Ejercicios #1.Calculo vectorialProf: G. Fonseca

1. Demuestre en detalle que la bola B2(0, 0) es un abierto en R2.

2. Demostrar con argumento ε− δ que lım(x,y)→(0,0)y

x2+1 = 0

3. Describir algunos conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:

a) f(x, y) = x/y b) f(x, y) = x− 4y c) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2 d) f(x, y) = 1/xy

4. Determinar los siguientes lımites:

a) lım(x,y)→0(x−y)2

x2+y2 , b) lım(x,y)→0xy

x2+y2+2 c) lım(x,y)→0sin(x+y)

x+y

5. ¿Es posible definir la funcion f(x, y) = xyx+y en (0,0) y que resulte contınua?

6. Sea f : U ⊆ R3 → R. Si existen K ≥ 0, α > 0 tal que dados x, y ∈ U , |f(x)− f(y)| ≤ K||x− y||α, mostrarque f es uniformemente continua en U.( f se dice Holder continua).

7. Determinar el plano tangente en cada una de las situaciones:

a) f(x, y) = xy + exp(xy), x = 1, y = 0 b) f(x, y) = ln√

1 + x2y4, x = 1, y = 1

c) f(x, y) =√

1− x2 − y2, x = 1/√

2, y = 1/√

2 d) f(x, y) = x2x+3y , x = 1, y = 2

8. Determinar el gradiente de cada campo escalar:

a) f(x, y) = xyx2+y2 b) f(x, y) = xy

sin(1/(x2+y2)) c) f(x, y, z) = xyzx2+y2+z2

9. Determinar donde las siguientes funciones son diferenciables:

a) f(x, y) = 2xy(x2+y2)2 b)f(x, y) = xy√

x2+y2c) f(x, y, z) = x/y + y/z

10. Utilizar una aproximacion lineal adecuada para estimar los valores:

a) (0.99e0,02) b)√

(4,01)2 + (3,98)2 + (2,01)2

11. Sea v ∈ R3. Definir la funcion f(x) = v · x. Determinar el gradiente de f y generalizar a n dimensiones.

12. Encontrar la matriz de derivadas parciales de las aplicaciones:

a) f(x, y) = (xey + cos y, x2, xy)

b) f(x, y, z) = (x + y2ez, xyz)

c) f(t) = (2t, t2, t3)