TEMA 8: SEMEJANZAS Y TRIÁNGULOS. FIGURAS · PDF fileTEOREMA DEL CATETO En todo...
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TEMA 8: SEMEJANZAS Y TRIÁNGULOS. FIGURAS SEMEJANTES Son las que tienen igual forma. Ello ocurre cuando: Los ángulos homólogos (correspondientes) son iguales. α=α’ β= β’ γ= γ’ Los segmentos homólogos son proporcionales. k c c b b a a ... ' ' ' (razón de semejanza). En los planos y mapas la constante se denomina escala. RELACIÓN ENTRE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS Y CUERPOS SEMEJANTES. Si suponemos un polígono regular de n lados, su perímetro será p=n·l El perímetro de otro polígono semejante será p’=n·l’, y como k l l ` l’=k·l, y por lo tanto p’=n·k·l=kp Es decir, k p p ' De forma similar llegaríamos a que 2 ' k s s y a que 3 ' k v v Ejemplo: los liliputienses tenían la doceava parte de la altura de Gúlliver. Si la capa de Gulliver costaba 300 doblones, ¿cuánto costaba la de un liliputiense? k l l 12 ' al ser el precio proporcional a la superficie 2 k S S l G S G =S l ·12 2 =144S l 144 Sg S l precio= 08 , 2 144 300 doblones. Si el menú de un liliputiense costaba medio doblón, ¿cuánto costaba invitar a Gúlliver? 864 1728 2 1 Pr 1728 12 Pr 3 3 ecio k precio ecio La torre Eiffel de París tiene una altura de 300 m y un peso aproximado de unos ocho millones de kilos. ¿Qué altura tendría una maqueta de un kilo? TEOREMA DE TALES BB’ y CC’ son paralelas S CBC’ =S CC’B’ Por tener la misma base CC’ y altura H. Luego S ABC’ =S AB’C Si trazamos las alturas por C y C’ S CBC’ =S CB’C’ → h C B h BC '· ' 2 1 ' · 2 1 S ABC’ =S AB’C→ h AB h AB '· 2 1 ' · 2 1 Dividiendo ambas expresiones: ' ' ' C B AB BC AB
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TEMA 8: SEMEJANZAS Y TRIÁNGULOS.
FIGURAS SEMEJANTES
Son las que tienen igual forma. Ello ocurre cuando:
Los ángulos homólogos (correspondientes) son iguales. α=α’ β= β’ γ= γ’
Los segmentos homólogos son proporcionales. kc
c
b
b
a
a ...
''' (razón de
semejanza).
En los planos y mapas la constante se denomina escala.
RELACIÓN ENTRE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS Y
CUERPOS SEMEJANTES.
Si suponemos un polígono regular de n lados, su perímetro será p=n·l
El perímetro de otro polígono semejante será p’=n·l’, y como kl
l
` l’=k·l, y por lo
tanto p’=n·k·l=kp Es decir, kp
p
'
De forma similar llegaríamos a que 2
'k
s
s y a que
3
'k
v
v
Ejemplo: los liliputienses tenían la doceava parte de la altura de Gúlliver. Si la capa de
Gulliver costaba 300 doblones, ¿cuánto costaba la de un liliputiense?
kl
l12
' al ser el precio proporcional a la superficie 2k
S
S
l
G
SG=Sl·122=144Sl 144
SgSl precio= 08,2
144
300 doblones.
Si el menú de un liliputiense costaba medio doblón, ¿cuánto costaba invitar a Gúlliver?
86417282
1Pr172812
Pr 33 eciokprecio
ecio
La torre Eiffel de París tiene una altura de 300 m y un peso aproximado de unos ocho
millones de kilos. ¿Qué altura tendría una maqueta de un kilo?
TEOREMA DE TALES
BB’ y CC’ son paralelas
SCBC’=SCC’B’ Por tener la misma base CC’
y altura H.
Luego SABC’=SAB’C
Si trazamos las alturas por C y C’
SCBC’=SCB’C’ → hCBhBC '·'2
1'·
2
1
SABC’=SAB’C→ hABhAB '·2
1'·
2
1
Dividiendo ambas expresiones: ''
'
CB
AB
BC
AB
Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas coincidentes son
proporcionales.
KAD
AD
DC
CD
CB
BC
AB
AB ...
''''''
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES.
Son los que, como en el gráfico anterior, tienen un ángulo común y los lados
opuestos son paralelos.
Los triángulos tienen:
Los ángulos iguales: A es común. Β y β’ así como γ y γ’ son ángulos
correspondientes entre paralelas.
Los lados son proporcionales, según hemos obtenido en el apartado anterior.
Por lo tanto, los triángulos en posición de Tales son semejantes.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
Las condiciones de semejanza (ángulos homólogos iguales y lados homólogos proporcionales), en
el caso de los triángulos se cumplen cuando los triángulos tienen:
Dos ángulos iguales.
Un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales.
Los tres lados proporcionales.
TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos
segmentos que determina sobre esta.
El triángulo ADC es semejante al triángulo ADB ya
que los dos tienen 2 ángulos iguales:
Los dos son rectángulos.
C y son complementarios de B, luego son
iguales.
Por lo tanto, los lados son proporcionales:
y
h
h
x
c
b De donde
y
h
h
x
TEOREMA DEL CATETO
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella.
El triángulo ADC es semejante al triángulo ACB ya que
los dos tienen 2 ángulos iguales:
Los dos son rectángulos.
C es un ángulo común..
Por lo tanto, los lados son proporcionales:
c
h
b
x
a
b De donde:
a
b
b
x
Si trabajamos con los triángulos ADB y ACB: a
c
c
y
TEOREMA DE PITÁGORAS.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos.
A partir del teorema del cateto: a
b
b
x y
a
c
c
y
De donde: b2=a·x c2=a·y
b2+c2=ax+ay=a(x+y)=a2 Es decir: a2=b2+c2
TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO.
a) Lado considerado opuesto a un ángulo agudo
222222
22
2222222222
2
22)(
hbxhxb
cxcb
cxhbchcxxchxcha
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él.
b) Lado considerado opuesto a un ángulo obtuso
222222
22
2222222222
2
22)(
hbxhxb
cxcb
cxhbchcxxchxcha
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos más el doble producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él.
