ANEXO 4. PARAMETRIZACIÓN Y PROYECCIÓN DE LOS...

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ANEXO 4. PARAMETRIZACIÓN Y PROYECCIÓN DE LOS ÍNDICES 1.1 Modelo de reversión a la Media Los modelos de reversión a la media son modelos de series de tiempo cuya característica es que los valores en el largo plazo tienden a un valor medio, de la forma general. Dónde α es la tasa de reversión a la media, l es nivel medio de largo plazo de la variable, σ es la volatilidad de la variable, W es un proceso browniano estándar. Con base en esta ecuación, se procede a realizar una estimación de parámetros vía regresión por mínimos cuadrados ordinarios (OLSR) y vía máxima verosimilitud (MLE). Una vez estimados los parámetros del modelo ,y, se procede a realizar una simulación tipo Montecarlo con el fin de generar varias series estocásticas futuras, generando un ruido aleatorio con una distribución normal de media igual a 0 y de desviación igual al parámetro calculado. A partir, de los parámetros y del efecto de la variable aleatoria, se construyen series futuras de evolución de los precios. Figura 1 Generación estocástica de series a partir de los parámetros del modelo de reversión a la media Los resultados de las series entregan los posibles escenarios sobre los cuales se pueden encontrar los valores futuros de la serie de precios modelada; con estos resultados se estiman los valores promedios, intervalos de confianza y las desviaciones que permiten establecer tanto los valores esperados futuros, como los diferentes valores en riesgo.

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ANEXO 4. PARAMETRIZACIÓN Y PROYECCIÓN DE LOS ÍNDICES

1.1 Modelo de reversión a la Media

Los modelos de reversión a la media son modelos de series de tiempo cuya característica es

que los valores en el largo plazo tienden a un valor medio, de la forma general.

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Dónde α es la tasa de reversión a la media, l es nivel medio de largo plazo de la variable, σ es la

volatilidad de la variable, W es un proceso browniano estándar.

Con base en esta ecuación, se procede a realizar una estimación de parámetros vía regresión

por mínimos cuadrados ordinarios (OLSR) y vía máxima verosimilitud (MLE).

Una vez estimados los parámetros del modelo �, �y�, se procede a realizar una simulación

tipo Montecarlo con el fin de generar varias series estocásticas futuras, generando un ruido

aleatorio con una distribución normal de media igual a 0 y de desviación igual al parámetro

calculado. A partir, de los parámetros y del efecto de la variable aleatoria, se construyen series

futuras de evolución de los precios.

Figura 1 Generación estocástica de series a partir de los parámetros del modelo de reversión a la media

Los resultados de las series entregan los posibles escenarios sobre los cuales se pueden

encontrar los valores futuros de la serie de precios modelada; con estos resultados se estiman

los valores promedios, intervalos de confianza y las desviaciones que permiten establecer

tanto los valores esperados futuros, como los diferentes valores en riesgo.

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Figura 2 Proyección de datos a través de los datos históricos de las series.

1.2 IPC Total

Inicialmente se analiza el comportamiento de la proyección del IPC Total en la cual se observa

cómo, si se consideran los últimos datos (desde el 2007), la media de la reversión, en términos

de variación porcentual, es prácticamente cero, mientras que si se consideran los datos desde

el 2000, la media de reversión es de 0.18%.

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Figura 3 Proyección modelo reversión a la media IPC Total (Índice)

Figura 4 Proyección modelo reversión a la media IPC Total (Variación porcentual)

Tabla 1 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPC Total

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013) Media de la Reversión 146,86 112,54

Tasa promedio 0.18% -0.02%

Velocidad de Reversión 0,01 0,02

Volatilidad 0,40% 0,33%

La volatilidad del índice IPC Total es baja siendo del orden del 0,4% mensual, por lo que se

establece que este uno de los índices más estable en comparación con los otros índices

modelados.

1.3 IPP Total

Siguiendo con la proyección de los índices más agregados se observa que el IPP Total presenta

una tendencia similar al comparar los datos desde el 2000 y el 2007, con una tasa de variación

porcentual entre el 0.11% y el 0.15%.

La similitud entre las estimaciones realizadas con los datos desde el año 2000 y desde el año

2007 muestra que los datos han tenido históricamente una mayor consistencia, manteniendo

una tendencia relativamente similar para los dos conjuntos de datos analizados. Esta

estabilidad se puede interpretar debido a que, a diferencia del IPC total y de otros índices

analizados, no se presentó un cambio de régimen de manera significativa en el

comportamiento del índice para los dos periodos tarifarios considerados.

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Figura 5 Proyección modelo reversión a la media IPP Total (índice)

Figura 6 Proyección modelo reversión a la media IPP Total (Variación porcentual)

Tabla 2 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPP Total

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013) Media de la Reversión 1.24 1.52

Tasa promedio 0.119% 0.148%

Velocidad de Reversión 0.01 0.01

Volatilidad 0.67% 0.77%

La volatilidad del IPP Total es un poco superior al del IPC Total con valores de 0.67% y del

0.77%, pero de todas forma corresponde a un valor bajo si se comparan con el

comportamiento de otros índices.

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1.4 IPP Industria Manufacturera

En el caso del IPP de la Industria manufacturera se presenta, para los dos conjuntos de datos

analizados, una tendencia decreciente en cuanto a la media de reversión, debido

principalmente a los últimos valores que históricamente ha venido presentando este

indicador.

Figura 7 Proyección modelo reversión a la media IPP Industria Manufacturera (Índice)

Figura 8 Proyección modelo reversión a la media IPP Industria Manufacturera (Variación porcentual)

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Tabla 3 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPP Industria Manufacturera

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 177,84 119,72

Tasa promedio -0.062% -0.150%

Velocidad de Reversión 0,02 0,004

Volatilidad 0,52% 0,58%

En cuanto a la volatilidad, ésta se encuentra un poco por debajo de la del IPP Total, siendo

coherente con índices que no incluyen productos con altas volatilidades.

1.5 IPP Materiales Construcción

El IPP de Materiales de construcción tiene un comportamiento similar al que presenta el IPC

Total en cuanto a las tendencias en los crecimientos en el largo plazo para los dos horizontes

de tiempo analizados.

Figura 9 Proyección modelo reversión a la media IPP Materiales Construcción (Índice)

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Figura 10 Proyección modelo reversión a la media IPP Materiales Construcción (Variación porcentual)

Tabla 4 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPP Materiales Construcción

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 1.34 1.12

Tasa promedio 0.104% -0.088%

Velocidad de Reversión 0.01 0.01

Volatilidad 0.59% 0.58%

En cuanto a la volatilidad, ésta es semejante a la del IPP Manufacturero siendo cercano al

0.6% y siendo coherente el parámetro de volatilidad encontrado en la modelación mediante

reversión a la media, con los valores obtenidos de la caracterización de la volatilidad del

índice con GARCH y EWMA.

1.6 IPP Productos de Metal oferta interna

Al igual que con el IPP de Materiales de construcción, presenta un comportamiento diferente

en cuanto a la tendencia en el largo plazo, evidenciando un cambio de régimen en el

comportamiento del índice.

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Figura 11 Proyección modelo reversión a la media IPP Productos de Metal (índice)

Figura 12 Proyección modelo reversión a la media IPP Productos de Metal (variación porcentual)

Tabla 5 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPP Productos de Metal

Modelo Datos (2000-2013)

Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 1.15 1.01

Tasa promedio 0.02 0.01

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Velocidad de Reversión 0.073% -0.073%

Volatilidad 0.66% 0.57%

En cuanto a la volatilidad, esta es similar al resto de los índices relacionados con el IPP,

ubicándose alrededor del 0,6%, y es coherente con las estimaciones de volatilidad realizadas

anteriormente.

1.7 IPP Maquinaria y aparatos eléctricos oferta interna

En cuanto a la tendencia, sigue un patrón similar al resto de los índices IPP, con la diferencia

de que los valores no tienden a decrecer en los últimos años de una manera tan pronunciada.

Figura 13 Proyección modelo reversión a la media IPP Maquinaria y aparatos eléctricos (Índice)

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Figura 14 Proyección modelo reversión a la media IPP Maquinaria y aparatos eléctricos (Variación porcentual)

Tabla 6 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPP Maquinaria y aparatos eléctricos

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 1.12 1.03

Tasa promedio 0.107% -0.002%

Velocidad de Reversión 0.02 0.07

Volatilidad 1.03% 1.03%

Como en los valores de la volatilidad, el IPP de Maquinaria y Equipos presenta un valor un

poco superior a los otros índices del IPP, en un valor alrededor del 1%.

En general los índices de IPP nacional seleccionados muestran un comportamiento en el que

la tendencia de los precios tomando los datos desde el año 2007, es tal que muestra unos

valores inferiores a la tendencia de los datos si se toma la serie desde el año 2000, mostrando

una tendencia reciente a la variación, más lenta que la de los precios de los productos en

general durante los últimos 5 años, en contraste con el crecimiento observado en los 7 años

anteriores. Este fenómeno se puede explicar, en un buen porcentaje, con el aumento de los

costos de las materias primas durante los años posteriores al 2000 y su decrecimiento a partir

del 2007.

1.8 PPI Finished goods

En el caso del índice PPI Finished Goods se observa un comportamiento disímil si se comparan

los dos resultados, ya que tienen comportamientos opuestos en cuanto a la tendencia y los

valores de reversión a la media.

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Figura 15 Proyección modelo reversión a la media IPP Finished godos (Índice)

Figura 16 Proyección modelo reversión a la media IPP Finished godos (Variación porcentual)

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Tabla 7 Parámetros proyección modelo reversión a la media IPP Finished goods

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 77,67 507,12

Tasa promedio -0.286% 0.264%

Velocidad de Reversión 0,003 0,003

Volatilidad 0,83% 0,93%

1.9 TRM

La Tasa Representativa del Mercado tiene una tendencia creciente con una media de

reversión de 2350 COP/USD si se consideran los datos desde el año 2000 y de 2020 COP/USD

si se consideran los datos desde el 2007.

Figura 17 Proyección modelo reversión a la media TRM (COP/USD)

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Figura 18 Proyección modelo reversión a la media TRM (Variación porcentual)

Tabla 8 Parámetros proyección modelo reversión a la media TRM

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 2.351,45 2.020,40

Tasa promedio 0.34% 0.20%

Velocidad de Reversión 0,02 0,06

Volatilidad 2,87% 3,45%

El resultado de los parámetros de volatilidad del modelo de reversión a la media para la TRM

es de alrededor del 3%.

1.10 Aluminio

Los resultados de los parámetros para el aluminio muestran unos valores medios de reversión

para los dos conjuntos de datos que se tomaron, evidenciando un crecimiento reciente de los

precios del aluminio en los últimos años.

Los resultados presentados coinciden con los promedios de todas las series futuras generadas

de manera estocástica, para los parámetros encontrados.

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Figura 19 Proyección modelo reversión a la media Aluminio

Tabla 9 Parámetros Proyección modelo reversión a la media Aluminio

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 1978.19 2547.46

Velocidad de Reversión 0.02 0.05

Volatilidad 5.37% 6.42%

Por otro lado, la caracterización muestra una volatilidad del 5,37% y el 6.42% para los dos

conjuntos de datos respectivamente, considerada como grande, y por ende, riesgosa como

referencia.

A continuación se presentan los valores proyectados de aluminio junto con sus valores

máximos y mínimos en rojo y los percentiles del 90% y 10% en azul con el fin de apreciar la

dispersión de los precios futuros proyectados.

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Figura 20 Proyección modelo reversión a la media Aluminio (Modelo datos 2000-2013)

Figura 21 Proyección modelo reversión a la media Aluminio (Modelo datos 2007-2013)

Para un horizonte de 1 año los precios se encuentran dentro de un rango máximo y mínimo

entre los USD/ton 2604 y los USD/ton 1240 para las serie de datos desde el año 2000 y entre

USD/ton 3298 y USD/ton 1232 USD/ton para las serie de datos desde el año 2007. Para un

horizonte de 2 años, los precios se encuentran dentro de un rango máximo y mínimo entre los

USD/ton 3156 y los USD/ton 989 para las serie de datos desde el año 2000 y entre USD/ton

3929 y USD/ton 1562 para las serie de datos desde el año 2007.

Tabla 10 Estadísticas Proyección modelo reversión a la media Aluminio

1 año 2 año

2000 2007 2000 2007

Máximo 2,604.45 3,298.80 3,156.54 3,929.05

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1 año 2 año

Percentil 90% 2,240.74 2,628.21 2,394.00 2,777.40

Promedio 1,877.32 2,100.81 1,903.30 2,230.41

Percentil 10% 1,475.52 1,658.07 1,399.83 1,779.71

Mínimo 1,240.77 1,232.71 989.70 1,562.44

De los resultados de las proyecciones se concluye que existe una alta incertidumbre acerca de

los precios futuros del aluminio y de su variabilidad, y por lo tanto, usar este índice como

referente para la indexación de valores futuros, introduciría una alta volatilidad a dicha

fórmula de indexación.

1.11 Cobre

En el caso del cobre, también se muestra una gran diferencia entre los valores de las medias

de reversión para los dos horizontes de datos utilizados para el cálculo. A diferencia de lo

sucedido con el aluminio, los últimos valores muestran una media estable, mientras que si se

considera un conjunto mayor de datos la tendencia es decreciente. Esta tendencia es

coherente con el reemplazo del cobre por aluminio en muchas aplicaciones del sector

eléctrico mundial.

Figura 22 Proyección modelo reversión a la media Cobre

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Tabla 11 Parámetros Proyección modelo reversión a la media Cobre

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 869.18 7,213.97

Velocidad de Reversión 0.004 0.05

Volatilidad 7.29% 8.68%

La caracterización demuestra que el parámetro de la volatilidad es muy alto con valores del

7% y el 8% respectivamente.

Figura 23 Proyección modelo reversión a la media Cobre (Modelo datos 2000-2013)

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Figura 24 Proyección modelo reversión a la media Cobre (Modelo datos 2007-2013)

Para un horizonte de 2 años, los precios se encuentran dentro de un rango máximo y mínimo

entre los USD/ton 18342 y los USD/ton 11971 para las serie de datos desde el año 2000 y

entre USD/ton 2595 y USD/ton 4031 para las serie de datos desde el año 2007. Para un

horizonte de 1 año, los precios se encuentran dentro de un rango máximo y mínimo entre los

USD/ton 11098 y los USD/ton 12393 para la serie de datos desde el año 2000 y entre

USD/ton 3998 y USD/ton 4735 ara las serie de datos desde el año 2007.

Tabla 12 Estadísticas Proyección modelo reversión a la media Aluminio

1 año 2 año

2000 2007 2000 2007

Máximo 11,098.20 12,393.08 18,342.37 11,971.71

Percentil 90% 8,803.42 9,155.10 8,671.49 9,258.03

Promedio 6,813.65 7,129.43 6,318.28 7,143.53

Percentil 10% 4,990.31 5,224.41 3,855.14 4,902.27

Mínimo 3,998.51 4,735.30 2,595.02 4,031.95

El cobre muestra una mayor probabilidad de presentar valores más altos que en el caso del

aluminio debido a una menor velocidad de reversión a la media.

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1.12 Hierro

El hierro muestra un comportamiento similar al del cobre en cuanto a que el valor medio

considerando los datos desde el año 2007 es estable, mientras que los datos desde el año

2000 tiene tendencia decreciente.

Figura 25 Proyección modelo reversión a la media Hierro

Tabla 13 Parámetros Proyección modelo reversión a la media Hierro

Modelo Datos (2000-2013) Modelo Datos (2007-2013)

Media de la Reversión 32,94 216,70

Velocidad de Reversión 0,005 0,08

Volatilidad 8,27% 10,16%

Al igual que con el resto de los metales el hierro muestra una alta volatilidad.

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Figura 26 Proyección modelo reversión a la media Hierro (Modelo datos 2000-2013)

Figura 27 Proyección modelo reversión a la media Hierro (Modelo datos 2007-2013)

El hierro presenta un comportamiento similar, en cuanto a su dispersión, con los otros

metales analizados. Para un horizonte de 1 año los precios se encuentran dentro de un rango

máximo y mínimo entre los USD/ton 345 y los USD/ton 111 para las serie de datos desde el

año 2000 y entre USD/ton 400 y USD/ton 111 para las serie de datos desde el año 2007. Para

un horizonte de 2 años, los precios se encuentran dentro de un rango máximo y mínimo entre

los USD/ton 454 y los USD/ton 58 para las serie de datos desde el año 2000 y entre USD/ton

385 y USD/ton 296 para las serie de datos desde el año 2007.

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Tabla 14 Estadísticas Proyección modelo reversión a la media Hierro

1 año 2 año

2000 2007 2000 2007

Máximo 345.13 400.97 454.73 385.60

Percentil 90% 268.20 299.11 256.20 296.50

Promedio 202.42 222.11 172.33 218.22

Percentil 10% 143.90 157.21 94.53 149.89

Mínimo 111.49 111.46 58.24 94.42

Como el resto de los metales, el hierro tiene una alta dispersión, lo que genera un alto riesgo

inherente a su comportamiento, que se ve reflejado en los índices que lo utilicen como

referencia.