Presion Lateral de Suelo

7/21/2019 Presion Lateral de Suelo

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PRESIPRESIPRESIPRESIÓÓÓÓN LATERAL DEN LATERAL DEN LATERAL DEN LATERAL DE

TIERRATIERRATIERRATIERRA



PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO

o

h

oK ''

σ σ =

Peso especifico del suelo = γ

τ f

= c + σ tanφ

σ ́ h = K o σ ́ o

z

A

B

yoo σ σ =′

hh σ σ =′



Como σ´o = γ γγ γ z, tenemos

σ´h = K o ( γ γγ γ z)

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por larelación empírica (Jaki,1944)

K o = 1 – sen φ

Donde φ = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,

Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para K o :

+=100

(%)42.044.0

IPK o



Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como

OCR =presión de preconsolidación

presión de sobrecarga efectiva presente

La magnitud de K o en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valoresmayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por

( ) ( ) OCRK K daeconsolidanormalment odada preconsolio =



PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO

H

Peso específico del suelo = γ

K o γ H

2

2

1 H K P oo γ =

3

H



H

H 1

H 2

K o ( γ H 1 + γ ’H 2)

Peso específico saturado

del suelo = γ sat

Peso específico del suelo = γ

γ wH2

Koγ H 1

Nivel de Aguafreática

-(a) (b)

F

E

J K

A

B

I

G

z

+

C

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTESUMERGIDO



=

H 1

H 2

Koγ H 1

Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido

K o ( γ H 1 + γ ’H 2) + γ wH2

(c)



Presión efectiva vertical = )( 11 H z H o −′+=′σ

[ ])(11 H z H K K oooh −′+=′=′ σ σ

)( 1 H zu w −=

uhh +′=σ σ

[ ] )()(

111 H z H z H K wo −+−′

+=2

221

2

1 )(2

1

2

1 H K H H K H K P woooo γ γ γ γ +′++=

[ ] 2

2

2

221

2

1 22

1 H H H H H K P woo γ γ γ γ +′++=

o

Presión efectiva horizontal =

Presión total horizontal =



TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA


τ f = c + σ tanφ

σ ́ h

z

A

B

A´

B´ (a)

∆L

σ ́ O

Presión activa de tierra de Rankine



Esfuerzo normal

(b)

Presión activa de tierra de Rankine

c

A φ

φ

E s f u e r z o n o r m a l

D´

D

O C

τ f = c +

σ t a n φ

σ′ O K o σ′ O σ′ a

a

b




OC AOCD

AC CDsen

+==φ

Pero

CD = radio del círculo de falla =2

ao σ σ ′−′

AO = c cot φ

y

2

aoOC σ ′+′=

Por lo que

2cot

2

ao

ao

c

senσ σ

φ

σ σ

φ ′+′+

′+′

=



22cos aoao senc σ σ φ σ σ φ ′−′=′+′+o

o φ

φ

φ

φ

σ σ sencsen

sen

oa +−+

−

′=′ 1

cos

21

1


Pero

σ′ o = presión de sobrecarga efectiva vertical = γ z

−=+−

245tan

1

1 2 φ

φ

φ

sen

sen

y

−=+ 2

45tan1

cos φ

φ

φ

sen



Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos

−−

−=′2

45tan22

45tan2 φ φ

γ σ c za

La Variación de σ′ a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y

−′=′2

45tan2 φ

σ σ oa

−=

′′=

245tan

2 φ σ σ

o

aaK

La razón de σ′ a respecto a σ′ o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,

Ka,o



aK c2−

γ

c2tan )

245( φ +

z

(c)

aa K c zK 2−γ

(d)

245

φ +

245

φ +

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA



ESTADO PASIVO DE RANKINE


τ f = c + σ tanφ

σ ́ h

z

A

B

A´

B´ (a)

∆L

σ ́ O

Presión pasiva de tierra de Rankine



Esfuerzo Normal

τ f = c

+ σ t a nφ

E s f u e r z o N o r m a l

σ′ o

φ

φ O

Presión pasiva de tierra de Rankine

C

D

D ′

A

(b)

σ′ p

b

K o σ′ o

a



++

+′=′2

45tan22

45tan2 φ φ

σ σ co p

++

+=2

45tan22

45tan2 φ φ

γ c z

La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee

+′=′2

45tan2 φ

σ σ o p

o

+==′

′

245tan

2 φ

σ

σ p

o

pK

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA



z

pK c2 p zK γ

(c)

(d)

245 φ −

245 φ −




EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

Muro de retención en voladizo



245

φ + 2

45 φ +

z

C´ A

H

A´

B

(a)

La∆La



245

φ −

H

A

∆Lp

A ″

Lp

C ″ 245

φ

−245

φ

−

Rotación de un muro sin fricción respecto al fondo

(b)



Presión activa σ′a

Presión en reposo

Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro

Presión pasiva

σ′p

P r e s i ó n d e t i e r r a

Inclinacióndel muro

∆LaH Inclinación

del muro

∆LP H

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA



DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRAMUROS DE RETENCIÓN

RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO

zK aaa σ σ =′= (Nota: c = 0)

H K aaσ =2

2

1 H K P aa γ =

Caso Activo



Cuña defalla

H

245

φ +

γ φ

c = 0

3

H

(a)

H

K aγ H

P a

σ a=σ′ a

φ



Cuña de falla

H

245

φ −

γ φ

c = 0

(b)

K pγ H

3

H

P p

H

σ p=σ′ p

Caso Pasivo

H K p p p σ σ =′=

2

2

1 H K P p p γ =

RELLENO SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO



RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA

Caso Activo

oaa K σ σ ′=′

qK aaa =′=σ σ

y

( )1 H qoo +=′=

( )1 H qK aaa σ σ +=′=

y

Donde σ′o y σ′a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0

qoo =′=σ σ

A la profundidad z = H 1,

A la profundidad z = H,



Donde γ′= γ sat

- γ w. La Variación de σ′a con la profundidad se muestra .

La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H 1, esta aumentalinealmente con la profundidad. En z = H,

2 H u w=

El diagrama de la presión lateral total σa´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza

Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,

( ) 2

221

2

12

1

2

1 H K H H K H k qH K P waaaaa γ γ γ γ +′+++=

( )21 H H qo

σ ′++=′y

( )21

H H qK aaσ ′++=′

p



H 1

H 2

H

45+ φ2

Z

Nivel del Agua Freática

Cuña defalla

Sobrecarga = q

γ satφ

(a)



+

H 1

H 2

( )21 H H qK a γ ′++

qK H K aa +1

γ

aσ ′

=

2 H w

u σa

( )1 H qK a + 22 H H K wa γ γ +′

(b) (c) (d)

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga

qK a

Caso Pasivo



Caso Pasivo

o p p pK σ σ ′=′

( ) 2

221

2

12

1

2

1 H K H H K H K qH K P w p p p p p γ γ γ γ +′+++=

RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL

Caso Activo

a zaa K cK 2−=′ γ σ

02

=− aoa K c zK γ

a

oK

c z

γ

2=

o

Para la condición no drenada, esto es,φ = 0, Ka = tan245°= 1, y c = c u (cohesión no drenada)tenemos

γ u

o

c z

2=

Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta unaProfundidad z o



H 1

H 2

H

45 - φ2

Z

Nivel del Agua Freática

Cuña de falla

Sobrecarga = q

γ satφ

(a)

γ φ



+

H 1

H 2

( )21 H H K p ′+

qK H K aa +1

pσ ′

=

2 H w

u σ p

( )1 H qK p γ + 22 H H K w p +′

(b) (c) (d)

qK a

pqK

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga



H

45+ φ2

Cuña defalla

(a)

Z



H K aγ

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conrelleno de un suelo cohesivo

aK c2−

(d)

aa K c H K 2−γ

H - =

aK c2

zo

H - z o

σ a

(c)(b)

L F ti t t l l it d it i d t d l á d l di d



La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama depresión total

cH K H K P aaa 22

1 2 −= γ

Para la condición φ = 0

H c H P ua 221 2 −= γ

( )

−−=

a

aaaK c H cK H K P

γ γ 22

21

γ γ

22

222

1 ccH K H K aa +−=

Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Comono existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de

grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl (γ √Ka) y , H esla única considerada. En este caso



Para la condición φ = 0,

γ γ

2222

2

1 uua

C H c H P +−=

Caso Pasivo

Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva deRankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]

cK zK p p p 2+=′ γ σ

En z = 0,

cK p p 2=σ

Y en z = H,

cK H K p p p 2+= γ σ



H

45 - φ2

Cuña defalla

(a)

Z

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conRelleno de un suelo cohesivo

(b)

σ p

pK c2 H K pγ

La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de



a ue a pas a po o g tud u ta a de u o se e cue t a co e á ea de os d ag a as depresión como

cH K H KpP p p 22

1 2 += γ

Para la condición φ = 0, Kp = 1 y

H c H P u p 22

1 2 += γ

EJEMPLO

Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en lafigura 9.14a, y determine también la posición de la resultante

Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos

zK K aoaa σ σ =′=′

31

301301

11 =

°+°−=

+−=

sensen

sensenK a

φ φ



5 m

γ = 15.7 KN/m3

φ = 30°c = 0

(a)

5 m

26.2kN/m2

(b)

65.5 KN/m2

1.67 m

1.67 m

5 m

235.5 kN/m2

(c)

588.8 kN/m

El diagrama de la distribución de presión se muestra



Fuerza activa

( )( )2.2652

1=

aP

mkN / 5.65=

La distribución de la presión total triangula, y entonces P a actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo delmuro.Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que

zK K po p p p σ σ σ =′

==′

35.01

5.01

1

1=

−+

=−+

=φ

φ

sen

senK p

En z = 0, σ′p = 0; en z = 5m, σ′p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.

La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora

( )( ) mkN P p / 8.5885.23552

1==

La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.

EJEMPLO 2



Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?

Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces

( ) zK K hh oooσ =′==′

φ senK o −=1

o

5.0301 =°−= senK o

Y en z = 0, σ′h = 0; en 5m, σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2

El diagrama de distribución de presión total se muestra

( )( ) mkN Po / 3.983.3952

1==

EJEMPLO 3

Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ = 0)del relleno, determine los siguientes valores:

a. La profundidad máxima de la grieta de tensiónb. P

aantes de que ocurra la grieta de tensión

c. P a

después de que ocurra la grieta de tensión



5 m

39.3 kN/m2

98.3 KN/m

1.67 m

Arcilla blanda saturada

γ = 15.7 kN/m3φ = 0

Cu = 17 kN/m2

6 m

(a)

2.17m

3.83m

60.2 kN/m2

(b)

34 kN/m2

Solución Para φ = 0, Ka = tan245°= 1c y c = c u . De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos



ua c z 2−= γ σ

En z = 0,

( )( ) 2 / 341722 mkN cua −=−=−=σ

En z = 6m,

( )( ) ( )( ) 2 / 2.6017267.15 mkN a =−=σ

La variación de σa con la profundidad se muestra

a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a

( )( )m

c z u

o 17.27.15

1722===

γ

b. Antes de que ocurra la grieta de tensión

H c H P ua 22

1 2 −= γ

o

( )( ) ( )( ) mkN Pa / 6.78617267.1521 2 =−=

c. Después de que ocurre la grieta de tensión,



( )( ) mkN Pa / 3.1152.6017.26

2

1=−=

Nota: La P a precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación

EJEMPLO 4

Se muestra un muro de retención sin fricción.

a. Determine la fuerza activa P a, después de que ocurre la grieta de tensión.

b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, P p ?

Solución

a. Dado φ = 26°, tenemos

39.0261

261

1

1=

°+°−

=+−

=sen

sen

sen

senK a

φ

φ

De la ecuación

aoaaa K cK 2−′==′ σ σ σ



En z = 0



( )( ) ( )( ) 2 / 09.699.99.339.0821039.0 mkN aa −=−=−==′ σ σ

En z = 4 m

( ) ( )( )[ ] ( )( ) 99.93.2739.0821541039.0 −=−+==′aa σ σ

2 / 31.17 mkN =

De este diagrama vemos que

z z −=

4

31.1709.6

o

m z 04.1=Después de que ocurre la grieta de tensión

( )( ) ( )( ) mkN zPa / 62.2531.1796.22

1

31.1742

1

=

=−=

Dado φ = 26°, tenemos



56.2

5616.0

4384.1

261

261

1

1==

°−

°+=

−

+=

sen

sen

sen

senK p

φ

φ

De la ecuación

( )( ) ( ) 2 / 2.516.256.25856.221056.2 mkN p p =+=+==′ σ σ

De nuevo, en z = 4m, σo = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y

( )( ) ( ) 2 / 8.204856.227056.2 mkN p p =+==′ σ σ

En z = 0, σ′o = 10 Kn/m2 y

cK K po p p p 2+′==′ σ σ σ

La distribución de σp (=σ′p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es

( )( ) ( )( ) mkN P p / 5122.3078.2046.15342

142.51 =+=+=

EJEMPLO



Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitariaDe muro. Determine también la posición de la resultante

Solución dado c = 0, sabemos que σ′a = Kaσ′o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente depresión activa de tierra de Rankine es

( )3

1

301

3011

=°+°−==

sensenK K aa

1.2mArena

γ 1 = 16.5kN/m3, φ1 = 30°, c 1= 0

Nivel agua freática6m

(a)

Arenaγ 2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3

φ2 = 35°C2 = 0

M u r o s i n f r i c c i ó n

Para el estrato inferior,



( ) 271.0

5736.1

4264.0

351

3512 ==

°+

°−==

sen

senK K aa

En z = 0, σ o = σ′ o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior),σ o = σ′ o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2

( ) ( ) 21 / 6.68.19

3

1mkN K oaaa =

=′=′= σ σ σ

De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y

( ) ( )( )

2

2 / 37.58.19271.0 mkN K

oaaa ==′′

= σ σ σ En z = 6 m,

( )( ) ( )( ) 2 / 87.6481.92.198.45.162.1 mkN o =−+′σ

y

( ) ( )( ) 2

2 / 58.1787.64271.0 mkN K oaa ==′=′ σ σ

La variación de σ′a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro soncomo sigue



g

En z = 0, u = 0

En z = 1.2m, u = 0

En z = 6m, u = (4.8)(γ w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2

(b) (c)

+

5.371.2

0

6

17.58 47.1

6

1.2

0σ′a (kN/m2)

u(kN/m2)

z ( m )

z ( m )

6.6

σa (kN/m2)0

1



1.2

6

1.8m

64.685.37

6.6

z ( m )

=

(d)

P a

1

2

3

La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de σ ( presión activa total) entonces

( )( ) ( )( ) ( )( )37.568.648.42

137.58.42.16.6

2

1−

++

=aP

mkN / 08.17234.14278.2596.3 =++=

La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Asíentonces

( )( ) ( )m z 8.1

08.172

3

8.434.1424.278.25

3

2.18.496.3

=

++

+

=

MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN



3

H

(a) Caso activo (+δ)

C

B

H

A′

D A

(b)

245

φ +

245

φ +

+δ

P a

φ φ



3

H

(c) Caso activo (-δ)

C

B

H

A′

D A245

φ +

245

φ +

-δ

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

A′

D A245

φ −

245

φ −

A′



(e)

3

H

(d) Caso pasivo (+δ)

C

B

H

+δ

P p

3

H

(f) Caso pasivo (-δ)

C

B

H

A245 φ −

-δ

245 φ −

A′



La ley de los senos, tenemos



( ) ( )φ β φ β δ θ −=+−++ sen

P

sen

W a

90

o

( )

( )

W

sen

senPa

φ β δ θ

φ

+−++

−=

90

La ecuación precedente se puede escribir en la forma

( ) ( ) ( )( ) ( )

+−++−−−−=

φ β δ θ α β θ

φ β α θ β θ γ 90cos

coscos

2

12

2

sensen

sen H Pa

Donde γ = peso especifico del relleno. Los valores de γ , H , θ, α, φ, y δ son constantes, y es la unicaVariable. Para determinar el valor crítico de β para P a, máxima, tenemos

0= β d

dPa

Después de resolver la Ec., cuando la relación de β se sustituye en la Ec., obtenemos la presiónactiva de tierra de Coulomb como



2

2

1

H K P aa γ =

Donde K a es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por

( )( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscos1coscos

cos

−+−+

++−=

α θ φ δ

α φ φ δ θ δ θ

θ φ sensen

K a

Caso Pasivo

2

2

1 H K P p p γ =

Donde K p = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscos1coscos

cos

+− +−−−

+=

α θ φ δ α φ φ δ θ δ θ

θ φ

sensen

K p

A

C α



θH

W

90 + θ + β

90 - θ + α

β

B

(a)

P p δ

φ F

F

[180 - (90 - θ + δ) – (β + φ)]

P p

90 - θ + δ

β + φ

W

(b)

Presión pasiva de coulomb:

(a) Cuña de falla de prueba

(b) Polígono de fuerzas

ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN



2

2

1 H K P aa γ =

Donde

−=+−

= 245tan1

1 2 φ

φ

φ

sen

sen

K a

H

W c

B

3

H

δ

P a (coulomb)

A

(a)

H

Wc

B

A

(o)

W c

3

H

W s

P a (Rankine)

C 1

Kaγ H

A

α



H

W c

3

H

δ

P a (coulomb)

(o)

(b)

H

Wc

B

A

W c

3

H ′

W s

P a (Rankine)

C 2

H ′

α

α

Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular

α

B

El valor de P a(Rankine) se da por la relación



22

1 H K P aa ′= γ

Donde 2 BC H =′ y

φ α α

φ α α α

22

22

coscoscos

coscoscoscos

−+

−−=

245(tan

1

1 2 φ

φ

φ −=

+−

=sen

senK a

Donde α = talud de superficie del terreno

Presion Lateral de Suelo

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