Dinmica del Cuerpo Slido

Profesor: Rigoberto Carlos Prolen Patricio

4I) Energa cintica de rotacin de un cuerpo slido que gira con respecto a un eje estacionario.

Donde: I Momento de inercia (kgm2) velocidad angularI: Depende de la forma geomtrica del cuerpo y del eje con respecto al cual se mide el momento de inercia. Algunos momentos de inercia son1) Disco o cilindro: Con respecto a un eje perpendicular al disco y que pasa por el centro.

2) Esfera slida: con respecto a un eje que pasa por un dimetro.

3) Aro o capa cilndrica delgada: Con respecto a un eje que pasa por el centro y es perpendicular al aro

4) Barra homognea: con respecto a un eje que pasa por el centro de manera perpendicular a la barra.

Ejercicios:1) Tenemos una esfera de 20 cm de radio y 600 gramos de masa que gira de manera que realiza cinco vueltas por segundo. Calcule a) el momento de la inercia de la esfera y b) la energa cintica de la esfera.

Solucin: Tenemos los datos R=0,2m y M=0,6kga) I=0,6kg(0,2m)2=0,0096kgm2b) ==10 s1

Ek=0,0096kgm2(10 s1)2=0,482JEk=4,74J

2) Tenemos un disco de 25 cm. de radio y 500 gramos de masa que est girando de manera que realiza dos vueltas por segundo. Se hace acelerar el disco de manera que al cabo de tres vueltas, su velocidad es 5 vueltas por segundo. Calcular, a) el momento de inercia, b) su aceleracin y c) el trabajo realizado sobre el disco en estas cinco vueltas.

Solucin: Tenemos los datos R=0,25m y M=0,5kg

a) I=0,5kg(0,25m)2I=0,015625kgm2b) i ==4 s1

f ==10 s1=32=6f2 i2=2(10 s1)2(4 s1)2=2(6)=7 s2

c) W=

W=I (f2 i2)

=0,015625kgm2842=6,47Joules

3) Un disco de 500gr de masa y 30cm de radio gira con respecto a un eje que pasa por su centro de manera que realiza 5 vueltas por segundo. Calcule a) el momento de inercia, b) la energa cintica del disco.

a) I=0,0225kgm2 b) Ek 11,1Joules

4) Una esfera de 800gr de masa y 10cm de radio est girando inicialmente a 1 vuelta por segundo. Se le hace acelerar de manera que al cabo de 3 vueltas su velocidad angular es de 4 vueltas por segundo. Calcule a) el momento de inercia de la esfera, b) su aceleracin angular y c) el trabajo empleado en las 3 vueltas.a) I=3,2103kgm2b) =5 s2c) W=0,95Joules

5) Se jala de una cuerda enrollada a un disco inicialmente en reposo de 15cm de radio y 2kg de masa, de manera que en 4s se desenrolla 1,5m de cuerda. a) Cul es la aceleracin angular del disco? b) Qu trabajo se realiza para desenrollar los 1,5m de cuerda?a) =1,25 s2b) W=0,28125Joules

TorqueEn la figura mostramos las variables para calcular el torque con respecto al punto O.

Tenemos el torque 1,

el signo (+) porque produce una rotacin anti horaria con respecto a O. El torque 2 es

el signo () porque produce una rotacin horaria con respecto a O. El momento del sistema es =1+ 2.

Ejemplo

6) Tenemos dos ruedas concntricas de radios R1=10cm y R2=25cm. Alrededor de estas ruedas tenemos cuerdas enrolladas de las cuales se jala con las tensiones T1=5N y T2=8N. Calcule el torque total sobre las poleas.

Solucin: Las tensiones forman 90o con los radios

= R1T1+R2T2=(5N0,1m)+(8N0,25m)=1,5Nm

Segunda Ley de Newton para la rotacinEl torque total sobre un cuerpo es proporcional a la aceleracin angular

es el torque neto aplicado al slido. es la aceleracin angular del cuerpo slido.

Ejercicios

7) Un disco e momento de inercia igual a 0,25kgm2 gira a 20rev/s. a) qu torque se debe aplicar al disco para hacer que gire a 60rev/s en 5s?, b) Cul es el trabajo realizado por el torque en este tiempo?a) i=20rev/s=40s1 f=60rev/s=120s1

== 16 s2= I=0,25kgm216 s2=12,56 Nmd) W=

W=I (f2 i2)

=0,25kgm280160=1600 2 Joules=15791,4 Joules

8) Un disco con un momento de inercia de 0,26kgm2 est unido a un disco menor colocado sobre el mismo eje. El disco menor tiene un dimetro de 0,180m y una masa de 2,5kg. Una correa est enrollada alrededor del disco menor, como se muestra en la figura. Encontrar la fuerza necesaria para dar al sistema una aceleracin angular de 2,57rad/s2. (ejercicio 29 cap 8 Physics Principles and problems)

Solucin: El radio del disco pequeo es r=0,09m, su masa es m=2,5kg y la aceleracin angular es =2,57rad/s2I=Igrande+IpequeoI=0,26kgm2+0,5(2,5kg)(0,09m)2I=0,270125kgm2=RF=I(0,09m)F=0,270125m22,57 s2F=7,71N

9) Una rueda solida de acero tiene una masa de 15kg y un dimetro de 0,44m. La rueda parte del reposo. Ud. desea hacer que rote a 8rev/s en 15s. a) Qu torque debe ser aplicado a la rueda? b) Qu fuerza se debe ejercer sobre la correa si esta est enrollada alrededor del borde externo? (ejemplo 4 pag 209 cap 8 Physics Principles and problems)

Solucina) i=0 y f=8rev/s=16s1

= 3,35 s2I=0,5(15kg)(0,22m)2I=0,363kgm2= I =0,363kgm23,35 s2=1,22Nmb)

F===5,5N10) Un hilo es enrollado alrededor de un carrete cilndrico de radio 1,5cm y 50gr de masa cuyo eje central est enrollado a un soporte. el hilo es jalado con una fuerza constante de manera que los primeros 2s se desenrolla 3m de hilo del carrete. a) cul es la aceleracin angular del carrete? b) cul es la fuerza con que se jala?

Solucina) El ngulo que gira el carrete es la longitud de cuerda l=3m entre el radio del carrete R=0,015m

==200La aceleracin angular se obtiene de la ecuacin

=t2

===100 s2b) A partir de la ecuacin =I podemos escribir RF=0,5MR2, luegoF=0,5MR=0,50,05kg0,015m100rad/s2

F=0,0375N

11) Un disco de radio 20cm y masa 3kg inicialmente en reposo gira debido a una fuerza constante y tangencial al disco de 20N a) Cul es la aceleracin angular del disco? b) si parte del reposo, cul es la velocidad angular al cabo de 20s? c) Cul es el ngulo recorrido en ese tiempo?

Trabajo producido por un torque constante Esta dado por la ecuacin

12) Se aplica una fuerza tangencial constante de 2N a un disco de 25cm de radio haciendo que esta acelere a 2s2. Qu trabajo es realizado por la fuerza durante los primeros 5seg de movimiento?

Solucin

=t2=2s2(5s)2 = 25

=FR=2N0,25 m=0,5Nm

W= =0,5Nm25W=12,5Joules

13) Un volante tiene un momento de inercia de 3,8kgm2. Qu torque constante se necesita para incrementar su velocidad de 2rev/s a 5 rev/s en 6 revoluciones?

Solucin

=12rad, i=4rad/s y f=10rad/s

=I (f2 i2)(12)=0,53,8kgm2(1002s216 2s2)

=41,8Nm

14) Un cable es enrollado varias veces alrededor de un cilindro como se muestra en la figura. Si se desenrolla el cable de manera que este aplica una fuerza de 9N, a) cul es la aceleracin angular del cilindro? suponiendo que parte del reposo b) Cul es su velocidad angular al cabo de 3 vueltas? c) Qu trabajo se realiz en estas 3 vueltas?

Solucin

a) I=50kg(0,06m)2=0,09kgm2 =9N0.6m=5,4Nm

==60 s2b) La velocidad angular inicial es i =0 el ngulo recorrido es =32=6, luego la velocidad angular final es

f2=2=260 s26=720 s2f 47,6 s1

c) W= =5,4Nm6101,8Joules

15) En la figura se muestran dos cilindros concntricas de radios R1=1m y R2=2m. Alrededor de estas ruedas tenemos cuerdas enrolladas de las cuales se jala con las tensiones T1=5N y T2=15N. Calcule a)el torque total sobre los cilindros, b)la aceleracin angular producida por el torque si el cilindro de radio R1 tiene una masa M1=4kg y el cilindro de radio R2 tiene una masa M2=1kg.

16) Se jala de una cuerda enrollada a una polea de 0,5Kg y 10cm de radio con una fuerza de 2N. Calcule a) el torque aplicado a la polea, b) la aceleracin angular de la polea, c) el ngulo recorrido por la polea en 2s y d) el trabajo hecho por el torque en los 2s?

a) 0,2 Nmb) 80s2c) 160d)32 Joules

Potencia: Cuando la velocidad angular es constante podemos calcular la potencia de manera exacta

Si la velocidad angular no es constante, calculamos la potencia media mediante la ecuacin

=

17) Un motor desarrolla 400Nm de torque a 3700 rev/min. encuentre la potencia dessarrollada por el motor. (ejercicio 51 cap 9 Tipler-Mosca)

= 3700 rev/min=37002/60s =387,5rad/sP=(400Nm)387,5s1=155kWatts

18) Un motor desarrolla 100hp(=74,6kW), cuando gira a una velocidad de 1800rev/min. Cul es su torque?= 1800 rev/min=18002/60s =60rad/s =188,5rad/s

===395,7Nm

19) Un aro fino de 32kg tiene 1,2m de radio y est girando a 240rev/min. El aro es detenido en 15s. a) Cul es el trabajo realizado para detenerlo? b) cul es la potencia necesaria?

Solucin

a) i= 280 rev/min=2402/60si= 8s1 y f = 0

Iaro=MR2=32kg(1,2m)2Iaro=46,08kgm2

W=

W=046,08kgm2(8 s1)2W=14553Joules

b) f= i+t0=8+15s=1,675s1

=I=46,08kgm2(1,675s1)=77,184Nm

Como la velocidad angular no es constante calculamos la potencia media

= =

= 970,2 Watts

20) Un disco uniforme de con una masa de 120kg y un radio de 1,4m rota inicialmente con una velocidad angular de 1100 rev/min. a) Una fuerza constante y tangencial se aplica a una distancia radial de 0,6m. Qu trabajo debe hacer esta fuerza para parar la rueda? b) Si la rueda llega al reposo en 2,5min, qu torque produce la fuerza aplicada? Cul es la magnitud de esta fuerza? c) Cuntas revoluciones hace la rueda en estos 2,5min? (ejercicio 119 cap 9 Tipler-Mosca)

Teorema de SteinerEl momento de inercia I de un cuerpo slido alrededor de un eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa es

I= ICM+Md2

Donde

ICMes el momento de inercia con respecto al centro de masa.Mes la masa del cuerpo slido

des la distancia entre los ejes

Ejercicios

21) Use el teorema de los ejes paralelos (teorema de steiner) para encontrar el momento de inerci de una esfera solida de radio R y masa R alrededor de un eje que es tangente a la esfera. (Ejercicio 33 cap 9 Tipler-Mosca)

Solucin: ICM=MR2 y d=R luego

I=MR2+MR2=MR2

22) Una barra est acoplada al eje de un motor a la altura del centro de la barra como se muestra en la figura. El motor es encendido y realiza un trabajo W sobre la rueda, acelerndolo a una velocidad angula r de . El sistema se lleva al reposo, y la barra es acoplada al eje del motor a la altura del extremo de la barra como se muestra en la figura. El motor se enciende y realiza un trabajo W sobre la barra Cul es la velocidad angular de la barra en este segundo cao?

Solucin

En el primer caso ICM =ML2 luego

W= ICM2.En el segundo caso I=ICM+M(L/2)2=(1/3)ML2, luego

W= If 2

Igualando f =