1

Transformata Radon

Problema

Reconstructia unei imagini bidimensionalecu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungulunor drepte.

Domeniul de utilizare:• Prelucrarea imaginilor din domeniul

medical• Prelucrarea imaginilor in cazul controlului

nedistructiv

2

Domeniul medical –tomografiecomputerizata

Scopul: obtinerea imaginii unei sectiuni a obiectului din proiectii obtinute cu ajutorulunor radiatii penetrante. Pentru fiecarelinie se obtine o proiectie unidimensionalaa unei sectiuni a obiectului.

Transformata Radon asigura suportulmatematic necesar pentru legatura intrespatiul de coordonate si spatiulproiectiilor .),( θs

),( yx

3

),( yxf

),( θsg

Transformata Radon a unei functii

se defineste ca integrala de-a lungul unei drepteinclinate cu unghiul fata de axa y si situata la distanta fata de origine. Se noteaza cu

θs

( )∫ ∫+

−

∞

∞

Δ−+=ℜ= dxdysyxyxffsg θθδθ sincos),(),(

[ )πθ ,0, ∈∈ Rsproiectiedeoperatorul=ℜ

( )∫ ∫+

−

∞

∞

Δ−+=ℜ= dxdysyxyxffsg θθδθ sincos),(),(

θ

s

y

xu

u

s

este proiectiaunidimensionala a functiei f(x,y) la unghiul .θ

),( θsg

4

Integrala dubla se poate transforma intr-o integralasimpla, rotind axele de coordonate cu unghiul .θ

θθθθ

cossinsincosyxu

yxs+−=

+=

θθθθ

cossinsincos

uxyusx

+=−=

πθ

θθθθθ

≤≤∞<<∞−

+−=ℜ= ∫+∞

∞−

Δ

0,

)cossin,sincos(),(

s

duususffsg

Transformata Radon duce domeniul spatial

in domeniul .

Observatie!

Coordonatele nu sunt coordonatele polareale lui .

),( yx

),( θs

),( θs),( yx

ϕϕ

sincos

ryrx

== → ( )ϕθ −= cosrs

θθθθ

cossinsincosyxu

yxs+−=

+=

5

Pentru un punct fixat relatia da loculgeometric al tuturor punctelor din planultransformatei ( o sinusoida ) la care contribuie punctul respectiv.

),( ϕr

( )ϕθ −= cosrs

),( θs

),(),( θrfyxf p= ),( θsg),(),( 21 yxbfyxaf + ),(),( 21 θθ sbgsag +

2,2,0),( DyDxptyxf >>=2

2,0),( Dsptsg >=θ

),( yxf

),(),( πθθ ±−= sgsg),( yxf

),(),( 0θθθ += sgsg

),( 00 yyxxf −− ),sincos( 00 θθθ yxsg −−rotatie prin 0θ ),( 0 ϕθ +rf p

Zkksg ∈+ ),2,( πθ

),( ayaxf 0),(1 ≠+ aasga

θ

∫ ∫= dxdyyxfM ),( ∫= dssgM ),( θconservarea masei

scalare

deplasare

periodicitate

simetrie

limitare spatiala

liniaritate

Transformata RadonFunctia

6

Operatorul de proiectie inversa

θθθθπ

dyxggyxf ),sincos(),(~

0∫ +==

ΔB

∫ −==π

θθϕθϕ0

)),cos((),(~),(~ drgrfyxf p

Proiectia inversa intr-un punct este integrala lui

de-a lungul sinusoidei , adica

insumarea tuturor valorilor din spatiul transformatei care au contribuitla acel punct..

),( ϕr ),( θsg

( )ϕθ −= cosrs

Relatii intre imaginea originala si imaginea rezultata in urma proiectiei inverse :

2/122 )(*),(),(~ −+= yxyxfyxf

rrfrf pp

1*),(),(~ ϕϕ =

Imaginea originala poate fi refacuta din proiectia inversa a transformateiRadon cu o filtrare liniara, cu un filtru ce are functia de transfer:

22),( vuvuH +=

ρρφρ == )(),( HH

Dezavantaj important:

Suportul spatial al functiei rezultate din proiectia inversa este mult mai mare decat cel al functiei originale (complexitate mare de calcul).

7

Teorema proiectiei

),(),( θξθ Gsg ↔

Transformata Fourier unidimensionala in raport cu s a proiectiei

este egala cu transformata Fourier bidimensionala a imaginii originale

exprimata in coordonate polare, de-a lungul unei drepte ce trece prin origineinclinata cu unghiul .

),(),( θξθξ pFG =Demonstratie:

∫∞+

∞−

−Δ= dsesgG sj πξθθξ 2),(),(

),( yxf),( θsg

)sin,cos(),( θξθξθξ FFp

Δ=

( ) ),()sin,cos(),(

)cossin,sincos(),(

sincos2

2

θξθξθξ

θθθθθξ

θξθξπ

πξ

pyxj

sj

FFdxdyeyxf

dsdueususfG

===

=+−=

+−+

−

∞

∞

−+

−

∞

∞

∫ ∫

∫ ∫

θ

TeoremaTransformata Radon a convolutiei bidimensionale dintredoua semnale este egale cu convolutia unidimensionaladintre trasformatele Radon ale lor.

{ } ),(*),(),(*),( 2121 θθ sgsgyxfyxf =ℜ

8

Transformata Radon inversa

Plecand de la ,

transformata Radon inversa este data de relatia:

( )θ

θθ

θ

π

π

dsdsyx

ssg

yxf ∫ ∫∞

∞− −+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

=0

2 coscos

,

21),(

fsg ℜ=Δ

),( θ [ )πθ ,0, ∈+∞<<∞− s

( )θ

ϕθ

θ

πϕ

π

dsdsr

ssg

rf p ∫ ∫∞

∞− −−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

=0

2 )cos(

,

21),(

Si in coordonate polare:

Demonstratie:

[ ] 212121 )(2exp),(),( ξξξξπξξ ddyxjFyxf += ∫ ∫+

−

∞

∞

Si in coordonate polare:

[ ] ξθξθθπξθξπ

ddyxjFyxf p )sincos(2exp),(),(2

0 0

+= ∫ ∫∞

Permitand sa fie si valori negative si si utilizand teoremaproiectiei:

[ )πθ ,0∈

[ ]

[ ]

{ }),(~),(~),sincos(~

)sincos(2exp),(

)sincos(2exp),(),(

00

0

0

θθθθθθθ

θξθθπξθξξ

ξθθθπξθξξ

ππ

π

π

sgBdsgdyxg

ddyxjG

ddyxjFyxf p

==+=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

=+=

∫∫

∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

9

[ ]

[ ] ξπξθξξξ

ξθθπξθξξθ

dsjG

dyxjGsg

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

Δ

=

=+=

2exp),()sgn(

)sincos(2exp),(),(~

{ }[ ] { }[ ]

dtts

ttg

sjs

sg

j

Gsg

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=ℑℑ=

∫∞

∞−

−−

1),(2

1

1*),(21

)sgn(*),(),(~

2

11

θπ

πθ

π

ξθξξθ

Aplicand teorema convolutiei

{ }),(~),(~),(0

θθθπ

sgBdsgyxf == ∫

{ }[ ] { }[ ]dt

tst

tg

sjs

sg

j

Gsg

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=ℑℑ=

∫∞

∞−

−−

1),(2

11*),(21

)sgn(*),(),(~

2

11

θππ

θπ

ξθξξθ

Transformata Radon inversa se obtine in doi pasi.1. se filtreaza fiecare proiectie cu un filtru

undimensional, al carui raspuns in frecventa este . Filtrarea se face fie in domeniul de frecventa fie in domeniul spatial , obtinandu-se .

2. din rezultatul obtinut se calculeazaprin proiectie inversa

),( θsgξ

ξs

),(~ θsg

),(~ θsg

),( yxf),( θs

10

Filtrarea in domeniul de frecventa:

Pasi:1) Calcularea proiectiei2) Calcularea transformatei pentru proiectie3) Filtrarea in frecventa cu 4) Calcularea transformatei inverse5) Proiectia inversa6) Adunarea pentru toate unghiurile

Exprimarea matematica:,

ξ

{ }{ } ( )∫ ∫ −+ℑℑ− dsuyxsgd θθδξθθ sincos),(1

Filtrul cu functia de transfer:

se aproximeaza prin diverse filtre:

ξ

11

Banda de frecventa este limitata: Filtrul RAM-LAK ξ

0ξ