Chap. 1 Mouvement oscillatoire - Bouassida Geotechnics

Ondes mécaniques A2016 - B.B. 1

1

Chap. 1Mouvement oscillatoire

1.1-1.2 Mouvement harmonique simple

1.1-1.2 Système bloc-ressort

1.7 Oscillations forcées et résonance

2

1.1-1.2 Mouvement harmonique

simple (MHS)

Un exemple: masse + ressort

D’autres exemples?

3

(ici, φ = 0)Positionà l’instant t

(ou pulsation)

-1

2 (rad/s)

: fréquence (Hz ou s )

1 : période (s)

: dépend des conditions initiales

f

f

T f

ω π

φ

=

=

4

L’oscillateur avec φ < 0 est en retard par rapport à celui avec φ = 0

t

Aurait-on pu déduire φ pour la courbe rouge?


5

Exemple: oscillation des gratte-ciel!

Amplitude de quelques cm,voir 1 à 2 mètres par grand vent.

Empire State Building:T = 8 s (f = 0,125 Hz)

6

1.1-1.2 Système bloc-ressort

rigidité

inertie

k

mω =

=

Preuve…

7

1.7 Oscillations forcées et résonance

• Éléments d’un système résonant– Inertie (opposition au changement)

– Force de rappel, énergie potentielle (accumulation)

– Dissipation

– Source externe ajustée à la bonne fréquence

: fréq. angulaire naturelle du système (propre, de résonance)

: fré

Si

q. angulaire externe (source)

(amplitude maximale) résonancee

e

ω

ω

ω

ω

≈ ⇒8

1.7 Résonance (suite)

• Exemples– Système bloc-ressort réel (amorti et entretenu)– Balançoire– Circuit RLC– Structures (ponts, édifice)– Ondes stationnaires (ex.: corde vibrante)

(amplitude maximale)

Sinon amp

Si r

l

é

i

so

tu

nance

de plus faibleeω ω≈

⇒

⇒

N.B. Souvent, ∃ plusieurs fréquences de résonance


9

Si résonanceeω ω≈ ⇒

10

11

Chap. 2A et 4A Ondes progressives et stationnaires

2.1* Généralités

2.2* Ondes sinusoïdales progressives

2.3* Vitesse des ondes

3.1* Introduction aux ondes sonores

4.1* Superposition et interférence

4.2* Ondes stationnaires

4.3-4.4 Ondes stationnaires sur une corde finie

4.5 Ondes stationnaires dans une colonne d’air

2.1 Généralités

• Onde = perturbation qui se transmet au voisinage (se propage)

• Ingrédients d’une onde mécanique– Déformation locale d’un milieu continu

– Force de rappel (élasticité)

12


13

2.1 Généralités (suite)

• Types: mécaniques, électromagnétiques et de matière

• Onde transporte de l’énergie

• Onde transversale: oscillation ⊥ direction de l’onde

•Onde longitudinale: oscillation // direction de l’onde

14

2.2 Ondes sinusoïdales progressives

λ:longueur d’onde(s’ajuste selon f)

de l'onde

(dépe

vitesse

nd du milieu)

v fT

λλ= =

se propagent…

Mvt. du point P:MHS

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2.3 Vitesse des ondes (corde et autres)

• Ondes sonores dans l’air: 343 m/s

• Ondes électromagnétiques dans le vide:c = 3 X 108 m/s

• Ondes sur une corde tendue: (section 2.3)

: force de tension (N)rigidité o :

: masse linéique (kg/m)inertiev

τ

µ

τ

µ=

=

ù

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3.1 Introduction aux ondes sonores

Ondes longitudinales

Compression et raréfaction du milieu

Oreille humaine:20 Hz à 20 kHz

Infrasons et ultrasons


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Réponse en fréquence de l’oreille humaineCourbes d’égale sensation

Utilité du loudness

18

constructive destructive intermédiaire

Selon φ (entre les ondes originales), l’interférence sera…

4.1 Superposition et interférence

19

4.2 Ondes stationnaires

Interférence de 2 ondes identiques sauf leur direction

Onde résultantene se propage pas.

Nœuds et ventres

20

f doit être ajustée pour avoir des

nœuds aux 2 bouts

2nL n

λ=

4.3-4.4 Ondes stationnaires surune corde de longueur L (résonance)

2

où 1, 2,3,...

n

vf n

Ln

=

=

Fréquence propre(harmonique) du ne mode:

n = 1 : fondamental


21

4.5 Ondes stationnaires (colonnes d’air)

• Réflexions aux extrémités d’un tuyau– Possibilité d’une onde stationnaire

• Extrémité fermée:– Nœud de déplacement

• Extrémité ouverte:– Ventre de déplacement (approx.)

Mouvement réel –vs- représentation(une extrémité fermée ici)

22

23

2nL n

λ=

où 1, 2,3,...2n

vf n n

L= =

•2 extrémités ouvertes:

4nL n

λ=

où 1,3,5,...4n

nvf n

L= =

•Une extrémité fermée:

Harmoniques impairs seulement24

Chap.2BMouvement ondulatoire2.3 Vitesse des ondes dans une corde

2.4 Réflexion et transmission

2.1-2.2 Équation d’une onde progressive


25

2.3 Vitesse des ondes dans une corde

rigidité

inertiev

τ

µ= = Preuve…

Dans le repère de l’impulsion…

26

Réflexiondure

Onde réfléchieinversée

2.4 Réflexion et transmission

27

Réflexionmolle

Onde réfléchienon-inversée

Réflexion et transmission (suite)

28

L’onde transmise

n’est jamais

inversée

La fractionréfléchie

dépend de ladifférence entre

les 2 milieux

Réflexion et transmission (suite)


29

( ) ( )

phase de l'onde

, s En gé inéra nl, my x t y kx tω φ= ± +��

Pour une onde se propageant vers les x positifs…

…le temps introduit un déphasage négatif

2.1-2.2 Équation d’une onde progressive

2: nombre d'onde (rad/m)k

π

λ=

Preuve…

30

Chap.3 Ondes sonores

• 3.1 Variations de pression• 3.2 Vitesse du son• 3.3 Intensité et niveau sonore• 3.4 Effet Doppler• 3.4 Vitesses supersoniques

3.1Variations de pression

31

Molécules après l’arrivée de l’onde

Molécules avant l’arrivée de l’onde

32

3.2 La vitesse du son

Vitesse des ondes sur une corde (rappel):rigidité

inertiev

τ

µ= =

Par analogie, on aura pour la vitesse du son:B

vρ

=

avecρ : masse volumique du milieuB : module de compressibilité du milieu (incompressibilité)

(en N/m² ou Pa)

solides liquides gazB B B� �


33

Milieu Vitesse (m/s)

Air (0°C) 331

Air (20°C) 343

Hélium (0°C) 965

Hydrogène (0°C) 1284

Eau (0°C) 1402

Eau (20°C) 1482

Mercure (25°C) 1450

Diamant 12000

Aluminium 6420

Cuivre 3560

Caoutchouc 1600

Plomb 132234

3.5 Intensité et niveau sonore

2

Intensité :

W en

m

dépend de l'endroit

où on se trouve

p/r à la source

PI

A

=

Source isotrope: émission uniforme dans toutes les directions

I diminue quand on s’éloigne d’une source isotropeP captée (à un certain endroit) augmente si l’aire du capteur augmente

35

Échelle des décibels

• Oreille humaine– Seuil d’audibilité: I0 = 10-12 W/m²

– Seuil de la douleur: 1 W/m²

– Pour doubler notre perception, I doit décupler⇒Échelle logarithmique plus pratique…

0

niveau sonore (en dB) 10log: I

Iβ

=

Exemples…36

Relation avec l’amplitude et la fréquence

En général,

2

2(et P)

fI

amplitude

∝

Hautes fréquences demandent plus de puissance pour une même amplitude

Son: amplitude des déplacements (ou des variations de pression)Corde: amplitude de déplacement de la cordeEM: amplitude du champ électrique ou magnétiqueetc…


37

3.8 L’effet Doppler (pas seulement pour le son)

• Variation de f observée due à un mvt. relatif– Rapprochement ⇒ f’ > f

– Éloignement ⇒ f’ < f

• Convention de signesvO : positive si O s’approche de S (négative si s’éloigne)

vS : positive si S s’approche de O (négative si s’éloigne)

Les deux signes sont indépendants!

: vitesse du son

: vitesse de l'observateuroù

: vitesse de la source

(toutes mesurées p/r au fluid )

'

eS

O

S

O

v

v

vf

v

v

v

vf

+

=

−

38

Preuve…

39

3.9 Vitesses supersoniques

Onde de choc(cône de Mach)

si vs � v

40


41

Chap.4 Superposition (compléments)

• 4.7 Battements• 4.2 Retour sur l’onde stationnaire (équation)• 4.8 Instruments de musique

42

4.7 BattementsSuperposition de 2 ondes de f voisines…⇒Amplitude de l’onde résultante oscille 1 2batf f f= −

Accord des instruments

Preuve…

43

4.2 Équation d’une onde stationnaire

( ) ( ) ( )1 2, , ,y x t y x t y x t′ = +Interférence de 2 ondes:principe de superposition

(général)

Onde stationnaire:interférence de 2 ondes identiques sauf leur direction:

( ) ( )

( ) ( )1

2

, sin

, sin

m

m

y x t y kx t

y x t y kx t

ω

ω

= −

= +

Preuve…

44

Les f diminuentsi L augmente (même milieu)

4.8 Instruments


45

Production des sons par un instrument

• Excitation par un mélange de fréquences– cordes vocales

– corde frottée ou grattée

– air soufflé, …

• Résonance pour certaines : le son entendu!

• Son = fondamentale et harmoniques supérieurs « naturels »

• Note jouée: la fondamentale (n = 1)

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Instruments (suite)

Flûte:selon le premier trou dégagéExcitation d’un

tuyau d’orgue

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Instruments (suite)

Corde pincée au centre

Analyse de Fourier:Tout signal périodique peut se décomposer en une somme d’harmoniques

48

La même note (f1) jouée sur 3 instruments différents…


49

Le mélange des harmoniques caractérise le timbre des instruments

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La gamme tempérée (3e octave)

Note f (Hz) Note f (Hz)

Do3 261,6 Sol3 392

Do#3 ou Réb3 277 Sol#3 ou Lab3 415

Ré3 294 La3 440

Ré#3 ou Mib3 311 La#3 ou Sib3 466

Mi3 330 Si3 494

Fa3 349 Do4 523,2

Fa#3 ou Solb3 370 Do5 1046,4

Un doublement de fréquence par octaveChaque octave: douze demi-tons (X 21/12)

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