Solucionario libro santillana mat1 bch1 - edu.xunta.· 3 2 π x = π 2 001 303 SOLUCIONARIO 7. 304

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  • 302

    L I T E R A T U R A Y M A T E M T I C A S

    En busca de KlingsorCierta vez, un reportero pregunt a Einstein:Existe una frmula para obtener xito en la vida?S, la hay.Cul es? pregunt el reportero, insistente.Si A representa al xito, dira que la frmula es A = x + y + z, endonde x es el trabajo e y la suerte explic Einstein.Y qu sera la z?Einstein sonri antes de responder:Mantener la boca cerrada.Un joven norteamericano, Bacon, estudia Fsica en el Instituto de EstudiosAvanzados de Princeton y all conoce a Einstein, del que recuerda algunasancdotas como esta. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial, se hace espay viaja a Alemania para encontrar al mximo responsable de las investigacio-nes atmicas realizadas por los nazis, que se esconde bajo el seudnimo deKlingsor. En sus pesquisas le ayuda un matemtico, de nombre Links, que for-m parte del equipo de investigacin nuclear.Por qu estbamos juntos el teniente Bacon y yo [pensaba Links]?Cundo nos encontramos por primera vez? Cul era nuestra misin?Cmo se cruzaron, en fin, nuestras vidas paralelas? Para responder aestos cuestionamientos no me queda ms remedio que hablar un pocode m.Ubico mi nacimiento en el mapa de mi imaginacin como un pequeopunto dibujado en el centro de un plano cartesiano. Hacia arriba, en eleje de las y, est todo lo positivo que me ha ocurrido; en contraposi-cin, hacia abajo descubro mis desventuras, mis retrocesos y mis re-quiebros. A la derecha, en el eje de las x, encuentro los actos que medefinen, aquellos que voluntariamente he convertido en el centro demi vida deseos, anhelos, obsesiones, mientras que, a la izquierda,yacen esas porciones de mi ser que me han modelado contra mi volun-tad o mi conciencia, esas partes aparentemente impredecibles o espon-tneas que, no puedo negarlo, tambin me han llevado adonde estoyahora. Cul sera el resultado final de un ejercicio como ste? Quforma aparecera en medio de la hoja? Sera posible trazar las coorde-nadas que he recorrido a lo largo de mi trayecto? Y obtener, a partir deesa lnea, la frmula que me resuma en cuerpo y alma?

    JORGE VOLPI

    Juzga la metfora de Links. Sera posible representar una vidamediante una curva en un sistema de coordenadas cartesianas?

    No sera posible, ya que los elementos que se describen en el textono son traducibles a puntos del plano que puedan describir una curva.

    Funciones7

  • ANTES DE COMENZAR RECUERDA

    Dada la funcin f (x)= log (sen x):

    a) Est definida para ? b) Y para ?

    La funcin est definida para .

    La funcin no est definida para ,

    porque no existe el logaritmo de 1.

    Expresa las siguientes condiciones en forma de intervalo.

    a) 1 x

  • 304

    ACTIVIDADES

    Justifica si las siguientes grficas corresponden a funciones.

    a) b)

    a) La grfica corresponde a una funcin, porque a cada valor de x le corresponde

    un nico valor de y.

    b) La grfica no corresponde a una funcin, porque hay valores de x a los que

    les corresponden varios valores de y.

    Razona, en cada caso, si la relacin entre las magnitudes es una funcin o no.

    a) La distancia entre dos ciudades y el tiempo que se tarda en ir de una a otra.

    b) La cantidad de fruta que compra una familia, en kilogramos, y el precio

    por kilogramo.

    c) La altura de los alumnos de un centro escolar y su edad.

    a) No se trata de una funcin, ya que segn sea la distancia entre dos ciudades,

    el tiempo que se tarda puede tomar valores distintos, dependiendo

    de la velocidad a la que se circule.

    b) Es una funcin, puesto que para cada cantidad de fruta que se compre

    hay un precio nico segn el peso por kilogramo adquirido.

    c) No se trata de una funcin, porque distintos alumnos pueden tener la misma

    altura, an siendo de edades distintas.

    Determina el dominio y el recorrido

    de esta funcin.

    Dom f= [4, 3] (4, 6)

    Im f= [3, 2] {4}

    Cul es el dominio de estas funciones?

    c) f(x) = 9x3+ 6x29x

    d) f(x) = cos x

    a) Dom f= [4, +`) c) Dom f= R

    b) Dom f= R {4, 4} d) Dom f= R

    b)2 5

    16f x

    x

    x( ) =

    2

    a) f x x( ) = + 4

    004

    X

    Y

    1

    1

    003

    002

    Y

    X

    Y

    X

    001

    Funciones

  • 305

    En qu intervalos es creciente esta funcin?

    Y decreciente? En x= 2, es cncava o convexa?

    La funcin es creciente en (6, 2) (1, 2).

    La funcin es decreciente en (2, 1) (2, 4).

    En x= 2, la funcin no es ni cncava ni convexa.

    Estudia el crecimiento de la funcin.

    La funcin es decreciente en (`, 2), es constante en (2, 1) y es creciente en (1, +`).

    En qu puntos de la funcin hay mximos

    relativos? Y mnimos relativos? Tiene mximos

    o mnimos absolutos?

    Existe un mximo relativo en el punto x=2.

    No tiene mnimos relativos ni absolutos

    y no hay mximos absolutos.

    Estudia el dominio, el recorrido, el crecimiento

    y los mximos y mnimos de f(x).

    Dom f= (`, 6]

    Im f= [3, +`)

    La funcin es decreciente en

    (`, 3) (1, 5) y es creciente en (3, 1) (5, 6).

    Existe un mximo relativo en x=1 y un mnimo absoluto en x= 5. No hay mximos absolutos.

    Dibuja la grfica de una funcin para que sea:

    a) Impar. b) Par.

    Respuesta abierta.

    Y

    X

    2

    2

    b)Y

    X

    2

    2

    a)

    009

    1

    1

    X

    Y

    f (x)

    008

    1

    1

    X

    Y

    f (x)

    007

    1

    1

    X

    Y

    f (x)

    006

    1

    1

    X

    Y

    f (x)

    005

    7SOLUCIONARIO

  • 306

    Justifica si estas funciones son simtricas.

    f(x) es simtrica respecto del eje Y.

    g(x) no es simtrica.

    Representa una funcin peridica tal que el perodo lo determine esta grfica.

    Razona si las siguientes grficas corresponden a funciones peridicas.

    a) b)

    a) La funcin es peridica y su perodo es 4.

    b) La funcin no es peridica, porque la grfica no se repite.

    Teniendo en cuenta la grfica de y= f(x), identifica a qu funcin corresponde cada una de las grficas que aparecen en la figura.

    g(x) =f(x)

    h(x) = f(x)

    i(x) = f(x3)

    g

    X

    if

    Y

    1

    h

    1

    013

    Y

    X

    1

    1

    Y

    X

    1

    1

    012

    Y

    X

    2

    4

    Y

    X

    1

    1

    011

    b) g x x x( ) ( ) = = 3 33 3

    a) f xx

    x

    x

    xf x( )

    ( )

    ( )( ) =

    +

    =

    +=

    4

    2

    4

    2

    2 2

    b) g x x( ) = 3 3a) f xx

    x( ) =

    +4

    2

    2

    010

    Funciones

  • 307

    7SOLUCIONARIO

    A partir de la grfica de y= f(x), representa estas funciones.

    a) y= f(x) 3 b) y= f(x+ 2) c) y=f(x)

    Determina el valor de las estas funciones en el punto x=5,

    si f(x) = x23 y g(x) = .

    a) (fg)(x) b) (f g)(x) c)

    f

    g

    =

    +=( )

    ( ) ( )5

    5 3 5

    5 355

    3

    c)f

    gx

    x

    x

    x

    x x

    x

    =

    +=

    +( )

    2 33

    3

    3

    3

    ( )( )( ) ( ) ( )

    f g = +

    =5

    5 3 5 3 5 9

    5

    44

    5

    3 2

    b) ( )( ) ( )f g x xx

    x

    x x x =

    +

    =

    + 23 2

    33 3 3 9

    x

    ( )( ) ( )f g = +

    =5 5 3

    5 3

    5

    108

    5

    2a) ( )( )f g x xx

    x =

    +2 33

    f

    gx

    ( )

    x

    x

    + 3015

    Y

    X

    1

    1

    f (x)

    f (x)

    c)

    Y

    X

    1

    1

    f (x)

    f (x + 2)

    b)

    Y

    X

    1

    1

    f (x)

    f (x) 3

    a)

    f (x)

    1

    1

    X

    Y

    014

  • 308

    Teniendo en cuenta que f (x) = y g(x) = , halla el valor de las siguientesfunciones en los puntos que se indican.

    a) (f g)(4) b)

    No existe (f g)(4), porque no es real por ser el radicando negativo.

    No existe , porque no es real por ser el radicando negativo.

    Determina el valor de la composicin de funciones que se indica en cada apartado,

    en x=4, si f(x) = x2 y g(x) = .

    a) (f g)(x) c) (f f )(x)

    b) (g f )(x) d) (g g )(x)

    Si f(x) = y g(x) = x4, halla el valor de estas funciones en los puntos que se indican, determinando primero la composicin de funciones

    correspondiente.

    a) (f g)(5) b) (g f )(5)

    Justifica, a partir de los apartados anteriores, si la composicin de funciones

    es conmutativa.

    ( )( ) ( ) ( )f g g f 5 5 La composicin de funciones noo es conmutativa.

    ( )( )g f 5 250 4 5 10 4= =

    b) ( )( ) ( ( ))g f x g f x g x x = = ( )= 2 2 43 3

    ( )( )f g 5 2=

    a) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )f g x f g x f x x = = = 4 2 4 3

    2x 3018

    d) ( )( ) ( ( ))g g g g g = =

    =4 4

    5

    4

    1

    5

    c) ( )( ) ( ( )) ( )f f f f f = = =4 4 16 256

    b) 16( )( ) ( ( )) ( )g f g f g = = =4 415

    16

    a) ( )( ) ( ( ))f g f g f = =

    =4 4

    5

    4

    25

    16

    x

    x

    1017

    ( )1 5f

    g

    ( )1

    b)f

    gx

    x

    x

    x

    x x

    x

    =

    +

    +

    =+

    +( )

    ( )5

    2

    5

    23

    1

    1

    3

    ( )4 5

    a) ( )( )f g x xx

    x =

    +

    +

    52 3

    1

    f

    g

    ( )1

    x

    x

    2 3

    1

    +

    +x 5016

    Funciones

  • 309

    Si f (x) = 3x+ 2 y :

    a) Determina g f, f g y g g.

    b) Halla las funciones inversas de f(x) y de g(x), y comprueba que f f1 y g1 g

    dan la