Instituto de Profesores “Artigas” Física Experimental 1 Guía práctica Nº 09

Termodinámica: Determinación del coeficiente γ (gamma) del aire por el método de RüchhardtTi.

Fundamento teórico: El gas ideal: una definición macroscópica. Dada una masa de cualquier gas en estado de equilibrio térmico, podemos medir su presión p, su temperatura T y su volumen V. Cuando su densidad es lo bastante pequeña los experimentos demuestran que:

1. Si se mantiene a temperatura constante, su presión es inversamente proporcional a su volumen (ley de Boyle), y

2. a presión constante, su volumen es directamente proporcional a su temperatura (ley de Charles y Gay-Lussac).

Estos dos resultados pueden resumirse en la relación: cteTVp=

.(para una masa fija de gas). El

volumen que ocupa un gas a temperatura y presión constante es proporcional a su masa, por lo cual la constante debe serlo también. Ésta se expresará como nR, donde n es el número de moles del gas y R una constante que se deberá determinar experimentalmente. Los experimentos demuestran que, a densidades bajas, R tiene el mismo valor para todos los gases, a saber, R= 8.314 J/mol.K y recibe el nombre de constante universal de los gases. Definimos entonces como gas ideal, aquel que cumpla en todas las circunstancias la relación:

TRnVp ... = Llamada ecuación de estado del gas ideal. Si bien el verdadero gas ideal no existe, resulta una abstracción útil ya que a densidades bajas, todos los gases tienen un comportamiento similar al de este modelo.

El gas ideal: una definición microscópica. Desde el punto de vista microscópico, el gas ideal se define haciendo las siguientes suposiciones:

a. Un gas está formado por partículas idénticas llamadas moléculas. b. Las moléculas tienen un movimiento al azar y obedecen las leyes de Newton del

movimiento. Las moléculas se mueven en todas direcciones y con diversas velocidades. c. El número total de moléculas es grande. Las moléculas pueden chocar entre ellas y con las

paredes lo cual les provoca bruscos cambios en sus velocidades, pero como la cantidad de choques es muy grande, se conserva la distribución total de velocidades y esto permite que el movimiento siga siendo al azar.

d. El volumen de las moléculas es una fracción muy pequeña del volumen ocupado por el gas. e. No actúan fuerzas apreciables sobre las moléculas excepto durante las colisiones. En tanto

esto es cierto, la molécula se moverá con velocidad constante entre colisiones. Estamos suponiendo que el alcance de las fuerzas moleculares coincide con el tamaño de la molécula.

f. Las colisiones son elásticas y su duración es despreciable. En los choques se mantienen la cantidad de movimiento y la energía cinética. El tiempo que dura el choque es despreciable con respecto a los intervalos entre ellos.

Los calores específicos de un gas ideal: La energía de las moléculas que constituyen un gas ideal es puramente cinética, por lo cual su energía interna (que es la suma de energías potenciales y cinéticas) es proporcional a su temperatura Kelvin y solo depende de la temperatura. La energía interna U para un

gas ideal es: υRTU21

= siendo υ el número de grados de libertadii de la molécula. Como en

este caso tenemos solamente las tres componentes de la traslación, la molécula tiene tres

grados de libertad y RTU23

= (por mol).

El calor específico de una sustancia es el calor (o bien la cantidad de calor) que la unidad de masa requiere para sufrir un cambio de su temperatura en una unidad. Si utilizamos el mol como medida de la cantidad de sustancia, el calor específico correspondiente recibe el nombre de Capacidad calorífica molar y se escribe C. En los gases se distinguen dos tipos:

a. la Capacidad calorífica molar a presión constante Cp y b. la Capacidad calorífica molar a volumen constante Cv

El valor de Cp es siempre mayor que el de CV, y para los gases ideales, se demuestra que:

Cp-CV=R, y que RCV 23

= y se define el coeficiente 67.135≅==

V

p

cc

γ

Si bien este resultado es muy aproximado para gases monoatómicos, está en serio desacuerdo para gases diatómicos y poliatómicos, esto sugiere que deba revisarse el modelo si queremos que la teoría cinética sobreviva como aproximación útil al comportamiento de los gases reales. La equipartición de la energía: En 1857 Clausius sugirió por primera vez una modificación a la teoría cinética para explicar los calores específicos de los gases. Recordemos que el modelo suponía una molécula como una esfera elástica dura donde su energía era puramente traslacional. El éxito del modelo en contraste con el comportamiento de los gases monoatómicos reforzó la idea de que la energía cinética media de traslación era la que determinaba lo que se mide como temperatura de un gas. Nos tenemos que preguntar si la molécula, ya no imaginada como una esfera sino como un cuerpo extenso, podría almacenar energía en otras formas que no sea puramente la traslacional; Por ejemplo, que pudiese rotar y/o vibrar. En las colisiones podrían excitarse estos nuevos modos, lo cual contribuiría a aumentar la energía interna del gas. Ahora determinaremos la energía que almacena una molécula que se traslade, vibre y rote. La

energía constará de tres componentes del tipo 2.21

xvm (cinética de traslación), tres del tipo

2.21

xI ω (cinética de rotación) y de componentes asociadas a las energía potenciales de la molécula.

Mediante la mecánica estadística se demuestra que cuando el número de partículas es grande y puede aplicarse la mecánica Newtoniana, todos estos términos tienen el mismo valor promedio y este valor solo depende de la temperatura. Este teorema se conoce como de equipartición de la energía y fue enunciado por James Clerk Maxwell. Cada modo independiente de absorción de energía se conoce como grado de libertad (υ ).

El coeficiente V

p

cc

=γ , que vincula los valores de capacidades caloríficas, depende del

gas de la siguiente forma:

υγ 21+=

siendo υ el número de grados de libertad de la molécula.

Gases monoatómicos: en este caso la molécula puede considerarse una esfera por lo cual solo tiene tres grados de libertad (sus componentes traslacionales), por lo cual γ=1+2/3=1.67 Gases diatómicos: la molécula puede considerarse como formada por dos esferas unidas por una varilla rígida (que no es capaz de vibrar), por lo cual puede trasladarse y rotar en torno a los tres ejes posibles. Sin embargo, el modo de rotación en torno a un eje que coincide con la varilla no aporta energía, teniendo que considerarse, entonces cinco grados de libertad para esta molécula. De lo anterior, γ=1+2/5=1.40 El aire, una mezcla de gases, está compuesto fundamentalmente de Nitrógeno un gas diatómico, por lo cual se espera obtener un valor de gamma como este. (Extraido de: R. Resnick, D. Halliday, “Física” Parte 1, Ed. CECSA, México, 1980 y de F. Blatt, “Fundamentos de Física”, Ed. Prentice Hall, México, 1991.)

Métodos experimentales de determinación del coeficiente γ. El método más primitivo y sencillo que cita la bibliografía consultadaiii es el método de Clément y Desórmesiv. En el mismo, una masa pequeña de gas a temperatura ambiente y sometida a una pequeña sobrepresión con respecto a la ambiente se expande en forma adiabática (sin intercambio de calor con el recipiente ni con el medio) para luego suministrarle calor a volumen constante (proceso isócoro) hasta que alcance la temperatura ambiente inicial. Suponiendo que la expansión adiabática sea aproximadamente cuasi-estática (una serie de pasos sucesivos donde cada uno de ellos supone equilibrio), podrá aplicarse la ecuación de Poisson

y de la medida de presiones se obtendrá el valor del coeficiente γ. cteVP =γ. Rüchhardtv puso en práctica un método ingenioso para la medida de γ que, si bien no es más preciso que el anterior, hace uso de la mecánica elemental. El gas se halla contenido en un gran recipiente de volumen V. Ajustado a él hay un tubo de vidrio exactamente calibradovi, de sección A, dentro del cual una esfera metálica de masa m ajusta perfectamente como un pistón. El gas está ligeramente comprimido por la esfera en equilibrio y, por ello, su presión es muy poco

superior a la atmosférica Po. Así, despreciando el rozamiento, A

mgPP o +=

Si se da a la esfera un ligero desplazamiento hacia abajo y después se la libera, oscilará con un período τ; el movimiento será oscilatorio amortiguado. Si notamos con y a la posición de la esfera en un instante dado con respecto a la posición de equilibrio, un pequeño desplazamiento positivo produce un pequeño aumento de volumen dV y se tiene:

dV=y.A Análogamente, dicho desplazamiento provoca una disminución dP en la presión, siendo por tanto, negativa. La fuerza neta sobre la esfera es F=A.dP, si despreciamos el rozamiento; o sea:

AFdP =

Puede observarse que los signos de dP y F, son opuestos a los de y, lo cual define a la fuerza como restauradora. Si la frecuencia de oscilación de la esfera es grande, podemos considerar las variaciones de P y de V como adiabáticasvii; si sus variaciones dP y dV son pequeñas, podemos, además, considerar que el gas pasa por sucesivos estados de equilibrio, y por tanto, que el proceso es aproximadamente cuasi-estáticoviii. Bajo estos supuestos se aplica:

cteVP =γ. y , sustituyendo los valores de dV y dP, 01 =+− dPVdVVP γγγ yVPAF .

2γ−= ,

lo cual indica que el volumen de gas actúa en forma cuasi elástica, como un resorte de constanteix k= γPA2/V. Sometida a la acción de esta fuerza, la esfera metálica oscilará con un movimiento armónico simple que se amortiguará, en primera aproximación, debido a rozamientos viscosos de tal forma que las fuerzas de roce dependen de la velocidad en primer orden. La medida de esta amortiguación es el coeficiente b, y la ecuación diferencial que rige las oscilaciones es:

0).(..2

2

2

=++ yVPA

dtdyb

dtydm γ

o bien, 0).(.2

2

2

=++ ymVPA

dtdy

mb

dtyd γ

cuya solución es la ecuación horaria y=f(t) que describe el movimiento de la esfera, que es de la forma:

)(..)

2.(

ϕωβ

+=−

tseneAyt

o ……….donde mb

=β

donde puede apreciarse que la amplitud decae con el tiempo según una exponencial inversa.

En la ecuación diferencial, el coeficiente de y es mVPA2

20

γω = , correspondiente a la oscilación

no amortiguada. Para calcular su valor a partir de los valores de β y ω , podremos aplicar:

4

220

2 βωω −= , y calcular el valor del coeficiente γ a partir de:

PAmV2

220

4γπτ =

Nuestro dispositivo experimental: El desarrollo del experimento requería de lo que se conoce como un tubo de precisión de vidrio, que no se consigue en plazax. Con él conectado a un recipiente de vidrio de 10l, la esfera oscila con poca amortiguación, grandes amplitudes y baja frecuencia, por lo cual el período de oscilación puede determinarse contando las oscilaciones por observación y accionando un cronómetro de mano. Lo anterior introduce, como es de esperar, incertezas en la determinación del

período que son importantes así como su peso relativo en la determinación del coeficiente γ. La duración de las medidas también atenta contra los supuestos del experimento. Para poder desarrollar el experimento, ideamos sustituir el montaje original por una jeringa de vidrioxi, donde el émbolo sustituía a la esfera. Esta modificación producía, por el pequeño volumen de gas encerrado (utilizamos una jeringa de 20 ml), frecuencias mucho mayores que las del diseño original (unas decenas de Hertz), lo cual nos obligaba a registrar las oscilaciones con métodos alternativos, optando por utilizar una interface para ello. La decisión siguiente consistió en elegir qué magnitud medir para registrar la oscilación y así determinar los valores del coeficiente b y el período de oscilación amortiguada τ , para

calcular el valor del período sin amotiguar oτ ; El sensor de

posición no podía utilizarse ya que las amplitudes eran del orden de magnitud de la apreciación del mismo. No se disponía de sensor de presión que aparece como el más apropiado luego del anteriorxii. Un artículo referido al temaxiii sugería el registro de la aceleración en función del tiempo con un acelerómetro, por lo cual se optó por este sensor, ya que contábamos con él. El laboratorio disponía de un sensor acelerómetro (“Low-g Accelerometer”) conectado a la interface “Lab Pro” de Vernier Software & Technologyxiv , que fue el que decidimos utilizar.

Procedimiento:

1. Se monta una jeringa de vidrio de 20 ml limpia y seca con tapón removible en la punta (o mejor, válvula de tres pases) en un soporte como se muestra. Se le adhiere al émbolo el sensor acelerómetro con adhesivo removiblexv como muestra la figura.

2. Se determina la masa del conjunto émbolo-sensor, con las precauciones que haya discutido previamente.

3. Se remueve el tapón y se selecciona el máximo volumen, colocándolo nuevamente.

4. Se gira el conjunto jeringa-sensor hasta apoyar el tapón en la base, de tal forma que no se permita oscilar a la estructura de soporte.

5. Se ejecuta el programa Logger Pro. La frecuencia de muestreo mínima debe elegirse de acuerdo a que registraremos frecuencias del orden de las decenas de oscilaciones por segundo. Discuta la posibilidad de fijar un valor de disparo (“trigger”) a partir del cual comenzar el registro.

6. El émbolo puede girar. Elija la posición óptima de tal forma que al presionarlo y liberarlo, se observen la mayor cantidad de oscilaciones posibles.

7. “Encere” el sensor, comience la recolección de datos, presione el émbolo y libérelo. 8. La gráfica a= f(t) debe corresponder a un movimiento oscilatorio amortiguado donde la

envolvente es una exponencial inversa. Use su olfato adquirido hasta el momento para decidir si lo ha conseguido o no. Otórguese la libertad de repetir su medida hasta lograrlo. No va a encontrar en esta guía el ok para detenerse en ese intento.

9. Repita el procedimiento para el conjunto de volúmenes que elija.

10. Determine los valores de β, τ , y calcule el valor de oτ como se le ocurra, y justifique sus

procedimientos. Realice las medidas necesarias para determinar el valor del coeficiente a calcular.

11. Calcule γ del gas utilizado. 12. Discuta y determine la incertidumbre que afecta al valor calculado. Si no obtuvo el valor

esperado (¿bajo qué supuestos?) explique cuál o cuáles pueden ser las fuentes de la posible discrepancia.

Esta guía ha sido escrita, revisada y/o corregida por los profesores del curso de FísicaExperimental 1, de la especialidad Física, del Instituto de Profesores "Artigas": GuzmánTrinidad, Alejandra Delgado, Gustavo Carbonell y Daniel Baccino. La primera versión fue escrita en 2008. La última revisión se ha hecho en 2010.

Referencias: i Puede encontrarse también como Ruchhardt, Rüchardt, Rüchhard, Ruchardt, o Ruchard. ii Un grado de libertad es cualquier coordenada o componente de velocidad que aparezca a la segunda potencia en la expresión para la energía de un sistema. Por ejemplo, la energía de una partícula puntual (como un átomo aislado) tiene tres grados de libertad, una por componente de su velocidad de traslación. Un sistema masa resorte que esté forzado a oscilar en el eje x posee dos grados de libertad, uno asociado a la energía potencial elástica y el otro a la cinética de traslación. Una molécula diatómica, si se considera como un par de esferas unidas por un resorte poseería siete grados de libertad, tres traslacionales, tres asociados a cada componente por eje de rotación y dos asociados a la vibración de los átomos a lo largo del eje que los une. iii Zemansky, M.W., “Calor y Termodinámica”, Ed. Aguilar, 4ª ed., 1973. (Ed. original: “Heat and thermodynamics”, Mc graw-Hill, inc, 1968). iv J. de phys. 89, 321, 428 (1819) v E. Rüchhardt, “Eine einfache methode zur bestimmung von Cp/Cv”, Phys. Z. 30, 58-59 (1929). vi El equipo se vende en catálogos de empresas de venta de material didáctico, como por ejemplo: “Apparatus of determining the ratio of specific heat capaties Cp/CV “ (37105), pag. 121, General Catalogue Physics, LEYBOLD DIDACTIC GMBH, Germany, 1992. El experimento está descrito en “Instrucciones de servicio 371 05, “Tubo de oscilación para determinar Cp/Cv”, LEYBOLD DIDACTIC GMBH, Leyboldstrasse 1, Germany”. vii Este supuesto está justificado para oscilaciones donde la presión y el volumen experimentan pequeñas variaciones porcentuales y cuando la frecuencia es de algunos Hertz. viii Una transformación termodinámica reversible es un proceso ideal que supone una sucesión de estados de equilibrio, donde las derivadas temporales de la presión y el volumen deben ser pequeñas. Pueden considerarse reversibles, con buena aproximación, aquellos procesos reales que involucren grandes cambios de Presión y Volumen que sucedan muy lentamente o muy pequeños cambios de P y V que sucedan muy rápidamente (G. Torzo, G. Delfitto, B. Pecori, P. Scatturin, “A new microcomputer-based laboratory version of the Rüchardt experiment for measuring the ratio γ = Cp/CV in air”, Am. J. Phys. 69 (11), November 2001.) ix Estrictamente no se trata de una constante, ya que depende del cociente P/V que varía, pero para variaciones pequeñas, se trata de un aproximación razonable. x Agradecemos la colaboración del técnico en vidrio de la Facultad de Química (UdelaR) Daniel Acosta y Lara por la ayuda que nos brindó en la búsqueda del tubo. xi También vaya nuestro agradecimiento al Prof. Eduardo Núñez del Liceo Solymar 1 por la sugerencia de utilizar una jeringa de vidrio como sustituto. Un equipo alternativo más similar al adaptado por nosotros puede encontrarse en “Ruchhardt´s method of measuring the ratio of specific heats”, EX-9910, pág. 399, 2004 Physics worldwide Catalog and experiments guide, PASCO scientific, CA, USA. (www.pasco.com). xii Intentamos utilizar el “Sensor de presión sanguínea” (524050) de la interface CASSY (Leybold Didactic) con la modificación sugerida en el artículo “Proyecto para termodinámica” de Collado, O., Prieto, O., Delgado, A., Ramirez, S. y Falcón, S. (Revista “Educación en Física”, V. 6, Nº1, Mayo de 2000, APFU), pero tenía un tiempo de respuesta excesivamente largo, no pudiendo medir presiones a la frecuencia requerida (1000 Hz). xiiiJ.L. Hunt, “Accurate experiment for measuring the ratio of specific heats of gases using an accelerometer”, Am.J.Phys. (7), July 1985.En este artículo se fotografiaba la pantalla del osciloscopio que registraba la señal del acelerómetro en función del tiempo, para luego digitalizarla. xiv www.vernier.comxv En nuestro caso utilizamos “TACK-ITTM” de Faber-Castell®, pudiéndose utilizar cualquier equivalente.