Tarea1
1
1 BENEM ´ ERITA UNIVERSIDAD AUT ´ ONOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS F ´ ISICO-MATEM ´ ATICAS INTRODUCCI ´ ON A LA GEOMETR ´ IA DIFERENCIAL TAREA No. 1 Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, justifica todas tus respuestas y en caso de que consideres que alguno de los problemas es falso da un contraejemplo. 1. Encuentra una curva parametrizada α cuya traza sea el c´ ırculo x 2 +y 2 = 1 de tal manera que α(t) recorre el c´ ırculo en sentido contrario a las manecillas del reloj e inicia en el punto (1, 0). 2. Sea α(t) una curva parametrizada que no pasa por el origen. Si α(t 0 ) es el punto de la traza de α m´ as cercano al origen y α 0 (t 0 ) 6= 0, muestra que α(t 0 ) es ortogonal a α 0 (t 0 ). 3. Sean α : I → R 3 una curva parametrizada y v ∈ R 3 un punto arbi- trario, donde I es un intervalo que contiene a 0. Sup´ ongase que α 0 (t) es ortogonal a v para cada t ∈ I y que α(0) es tambi´ en ortogonal a v. Muestra que α(t) es ortogonal a v para cada t ∈ I . 4. Sea α : I → R 3 una curva parametrizada, con α 0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I . Muestra que |α(t)| es una constante no nula si y s´olo si α(t) es ortogonal a α 0 (t) para cada t ∈ I .
description
Â
Transcript of Tarea1
1
BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLAFACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS
INTRODUCCION A LA GEOMETRIA DIFERENCIALTAREA No. 1
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, justificatodas tus respuestas y en caso de que consideres que alguno de los problemases falso da un contraejemplo.
1. Encuentra una curva parametrizada α cuya traza sea el cırculo x2+y2 =1 de tal manera que α(t) recorre el cırculo en sentido contrario a lasmanecillas del reloj e inicia en el punto (1, 0).
2. Sea α(t) una curva parametrizada que no pasa por el origen. Si α(t0)es el punto de la traza de α mas cercano al origen y α′(t0) 6= 0, muestraque α(t0) es ortogonal a α′(t0).
3. Sean α : I → R3 una curva parametrizada y v ∈ R3 un punto arbi-trario, donde I es un intervalo que contiene a 0. Supongase que α′(t)es ortogonal a v para cada t ∈ I y que α(0) es tambien ortogonal a v.Muestra que α(t) es ortogonal a v para cada t ∈ I.
4. Sea α : I → R3 una curva parametrizada, con α′(t) 6= 0, para cadat ∈ I. Muestra que |α(t)| es una constante no nula si y solo si α(t) esortogonal a α′(t) para cada t ∈ I.
