Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural CALCULO DE ... · Para χ=3 Solución de Boussinesq,...

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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

CALCULO DE ESFUERZOS Y ASENTAMIENTOS BAJO CARGAS RECTANGULARES

USANDO MAT-LAB

Diego Miramontes De León1 y Miguel Alemán Torres, Luis Alfredo Belmontes Rodríguez y Alejandro Andrade Guzmán 2

RESUMEN Se propone una nueva expresión para el cálculo de esfuerzos a diferentes profundidades dentro y fuera de una área rectangular uniformemente cargada considerando m sondeos y n estratos. La expresión propuesta representa una solución ampliada de la fórmula de Boussinesq deducida por Zeevaert, pero siendo ahora posible el cálculo de esfuerzos fuera del plano central del área cargada. Se incluye un programa en MatLab en el que se utiliza esta nueva expresión para determinar esfuerzos y asentamientos en forma sistematizada a partir de valores geométricos y datos de laboratorio, ofreciendo un archivo de resultados además de gráficos de esfuerzo y asentamiento.

ABSTRACT A new expression to obtain stresses and settlements at different depths inside or outside of a rectangular uniform loaded zone for m soundings and n layers is proposed. This new expression can be considered as a general solution of the Boussineq formula obtained by Zeevaert but allowing, this time, the analysis of stresses outside the central plane of the loaded area. A MatLab program for the systematic analysis of stresses and settlements with the new expression applied is included. The results obtained from geometric values and data laboratory are a data file and graphics of stresses and settlements.

INTRODUCCIÓN El ingeniero Civil tiene una gran problemática debido a la compleja relación que existe entre los movimientos del terreno y la estabilidad de estructuras cimentadas sobre él; en la ingeniería existe gran variedad de obras, que pueden ser Hidráulicas, Estructurales, Vías Terrestres, Puentes, etc., el cálculo es muy variado por sus diferentes características ya que cada una dispone de capacidad variable para soportar o ser deterioradas por el movimiento del suelo. Para el cálculo es necesario conocer las propiedades del terreno ya que el buen funcionamiento y estabilidad de las estructuras depende en gran parte del comportamiento del suelo, este puede cambiar antes, durante y después de la ejecución de la obra. En este trabajo, se propone una nueva expresión desarrollada en un curso de cimentaciones (1). El objetivo es mostrar la validez de esta expresión para el cálculo de índices de influencia cuando ( 3=χ ) y esfuerzos del suelo dentro y fuera del área de una losa de cimentación rectangular uniformemente cargada. La presión correspondiente a una carga vertical en la superficie del semi-espacio fue resuelta por Boussinesq (2) aplicando la teoría de la elasticidad en el año de 1885. Si se quiere determinar la presión bajo el terreno 1 Profesor, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av. López Velarde No. 801,

98000, Zacatecas, Zac.; [email protected] 2 Tesistas del programa de Ingeniería Civil, Fac. Ingeniería, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av.

López Velarde No. 801, 98000, Zacatecas, Zac.

XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004

2

debido a una carga distribuida, se obtendrán los esfuerzos de cada uno de los puntos del semi-espacio integrando la ecuación de Boussinesq. Fadum (3) en 1939 preparó una tabla que simplifica el problema partiendo de la integración de la ecuación de Boussinesq para una superficie rectangular, quedando el punto por calcular a una profundidad z debajo de una de las esquinas. Cuando la masa del suelo está formada por estratos de materiales finos y gruesos (típico de depósitos sedimentados estratificados), o para suelos no isotrópicos, la solución propuesta por Boussinesq puede no dar resultados correctos. Por ello, Westergaard (4) presentó una solución particular. Fröhlich (5) propuso para una distribución de esfuerzos verticales en la masa del suelo debida a cargas aplicadas en la superficie una expresión que depende de factores de intensidad. Haciendo uso de estos factores de intensidad se pueden construir redes de esfuerzos por medio de las cuales se determinan las influencias unitarias ijkI en el subsuelo en áreas cargadas con q=1. Zeevaert (6) obtuvo

expresiones de ijkI para las soluciones de Boussinesq (suelo homogéneo e isotrópico), Westergard (suelo estratificado) y para el caso de las arenas (suelo homogéneo en donde la compresibilidad se reduce con la profundidad). Sin embargo, Las expresiones propuestas por Zeevaert no son válidas para cualquier punto, sólo son aplicables para puntos situados bajo el plano vertical central del área cargada. Para poder obtener una solución espacial, se propone una ecuación modificada para el caso de Boussinesq la cual se aplica para varios casos y verificando la solución en todos ellos. Una vez comprobada la ecuación se programó en MatLab para agilizar y facilitar los cálculos ya mencionados. El programa permite conocer esfuerzos y asentamientos del terreno por estratos, representa gráficamente una simulación de cómo es la deformación del suelo por estratos. Previo al uso de este programa, el ingeniero debe obtener estudios de Mecánica de Suelos, ya que se requieren para aplicarlos al programa y así lograr que sus valores sean lo más reales posibles. Para validar la expresión propuesta fue necesario resolver ejemplos numéricos utilizando las expresiones de Boussinesq, Fadum y la Nueva Expresión.

METODOS CLÁSICOS DE CÁLCULO DE ESFUERZOS BAJO EL SUELO EXPRESIONES PARA ESFUERZOS (σ ) Boussinesq considera un suelo idealizado como un medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico limitado por una sola frontera plana. Es evidente que el suelo no es homogéneo, pues sus propiedades mecánicas no son las mismas en todos los puntos de su masa, ni isótropo, pues en un punto dado esas propiedades varían, en general, en las distintas direcciones del espacio, ni linealmente elástico, pues las relaciones esfuerzo deformación de los suelos no son las que corresponden a este comportamiento, por último, tampoco es semi-infinita ninguna masa de suelo. De hecho no debe dejar de mencionarse que la aplicación más frecuente en Mecánica de Suelos de las expresiones de Boussinesq consiste en el cálculo de asentamientos de los suelos sujetos a consolidación, vale decir de arcillas y suelos compresibles. Se trata del caso en el que se analiza la influencia de las cargas uniformemente distribuidas en losas rectangulares en la masa del continuo homogéneo, elástico e isótropo, con W unidades de carga por unidades de área, como se muestra en la “fig. 1”.

Figura 1. Esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada

3


El esfuerzo ( )zσ bajo una esquina de la superficie cargada y a una profundidad z, se obtiene por integración de la siguiente ecuación en toda el área rectangular:

5

3

2

5

23cos

23

RzP

zP

z ⋅=⋅=π

ψπ

σ (1.1)

Obteniéndose la expresión: ( )

( )

−+++++

++++•

+++++= −

222222

21222

1222

222

222222

21222

)()(222

4 yxzyxzzyxxyztg

zyxzyx

yxzyxzzyxxyzw

z πσ

(1.2)

Adoptando los parámetros m y n, tales que z

xm = y zyn = (ahora intercambiables), la “ec. 1.2” puede

escribirse adimensionalmente como:

−+++++

++++•

+++++= −

2222

2122

122

22

2222

2122

)1()1(2

12

)1()1(2

41

nmnmnmmntg

nmnm

nmnmnmmn

wz

πσ (1.3)

Si el segundo miembro de ésta ecuación se le llama 0w , puede tabularse su función de distintos valores m y

n. Para encontrar el valor de zσ en un punto A, bajo una esquina de la superficie rectangular uniformemente cargada se procede a calcular las distancias x y y “fig. 1”, con las que puede obtenerse los valores de m y n para diferentes profundidades z a lo largo de la vertical. En la gráfica del Anexo II-d de la referencia (2), puede calcularse ahora 0w y aplicar la expresión:

0wwz ⋅=σ (1.4)

se tiene el valor de zσ , correspondiente a cada profundidad z. Debe notarse que el sistema coordenado base, respecto al cual se calculó el gráfico del Anexo II-d (2) es tal que su origen coincide precisamente con la esquina del área rectangular uniformemente cargada. Si se desea calcular los esfuerzos bajo otro punto, tal como A’ de la “fig. 1.1”, se procede haciendo sumas y restas convenientes al área cargada. Westergaard Cuando la masa de suelo está formada por estratos finos y gruesos (típico de depósitos sedimentados estratificados), o para suelos no isotrópicos, la solución propuesta por Boussinesq puede no dar resultados correctos. Por ello Westergard presentó la siguiente ecuación:

( )( )

( )( )

23

22

2221

2221

2

+−−

−−

⋅=

zrz

Qz

νν

νν

πσ

(1.5)

donde

• zσ es el esfuerzo a la profundidad z debido a la carga superficial Q • z y r similares a la ecuación de Boussinesq • 0≠ν


4

=ν Módulo de Poisson, si se supone 0=µ , el problema se simplifica, y la ecuación anterior es:

23

22

21

1

+

⋅=

zrz

Qz π

σ (1.6)

Si además;

µµα

2221

−−= (1.7)

y la carga Q puede escribirse como la suma de las presiones de contacto sobre diferenciales de área

∫=A

dAqQ0

0 (1.8)

donde qo es la presión de contacto y dA es:

rdrdA π2= (1.9) y resolviendo para z

r ;

+−

−

= a

qqa

zr

2

01

(1.10)

Se resuelve la expresión anterior para diferentes valores de µ y para valores incrementables de

0qq ; se

determinan valores que permiten obtener una carta de influencia según Westergard.

Fröhlich

La distribución de esfuerzos verticales en la masa de suelo debida a cargas aplicadas en la superficie se puede calcular para una carga concentrada Q en la superficie por:

IjizQ

z 2=σ (1.11)

donde

jiI - Índice de Fluencia.

ϕπχ 2cos

2+= x

jiI (1.12)

o bien

22

2

1

12

+

+=

x

ji

zr

Iπχ (1.13)

5


Donde χ es el factor de Fröhlich. Para 5.1=χ Solución aproximada de Westergard, suelos fuertemente estratificados y reforzado por

estratos horizontales, múltiples e indeformables ( 0=ν ). Para χ = 2 Suelo estratificado con diferentes deformabilidades. Para 3=χ Solución de Boussinesq, suelo homogéneo e isotrópo. Para 4=χ Suelo homogéneo en que la compresibilidad se reduce con la profundidad, como en el caso

de las arenas.

Zeevaert A partir de las ecuaciones propuestas por Fröhlich, Zeevaert propone índices de influencia para áreas rectangulares cargadas uniformemente, obteniendo los siguientes índices de influencia : Para 2=χ

( )2100 2211 ϕϕαα

πsensensenI ji −

+= (1.14)

Para 3=χ

( ) ( ) ( )[ ]2121210

3

0 cos32

3 ϕϕϕϕϕϕααπ

+−+−

−= sen

sensenI ji

(1.15)

Para 4=χ

( ) ( )

−−−

++= 23

13

210300

31cos

423

231 ϕϕϕϕαααα

πsensensensensen

senI ji (1.16)

Donde:

22

10

zxBtg+

= −α (1.17)

z

xtg 21

1

λϕ

+= − (1.18)

z

xtg 21

2

λϕ

−= − (1.9)

Nota: Los argumentos se expresan en radianes.


6

NUEVA EXPRESIÓN (CASO BOUSSINESQ). Para evaluar el esfuerzo en el terreno a una profundidad z, en cualquier punto bajo una área rectangular, la solución para el caso Boussinesq “ec. 1.15” debe modificarse para tomar en cuenta la abscisa y y puede expresarse como:

( ) ( ) ( )[ ]212121

30

3

0 cos334

3 ϕϕϕϕϕϕααα

απ

+−+−

′−′+

−= sensensen

sensenI ijk

(2.1)

Donde la distancia y, modifica los argumentos α de la siguiente forma:

22

10

zxyBtg

++= −α (2.2)

22

1'zx

yBtg+

−= −α (2.3)

z

xtg 21

1

λϕ

+= − (2.4)

z

xtg 21

2

λϕ

−= − (2.5)

Los argumentos 1ϕ y 2ϕ se evalúan igual. Se observa que si y = 0 entonces 0α =α ′ , por lo que las

funciones αsen son iguales, resultando la “ec. 1.15”. Si y =B, entoncesα ′ = 0, por lo que las funciones en α ′sen se anulan, si y > 0, las funciones en α ′sen resultan negativas. Se observa que y, es siempre positiva,

y para una área rectangular en cualquier punto deseado, encontrará su imagen de espejo en un valor negativo. Lo mismo se puede tener para la distancia x. Sin embargo, no es un requisito indispensable el utilizar valores positivos de x o y. Esta expresión permite calcular el índice de influencia para cualquier punto dentro y fuera del área cargada cuando ( χ = 3 ) “ fig. 2”, según se comprueba enseguida.

Figura 2. Argumentos para ijkI al centro

λ2

λ2

B

B ji

α o

ϕ 1 ϕ 2

q

z

(σji)z

z

x

y

7


Nomenclatura

B = 1/2 de la dimensión longitud de la losa

L = Ancho de la losa q0 = Carga aplicada 0α = Argumentos

α ′ = Argumentos 1ϕ = Argumentos

2ϕ = Argumentos

2λ =1/2 del ancho de la losa

ijkI = Índice de Influencia

ijkP = Esfuerzo

VALIDACIÓN DE LA NUEVA EXPRESIÓN Ejemplo Para mostrar que la expresión propuesta permite calcular el esfuerzo a una profundidad dada z y en cualquier punto bajo el área cargada, se utilizará una cimentación de dimensiones 6m por 20m con una presión de contacto q = 2kg/cm2. Se determinará la presión en diferentes puntos a 5m de profundidad.

Esfuerzo al Centro Datos. q = 2kg/cm2 B = 10m

32 =λ m

z = 5m x = 0m y = 0m

Figura 3. Parámetros para el esfuerzo bajo el centro

De acuerdo a la “fig. 4”, para calcular la presión al centro, el área de contacto se dividirá en cuatro partes, ya que la ecuación de Fadum, sólo da valores en una esquina del área rectangular. El esfuerzo total, es cuatro veces el obtenido para una de ellas.

λ2

λ

2

B

B ji

αo

ϕ 1 ϕ 2

q

z

(σji)z

z

x

y


8

Figura 3. Áreas para calcular k Utilizando los valores tabulados dados por Fadum (8), para un cuarto se tiene: m=3/5=0.6, n=10/5=2 por lo que k = 0.15326. El coeficiente total de influencia es: kt= 4(k) = 0.61304. Entonces el esfuerzo a 5m de profundidad al centro de la cimentación es:

( )( );qk tijk =σ

( )( ) 2226.1261304.0 cmkg

ijk ==σ Empelando la ecuación (1.3) de Fadum Si no se tiene la tabla dada en (8), puede usarse la ecuación 1.3 :

−+++++

++++•

+++++= 2222

2122

22

22

2222

2122

)1()1(2tan

12

)1()1(2

41

nmnmnmmna

nmnm

nmnmnmmn

wz

πσ

−+++++

++++•

+++++= 2222

2122

22

22

2222

2122

6.02)16.02()16.02)(6.0)(2(2tan

16.0226.02

6.02)16.02()16.02)(6.0)(2(2

41 a

wz

πσ

1530.0=w

zσ

Despejando w y multiplicado por cuatro debido a que se analiza una cuarta parte de la losa, resulta :

22247.1)4)(2(1530.0 cmkg

z ==σ

Utilizando la nueva expresión, se tiene: Como y = 0; '0 αα =

;22

1

0

zxyBtg

+=

+−

α

1071.150010

22

21

0=

+= +−tgα

21 ϕϕ = pero con signo contrario.

10m10m

3m

3m

9


;21

1 zx

tgλ

ϕ+

−=

5404.05

301

1== +−tgϕ

;21

2 zx

tgλ

ϕ−

−=

5404.05

301

2−== −−tgϕ

El factor de influencia es:

( ) ( ) ( )

+− +−

′−′+

−= ϕϕϕϕϕϕααααπ 2121

30

3

0 cos334

321

sensensensensenI ijk

( )( ) ( )( ) ( )[ ] 6148.00cos5404.05404.05404.05404.03

1071.11071.123

=−−+−−

−= sensensenI ijk

El esfuerzo resulta:

( )( );qI ijkijk =σ

( )( ) 22295.126148.0 cmkg

ijk ==σ

Comparación de resultados: Fadum (tabla) = 1.2260 kg/cm2

Fadum( fórmula) = 1.2247 kg/cm2

Nueva Expresión = 1.2295 kg/cm2

Esfuerzo en la esquina

Figura 5. Parámetros para el esfuerzo bajo una esquina

λ2

λ2

B

B i

αo

ϕ1ϕ2

q

z

j

(σji)z

y

z

x

λ2

λ2

B

B i

αo

ϕ1ϕ2

q

z

j

(σji)z

λ2λ2

λ2λ2

B

B i

αoαo

ϕ1ϕ1ϕ2ϕ2

q

z

j

(σji)z

z

j

(σji)z

y

z

x


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Utilizando los valores tabulados dados por Fadum, para una esquina se tiene: m=6/5=1.2, n=20/5=4 por lo que k = 0.21722. Entonces el esfuerzo a 5m de profundidad al centro de la cimentación es:

( )( );qk tijk =σ

( )( ) 24344.0221722.0 cmkg

ijk ==σ Utilizando la nueva expresión, se tiene: Como y = 0; 0'=α , mientras que

;22

1

0

zxyBtg

+=

+−

α

2771.150

101022

21

0=

+= +−tgα

21 ϕϕ = pero con signo contrario.

;21

1 zx

tgλ

ϕ+

−=

8761.05

331

1== +−tgϕ

;21

2 zx

tgλ

ϕ−

−=

0.05

331

2== −−tgϕ

El factor de influencia es:

( ) ( ) ( )

+− +−

′−′+

−= ϕϕϕϕϕϕααααπ 2121

30

3

0 cos334

321

sensensensensenI ijk

( )( ) ( )( ) ( )[ ] 2172.08761.0cos08761.008761.03

2771.12771.123

=−+−

−= sensensenI ijk

El esfuerzo resulta:

( )( );qI ijkijk =σ

( )( ) 24344.022171.0 cmkg

ijk ==σ

Comparación de resultados: Fadum = 0.4344 kg/cm2

Nueva Expresión = 0.4344 kg/cm2

Los valores resultan iguales. Es importante señalar que la ecuación 1.15 no es aplicable en su forma original.

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CÁLCULO DE ESFUERZOS EN MATLAB

La expresión propuesta ha sido utilizada para crear un programa en Matlab, quien permite calcular esfuerzos y asentamientos en cualquier punto dentro y fuera de una área rectangular con carga uniformemente distribuida. Además, se realizó con la finalidad de facilitar el cálculo de esfuerzos y asentamientos (suelos homogéneos e isotrópicos), el problema es hipotético, ya que no es posible encontrar un suelo que tenga las mismas propiedades en toda el área en estudio. El funcionamiento del programa inicia solicitando los siguientes datos: B = ½ Distancia longitudinal en el eje Y L = Distancia transversal en el eje X X = Coordenada en X Y = Coordenada en Y q0 = Carga aplicada P1 = Esfuerzo por el peso propio de los estratos e0 = Relación de vacíos Cc = Índice de compresibilidad H = Profundidad del estrato en estudio Nomenclatura. B = ½ Distancia longitudinal en el eje Y L = Distancia transversal en el eje X

2λ = L/2 = ½ de la distancia transversal en el eje X

X = Coordenada en X Y = Coordenada en Y q0 = Carga aplicada α = Qijk = Argumento

0α = Q1ijk = Argumento

1ϕ = T1ijk = Argumento

2ϕ = T2ijk = Argumento Iijk = Índice de influencia σ = P = Esfuerzo mv = Modulo de compresibilidad volumétrica e0 = Relación de vacíos Cc = Índice de compresibilidad

σ∆ = AP = Incremento de esfuerzos producido por la carga σ = P1 = Esfuerzo por el peso propio de los estratos H = Altura del estrato en estudio δ = As = Asentamiento

tδ = Ast = Asentamiento total PROGRAMA clear all tst=1; if tst==1 disp('***** PROGRAMA PARA CALCULAR ESFUERZOS Y ASENTAMIENTOS *****'); disp(' ---(suelo homogeneo e isotropo)--- '); disp('____________________________________________________________');


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disp(' -Presione ENTER para iniciar- '); disp('____________________________________________________________'); pause disp('____________________________________________________________'); disp('------- ¡Area cargada (2B) x (L)! -------'); disp('---- Distancia longitudinal en Y ----'); B=input('Ingresa B= '); disp('---- Distancia longitudinal en X ----'); L=input('Ingresa L= '); disp('---- Carga aplicada ----'); q0=input('Ingresa q0= '); disp('Dimensiones del Area en estudio\n'); disp('---- Coordenada X ----'); nX=input('Ingresa X= '); disp('---- Coordenada Y ----'); nY=input('Ingresa Y= '); Deltaxy=input('Densidad= '); else end Ncapas=input('Cuantos Estratos= '); Prof=[]; for k=1:Ncapas fprintf('Profundidad del Estrato, %d \n', k); Profundo=input(''); Prof=[Prof Profundo]; H=input('Ingresa H del Estrato en Estudio= '); P1=input('Ingresa P1= '); eo=input('Ingresa eo= '); Cc=input('Ingresa Cc= '); end [X,Y,Z] = meshgrid(-nX:Deltaxy:nX, -nY:Deltaxy:nY, Prof); Qijk=(atan((B+Y)./(sqrt(X.^2+Z.^2)))); Q1ijk=atan((B-Y)./(sqrt(X.^2+Z.^2))); Tijk=atan((X+(L/2))./Z); T1ijk=atan((X-(L/2))./Z); Iijk=(3/(4*pi))*((sin(Qijk))-((sin(Qijk).^3)/3)+(sin(Q1ijk))-((sin(Q1ijk).^3)/3)).*((Tijk-T1ijk)+sin(Tijk-T1ijk).*cos(Tijk+T1ijk)); disp('---- Esfuerzos ----'); P=Iijk*q0; %Fuera=[P(6,1)] for i=1:Ncapas subplot(2,2,i) mesh(P(:,:,i)) title('---GRAFICA DE ESFUERZOS---') xlabel('X (m)') ylabel('Y (m)') zlabel('Esfuerzo') set(gca,'XColor','blue','YColor','blue'); pause

end suma=0; figure mvz=[]; for E=1:Ncapas suma=suma+P(:,:,E);

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AP=suma/E; % mv=(Cc/((AP).*(1+eo)))*log10((P1+AP)/P1) a=[(Cc./((AP).*(1+eo)))]; b=[log10((P1+AP)/P1)]; mv=a.*b; alpha=mv.*H; disp('---- Asentamientos por estrato ----'); AS=alpha.*AP*(-1); %Fuera=[AS(6,1)] %mvz(:,:,E)=mv; mvz(:,:,E)=AS; [X,Y,Z] =meshgrid(-nX:Deltaxy:nX, -nY:Deltaxy:nY, AS); end for i=1:Ncapas subplot(2,2,i) mesh(mvz(:,:,i)) %colormap(pink) title('---GRAFICA DE ASENTAMIENTOS---') xlabel('X (m)') ylabel('Y (m)') zlabel('Asentamiento') set(gca,'XColor','blue','YColor','blue'); pause end figure disp('---- Asentamientos totales ----'); ASt=sum(mvz,3); % for i=1:Ncapas subplot(2,2,i) surfl(ASt) %subplot(2,2,ASt) %surfl(mvz(:,:,ASt)) %shading interp colormap(pink) title('---GRAFICA DE ASENTAMIENTO TOTAL---') xlabel('X (m)') ylabel('Y (m)') zlabel('Asentamiento') set(gca,'XColor','blue','YColor','blue'); pause Nota: Durante la ponencia se incluirá también un segundo programa el cual calcula esfuerzos y asentamientos (similar al expuesto), con la diferencia que ahora el cálculo se hace por sondeos, y en cada uno de estos lleva consigo diferentes características por estrato (propiedades de suelo estratificado). VALIDACIÓN DEL PROGRAMA Cálculo de esfuerzos y asentamientos

Ejemplo

***** PROGRAMA PARA CALCULAR ESFUERZOS Y ASENTAMIENTOS *****


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---(suelo homogeneo e isotropo)--- ____________________________________________________________ -Presione ENTER para iniciar- ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ------- ¡Area cargada (2B) x (L)! ------- ---- Distancia longitudinal en Y ---- Ingresa B= 10 ---- Distancia longitudinal en X ---- Ingresa L= 6 ---- Carga aplicada ---- Ingresa q0= 2 Dimensiones del Area en estudio\n ---- Coordenada X ---- Ingresa X= 13 ---- Coordenada Y ---- Ingresa Y= 13 Densidad= 1 Cuantos Estratos= 1 Profundidad del Estrato, 1 5 Ingresa H del Estrato en Estudio= 5 Ingresa P1= 3 Ingresa eo= 1.2 Ingresa Cc= 0.2

Tabla 1 Resultados Esfuerzos Centro = 1.2296 Kg/cm2 Borde = 0.8477 Kg/cm2 Esquina = 0.4344 Kg/cm2 Fuera = 0.0776 Kg/cm2

Asentamientos por estrato

Centro = 0.0678 cm Borde = 0.0491 cm Esquina = 0.0267 cm Fuera = 0.0050 cm Asentamientos totales Centro = 0.0678 cm Borde = 0.0491 cm Esquina = 0.0267 cm Fuera = 0.0050 cm

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Figura 6. Localización de los puntos en estudio

En la tabla 1 se muestran los resultados de los puntos solicitados, sin embargo, de la gráfica puede obtenerse la información en cualquier punto, dentro y fuera del área cargada. Para tener información en puntos más alejados, es necesario proporcionar límites mayores al entrar los datos. En la siguiente página se muestra la salida gráfica que ofrece el programa.

10m10m

3m

3m

26

26

Centro

Borde Esquina

Fuera


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Conclusiones En este trabajo se presenta una expresión modificada para el análisis de esfuerzos y asentamientos en cualquier punto del suelo sujeto a una carga rectangular uniformemente cargada. Esta expresión elimina la restricción que presenta la fórmula propuesta por Zeevaert. Además, dado que sólo se requieren datos geométricos de la zona cargada y de las características del suelo en los puntos por estudiar, resulta fácil para su programación. La expresión fue comprobada comparando los resultados obtenidos por otras expresiones dadas por diferentes autores. En todos los casos se obtienen resultados con diferencias inferiores al 5%. En este trabajo se muestran dos casos de comparación. Una vez validada, se programó para facilitar el cálculo de varios puntos, los cuales pueden constituir una malla. El mismo programa fue modificado para calcular los asentamientos y una tercera versión permite analizar suelos con propiedades diferentes en cada punto y en cada estrato. Bibliografía (1) Miramontes De León, D., (2003), “Cimentaciones”, Notas del curso del programa de Ingeniería Civil, Unidad de Ingeniería, UAZ. 167p. (2) Boussinesq, J., (1885), “Application des potenciels à l’ étude de l’ equilibre et du mouvement des solides élastiques”, Paris. (3) Fadum, R. E., (1941), “ Influence values for vertical stresses in a semi-infinite, elastic solid due to surface loads”, Harvard University, Graduated school. (4) Westergaard, H. M., (1938), “A problem of Elasticity suggested by a problem in Soil Mechanics, Soft material reinforced by numerous strong horizontal sheets”, Contributions to Soil Mechanics, Boston Society of Civil Engineers. (5) Fröhlich., O. K., (1942), “La repartición de presiones”, Traducción de la 1ª. Edición alemana. Tipografía artística, Madrid, España. (6) Zeevaert, C., (1980), “Interacción suelo-estructura de cimentación”, Ed. Limusa, S.A., 256p. (7) Juárez Badillo, E., Rico Rodríguez A., (1979), “Teoría y aplicación de la mecánica de suelos”, Editorial Limusa, Tomo 2, Balderas 95, México, .D.F., pp 19-24. (8) Crespo Villalaz, C., (1976), “Mecánica de suelos y cimentaciones”, Librería Font, S.A., Guadalajara, Jal., 543p.

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