STEREOMETRIA

Základné pojmy a vety Stereometrie

Šk. rok 2012/2013 Mgr. V. Bobáková

ZÁKLADNÉ POJMY A VETY STEREOMETRIE

Planimetria - geometria v rovine

Stereometria – je časť geometrie, ktorá sa zaoberá vlastnosťami priestorových útvarov

Body – A, B, C . . .

Priamky – p, q, b, a . . .

Roviny – α, β, δ . . .

Priamka – je jednoznačne určená svojimi 2 rôznymi bodmi

Rovina – je jednoznačne určená:

a) 3 bodmi, ktoré neležia na jednej priamke,

b) priamkou a bodom, ktorý na nej neleží,

c) 2 rôznymi rovnobežnými priamkami,

d) 2 rôznobežnými priamkami.

3 rôznymi bodmi, ktoré neležia na priamke

Priamkou a bodom, ktorý na nej neleží

A

B

C

BB

B

A

2 rôznobežnými priamkami

2 rôznymi rovnobežnými priamkami

Úloha č.1

Je daná kocka ABCDEFGH. Zakresli do obrázku priamky ED, ASGH a rozhodni, či ležia v rovine ADE.

A

F

G

B

E

D C

HS

Z obrázku vidíme, že:

• ↔ ED ↔ ADE, pretože v ⊂

rovine ležia body E, D

• ↔ ASGH ↔ ADE, pretože v ⊄

rovine neleží bod SGH

Úloha č.2

Je daná kocka ABCDEFGH. Zakresli do obrázku priamky EF, ASCG a rozhodni, či ležia v rovine ACG.

A

F

G

B

E

D C

H

Z obrázku vidíme, že:

• ↔ EF ⊄ ↔ ACG, pretože v

rovine neleží bod F

• ↔ ASCG ⊂ ↔ ACG, pretože v

rovine leží bod SCG

S

Vzájomná poloha dvoch priamok

rovnobežné – totožné rovnobežné – rôzne

rôznobežné mimobežné

p = q qp

p

q

pq

Ak majú nekonečne veľa spoločných bodov

Ak nemajú žiaden spoločný bod a ležia v

jednej rovine

Ak majú spoločný 1 bod a ležia v jednej rovine

Ak nemajú žiaden spoločný bod a neležia

v jednej rovine

Úloha č.1 Je daná kocka ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu priamok: a./ AB, CG b./ ASCG, BD c./ AB, SBC SCD

Riešenie a./ AB, CG

A

F

G

B

E

D C

HZ obrázku vidíme, že:

• ↔ AB leží v prednej rovine

• ↔ CG leží v zadnej rovine

↔ AB, CG sú mimobežné

Riešenie b./ ASCG, BD

D

A

F

G

B

E

C

H

Z obrázku vidíme, že:

• ↔ BD leží v dolnej rovine

• ↔ ASCG prechádza cez kocku

↔ BD, ASCG sú mimobežné

S

Riešenie c./ AB, SBC SCD

D

A

F

G

B

E

C

H

Z obrázku vidíme, že:

• ↔ AB leží v dolnej rovine

• ↔ SBCSDC leží v dolnej rovine

↔ sú rôznobežnéS

S

Vzájomná poloha dvoch rovín

rovnobežné – totožné rovnobežné – rôzne

rôznobežné

Ak majú nekonečne veľa spoločných bodov

Ak nemajú žiaden spoločný bod

Ak majú spoločnú 1 priamku. Táto priamka sa nazýva priesečnica rovín

Úloha č.1 Je daná kocka ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu rovín: a./ ABE, DCG b./ ACE, HFD

Riešenie a./ ABE, DCG

A

F

G

B

E

D C

H

Z obrázku vidíme, že:

• roviny sú rovnobežné

Riešenie b./ ACE, HFD

D

A

F

G

B

E

C

H

Z obrázku vidíme, že:

• roviny sú rôznobežné

• priesečnicou rovín je priamka p

p

Vzájomná poloha priamky a roviny

priamka a rovina sú rovnobežné

priamka a rovina sú rôznobežné

Ak majú spoločný práve 1 bod

p

Majú spoločné aspoň 2 body (priamka leží v rovine)

p

A

Úloha č.1 Je daná kocka ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu priamky a roviny: a./ SEGSBG, ABC b./ SAHSBG, CDE

Riešenie a./ SEGSBG, ABC

Z obrázku vidíme, že:

• priamka a rovina sú rôznobežné

D

A

F

G

B

E

C

H

SB

G

SEG

Riešenie b./ SAHSBG, CDE

D

A

F

G

B

E

C

H

Z obrázku vidíme, že:

• priamka a rovina sú rovnobežné

SB

G

SA

H

POUŽITÉ ZDROJE

http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matematika/05_Stereometrie/1_Polohove_vlastnosti/5105_Zakladni_vztahy_mezi_body_primkami_a_rovinami.pdf

Ďakujem za pozornosť