SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE ESTADÍSTICA (EUITT) 28-2-98

1.- Concepto de proceso de Poisson. (1p)

2.- El tiempo de duración de un elemento electrónico sigue una distribución de Weibull conparámetros α β= =1 700 2, . Hallar la vida media del elemento electrónico. (2p)

Solución: La función de densidad de la Weibull es la siguiente:

f x x e xx

x

( ) = >≤

RS|T|− −αβ β α β1 00 0

µ X E X xf x dx= = =−∞

∞z ( ) αβ β α βx e dxx

0

∞−z haciendo el

cambio de variable u x= α β obtenemos µ αβα

β α ββ

βX

x ux e dx u e du= =∞ − −∞z z0 1

1

0

1 y

teniendo en cuenta que Γ( )p x e dxp x= − −∞z 1

0, µ

α ββX = +FHG

IKJ

11

11 Γ . De manera que para

α β= =1 700 2, µ πX = FHG

IKJ = F

HGIKJ =700

32

70012

12

7002

Γ Γ

3.- Se define un proceso estocástico X(t) basado en los k resultados del lanzamiento de un

dado como X t

t k

k

k

k

k

t k

( ) =

− =− =− =

===

R

S

|||

T

|||

3 1

2 2

1 3

1 4

2 5

3 6

Hallar:

a) La función de probabilidad conjunta de X(0) y X(3).b) Las funciones de probabilidad marginal de X(0) y X(3).c) E{X(0)}, Var X ( )0 y E{X(0)X(3)}.

d) P X X( ) ( )3 1 0 0= = .

e) R C rXX XX XX( , ), ( , ) ( , )0 3 0 3 0 3 y . (2´5p)

Solución: X

si

si

si

si

si

( ) ,0

2 2

1 3

0 1 6

1 4

2 5

=

−−

R

S|||

T|||

l ql ql ql ql q

y X

si

si

si

si

( ),

,3

2 2

1 1 3

1 4 6

2 5

=

−−RS||

T||

l ql ql ql q

A partir de aquí podemos

obtener la función de probabilidad conjunta de X(0) y X(3) así como las funciones deprobabilidad marginal de X(0) y X(3).

X(0) X(3) -2 -1 1 2 X(0)-2 1/6 0 0 0 1/6-1 0 1/6 0 0 1/6 0 0 1/6 1/6 0 2/6 1 0 0 1/6 0 1/6 2 0 0 0 1/6 1/6X(3) 1/6 2/6 2/6 1/6 1

c) E X ( )016

2 1 1 2 0= − − + + =b g Var X E X( ) ( )0 0

16

4 1 1 453

2= = + + + =b g E X X( ) ( )0 3

53

=

d) P X XP X X

P X( ) ( )

( ) , ( )( )

3 1 0 03 1 0 0

01 62 6

12

= = == =

= =

e) R C rC

Var X Var XXX XX XX

XX( , ) , ( , ) ( , )( , )

( ) ( )0 3

53

0 353

0 30 3

0 3

5 35 3 2

= = = = y .

4.- Consideremos el “paseo aleatorio” que consiste en lanzar una moneda cada T segundos ydar un paso d hacia arriba si se obtiene cara y un paso d hacia abajo si se obtiene cruz.Suponiendo que d=1 y T=1, hallara) P X ( )3 0=b) P X X( ) ( )6 5 4 4= = .

c) E X X( ) ( )6 4 4= . (1´5p)

Solución:a) X(3)= J1+J2+J3 P X ( )3 0 0= = pues como Ji = ±1 es imposible que X(3)=0.

b) P X XP X X

P X( ) / ( )

( ) , ( )( )

6 5 4 46 5 4 4

4 40= = =

= ==

= pues es imposible que X(6)=5.

c) X ( ) , , , , , ,6 6 4 2 0 2 4 6= − − −l qE X X( ) ( )6 4 4= = − = − = −6 6 6 4 4P X X( ) ( ) 4 6 4 4 4P X X( ) ( )= − = −− = − = + = = +2 6 2 4 4 0 6 0 4 4P X X P X X( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 4 4P X X( ) ( )= = ++ = = + = =4 6 4 4 4 6 6 6 4 4P X X P X X( ) ( ) ( ) ( ) . Los tres primeros sumandos son

nulos por ser probabilidades de sucesos imposibles, el cuarto sumando es nulo por ser unfactor cero, luego nos quedaE X X( ) ( )6 4 4= =2 6 2 4 4P X X( ) ( )= = +

+ = = + = =4 6 4 4 4 6 6 6 4 4P X X P X X( ) ( ) ( ) ( ) =14

ya que

P X X( ) ( )6 2 4 412

6

= = = FHG

IKJ , P X X( ) ( )6 4 4 4 2

12

6

= = = FHG

IKJ ,

P X X( ) ( )6 6 4 412

6

= = = FHG

IKJ

5.- Un proceso estocástico viene dado por X t B t( ) cos= +10 θb g donde B es una variable

aleatoria normal N(0,1) y θ está distribuída uniformemente en el intervalo −π π, .

Suponiendo que B y θ son variables aleatorias independientes hallar R t tXX ( , )+ τ .(1´5p)

Solución: R t tXX ( , )+ τ = E X t X t( ) ( )+ =τ E B t B tcos cos ( )10 10+ + +θ τ θb g b g =

= + + + = + + +E B t t E B E t t2 210 10 10 10cos cos ( ) cos cos ( )θ τ θ θ τ θb g b g b g b gE B2 1= por ser la varianza de B uno,

E t t E t Ecos cos ( ) cos( ) cos10 1012

20 10 2 10+ + + = + + +θ τ θ τ θ τb g b g m r=12

10cos τ

puesE t E t sen t sencos( ) cos( ) cos ( )20 10 2 20 10 2 20 10 2+ + = + + +τ θ τ θ τ θ =

= + + + =cos( ) cos ( )20 10 2 20 10 2 0t E sen t E senτ θ τ θ , teniendo en cuenta que θ está

distribuída uniformemente en el intervalo −π π, , E dcos cos21

22 0θ

πθ θ

π

π= =

−z y

E sen sen d21

22 0θ

πθ θ

π

π= =

−z .

6.- Las funciones que componen el proceso estocástico Y(t) son las siguientes:Y t y t y t sent y t t y t sent y t t y t( ) ( ) , ( ) , ( ) cos , ( ) , ( ) cos , ( )= = − = − = − = = =1 2 3 4 5 66 3 3 3 3 6l qSuponemos que las funciones que componen el proceso tienen la misma probabilidad de queocurran. a) ¿ Es Y(t) un proceso estacionario en sentido amplio?b ¿ Es Y(t) un proceso estacionario en sentido estricto?Justificar la respuesta. (1´5p)

Solución: E Y t( ) = 16

− − − + + +6 3 3 3 3 6sent t sent tcos cosb g=0