ΘΕΜΑ_thanasis kopadis_ (γεωμετρικό)

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση ( ): , 1−∞ − →ℝf η γραφική παράσταση της

οποίας διέρχεται από το σημείο 3

3,2

Κ −

και η κλίση της σε οποιοδήποτε σημείο

( ), ( )x f x δίνεται από τον τύπο ( )2

1

1+x

α) Να αποδείξετε ότι ( )1

=+x

f xx

, 1< −x

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική

της παράσταση.

γ) Έστω (ε) η εφαπτομένη της fC σε τυχαίο σημείο της ( )0 0, ( )Μ x f x

i. Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της (ε) με τους άξονες ′x x και ′y y αντίστοιχα.

ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ έτσι ώστε το άθροισμα των αποστάσεων της αρχής των αξόνων Ο από τα σημεία Α και Β να γίνεται ελάχιστο

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( )Ε λ του χωρίου που περικλείεται από την fC ,

τον άξονα ′x x και τις ευθείες 0=x x και =x λ , όπου ( )2, 1∈ − −λ και 0x η

τετμημένη του σημείου που βρήκατε στο ερώτημα γ)ii. Στη συνέχεια να βρείτε το όριο ( )

1lim

−→−Ε

λλ

Λύση – Θανάσης Κοπάδης – Γεωμετρικό

α) Κ∈Cf , άρα 3f ( 3)2

− = .

Είναι f παραγωγίσιμη στο Α=(-∞,-1) , με

( )21 1f '(x) f '(x) , x 1

x 1x 1

′ = ⇔ = − < − + +

Άρα υπάρχει c∈R τέτοιο, ώστε 1f (x) c , x 1x 1−

= + < −+

Για x=-3 προκύπτει c=1

Οπότε 1 xf (x) 1 f (x) , x<-1x 1 x 1−

= + ⇔ =+ +

.

β) Η γραφική παράσταση προκύπτει εύκολα, χωρίς μελέτη, αν μετατοπίσω τη

γραφική παράσταση της 1(x)x−

θ = κατά μία μονάδα προς τα αριστερά και κατά

μία μονάδα προς τα πάνω.

σελ. 1

Για τη μελέτη έχουμε: xf (x) , x<-1x 1

=+

παραγωγίσιμη δύο φορές στο Α.

Με ( )2

1f '(x) 0x 1

= >+

, άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο Α, επομένως δεν

παρουσιάζει ακρότατα.

Επίσης: 3

2f ''(x) 0(x 1)

= − >+

, άρα η f θα είναι κοίλη στο Α, επομένως δεν

παρουσιάζει σημεία καμπής.

Τέλος, xlim f (x) 1→−∞

= , άρα έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -∞ την ευθεία y=1

και x 1lim f (x)

−→−= +∞ , άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=-1.

γ) i) Στο τυχαίο σημείο ( )o ox , f (x ) , άρα με xo<-1,η εφαπτομένη (ε) της Cf θα

είναι :

o o o o2o o

1 1y f (x ) f '(x )(x x ) y 1 (x x )x 1 (x 1)

− = − ⇔ − + = −+ +

.

Για τα σημεία τομής με τους άξονες:

To 0∈A, άρα αν x=0 προκύπτει 2

o

o

xyx 1

= +

, οπότε σημείο τομής με τον

άξονα y’y είναι το σημείο 2

o2

o

xA 0 , (x 1)

+

.

Για y=0 προκύπτει το σημείο Β(-xo2,0).

ii)Έχουμε: ( )2 2

o o

o o

x xOAx 1 x 1

= = + +

και 2 2o o(OB) | x | x= = .

Η συνάρτηση του αθροίσματος των αποστάσεων στο τυχαίο σημείο x<-1 θα είναι:

22 xd(x) x

x 1 = + +

, με x<-1

Οπότε: ( )3

3

2x (x 1) 1d '(x)

(x 1)+ +

=+

, για x<-1.

Είναι 3

2x 0(x 1)

>+

για κάθε x<-1, οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:

σελ. 2

Συνεπώς η απόσταση γίνεται ελάχιστη για x=-2

δ) Το χωρίο του οποίου ψάχνουμε το εμβαδόν είναι το γραμμοσκιασμένο.

Θα είναι: [ ] 22

1E( ) 1 dx x ln | x 1| ln( 1) 2x 1

λ λ

−−

λ = − = − + = λ − −λ − + + ∫

Επομένως το ζητούμενο όριο θα είναι το:

( )2 1 ( )

1 1lim ( ) lim ln( 1) 2

− −

− − −∞

λ→− λ→−Ε λ = λ − −λ − + = +∞

Φάνης Μαργαρώνης

x -∞ -2 -1

d ΄(x)

-- 0 +

d(x) д е

σελ. 3