin ( )( ) ( ) , db

aF t v f x t= ∫ x , ∀ t ∈ [c, d], este continuă pe [c, d].

Demonstraţie.

Fie , → b şi fie na b b< < nb ( )( ) , dnbn a

F t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Din Teorema

3.1.1 rezultă că nF este continuă pe [c, d], ∀ n. Pe de altă parte, Lema 3.3.1

implică faptul că unF F⎯⎯→ pe [c, d]. Din Teorema referitoare la continuitatea

limitei unui şir de funcţii (vezi [9] Teorema 2.1.2) rezultă că F este continuă pe [c, d].

Teorema 3.3.4 Fie D = [a, b) × [c, d] şi f : D → ϒ, cu proprietăţile:

Page 4

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

(i) f şi ft

∂∂

sunt continue pe D.

(ii) ( ), db

af x t x∫ este punctual convergentă pe [c, d].

(iii) ( ), db

a

f x t xt

∂∂∫ este uniform convergentă pe [c, d].

Atunci, funcţia F : [c, d] → ϒ, definită prin F(t) = (v) ( ), db

af x t x∫ ,

∀ t ∈ [c, d], este derivabilă pe [c, d] şi ( )( ) ( ) , db

a

fF t v x tt

∂′ = x∂∫ , ∀ t ∈ [c, d].

Demonstraţie.

Fie , → b şi fie na b b< < nb ( )( ) , dnbn a

F t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Este evident

că şirul { }nF converge punctual pe [c, d] la funcţia F. Pe de altă parte, din

Teorema 3.1.2 rezultă că nF este derivabilă pe [c, d] şi ( )( ) , db

n a

fF t x tt

∂′ =∂∫ x .

Observăm de asemenea, că dacă notăm cu ( )( ) ( ) , db

a

fG t v x t xt

∂=

∂∫ , ∀ t ∈ [c, d],

atunci din Lema 3.3.1 rezultă că unF G′ ⎯⎯→ pe [c, d]. Conform teoremei de

derivabilitate a limitei unui şir de funcţii ([9] teorema 2.1.4) rezultă că F este derivabilă şi ( ) ( )F t G t′ = , ∀ t ∈ [c, d] şi cu aceasta, teorema este demonstrată.

Exemplul 3.3.3 Să se calculeze integrala lui Dirichlet: 0

sin dx xx

∞∫ .

Fie 0

sin( ) dt x xF t e xx

∞ −= ∫ , t ∈ [0, ∞).

Aşa cum am văzut în Exemplul 3.3.2 0

sin dt x xe xx

∞ −∫ este uniform

convergentă pe [0, ∞). Cum funcţia de sub integrală este continuă, din Teorema

3.3.3 rezultă că F este continuă pe [0, ∞), deci 0 0

sin d (0) lim (t

x )x F F tx

∞= =∫ .

Pe de altă parte, avem: 0

sin dt x xe xt x

∞ −∂ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ 0sin dt xe x

∞ −−∫ x . Fie a > 0

oarecare. Deoarece sint x axe x e− ≤ − x

x

, ∀ x ∈ [0, ∞) şi este convergentă,

rezultă că este uniform convergentă pe [a, ∞], ∀ a > 0.

0daxe

∞ −∫

0sin dt xe x

∞ −−∫Din Teorema 3.3.4 rezultă că pentru orice t > 0 avem

Page 5

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

0 00

sin 1( ) sin d cos dt x

t x t xe xF t e x x e xt t

∞−∞ ∞− −′ = − = − =∫ ∫ x

2 20 00

1 cos 1 1 1sin d sin dt x

t x t xxe e x x e xt t t t t

∞− ∞ ∞− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ x .

Mai departe avem 2 21 11 ( )F tt t

⎛ ⎞ ′+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

− , deci 21( )

1F t

t′ = −

+, t > 0. Aşadar,

( ) arctgF t t C= − + , ∀ t > 0 (3)

Pe de altă parte, 0

1( ) dt xF t e xt

∞ −≤ ∫ = , ∀ t > 0, deci

lim ( ) 0t

F t→∞

= . (4)

Din (3) şi (4) deducem 0 = lim ( )2t

F t Cπ→∞

= − + , deci 2

C π= . Folosind din

nou (3) obţinem F(0) = C.

Cum 0

sin dx xx

∞∫ = F(0) deducem că

0

sin dx xx

∞∫ =

2π .

Teorema 3.3.5 Fie f : [a, b) × [c, d] → ϒ, continuă. Dacă ( ), db

af x t x∫ este

uniform convergentă pe [c, d], atunci funcţia F : [c, d] → ϒ, definită prin

( ) ( )F t v= ( ), db

af x t x∫ , t ∈ [c, d] este continuă (deci integrabilă) pe [c, d] şi

( )( )d , d dd b d

c a cF t t f x t t x⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ,

relaţie echivalentă cu

( ) ( ), d d ( ) , d dd b b d

c a a cf x t x t v f x t t x⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ⎞⎟⎠

.

Demonstraţie.

Fie , → b şi fie na b b< < nb ( )( ) , dnbn a

F t f x t= ∫ x , t ∈ [c, d]. Din Teorema

3.2.3 rezultă că ( )( )d , d dnd b dnc a c

F t t f x t t x⎛= ⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ⎞⎟ . Pe de altă parte, din Lema

3.3.1, rezultă că unF F⎯⎯→ pe [c, d], de unde deducem că lim ( )d

dncn

F t t→∞

=∫

= ( )dd

cF t t∫ . Aşadar, avem:

Page 6

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

( )dd

cF t t∫ = lim ( )d

dncn

F t t→∞

=∫ ( )lim , d dnb d

a cnf x t t x

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ .

Rezultă că ∃ ( )lim , d d ( )du d d

a c cu bu b

f x t t x f t t→<

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (finită), deci

( ), d db d

a cf x t t x⎛⎜

⎝ ⎠∫ ∫ ⎞⎟

⎞⎟⎠

d

este convergentă şi

. ( ) ( )( ) , d d ( )d , d db d d d b

na c c c av f x t t x F t t f x t x t⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3.4. INTEGRALELE LUI EULER Definiţia 3.4.1 Se numeşte funcţia beta sau integrala lui Euler de prima

speţă, următoarea integrală generalizată cu parametri :

( ) ( )1 110

, 1 baB a b x x x−−= −∫ , a > 0, b > 0. (1)

Se observă că dacă a < 1, funcţia de sub integrală nu este definită în 0 şi nu este mărginită pe (0, 1], iar dacă b < 1, atunci această funcţie nu e definită în 1 şi nu e mărginită pe [0, 1).

Pentru început, vom arăta că integrala (1) este convergentă pentru a > 0 şi b > 0. Pentru aceasta vom descompune integrala în suma a două integrale

1 1 2 1

0 0 1 2= +∫ ∫ ∫ . Dacă a ≥ 1, atunci ( )1 2 11

01 ba dx x −− −∫ x este o integrală obişnuită

deoarece funcţia de sub integrală este continuă pe 1

0,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, deci nu se pune problema

convergenţei.

Dacă 0 < a < 1, atunci 1 − a < 1 şi deoarece ( ) 11 10

lim 1 1ba ax

x x x −− −⎡ ⎤− =⎣ ⎦,

din Teorema 3.1.5 rezultă că ( )1 2 110

1 ba dx x −− −∫ x este convergentă. Dacă b ≥ 1,

atunci ( )1 111 2

1 ba dx x −− −∫ x este o integrală obişnuită, deci nu se pune problema

convergenţei. Dacă 0 < b < 1, atunci 1 − b < 1 şi deoarece

( ) ( )1 111

lim 1 1 1,b bax

x x x− −−⎡ ⎤− − =⎣ ⎦

din Teorema 3.1.4, rezultă că ( )1 111 2

1 ba dx x −− −∫ x este convergentă. Aşadar,

funcţia B este convergentă pentru orice a > 0 şi orice b > 0.

Page 7

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS