1

Exercice 1 Mouvement sur un plan incliné

Un solide de masse m=5kg glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle α =15° par rapport à l'horizontale. Il est entraîné à vitesse constante par un câble faisant un angle β =20° avec la ligne

de plus grande pente du plan incliné (g = 9,8 m.s-2). 1. Quelle relation vectorielle existe-t-il entre les forces appliquées ? 2. Déterminer par projection de la relation du 1. sur des axes bien choisis a. la tension du fil de traction. Application numérique. b. la réaction du plan incliné. Application numérique.

Exercice 2 la poussée d’Archimède

Un objet ancien en étain de volume V = 1L repose au fond d’une épave. La poussée d’Archimède est une force verticale ascendante dont la valeur est égale au poids du fluide déplacé.

Données : Masse volumique de l’eau : ρ0 = 1,0.103 kg. m-3 ;

Masse volumique de l’étain : ρ = 5,75.103 kg. m-3 ;

1. Faire l’inventaire des forces qui s’appliquent sur l’objet. 2. Calculer le poids de l’objet et la poussée d’Archimède qui s‘appliquent sur l’objet. 3. En déduire la réaction que l’épave exerce sur l’objet. 4. Pour faire remonter l’objet, on accroche à l’objet un ballon gonflé d’air. A la profondeur où se situe l’épave, on peut considérer que la masse volumique de l‘air emprisonné vaut 12 kg. m-3. Quel doit être le volume du ballon pour que la remontée de l’objet soit possible ?

Exercice 3 Feu d’artifice

On étudie le lancement de deux fusées d'un feu d'artifice. I. Un feu d'artifice non perturbé

Deux fusées sont tirées simultanément du sol. La fusée A part du point O, origine du repère

cartésien à l'instant t = 0, avec la vitesse initiale 0v faisant un angle α avec l'horizontale. La fusée

B est lancée du point P (abscisse xP) avec une vitesse verticale 1v . Les deux fusées ont la même

masse m.

Mécanique I 1TPC

TD 16 Loi de la quantité de mouvement

2

On néglige les frottements de l'air. Données : v0 = 45 m.s-1 , v1 = 50 m.s-1 ; g = 9,8 m.s-2 ; xP = 15 m ; m = 300 g

y

15 m 40m

1v

α O P barrière de sécurité x 1. Établir les équations horaires xB(t), yB(t) et xA(t), yA(t) du mouvement de chacune des fusées. 2. En déduire l'équation yA = f(xA) de la trajectoire de la fusée A. Quelle est la nature de sa trajectoire?

3. Les deux fusées explosent au bout de te = 4 secondes. Déterminer l'angle 0α pour que

l'explosion de la fusée ait lieu à la verticale du point P.

4. La fusée A est lancée avec cet angle 0α , quelle distance d sépare les deux fusées au

moment de l'explosion? 5. Si la fusée A n'explose pas, les spectateurs se trouvant juste derrière la barrière de sécurité sont-ils en sécurité? II. Un feu d'artifice perturbé par le vent Le soir du feu d'artifice, un vent perturbe le lancer des fusées.

5. On modélise la force du vent par un vecteur force horizontal, dirigé de la gauche vers la droite et de norme constante Fv = 2 N.

1. La fusée A est lancée avec l'angle 0α déterminé au I.3. et explose toujours au bout de

te = 4 secondes. Déterminer numériquement ses coordonnées lors de l'explosion. 2. Les spectateurs sont-ils en danger ?

6. III. En tenant compte des frottements de l’air Aucun vent ne perturbe le lancement des fusées. Par contre, on tient compte de la force de frottement fluide, que l’on modélise par une force

de la forme f = -k v avec v la vitesse de la fusée. On prendra k = 0,1 S.I.

1. Faire une analyse dimensionnelle de k et donner ses unités S.I. (unités de base du système international).

7. 2. Etablir les équations horaires du mouvement de la fusée A. 3. Quelles sont ses coordonnées au moment te où elle explose (elle est lancée avec l’angle

0α déterminé au I.3.) ? Application numérique.

Exercice 4 Chute d'un alpiniste urbain (Les Experts, Manhattan)

Au début d'un épisode des Experts, Manhattan, on voit un alpiniste (désigné par la suite par système A, considéré comme un point matériel) escalader un gratte-ciel de plus de 100 étages. Malheureusement pour lui, arrivé au 34ème étage, il tombe et atterrit lourdement sur la terrasse du 6ème étage, où il meurt sur le coup. Les Experts arrivent sur les lieux et leur chef, Mac Taylor dit : "il a pu tomber d'assez haut pour atteindre la vitesse maximale". A. Chute verticale sans frottements

3

On commence par étudier la chute verticale du système A, de masse m, sous la seule action de son poids. On négligera donc dans cette partie les frottements de l'air. On considère qu'à t = 0, le système A a une vitesse initiale v0 nulle et qu'il est au point O à une hauteur H au-dessus de la terrasse du 6ème étage. On donne g = 9,8 m.s-2. Un étage fait h = 3 m de haut. sol

étage 6

étage 34 système A à t = 0O

z

H

O 1

terrasse

Le schéma n’est pas à l’échelle

1. Déterminer numériquement la hauteur H. 2. Déterminer la vitesse v1 de A au point O1 en fonction de g et H. Application numérique.

B. Chute verticale avec frottements

L'étude précédente montrerait que plus le système A tombe de haut, plus sa vitesse d'impact est grande, sans tendre vers une limite, ce qui contredit l'affirmation de Mac Taylor de "vitesse maximale". Mais Mac Taylor sait (car c'est un Expert) qu'en fait le système A, en plus de son poids, va être soumis à des frottements de

l'air, que l'on peut modéliser par une force ��=-� ����� (proportionnelle au carré de la vitesse).

sol

étage 6

étage 34 système A à t = 0O

z

H

O 1

terrasse

Mac Taylor sait de plus que la vitesse maximale de chute d'un homme dans l'air (aussi appelée vitesse limite) est vlim = 50 m.s-1. Les conditions initiales sont bien entendu les mêmes que dans la partie II-A. 3. Que vaut l'accélération de A quand A a atteint sa vitesse limite ? En déduire, en écrivant le Principe Fondamental de la Dynamique, mais sans essayer de résoudre

d'équation différentielle, l'expression de vlim en fonction de m, g et λ.

4. En déduire la valeur de λ (on donnera son unité en fonction des unités de base du Système International) pour le système A (dont la masse est m = 70 kg). 5. Pour résoudre l'équation différentielle donnée par le PFD, il faut faire quelques manipulations mathématiques.

On admettra qu'en posant u = v2, u est solution de l'équation différentielle 2

2λ+ =du

u gdz m

.

En déduire que 02lim( ) 1

− = −

z

Hu z v e où on aura posé une hauteur caractéristique H0 en fonction de m

et λ. 6. En déduire la valeur de la vitesse v1 de A au point O1 avec ce modèle. 7. Le sommet du bâtiment étant à 366 m au-dessus de la terrasse, quelle aurait été la valeur de la vitesse atteinte par A au point O1 si A était tombé du sommet du bâtiment sans vitesse initiale ? On peut ainsi considérer (à moins de 3% près) que la vitesse limite a bien été atteinte et que Mac Taylor avait raison : si A était tombé de tout en haut, il aurait pu atteindre (enfin presque) la vitesse maximale. C. Mouvement parabolique (sans frottements)

4

Une fois arrivé en O1 , l'impact est tellement violent qu'une partie B de A (on considérera B comme un point matériel de masse mB) est expulsée et va suivre un mouvement parabolique (cf. ci-contre). On considérera que B part du point O1 avec une vitesse

v2 = 20 m.s-1 et avec un angle α avec l'horizontale. B atterrira à D = 30 m plus loin et à H1 = 15m plus bas (le rez-de-chaussée est l'étage 1), où B sera trouvé par les Experts. sol

étage 6

z

O 1 terrasse xα

D

H 1

v2

B

On négligera à nouveau dans cette partie les frottements de l'air. 8. Ecrire les équations différentielles en x et en z du mouvement de B (attention, l'axe des z est à présent vers le haut).

9. En déduire l'équation de la trajectoire z = f(x) dans le repère ( )1, ,ur ur

x zO e e .

10. Donner l'équation littérale dont α est solution, faisant intervenir H1 , D, g, v2 et bien sur α.

11. En se rappelant que 22

11 tan

cosα

α= + , montrer que tanα est solution d'une équation du second

degré de la forme a tan2α + b tanα + c = 0. On donnera les valeurs numériques de a, b et c.

12. Résoudre l'équation précédente et donner la valeur de l'angle α. Exercice 5 Un pendule simple non amorti (exercice clé : pendule simple)

On considère un point matériel M de masse m accroché à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil inextensible de longueur l et de masse nulle. L'ensemble est situé dans le

champ de pesanteur terrestre g = g. xu (avec g = 9,81 m.s-

2), xu étant un vecteur unitaire de l'axe Ox. On note l'angle

: θ = (Ox , OM ) = ( xu , u ) où u est un vecteur unitaire

colinéaire à OM . On néglige les frottements.

On lâche la masse d’un angle θo sans vitesse initiale. x

θ(t)

M

O

l

y

1. Quelle base de projection sera-t-il judicieux d’utiliser ? Justifier votre réponse et représenter les vecteurs unitaires sur le schéma. 2. Déterminer l’équation du mouvement par projection du PFD dans la base choisie. 3. Ces oscillations sont-elles ce qu’on appelle des oscillations harmoniques ? Justifier. 4. Le pendule s’arrête-t-il ? Justifier.

Exercice 6 Masse au bout d'un ressort vertical (exercice clé : système masse-ressort)

Soit un solide matériel M (de masse m) qui se déplace verticalement.

M est relié à un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos l0 .

On notera z la position de M sur cet axe.

On considérera le référentiel lié au sol comme galiléen et on considérera qu'il n'y a aucun amortissement. Données: accélération de la pesanteur: g = 9,8m.s-2 ; k = 20N.m-1 ; l0 = 10cm; m = 100g.

5

O

Mz

Exercice 7 Glissement sans frottements sur une demi-jante circulaire

(mouvement circulaire, utilisation des coordonnées polaires)

Un point matériel de masse m, placé initialement en M0 et lâché sans vitesse (v0=0), glisse sans frottements sur un rail circulaire de rayon r.

La position de M est repérée par l’angle polaire ( )rx uu , =θ .

y M0

M

θu ru θ O r x

On note R = R ru la réaction exercée par le support sur le point matériel.

1. Exprimer R en fonction de m,g, θ et de la vitesse angulaire θ& . Etablir l’équation θ&& = C cosθ , C étant une constante à préciser.

2. Résoudre cette équation en multipliant les deux membres par dθ =θ& dt. En déduire θ& en fonction de θ puis R en fonction de θ .

3. Le point M quitte le rail pour un angle limite lθ que l’on calculera. Exercice 9 Lois de Kepler

1. Représenter sur un schéma la force exercée par la Terre sur la Lune L

TF , puis la force exercée par la

Lune sur la terre T

LF .

2. L’expression de la force d’attraction gravitationnelle est ud

mMGF

2−= avec G = 6,67.10-11S.I. , m et

M masse des deux corps en interactions, d distance entre les centre de masse des deux corps. a. Donner l’unité de G. b. Calculer la norme de la force d’intéraction dans le cas considéré. Données : masse de la Lune : m = 7,35.1022kg ; masse de la terre : M = 5,98.1024kg ; distance Terre Lune

d = 384 400 kms 3. En utilisant les lois de Newton, et en supposant que la Lune a un mouvement de rotation circulaire et uniforme autour de la Terre

1. Déterminer la longueur du ressort à l'équilibre. Application numérique. A t = 0, le ressort a une longueur 2l0 et on lâche M sans vitesse initiale. 2. Déterminer l'équation différentielle qui régit les mouvements de M. 3. Déterminer alors z(t) en prenant comme origine de l'axe des z celle indiquée sur le schéma. 4. Avec ces conditions initiales, M peut-il remonter jusqu'en O ? Justifier qualitativement votre réponse (on ne demande aucun calcul).

6

a. Donner l’expression de la vitesse v de la Lune en fonction de G, M et d.

b. Retrouver la troisième loi de Képler : cted

T =3

2

(le rapport 3

2

d

T ne dépend que de l’astre attracteur).

Exercice 10 Portait de phase

On étudie le mouvement d’une balle, assimilable à un point matériel libre, dans le référentiel terrestre galiléen. Sa trajectoire est rectiligne, suivant la verticale du lieu Oz orientée vers le haut. On donne la trajectoire de phase ci-dessous : � en fonction de z. les graduations sont en mètre pour z et en mètre par seconde pour �. Décrire le plus précisément possible le mouvement de la balle et ce que l’on peut en déduire sur les forces qu’elle subit.