Desfase de onda en un circuito RC

Jose David Tobar CastroCarnet: 2002 13153

Guatemala, 19 de noviembre de 2009

Resumen

El efecto en la fase de la onda de corriente alterna que hace uncapacitor en un circuito electrico RC (esto es, resistencia capacitancia)es de desfasar la onda en una cantidad ∆φ. Medimos esto de maneraexperimental graficando las ondas de la corriente de entrada al circuito(la corriente de la fuente) y la corriente de paso por el capacitor en unosciloscopio.

1. Objetivos

1. Encontrar el desfase entre la onda de corriente de la fuente y la quepasa a traves del capacitor.

2. Montaje del equipo

El equipo se monta como se muestra en la figura 1. Se conecta de maneraque la corriente que pasa a traves del capacitor entre en el osciloscopio y quela que sale de la fuente entre, de igual manera a el osciloscopio por el otrocanal de este.

1

0.5

1

2

3

9

8

7

6

5

4

1.5

0

Figura 1: Montaje del equipo

t

Figura 2: Desfase de ondas.

3. Marco Teorico

3.1. Desfase de onda

El desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases. Habitual-mente, esta diferencia de fases, se mide en un mismo instante para las dosondas, pero no siempre en un mismo lugar del espacio.

3.2. Capacitores fijos

Estos capacitores tienen una capacidad fija determinada por el fabricantey su valor no se puede modificar. Sus caracterısticas dependen principalmentedel tipo de dielectrico utilizado, de tal forma que los nombres de los diversostipos se corresponden con los nombres del dielectrico usado.

De esta forma podemos distinguir los siguientes tipos:

Ceramicos

2

Plastico

Mica

Electrolıticos

De doble capa electrica

3.3. Capacitores ceramicos

Se llama capacitor a un dispositivo que almacena carga electrica. Ensu forma mas sencilla, un capacitor esta formado por dos placas metalicaso armaduras paralelas, de la misma superficie y encaradas, separadas poruna lamina no conductora o dielectrico. Al conectar una de las placas a ungenerador, esta se carga e induce una carga de signo opuesto en la otra placa.Por su parte, teniendo una de las placas cargada negativamente (Q-) y la otrapositivamente (Q+) sus cargas son iguales y la carga neta del sistema es 0,sin embargo, se dice que el capacitor se encuentra cargado con una carga Q.

Los capacitores se fabrican en gran variedad de formas y se pueden mandara hacer de acuerdo a las necesidades de cada uno. El aire, la mica, la ceramica,el papel, el aceite y el vacıo se usan como dielectricos, segun la utilidad quese pretenda dar al dispositivo.

El dielectrico utilizado por estos capacitores es la ceramica, siendo el mate-rial mas utilizado el dioxido de titanio. Este material confiere al condensadorgrandes inestabilidades por lo que en base al material se pueden diferenciardos grupos:

Grupo I: caracterizados por una alta estabilidad, con un coeficientede temperatura bien definido y casi constante.

Grupo II: su coeficiente de temperatura no esta practicamente defi-nido y ademas de presentar caracterısticas no lineales, su capacidadvarıa considerablemente con la temperatura, la tension y el tiempo defuncionamiento. Se caracterizan por su elevada permitividad.

Las altas constantes dielectricas caracterısticas de las ceramicas permitenamplias posibilidades de diseno mecanico y electrico.

3

Figura 3: Capacitor ceramico

Ci

R

fV

Figura 4: Circuito

3.4. Desarrollo matematico

De la figura 2 vemos que1

θ = tω (1)

θ = t(2πf)

Ademas, como se ve en la figura 4, las caidas de voltaje a lo largo delcircuito son

Vf − iR− 1

C

∫idt = 0 (2)

1Todas la medidas de angulos en el presente reporte estan dadas en radianes, razon porla cual se presentan adimensionales.

4

que resolviendo es

d

dtVf −

di

dtR− 1

Ci = 0

di

dt= − 1

RCi∫ i

i0

di

i=

∫ t

0

− dt

RC

ln i∣∣iio = − 1

RCt

finalmente tenemos una expesion para la corriente con una fuente de voltajefijo Vf dada por

i = i0e−t/RC (3)

De manera similar

Vc = icR

=1

C

∫ t

0

icdt

=1

C

∫ t

0

i0e−t/RCdt

=V0

RC

∫ t

0

e−t/RCdt

donde V0 = i0R e i0 = Vo/R, entonces

Vc = −RCV0

RCe−t/RC

∣∣t0

y finalemente tenemos que

Vc = −V0(e−t/RC − 1). (4)

Pero este no es exactamente el caso que estudiaremos, pues aca conside-ramos el voltaje de la fuente constante y realmente tenemos uno que varıasenoidalemente con el tiempo, esto es

Vf sin(ωt+ θ)− iR− 1

C

∫idt = 0 (5)

5

que al resolverlo por medio de ecuaciones diferenciales es

θ = tan−1

(1

ωRC

)(6)

que debe ser el desfase dentre entre la corriente a traves de la fuente y delcapacitor.

4. Resultados

Usamos un capacitor de 476µF y resistencia variable para encontrar un∆t al que llamaremos simplemente t. Este fue medido en la pantalla delosciloscopio dando un valor de

t = 0,6± 0,2 cm; 0,2 ms/cm

o seat = 0,12± 0,04 ms (7)

que al ingresarla en la ecuacion (1) tenemos

θ = (0,12 ms)(2,0 kHz)

θ = 0,24 (8)

y la incerteza en la medida sera

∆θ =∂θ

∂t∆t+

∂θ

∂f∆f

= 2πf∆t+ 2πt∆f

= 2π[2,0 kHz(0,04 ms) + 0,12 ms(0,1 kHz)]

∆θ = 0,58 (9)

donde la incerteza fue calculada con la formula general de cambio total deuna funcion de varias variables

∆q =n∑

k=1

∣∣∣∣ ∂q∂xk

∣∣∣∣∆xk (10)

donde q es una funcion de n variables dada por q(x1, . . . , xn). Finalementetenemos un valor para el angulo de desfase medido en el osciloscopio de

θ = 0,24± 0,58 (11)

6

Ahora calculamos este angulo de desfase con la ecuacion (6) antes calculaday habiendo medido con el multımetro el valor para la resistencia como R =3,15± 0,01 kΩ y considerando que el capacitor ceramico tiene un valor decapacitancia de C = 476± 47,6 µF, entonces

θ = tan−1

(1

2πfRC

)= tan−1

(1

2π(2,0 kHz)(3,15 kΩ)(476 µF)

)= 5,31× 10−5 (12)

con una incerteza, calculada con la ecuacion (10) de

8,13× 10−6 (13)

de donde finalmente tenemos el valor del angulo de desfase calculado con laecuacion (6). Este es

θ = 53,1× 10−6 ± 8,13× 10−6. (14)

5. Discusion de resultados

Comparando las ecuaciones (11) y (14), esto es

θ = 0,24± 0,58

θ = 53,1× 10−6 ± 8,13× 10−6

vemos que los datos, durante la practica, fueron tomados de manera erronea,la diferencia entre los resultados es de 8 ordenes de magnitud. Posiblementeel error esta en las escalas de valores del tiempo, o sea, en el osciloscopio seconsidero que la “perilla” que indica a que escala se esta trabajando el tiempo(esta escala es la que aparece en la ecuacion que antecede a la ecuacion(7)) lacual era de 0,2 ms/cm. Otro posible error es una mala consideracion de lasfrecuancias o bien que la frecuancia no se calibro en el osciloscopio de maneraadecuada entes de la toma de datos para que las frecuencias de salida delgenerador de onda y de entrada al osciloscopio fueran identicas.

6. Conclusiones

1. No se pudo determinar el desfase de las ondas.

7

Referencias

[1] Serway, Raymond; Fısica, para ciencias e ingenierıa; Volumen I, 6a

edicion, Editorial Thomson.

[2] Sears et al.; Fısica universitaria con fısica moderna; Volumen 2, 11a

edicion, Editorial Pearson-Addison Wesley.

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