2. Cinematica della sorgente estesa 2.1...

2. Cinematica della sorgente estesa

2.1 Introduzione

Il teorema di rappresentazione definisce una relazione tra il campo cinematico δu sul piano di faglia

e lo spostamento u in superficie, attraverso la convoluzione per la riposta elastodinamica del mezzo

di propagazione. Lo scopo della cinematica della sorgente è quello di definire dei modelli

appropriati per la funzione dislocazione che possano interpretare i dati sismici: tali modelli, ottenuti

attraverso ipotesi elementari sulla sorgente o per inversione dei dati sismici, sono indipendenti dai

processi energetici che hanno luogo sulla faglia durante la propagazione della rottura, ma

concernono soltanto gli effetti di tale processo.

Qualora conoscessimo le proprietà del mezzo di propagazione con infinita accuratezza, potremmo

deconvolvere i dati sismici per ricavare le proprietà della funzione di slip. Osserviamo, intanto, che,

ad ogni istante di tempo, lo spostamento osservato al ricevitore porta informazioni integrate sul

piano di faglia, in corrispondenza della regione la cui energia irradiata arriva contemporaneamente

al ricevitore stesso. Lo spostamento appare dunque, per ogni singola fase sismica, come una

trasformata radon, il cui kernel integrale è rappresentato dalle derivate delle funzioni di Green, ossia

dalla risposta impulsiva in trazione del mezzo di propagazione. Per ottenere le proprietà della

funzione dislocazione, dunque, è necessario deconvolvere il segnale sismico osservato non ad un

singolo ricevitore, ma ad un insieme di ricevitori su un regione finita in superficie, che mappi in

maniera indipendente l’informazione sul piano di faglia (come accade per la tomografia medica). La

risoluzione ottenuta, in tale caso, dipende dall’orientazione del piano di faglia ed è tanto maggiore

quanto più prossimo all’orizzontale (dip nullo) è il piano di faglia. Di conseguenza, i terremoti con

meccanismo strike-slip sono quelli per i quali la risoluzione è minore, tenendo conto anche del fatto

che l’informazione si degrada allontanandosi dalla faglia.

D’altro canto le funzioni di Green non sono note con precisione infinita, ma contengono una loro

indeterminazione intrinseca. Anche nelle aree meglio investigate, come il bacino di Los Angeles o

di Taipei, la risoluzione associata ai modelli di velocità non supera 0.5-1 Hz, che corrisponde a

distanze medie dell’ordine di centinaia di metri in superficie, qualche chilometro in profondità. Alla

risoluzione dei modelli di propagazione si sommano il costo computazionale nella simulazione del

campo d’onda in modelli dell’ordine di qualche centinaio di km2, l’attenuazione anelastica che

degrada l’informazione man mano che ci si allontana dalla sorgente e le difficoltà nella costruzione

di modelli fisici che descrivano la propagazione delle onde alle alte frequenze. Infine gli strati più

superficiali, hanno generalmente una risposta visco-plastica alla propagazione delle onde,

attenuando una certa banda di frequenze e amplificandone un’altra. Tali effetti, detti di sito, sono

oggi difficilmente quantificabili, data la scarsità di dati per ricostruire in dettaglio le reologie del

sottosuolo fino a profondità di qualche decina di metri. Per questi motivi le proprietà della sorgente

possono essere derivate soltanto a basse frequenze, per interpretazione dei dati sismici misurati in

prossimità della sorgente.

In aggiunta, i soli strumenti che sono in grado di fornire registrazioni accurate senza saturazione a

pochi chilometri dalla faglia sono gli accelerometri, che forniscono un segnale complesso ad alta

frequenza. La misura dello spostamento deve essere dunque ottenuta per via indiretta attraverso una

doppia integrazione. Generalmente il segnale accelerometrico presenta delle derive, d’origine

termica e elettronica che sporcano il segnale a bassa frequenza. Difficilmente, dunque è possibile

ottenere dall’accelerazione degli spostamenti che contengano il campo statico o che in generale

siano affidabili a delle frequenze al di sotto di 0.05 Hz. Le proprietà cinematiche della sorgente sono

dunque interpretabili dai dati soltanto in un range molto limitato di frequenze: 0.05-1Hz.

Negli ultimi anni, lo sviluppo di metodi per l’acquisizione e l’interpretazione dei dati GPS ad alta

frequenza (1-5 Hz) ha aperto nuove frontiere nel riempimento dello spettro a basse frequenze (fino

a frequenza nulla) dei terremoti. Tali misure sembrano essere in grado di catturare, almeno per

terremoti la cui magnitudo è maggiore di 6, lo spostamento cosismico con precisione centimetrica e

rappresentano una possibilità concreta di colmare la mancanza di informazione nei segnali sismici a

bassissime frequenze.

Nell’altro verso, la risposta elastica del mezzo ad alte frequenze può essere catturata attraverso le

funzioni di Green empiriche, registrazioni sismiche di eventi di magnitudo più piccola, accaduti

nello stesso luogo del mainshock e con lo stesso meccanismo focale. Gli aftershock costituiscono in

generale un buon insieme di funzioni di Green empiriche e consentono di riempire una banda di

frequenze tra 0.5 e 3-4Hz.

L’effetto della propagazione e dello strumento di registrazione limita la banda di frequenze alle

quali possiamo conoscere la funzione dislocazione. Per questo motivo si è soliti rappresentare la

sorgente attraverso un numero limitato di parametri macroscopici, tra cui le dimensioni della faglia,

l’orientazione della faglia nello spazio (meccanismo focale), la velocità di propagazione della

rottura sul piano di faglia e delle funzioni elementari per descrivere le variazioni spazio-temporali

della funzione dislocazione δu. Generalemente assumeremo che δu sia fattorizzata

( , ) ( ) ( )t U R tδ =u ξ ξξ ξξ ξξ ξ

Dove la funzione U è costruita per combinazione lineare di funzioni a supporto locale, associate al

valore della dislocazione in un punto della faglia o in una cella, mentre la funzione R è

generalmente descritta da funzioni semplici, come quella parabolica (l’integrale di un triangolo),

caratterizzata da un unico parametro, la durata, indicata classicamente come rise-time.

2.2 Approssimazione di Fraunhofer

Anche a distanze grandi rispetto alle dimensioni della faglia, la funzione sorgente, così come appare

al ricevitore, ha una sua complessità intrinseca che rispecchia la complessità del meccanismo di

frattura sul piano di faglia. Abbiamo osservato che lo spostamento associato alle onde di volume P

ed S è direttamente proporzionale al moment rate integrato sul piano di faglia:

,c

c

ru u t d

cδ

Σ

∝ Ω = − Σ

∫ ξξξξ

dove c rappresenta una fase sismica, P od S. L’espressione per la distanza è:

2

2 2

0 0 0 2

0 0

2 1 2r r rr r

ξξ

⋅= − = + − ⋅ = + −x r

γ ξγ ξγ ξγ ξξ ξξ ξξ ξξ ξ

con il riferimento centrato nell’ipocentro.

Ricordando che lo sviluppo della radice è:

2 31 1

1 1 ( )2 8

x x x o x+ = + − +

l’approssimazione per r è:

( )

2 2

0 2 2

0 0 0

12 2

r rr r r

ξ ⋅⋅≈ − − +

γ ξγ ξγ ξγ ξγ ξγ ξγ ξγ ξ

Trascurando i termini d’ordine -1, possiamo approssimare la distanza come

0r r= − ⋅γ ξγ ξγ ξγ ξ

L’errore che si commette nello sviluppo è dell’ordine del termine trascurato

( )( )22

0

1

2r

rξ∆ = − ⋅γ ξγ ξγ ξγ ξ

Tale errore deve essere minore di un quarto della lunghezza d’onda del segnale che si sta

analizzando, per non introdurre errori significativi nell’integrazione. In tal caso si ha:

( )( )22

0

1

2 4r

r

λξ∆ = − ⋅ <<γ ξγ ξγ ξγ ξ

Il massimo valore che il termine a primo membro può assumere è 2ξ nella direzione ortogonale a γγγγ.

In tal caso detta L una lunghezza caratteristica della faglia lungo tale direzione, l’approssimazione è

valida per

2 0

2

rL

λ<<

ossia, per dimensioni della sorgente molto piccole rispetto alla distanza ipocentrale e alle lunghezze

d’onda osservate. Generalmente, si utilizza come parametro L la dimensione massima della rottura

sismica, che indicheremo d’ora in poi come la lunghezza della faglia. D’altro canto,

l’approssimazione di far-field è valida per distanze molto maggiori della lunghezza d’onda.

Assumeremo, dunque, di essere nelle condizioni 0L rλ< < .

Con questa approssimazione per la distanza il moment rate integrato è:

0( , ) ,c

rt u t d

c cδ

Σ

⋅ Ω = − + Σ

∫x

γ ξγ ξγ ξγ ξξξξξ

La sua trasformata di Fourier rispetto al tempo dà:

0

0

0 0

( , ) , ( )

ri i

i t ic cc

re dt u t d e d e u e dt

c c

ω ωω ωτω δ δ τ

∞ ∞ ⋅−

− −

Σ Σ

⋅ Ω = − + Σ = Σ

∫ ∫ ∫ ∫x

γ ξγ ξγ ξγ ξγ ξγ ξγ ξγ ξξ ξ,ξ ξ,ξ ξ,ξ ξ,

Il termine nell’integrale corrisponde alla trasformata di Fourier del moment rate:

0

( , ) ( )

ri i

c cc

e d u eω ω

ω δ ω⋅

−

Σ

Ω = Σ∫x

γ ξγ ξγ ξγ ξ

ξ,ξ,ξ,ξ,

che dipende dalla posizione della dislocazione soltanto attraverso il versore γγγγ.

0

( , ) ( )

ri i

c cc

e d u eω ω

ω δ ω⋅

Σ

Ω = Σ∫γ ξγ ξγ ξγ ξ

γ ξ,γ ξ,γ ξ,γ ξ,

Indicando con c

ω=k

γγγγ, il contributo a secondo membro appare come una trasformata di Fourier

nello spazio. Se potessimo conoscere il campo di spostamenti a tutte le frequenze e per tutti i

numeri d’onda potremmo apparentemente risalire, per trasformazione inversa, alla funzione

sorgente sul piano di faglia. Tuttavia, lo spazio dei numeri d’onda sul piano di faglia non è noto per

tutti i per ogni k ma solo sulla circonferenza cosc

ωχ=k dove χ è l’angolo che la direzione del

ricevitore forma rispetto alla faglia. Ciò limita la conoscenza soltanto alle grandi lunghezze d’onda

e alle fasi sismiche la cui energia è irradiata lontano dalla faglia. Le lunghezze d’onda più piccole,

per le quali c

ω>k sono intrappolate in prossimità della faglia e richiedono l’analisi del campo

near source. Inoltre, le lunghezze d’onda radiate appaiono ridotte nella direzione del ricevitore, del

contributo cos(χ), con il massimo dell’informazione per ricevitori allineati rispetto alla faglia e

minima per ricevitori nella direzione ortogonale al piano di faglia.

Il campo di spostamento osservato in far field è dunque proporzionale al moment rate integrato sul

piano di faglia. L’integrale nel tempo su una singola fase sismica è

3

00 0

( , )4

c inn i

R ru t dt dt u t d

c r c

µδ

πρ

∞ ∞

Σ

= − Σ

∫ ∫ ∫x

dove R è la matrice di radiation pattern. L’integrale a secondo membro è direttamente uguale allo

slip integrato sul piano di faglia, perché ora gli estremi di integrazione nel tempo sono indipendenti

da t. Tale integrale è dunque uguale a:

03 3

0 00

( )( , )

4 4

c in i inn i

R A u Ru t dt M

c r c r

µ δ

πρ πρ

∞Σ

= =∫ x

dove abbiamo indicato con M0i la componente del momento sismico derivante dal contributo dello

slip nella direzione i-esima e A(Σ) l’area della superficie di faglia. Assumendo che la direzione dello

slip sia costante sul piano di faglia e di aver registrato nella direzione in cui è presente la singola

fase sismica (P, SV o SH), allora l’integrale di spostamento è proporzionale al momento sismico,

attraverso un coefficiente che dipende dalla geometria del sistema faglia-ricevitore e dalle proprietà

elastiche del mezzo attraversato. L’integrale dello spostamento, per definizione di trasformata di

Fourier è anche il limite dello spettro di spostamento Ω0 per ω che tende a zero. In tal caso vale la

seguente formula:

che viene comunemente utilizzata per il calcolo del momento sismico, lontano dalla sorgente. Il

valore del coefficiente Rpatt

dipende all’angolo di uscita (

sorgente raggiunge il ricevitore. Tuttavia per una vasta gamma di angoli, tale valore oscilla tra

0.7 e per questo, nei limiti dell’errore con il quale si conosce il momento sismico, viene

comunemente utilizzato un valore

effettuate in un mezzo infinito, ma anche se a grandi lunghezze d’onda può essere considerato

omogeneo, la superficie della Terra ha un effetto non trascurabile. Nell’ipotesi di incidenza

verticale del raggio sismico, la superficie libera introduce un fattore

Tale fattore può essere ridotto o aumentato a secondo dell’angolo di incidenza e dei meccanismi di

conversione dell fasi sismiche (con o senza shift di fase).

2.3 Faglia di Haskell

Figura 1: Modello di rottura unidimen

molto maggiore della profondità W.

Analizziamo ora, nell’approssimazione

cui lunghezza è L e la profondità

Assumeremo che la rottura si propaga sul piano di fa

rottura v costante, producendo uno slip costante

coordinate (ξ,η) esplorino la regione

U t U t per Fδ ξ η δ ξ η

Il moment rate integrato è dunque :

( , )c

Ω = − − +x

3

00 0

4patt

c rM

R

πρ= Ω


dipende all’angolo di uscita (take-off) del raggio sismico che dalla

sorgente raggiunge il ricevitore. Tuttavia per una vasta gamma di angoli, tale valore oscilla tra

e per questo, nei limiti dell’errore con il quale si conosce il momento sismico, viene

comunemente utilizzato un valore costante di 0.6. Inoltre, le registrazioni sismiche non sono



ale del raggio sismico, la superficie libera introduce un fattore 2 a denominatore della formula.


conversione dell fasi sismiche (con o senza shift di fase).

: Modello di rottura unidimensionale di Haskell. La geometria della faglia è rettangolare, con lunghezza

ora, nell’approssimazione di Fraunhofer, il campo radiato da una

e la profondità W (Figura 1).

Assumeremo che la rottura si propaga sul piano di faglia in maniera unilaterale, con velocità di

costante, producendo uno slip costante δU. Scelto un riferimento sulla faglia, tale che le

esplorino la regione F=[0,L]x[0,W], la funzione dislocazione è

( , , ) ( , )U t U t per Fv

ξδ ξ η δ ξ η

= − ∈

dunque :

0

0 0

( , )

W Lr

t d U t dv c c

ξη δ ξ

⋅ Ω = − − +

∫ ∫x

γ ξγ ξγ ξγ ξ


) del raggio sismico che dalla

sorgente raggiunge il ricevitore. Tuttavia per una vasta gamma di angoli, tale valore oscilla tra 0.5-

e per questo, nei limiti dell’errore con il quale si conosce il momento sismico, viene

. Inoltre, le registrazioni sismiche non sono



a denominatore della formula.


rettangolare, con lunghezza L

una faglia rettangolare, la

glia in maniera unilaterale, con velocità di

. Scelto un riferimento sulla faglia, tale che le

, la funzione dislocazione è

Nell’approssimazione per la quale l’integrando non dipende da η si ha che

0

0

cos( , )

L

c

rt W U t d

v c c

ξ ξδ ξ

Ψ Ω = − − +

∫x

dove Ψ è l’angolo che la direzione della rottura forma rispetto all’osservatore (vedi Figura 1). La

trasformata di Fourier dello spettro considerato è

0

0 0

cos( , )

L

i t

c

rW e dt U t d

v c c

ω ξ ξω δ ξ

∞− Ψ

Ω = − − +

∫ ∫x

e scambiando l’ordine di integrazione si ha

( )0 cos

0 0

( , )

rLi

i qv c c

c W e d U q e dq

ξ ξω

ωω ξ δΨ ∞− + − − Ω = ∫ ∫x

Il secondo integrale è indipendente dalla variabile x ed è la trasformata di Fourier della funzione

dislocazione:

( )0

0

( , )

Lri

icc

W U e e dω

ωξψω δ ω ξ−

−Ω = ∫x

dove abbiamo posto 1 cos

v cψ

Ψ= − . Ricordiamo che l’integrale

(1) 2

0

2sin

2

L Li

i Le d e

ααφ φ α

α

=

∫

Otteniamo quindi

( )0

22( , ) sin( )

2

ri L

c

c

LW U e

ψω

ω δ ω ωψωψ

− +

Ω =x

L’ampiezza spettrale di una rottura unidimensionale decade dunque come il valore assoluto della

funzione sin(x)/x che presenta degli zeri per x=kπ, e rappresenta un filtro, con frequenza di taglio in

a x=π/2 ( Figura 2). L’effetto della geometria unidimensionale della faglia, rispetto ad una sorgente

puntiforme corrisponde ad un segnale in spostamento lisciato. La frequenza del filtro è

Figura 2: Andamento della funzione ¦

Indicando con TD la durata della rottura,

coefficiente di normalizzazione che è funzione dell’azimuth.

Tale frequenza è massima per Ψ=0

Inoltre poiché il momento sismico deve essere conservato, le ampiezz

nella regione direttiva sono maggiore che nella posizione laterale o antidirettiva.

La funzione dislocazione è anch’essa funzione del tempo. Assumendo una rampa per la funzione

slip, il moment rate è una boxcar

puo` essere ottenuto dall’integrale

è

( , ) sin sin( )c

ω ωψΩ =x

Anche la funzione rise time rappresenta dunque un filtro, con frequenza di taglio pari a

meccanismi di filtro, sono in generale in competizione e possono essere

(i buchi) dello spettro per lo stesso evento,

time sono indipendenti dalla posizione del ricevitori, mentre quelli associati all’effetto di faglia

finita vi dipendono (Figura 3).

(M>6.5), la durata della funzione dislocazione è molto minore (di almeno un ordine di grandezza)

rispetto alla durata della rottura. In tal caso i buchi associati al

decade più avanti rispetto a quelli associati alla finitezza della faglia.

Andamento della funzione ¦sin(x)¦/x. Questa presenta una serie di zeri per

( )cos

vcf

L c v=

− Ψ

la durata della rottura, /D

T L v= , tale frequenza è l’inverso della durata per un

coefficiente di normalizzazione che è funzione dell’azimuth.

1

1 cosD

fv

Tc

=

− Ψ

Ψ=0 (posizione direttiva) e minima per Ψ=π (posizione antidirettiva).

Inoltre poiché il momento sismico deve essere conservato, le ampiezze del segnale in spostamento



boxcar con ampiezza D/TR e durata ( rise-time) TR

puo` essere ottenuto dall’integrale (1). In tal caso lo spettro di spostamento di una faglia di Haskell

0

22( , ) sin sin( )

2 2

R

ri T L

cR

R

TD LW e

T

ψωω

ω ωψωψ ω

− + +

Ω =

rappresenta dunque un filtro, con frequenza di taglio pari a

meccanismi di filtro, sono in generale in competizione e possono essere distinti comparando gli zeri

per lo stesso evento, registrato a più stazioni. In tal caso, i buchi dovuti al

sono indipendenti dalla posizione del ricevitori, mentre quelli associati all’effetto di faglia

Heaton (1990) ha mostrato che per eventi di grande magnitudo

), la durata della funzione dislocazione è molto minore (di almeno un ordine di grandezza)

ttura. In tal caso i buchi associati al rise time si trovano dunque una

più avanti rispetto a quelli associati alla finitezza della faglia.

una serie di zeri per x=kπ.

, tale frequenza è l’inverso della durata per un

posizione antidirettiva).

e del segnale in spostamento



R. Lo spettro della box

. In tal caso lo spettro di spostamento di una faglia di Haskell

( , ) sin sin( )

rappresenta dunque un filtro, con frequenza di taglio pari a 1/ TR. I due

distinti comparando gli zeri

registrato a più stazioni. In tal caso, i buchi dovuti al rise

sono indipendenti dalla posizione del ricevitori, mentre quelli associati all’effetto di faglia

Heaton (1990) ha mostrato che per eventi di grande magnitudo

), la durata della funzione dislocazione è molto minore (di almeno un ordine di grandezza)

si trovano dunque una

Figura 3: Serie di spettri registrati a diverse stazioni per un evento sismico

rapide discese nel grafico in scala logaritmica, sono dovuti ad effetti di propagazione o di rottura. Quelli

corrispondono presumibilmente al primo nodo della trasformata della funzione sorgente

Secondo il modello di Haskell, lo spettro di spostamento

dopo di che decade approssimativamente come

definitivamente come ω-2, quando si aggiunge il

d’angolo dello spettro, che corrisponde alla frequenza di taglio del filtro è funzione dell’azimuth,

della velocità di rottura, ma anche della velocità di propagazione : sarà dunque diversa, a seconda

che si consideri la fase P o la fase S. In particolare il modello di Haskell prevede che, poiché

la frequenza d’angolo è maggiore per le onde S che per le onde P.

Le osservazioni, invece, mostrano che la frequenza d’angolo delle onde P è leggermente superiore

(circa 1.5 volte) rispetto a quella delle onde S, con un decadimento dello spettro in

rappresentazione spettrale appropriata per la modellazione dello spettro dei terremoti è

dove ω0 è la frequenza d’angolo.

Se nel modello di Haskell aggiungiamo l’effetto della profondità della faglia, allora lo spettro

decade come ω-3 , con l’effetto che, ad alte frequenze, gli spettri presentano la stessa energia,

indipendentemente dalla magnitudo dell’evento

frequenze, in questo modello, è prodotto dalle interferenze distruttive delle piccole lunghezze

d’onda sulla faglia. Secondo modelli più complessi, lo spettro ad alte frequenze, è determinato dalla

radiazione emessa dalle fasi di arresto, ossia alle fasi che sono prodotte quando la rottura impatta

sui bordi della faglia. In tal caso, lo spettro della radiazione decade di nuovo come

: Serie di spettri registrati a diverse stazioni per un evento sismico. Gli zeri dello spettro, che appaiono come

rapide discese nel grafico in scala logaritmica, sono dovuti ad effetti di propagazione o di rottura. Quelli

presumibilmente al primo nodo della trasformata della funzione sorgente.

Secondo il modello di Haskell, lo spettro di spostamento è piatto fino ad una frequenza di taglio

dopo di che decade approssimativamente come ω-1, per effetto della finitezza della faglia, e

quando si aggiunge il contributo proveniente dal rise



i la fase P o la fase S. In particolare il modello di Haskell prevede che, poiché

la frequenza d’angolo è maggiore per le onde S che per le onde P.

mostrano che la frequenza d’angolo delle onde P è leggermente superiore

volte) rispetto a quella delle onde S, con un decadimento dello spettro in

rappresentazione spettrale appropriata per la modellazione dello spettro dei terremoti è

0

2

0

( )

1

ωω

ω

ΩΩ =

+

è la frequenza d’angolo.

nel modello di Haskell aggiungiamo l’effetto della profondità della faglia, allora lo spettro

, con l’effetto che, ad alte frequenze, gli spettri presentano la stessa energia,

indipendentemente dalla magnitudo dell’evento (Figura 4). Il decadimento



di arresto, ossia alle fasi che sono prodotte quando la rottura impatta

sui bordi della faglia. In tal caso, lo spettro della radiazione decade di nuovo come

. Gli zeri dello spettro, che appaiono come

rapide discese nel grafico in scala logaritmica, sono dovuti ad effetti di propagazione o di rottura. Quelli comuni (T~6s)

è piatto fino ad una frequenza di taglio f1,

, per effetto della finitezza della faglia, e

rise time. La frequenza



i la fase P o la fase S. In particolare il modello di Haskell prevede che, poiché cs<cp,

mostrano che la frequenza d’angolo delle onde P è leggermente superiore

volte) rispetto a quella delle onde S, con un decadimento dello spettro in ω-2. Una

rappresentazione spettrale appropriata per la modellazione dello spettro dei terremoti è la funzione

nel modello di Haskell aggiungiamo l’effetto della profondità della faglia, allora lo spettro

, con l’effetto che, ad alte frequenze, gli spettri presentano la stessa energia,

mento dello spettro ad alte



di arresto, ossia alle fasi che sono prodotte quando la rottura impatta

sui bordi della faglia. In tal caso, lo spettro della radiazione decade di nuovo come ω-2 .

Figura 4 : Spettri in corrispondenza dei modelli

terremoti di diversa magnitudo. Nel secondo, tutti gli spettri convergono sulla stessa retta

2.4 Isocrone

Abbandoniamo ora l’approssimazione di Fraunhofer e consideriamo una sorgente

quale investighiamo le caratteristiche del campo irradiato in prossimità della sorgente (

delle lunghezze d’onda più piccole della distanza sorgente/ricevitore, in maniera tale che possiamo

supporre l’approssimazione far-field

delle frequenze, nei segnali, maggiori di

parametri caratteristici: a parte la geometria, definita attraverso il meccanismo focale e le

dimensioni della faglia, assumiamo che la funzione sorgente sia descritta attraverso il campo di

dislocazione δU(x) e la velocità di rottura

trascurabile rispetto alla propagazione della rottura e della r

investito dal fronte di rottura, raggiunge istantaneamente il valore finale di dislocazione, ovvero la

componente temporale della funzione sorgente è una delta

della rottura rispetto all’ipocentro:

Se il mezzo di propagazione è omogeneo, il campo di spostamenti P prodotto da tale rottura è :

( , ) ( )P

n i r ju t u t t n d= − − Σx

Indichiamo il tempo di isocrona con

Tale equazione individua, sul piano di faglia una curva chiusa

radiazione emessa arriva contemporaneamente al ricevitore considerato

L’integrale di rappresentazione diviene dunque

( , )P

n ju t U n d

Al prim’ordine, trascurando i termini in

: Spettri in corrispondenza dei modelli ω-2 e ω−3

. Nel primo caso anche l’energia ad alta frequenza è diversa per

terremoti di diversa magnitudo. Nel secondo, tutti gli spettri convergono sulla stessa retta.

Abbandoniamo ora l’approssimazione di Fraunhofer e consideriamo una sorgente

quale investighiamo le caratteristiche del campo irradiato in prossimità della sorgente (


field valida (λ<r0/4). Tale range di investigazione corrisponde a

delle frequenze, nei segnali, maggiori di 0.1Hz. Rappresentiamo la rottura sismica attraverso pochi


imensioni della faglia, assumiamo che la funzione sorgente sia descritta attraverso il campo di

e la velocità di rottura v(x), mentre il rise time è supposto piccolo, dunque

trascurabile rispetto alla propagazione della rottura e della radiazione. In tal caso, ogni punto,


componente temporale della funzione sorgente è una delta ritardata per il tempo di propagazione

to all’ipocentro:

( , ) ( ) ( ( ))r

u t U t tδ δ δ= −ξ ξ ξξ ξ ξξ ξ ξξ ξ ξ


2

1( , ) ( )

4

i n

n i r j

p j p

ru t u t t n d

c x c r

γ γδ µ

πρΣ

∂= − − Σ ∂

∫ ξξξξ

con

i r

rT t

c= +

Tale equazione individua, sul piano di faglia una curva chiusa L, detta isocrona, lungo la quale la

radiazione emessa arriva contemporaneamente al ricevitore considerato (Figura

L’integrale di rappresentazione diviene dunque

( )2

( , )4

P i n

n j

p j

u t U n dc x r

γ γµδ

πρ

∂=

∂ ∫x ξξξξL

L

trascurando i termini in r2 e derivando i contributi che dipendono da

. Nel primo caso anche l’energia ad alta frequenza è diversa per

Abbandoniamo ora l’approssimazione di Fraunhofer e consideriamo una sorgente estesa per la

quale investighiamo le caratteristiche del campo irradiato in prossimità della sorgente (L~r0) e per


). Tale range di investigazione corrisponde a

. Rappresentiamo la rottura sismica attraverso pochi


imensioni della faglia, assumiamo che la funzione sorgente sia descritta attraverso il campo di

è supposto piccolo, dunque

adiazione. In tal caso, ogni punto,


ritardata per il tempo di propagazione


= − − Σ

, detta isocrona, lungo la quale la

Figura 5).

derivando i contributi che dipendono da xj si ha:

Figura 5: Le isocrone sul piano di faglia sono delle curve quartiche che soddisfano la condizione per la quale la somma

del tempo di rottura e di propagazione è costante.

dove Rp è il radiation pattern associato alle

fase considerata sia una generica onda di volume, il mezzo sia eterogeneo e la misura è fatta in

superficie.

dove R è il generico valore per lo

radiation pattern.

L’equazione dell’isocrona, in un mezzo in cui le onde si propagano a velocità costante e la rottura

avanza a velocità costante sul piano di faglia, può essere scritta in forma chiusa. Assumendo un

sistema di riferimento con origine nell’ipocentro, e un sistema di coordinate

strike e dip della faglia, l’equazione dell’isocrona è

1 1

r

x y x x y y z cv c

dove (x0, y0, z0) sono le coordinate del ricevitore in tale sistema.

una curva del quart’ordine, non completa

rottura debolmente variabile sul piano di faglia introduce delle distorsioni nell’isocrona, che si

allunga laddove la velocità di rottura è più grande. L’effetto di un

compatto, produce, invece, un ispessimento dell’isocrona che diviene una superficie piana, per ogni

istante di tempo, limitata da due isocrone: quella corrispondente al tempo

al tempo t-TR.

Infine, la forma delle isocrone dipende dal rapporto

ricevitore. Quando il rapporto ϕ

al secondo e le isocrone si schiacciano sul fronte circolare di rottura. Tale approssimazione equi

: Le isocrone sul piano di faglia sono delle curve quartiche che soddisfano la condizione per la quale la somma

del tempo di rottura e di propagazione è costante.

( )2

( , )4

pP

n

p

Ru t U d

c r

µδ

πρ= ∫x ξξξξ

L

L

associato alle onde P. Tale formula è generalizzabile al caso in cui la


( )2

( , )4

patt

n

Ru t U d

c

µδ

πρ= ∫x ξξξξ

L

LR

è il generico valore per lo spreading geometrico e Rpatt

è la generica espressione per il



tema di riferimento con origine nell’ipocentro, e un sistema di coordinate x,y

l’equazione dell’isocrona è

2 2 2 2 2

0 0 0

1 1( ) ( )x y x x y y z c

v c+ + − + − + =

sono le coordinate del ricevitore in tale sistema. Tale curva, in forma implicita, è

una curva del quart’ordine, non completa, rispetto ai parametri x e y. L’effetto di una velocità di


allunga laddove la velocità di rottura è più grande. L’effetto di un rise-time

, un ispessimento dell’isocrona che diviene una superficie piana, per ogni

istante di tempo, limitata da due isocrone: quella corrispondente al tempo t e quella corrispondente

Infine, la forma delle isocrone dipende dal rapporto è rv

cϕ = e dalla distanza media tra sorgente e

prossimo a zero, il primo termine nell’espressione domina rispetto

al secondo e le isocrone si schiacciano sul fronte circolare di rottura. Tale approssimazione equi

: Le isocrone sul piano di faglia sono delle curve quartiche che soddisfano la condizione per la quale la somma

onde P. Tale formula è generalizzabile al caso in cui la


è la generica espressione per il



x,y lungo le direzioni di

Tale curva, in forma implicita, è

. L’effetto di una velocità di


time finito, ma a supporto

, un ispessimento dell’isocrona che diviene una superficie piana, per ogni

e quella corrispondente

e dalla distanza media tra sorgente e

prossimo a zero, il primo termine nell’espressione domina rispetto

al secondo e le isocrone si schiacciano sul fronte circolare di rottura. Tale approssimazione equivale

a supporre che la velocità di propagazione sia infinita. Quanto più tale rapporto si avvicina a 1,

tanto più le isocrone diventano eccentriche e allungate nella direzione del ricevitore (più

precisamente nella direzione della proiezione della retta congiungente l’ipocentro con il ricevitore

sul piano di faglia : 0 × nγγγγ ). Le isocrone relative alla fase P, dunque, sono molto meno eccentriche

delle relative isocrone S e si può dimostrare che per una durata di finestra fissata sui dati, essi

descrivono un’area minore.

Se la distanza media sorgente-ricevitore a sua volta cresce indefinitamente, infine, il contributo di

propagazione diviene dominante, e la teoria delle isocrone si riduce all’approssimazione di

Fraunhofer che abbiamo analizzato nel caso precedente.

2. Cinematica della sorgente estesa 2.1...

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