EPFL - GM 1

Cours de physique généralePhysique I pour étudiants de première année

en section de mathématiques

Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique

31 octobre 2008cours de la semaine # 7

Bienvenue au

Site web du laboratoire et du cours :

http://lastro.epfl.ch

EPFL - GM 2

z

O

x

y

P(r,θ,φ)

φ

!

ˆ e r

!

ˆ e "

!

ˆ e "

v

rθ

Vitesse et accélération encoordonnées sphériques (suite)

• Vitesse angulaire de rotation du repère :

• Dérivées des vecteurs de base :

• Position, vitesse et accélération dans ce repère :

!

r r = r ˆ e rr v = ˙ r ˆ e r + r˙ " ˆ e " + r˙ # sin" ˆ e #r a = ˙ ̇ r $ r˙ " 2 $ r˙ # 2 sin2"( ) ˆ e r

+ r˙ ̇ " + 2˙ r ̇ " $r˙ # 2 sin" cos"( ) ˆ e "

+ r˙ ̇ # sin" + 2˙ r ̇ # sin" + 2r˙ # ̇ " cos"( ) ˆ e #

!

r " = ˙ # ˆ z + ˙ $ ˆ e #

!

ˆ ˙ e r = r " # ˆ e r = ˙ $ ˆ e $ + ˙ % sin$ ˆ e %

ˆ ˙ e $ = r " # ˆ e $ = &˙ $ ˆ e r + ˙ % cos$ ˆ e %

ˆ ˙ e % = r " # ˆ e % = &˙ % sin$ ˆ e r &˙ % cos$ ˆ e $

accélération radialeaccélération méridienneaccélération transverse

EPFL - GM 3

Une brève histoire de la gravitationGrèce antique

déférent

épicycle

Terre planète

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Une brève histoire de la gravitationMouvement des corps célestes (Grèce antique)

– Eudoxe de Cnide (405−335 av. J-C), Aristote (384−322 av. J-C)• Soleil et planètes sur des sphères concentriques centrées sur la Terre

– Aristarque de Samos (310−230 av. J-C) 1er système héliocentrique• Terre en rotation sur elle-même• Terre et planètes sur des orbites circulaires autour du Soleil (idées en contradiction avec l’époque, ne parviennent pas à s’imposer)

– Ptolémée (~100 − ~170 ap J-C), inspiré par Hipparque (~140 av J-C)• Terre au centre, Soleil à vitesse constante sur un cercle légèrement décentré• Planètes à vitesse constante sur des cercles (épicycles) dont les centres sont

à vitesse constante sur d’autres cercles (déférents) centrés sur la Terre

déférent

épicycle

Terre planète

En accord avec des observationsde qualité médiocre, les modèlesgéocentriques de Ptolémée etd’Aristote ont prévalu pendant

quinze siècles, i.e., durant tout leMoyen Age jusqu’au 16e siècle !

EPFL - GM 5

Mouvement rétrograde de la planète Mars

L’explication du mvt rétrograde

nécessite des épicycles dans un modèlegéocentrique

mais est immédiate dans un modèlehéliocentrique

EPFL - GM 6

Equinoxes et solstices

EPFL - GM 7

Précession des équinoxes

Hipparque (190-120 av J-C) :observations (169 ans d’archives) ⇒ précession des équinoxes

EPFL - GM 8

Nicolas Copernic (1473−1543)

• De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543)– Modèle héliocentrique (inspiré par Aristarque)– Remet en question la vision géocentrique et le

« modèle des deux sphères concentriques »(la sphère terrestre et la sphère des étoiles fixes)

Révolution de la pensée :la Terre (et donc l’être humain)

n’est plus au centre de l’Univers !

⇒ conflit avec l’Eglise chrétienneet la Bible

Qualitativement, explication plus simple du mouvementdes planètes (mouvement rétrograde expliqué par lemouvement de la Terre) … mais toujours des cercles !

« … le mouvement des corps célestes est circulaire. En effet, lamobilité propre de la sphère est de tourner en rond : par cet actemême [...] elle exprime sa forme, celle du corps le plus simple … »

polonais

EPFL - GM 9

Tycho Brahe (1546-1601)

Jacob de Gheyn (1565-1629)

EPFL - GM 10

La Terre ou le Soleil au centre de l’Univers ?

• Claude Ptolémée (110-160) Alexandrie : système géocentrique, avec déférents et épicycles (pdt 1500 ans)• Nicolas Copernic (1473-1543) : De Revolutionibus Orbium Coelestium• Tycho Brahe (1546-1601) : grand observateur Uraniborg

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Tycho Brahe (1546−1601) et Johannes Kepler (1571–1630)

• Tente de réconcilier lespoints de vue de l’Egliseet de Copernic(Soleil tourne autour dela Terre immobile etplanètes tournent autourdu Soleil)

• Réalise l’importance defaire des mesuresprécises du mouvementdes planètes(approche scientifique)

• Consacre de nombreusesannées à l’observation etla mesure desmouvements planétaires • Remarque que si l’orbite de Mars est un

cercle, le Soleil ne peut pas se trouver aucentre de ce cercle ... et finalement quel’orbite de Mars n’est pas un cercle

• Partisan dusystèmehéliocentriquede Copernic

• Poursuitl’analyse desmesures dumouvement deMars faite(s)par sonmaître et amiTycho Brahe

allemanddanois

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De l’enterrement de Johannes Kepler (1571-1630)ou

de la qualité des sources d’information

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Découverte pourla planète Terreen supposant uneorbite circulaire

Lois de Képler• 2ème loi : (lois des aires, 1609)

Le rayon-vecteur du Soleil àune planète balaie des aires égalesen des temps égaux.

• 1ère loi : (1609)Les trajectoires des planètes sontdes ellipses dont le Soleil occupel’un des foyers.

1ère et 2e lois publiéesdans Astronomia Nova (1609)

• 3ème loi : (1619)Les carrés des périodes derévolution sont proportionnels aucube des grands axes :

3e loi publiée dansHarmonices mundi (1619)

!

grand axe( )3

période( )2

= constante

Découverte en 1604pour la planète Marsen supposant la loides aires

Note : Rapport des axes de l’ellipse : 0.99666 pour Mars 0.99986 pour la Terre

EPFL - GM 14

Mvt circulaire. Vitesse et accélération angulaires

• Pour un mvt circulaire et uniforme on a :

ce qui donne l’évolution :

• Syst. d’axes cartésiens dont l’origine est le centre de la trajectoire

⇓

la projection d’un mouvement circulaire uniformesur un axe situé dans son plan

estun mvt oscillatoire harmonique

EPFL - GM 15

Les coniquesselon un site du web

2007

Rappel :Les coniques

EPFL - GM 16

Les coniquesselon Kepler

1607

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Toute la physique ne date pas du 20e siècle !

• Pendant très longtemps, les applications physiquesdes coniques ont été les mouvements des planètes,des astéroïdes, des comètes, donc astronomiques(en plus de l’étude de la chute des corps et de la balistique).

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Toute la physique ne date pas du 20e siècle !

• Ce n’est qu’au20e siècle queles coniques ont étéappliquées auxproblèmes, e.g., detrajectoires lorsde la diffusionde particules pard’autres particules.

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Coniques

!

POPQ

= e = rd " r cos#

Conique : lieu géométrique des points P du plan dont le rapportdes distances à un point fixe O (foyer) et une droitefixe D (directrice) est une constante e (excentricité)

!

1r = 1

p (1 + e cos")

Equation conique en coordonnées polairesdéfinie par les paramètres e et p

r, θ = coord. polaires par rapport à Od = distance foyer-directricea

ab

Oae θ

r

d

Δ

P Q

e< 1: ellipse

ab

O

ae

θr

d

Δ

PQ

e>1:hyperbole

avec p = ed

!

demi - grand axe : a = p

1 " e

2

demi - petit axe : b = p

1 " e

2

!

" ed = r 1+ e cos#( )

EPFL - GM 20

Section d’un cône : Ellipse

!

x2

a2

+y2

b2

=1

Ellipse rapportée à son centre et à ses axes de symétrie

EPFL - GM 21

Section d’un cône : Parabole

!

y2

= 2px

Parabole rapportée à son sommet et à son axe de symétrie

EPFL - GM 22

Section d’un cône : Hyperbole

!

x2

a2"y2

b2

=1

Hyperbole rapportée à son centre et à ses axes de symétrie

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Les coniques Gruber & Benoit pp 160-162

Fig. 6.12 a

Fig. 6.12 c

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Les coniques Gruber & Benoit pp 160-162 (suite)

EPFL - GM 25

Les coniques Gruber & Benoit pp 160-162 (suite)

EPFL - GM 26

Les coniques Gruber & Benoit pp 160-162 (suite)

EPFL - GM 27

Les coniques Gruber & Benoit pp 160-162 (suite)

EPFL - GM 28

Un petit livre très recommandable

• Titre : Formulaires et tables• Auteurs : Commissions romandes de mathématique, de physique et de chimie• Editeur : Editions du Tricorne• Référence : ISBN 2-8293-0216-8

mais également• Titre : Savoir-faire en mathématiques• Auteur : Section de mathématiques SMA-FSB-EPFL, Station 8, CH-1015 Lausanne

EPFL - GM 29

Mvt des planètes autour du Soleil et mvt centralAperçu historique et lois de Kepler (suite)

• Première loi : Les trajectoires des planètes sont des ellipses dontle Soleil occupe un des foyers. ( Rapport de axes b/a de l’ellipsevaut 0,99986 dans le cas de notre Terre et 0,99666 dans celui dela planète Mars. )

• Deuxième loi : Le rayon-vecteur du Soleil à la planète balaie desaires égales pendant des intervalles de temps égaux.

EPFL - GM 30

Mvt des planètes autour du Soleil et mvt centralAperçu historique et lois de Kepler (suite)

• Troisième loi : Les carrés des périodes de révolution sont propor-tionnels au cube des grands axes, i.e.,

• Remarques :– Des 2 premières lois, Kepler aurait pu déduire qu’à tout instant le

vecteur accélération de chaque planète est dirigé vers le Soleil, denorme inversement proportionnelle au carré de la distance Soleil-Planète ( ~ loi de la gravitation universelle).

– De la troisième loi, Kepler aurait pu déduire que la constante deproportionnalité ne dépend pas des planètes, i.e., que l’accélérationde chaque planète est donnée par :

où x = SP est le vecteur Soleil-Planète et κS est une constantedont la valeur numérique vaut κS = 1,327 1020 m3s-2.

calculus de Newton

EPFL - GM 31

Mvt des planètes autour du Soleil et mvt centralDes lois de Kepler au mouvement central

• But : Partant de la 2e loi de Kepler, montrer que le vecteur accélé-ration de la planète P est parallèle au vecteur Soleil-Planète SP.

• 1re loi de Kepler ⇒ mvt dans un plan contenant le Soleil.• Aire de la surface définie par les rayons-vecteurs SP(t1) et SP(t2)

et la trajectoire s’exprime par (la limite de) la somme des aires destriangles définis par la courbe polygonale approximant latrajectoire

EPFL - GM 32

Mvt des planètes autour du Soleil et mvt centralDes lois de Kepler au mouvement central (suite)

• Ainsi, l’aire balayée par le rayon-vecteur SP(t) = x(t) pdt l’intervallede temps (t1,t2) est donnée par :

où , i.e.,

• 2e loi de Kepler ⇒ ∀ Δt, A(t,t+Δt) indépendant de t. Donc ildécoule de l’Eq. (6.47) que la vitesse aréolaire définie par :

ne dépend pas de t.

EPFL - GM 33

Mvt des planètes autour du Soleil et mvt centralDes lois de Kepler au mouvement central (suite)

• Ainsi, la 2e loi de Kepler (|C| = cte ne dépend que de la planète P) ⇒

• Comme le mvt de P est plan et s’effectue tjrs dans le même sensautour du Soleil, ce résultat remarquable peut s’exprimer sous laforme vectorielle suivante, appelée loi des aires : pour n’importequelle planète P, on a :

et C est un vecteur constant dépendant de P, perpendiculaire auplan de la trajectoire, égal à x0 ∧ v0.

• Finalement, en dérivant l’Eq. (6.50) par rapport au temps, on obtientune autre propriété fondamentale :

i.e., ∀t, le vecteur accélération de la planète P || au vecteur-lieu SPt.

EPFL - GM 34

Mvt des planètes autour du Soleil et mvt centralDes lois de Kepler au mouvement central (suite)

• Définition : Soit O un point fixé dans le référentiel ℜ. Le mvt d’unpoint P est dit central de centre O si à tout instant le vecteuraccélération a(t) est parallèle au vecteur-lieu x(t) = OPt.

• Le mvt de toute planète est un mouvement central dont le Soleilest le centre

EPFL - GM 35

Galilée (1564–1642), Newton (1642–1727)et le développement de la dynamique

• Qu’est-ce qui fait bouger les planètes ?– Avant Galilée/Newton :

• Le mouvement « naturel » d’un corps est l’immobilité• Une planète doit constamment être poussée ou tirée

(par « miracle ») dans la direction de son mouvement,autrement elle s’arrête

– Après Galilée/Newton :• Le mouvement « naturel » d’un corps est rectiligne

uniforme; une planète dévie de sa ligne droite si uneforce non tangentielle agit sur elle

• Newton tire les conséquences des lois de Kepler : La 2ème loi et la planéité de l’orbite implique que la force

et donc l’accélération subies par une planète pointenttoujours vers le Soleil :⇒ cette force centrale attractive est exercée par leSoleil (action instantanée à distance, comme par miracle)

En utilisant de plus la 3ème loi, Newton montre que la forceest proportionnelle à 1/r2 (r = distance Soleil-planète)

A partir de là, il prédit une trajectoire elliptique ! (1ère loi)

anglaisitalien

!

F " 1

r2

loi de lagravitationuniverselle

⇐

EPFL - GM 36

Mouvement central et loi des airesDéfinition :un point P de masse m a un mouvement central si

son accélération passe toujours par un même point O

!

" r r (t) = OP reste toujours parallèle à

r a (t)

P(t’)P(t’’)

a(t’)

a(t’’)

O

dA

v(t) dt

r(t)

Mouvementcentral

Momentcinétiqueconstant

Loi des aires+ mouvementdans un plan

⇔ ⇔

par rapport à un certain point O fixe

!

ddt

(r r " m

r v ) =

r v " m

r v +

r r " m

r a = 0

Conséquences:

• Le vecteur moment cinétiquereste constant et le mouvement est plan :

!

r L =

r r " m

r v

!

dA = 12

r v dt sin(r r ,

r v ) " dA

dt = 1

2 r r #

r v = L

2m

• L’aire balayée par unité de temps par levecteur r(t) est constante (loi des aires) :

Démo : Mouvement central # 7

EPFL - GM 37

Mouvement centralProjection dans un plan horizontal du mouvement d’une bille

soumise à son poids et astreinte à se déplacersur une surface de révolution d’axe vertical

!

r F "

O

y

x

Projection sur plan horizontal

!

r F " = mg cos# sin#

!

Support de r F " passe toujours par O

!

Force totale r F = m

r g +

r N = F" ˆ e " + Fz ˆ e z

!

F" = r F # ˆ e " = $mg cos% sin%

Repère associé (coord. cylindr.)

!

Pˆ e "ˆ e #ˆ e z

Composante horizontale:ax

e de

révo

lutio

n ve

rtica

l

surf

ace d

e rév

olut

ion

αα

ρ

α

!

mr g

!

r N

!

r F

!

ˆ e "

!

ˆ e z

zVue de coté

xO

α

Démos : Orbites gravitationnelles (1) # 108 Orbites gravitationnelles (2) # 112

EPFL - GM 38

« Découverte » de la force en 1/r2(dans le cas particulier d’une orbite circulaire de rayon r)

ω

rO

a = ω ∧ (ω ∧ r)

v = ω ∧ r

NB: le cercle est une ellipse de grand (petit) demi-axe ret son centre est l’un ou l’autre des foyers

!

r L =

r r " m

r v = m

r r " (

r # "

r r )

= m (r r $

r r )

r # % m (

r r $

r # )

r r = mr2

r #

!

r L = cste "

r # = cste " v = #r = cste

⇒ mouvement circulaire uniforme

• 2ème loi de Kepler (loi des aires) :

• 3ème loi de Kepler :

(période)2 = T2 = C r3

où C est une constante

!

F = ma = mv 2

r = m

r 2" r

T( )2

= mr

(2" r) 2

C r 3

= 4" 2 mC

1r

2

= #S m 1

r 2

!

On pose "S = 4# 2

C

$ T = 2# r 3

"S

EPFL - GM 39

Les planètes, la lune et la pomme

Got

lib

EPFL - GM 40

Les planètes, la lune et la pomme• Newton postule que tous les corps exercent l’un sur l’autre

une force similaire à celle du Soleil sur une planète :– Exemple : la Terre attire aussi bien la Lune

qu’une pomme, et donc la Lune« tombe » en chute libre de lamême manière que la pomme

• Vérification du postulat (1666) :– A la surface de la Terre de rayon R, la pomme de masse m

subit une force donnée par : mg = χT m / R2, donc χT = gR2

– Newton calcule alors la période de révolution T de la Luneconnaissant sa distance d à la Terre :

– mais le résultat diffère de 15% par rapport à la valeur observée !Il renonce à publier, jusqu’à ce que, plusieurs années plus tard,la longueur du méridien terrestre soit mesurée correctement etréduise l’écart de 15 % à 1 %.

!

T = 2" d 3

#T

= 2" d 3

gR 2

Got

lib

EPFL - GM 41

Action et réaction (3ème loi de Newton)

« A chaque action, il y a toujours une réaction égale et opposée ;si un premier corps exerce une force sur un second,

ce second corps exerce une force égale et opposée sur le premier  »

Application aux forces gravifiques:cas du système Terre(T)-Lune(L)

!

r F

T"L +

r F

L"T = 0

FT"L

= FL"T

!

" #T

mT

=#L

mL

= constante universelle indépendante du corps (= G)

!

FT"L

= #Tm

L

1

d

2

FL"T

= #Lm

T

1

d

2

$

% &

' & ( #

Tm

L= #

Lm

T

FT→L

FL→T

mT

mLd

EPFL - GM 42

Loi de la gravitation universelle (Newton)

L’interaction de gravitation entre deuxcorps s’exprime par une force centraleattractive proportionnelle aux massesdes deux corps et inversement propor-tionnelle au carré de leur distance

« Philosophiae Naturalis Principia Mathematica » (1687)

!

r F = " G M m

r2 ˆ e r = " G M m

r3 r r

G = constante de gravitation universelle

Mm

F

r

!

ˆ e r Notes:• En pleine cohérence avec les lois de Kepler,

cette loi a tout de suite été acceptée, mais …• G = (6.673 ± 0.010)×10−11

m3 kg−1 s−1

(valeur actuelle)

EPFL - GM 43

EPFL - GM 44

Et plus loin que le système solaire ?

Distance typique dans le système solaire : 1 UA = distance Terre - Soleil = 150 106 km

A grande échelle,106-109 fois plus grande,la structure de l’Univers

est complètement dominéepar les forces gravitationnelles.

EPFL - GM 45

• Concept de base:– l’espace-temps est déformé par la présence des masses

(et les corps suivent des géodésiques dans l’espace courbe)

• La gravitation newtonienne n’est qu’une approximation– des effets de relativité générale ont été observés sur l’orbite de Mercure– la lumière, qui n’a pas de « masse », est également affectée par la gravitation

(observation d’étoiles dans la direction du Soleil lors d’une éclipse solaire)

• Description de « phénomènes extrêmes » (trous noirs, …)

Relativité générale d’Einstein (dès 1907)