Ultimate Lateral Capacity of Rigid Pile in c–φ SoilZHANG Wei-mina, b, c, *aNanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, ChinabKey Laboratory of Water Science and Engineering, Ministry of Water Resources, Nanjing 210029, ChinacNational Energy Hydropower Engineering Safety and Environmental Research and Development Center, Nanjing 210029,China

Received December 12, 2017; revised December 27, 2017; accepted January 8, 2018

©2018 Chinese Ocean Engineering Society and Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature

AbstractTo date no analytical solution of the pile ultimate lateral capacity for the general c–φ soil has been obtained. In thepresent study, a new dimensionless embedded ratio was proposed and the analytical solutions of ultimate lateralcapacity and rotation center of rigid pile in c–φ soils were obtained. The results showed that both the dimensionlessultimate lateral capacity and dimensionless rotation center were the univariate functions of the embedded ratio. Also,the ultimate lateral capacity in the c–φ soil was the combination of the ultimate lateral capacity (fc) in the clay, andthe ultimate lateral capacity (fφ) in the sand. Therefore, the Broms chart for clay, solution for clay (φ=0) put forwardby Poulos and Davis, solution for sand (c=0) obtained by Petrasovits and Awad, and Kondner’s ultimate bendingmoment were all proven to be the special cases of the general solution in the present study. A comparison of the fieldand laboratory tests in 93 cases showed that the average ratios of the theoretical values to the experimental valueranged from 0.85 to 1.15. Also, the theoretical values displayed a good agreement with the test values.Key words: pile ultimate lateral capacity, dimensionless analytical solution, c–φ soils, hyperbolic function method

Citation: Zhang, W. M., 2018. Ultimate lateral capacity of rigid pile in c–φ soil. China Ocean Eng., 32(1): 41–50, doi: https://doi.org/10.1007/s13344-018-0005-1

1 IntroductionPiles are widely used in bridges, high-rise buildings,

wharf infrastructures, power transmission towers, offshoreplatforms, wind power infrastructures, and other civil engin-eering projects. The ultimate lateral capacities of these pilesare important contents of engineering designs and safety as-sessments. To date no analytical solution of the ultimate lat-eral capacity for the general c–φ soil has been obtained, andonly under the condition of c = 0 or φ = 0, the analyticalsolution is available. Although the calculation formula wasnot obtained, Broms (1964a) put forward the well knowncalculation charts. Poulos and Davis (1980) further presen-ted the calculation formulas for the ultimate lateral capacityand rotation center in clay under the condition of φ = 0.More relevant research on clay can be found in the study ofReese and Welch (1975) and other researchers. On sand,Petrasovits and Award (1972) put forward a calculation for-mula of the ultimate lateral capacity of sand under the con-dition of pu=kz. However, a calculation method for the rota-tion center was not obtained. For the general c–φ soil,Hansen (1961) proposed an evaluation method that requiresrepeated iterations, with a more complex process and more

time spent on it.In this study, a new dimensionless embedded ratio was

proposed. And the strict solutions of the dimensionless ulti-mate lateral capacity and rotation center for three kinds ofsoils (c=0, φ=0, and c–φ soil) were obtained. The resultsshowed that both the dimensionless ultimate lateral capa-city and the dimensionless rotation center were the univari-ate functions of the new embedded ratio, and that the ulti-mate lateral capacity in c–φ soils is the combination of theultimate lateral capacity (fc) in clay, and the ultimate lateralcapacity (fφ) in sand. The ultimate bending moment for c–φsoil was obtained also. In the comparison of the publishedfield and laboratory test results of 93 cases, the average ra-tios of the theoretical values to the experimental valuesranged from 0.85 to 1.15.

2 Ultimate lateral resistance of soilsFor rigid piles the estimation of the ultimate lateral load

capacity requires knowledge of the magnitude and distribu-tion of the limit lateral soil resistance for a given soil condi-tion. The ultimate lateral resistance represents the limit loadcapacity applied by the surrounding soil per unit length. For

China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50

DOI: https://doi.org/10.1007/s13344-018-0005-1,  ISSN 0890-5487http://www.chinaoceanengin.cn/  E-mail: coe@nhri.cn

   

Foundation item: This study was financially supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 51379132).*Corresponding author. E-mail: wmzhang@nhri.cn

clay, there have been several methods to estimate the ulti-mate lateral resistance, such as Broms (1964a), Matlock(1970), Hansen (1961), Shen (1961), Hays et al. (1974),Reese and Welch (1975), Ito and Matsui (1975), Randolphand Houlsby (1984), Murff and Hamilton (1993), Chen andPoulos (1997), Martin and Randolph (2006), Georgiadis etal. (2013), and Zhang et al. (2017). Generally the ultimatelateral resistance can be written as follows:qu = NpcuD, (1)where, Np is the lateral bearing factor; cu is the undrainedstrength of clay; and D is the pile diameter. The limitingvalue of Np for the Matlock, Randolph, Reese, and Haystheories is 9, while Hansen (1961) defined the limit as 8.14.The Randolph and Houlsby’s (1984) study shows that thebearing factor is related to the friction characteristics of thepile surface. The values vary from 9.14 to 11.94 for differ-ent friction conditions. The commonly adopted values of theultimate lateral pressure for clay are in the range of Np =9–12.

For cohesionless soils, the methods for estimating theultimate lateral resistance were given by several researchers(Broms, 1964b; Hansen, 1961; Shen, 1961; Petrasovits andAward, 1972; Reese et al., 1974; Meyerhof and Sastry,1985; Prasad and Chari, 1999; Chari and Meyerhof, 1983;Barton, 1982; Fleming et al., 1992). Although these meth-ods produce significantly different values, the ultimate later-al resistance for cohesionless soils can be simplified as fol-lows in general,pu = KDγz, (2)

K = K2p K = K3

p +K0K2p

where, γ is the unit weight of soil, z is the depth from theground surface, and K is the ultimate lateral resistance coef-ficient for sand. For Broms theory, K=3Kp; Hansen theoryK=Kp; Barton  ; for Reese theory tan φ–Ka, where Kp is passive earth pressure coefficient, andKa is active earth pressure coefficient.

For c–φ soils, according to the recommendations ofHansen (1961), Shen (1992), Evans and Duncan (1982), andReese and van Impe (2001), the ultimate lateral resistance ofc–φ soil can be expressed by the following equation:pu = qu+ kz, (3)

where, qu=Npcu D and k=γKD. Obviously Eq. (3) is applic-able for clay (φ=0), sand (c=0) and c–φ soils.

3 Ultimate lateral capacity of pile

3.1  Ultimate lateral capacity of a pile in clayFor clay (φ = 0), the limit state of a pile is shown in Fig.

1a. In accordance with the force and moment equilibriumconditions, the following two equations can be obtained:

Hu+quL0r(1−2zc) = 0

HuL0(1− r)− 12

quL0r2(1−2z2c) = 0

(4)

where Hu and zc are the unknown variables, while the re-maining are the known variables. By the definition of fc=Hu/(quL0), the dimensionless can be conducted. The analyt-ical solution of the dimensionless ultimate lateral capacityof a pile in clay can be obtained as follows:

fc=r−2+√

(2− r)2+ r2

zc =12r

(r+ fc)(5)

where fc=Hu/(quL0) is the dimensionless ultimate lateral ca-pacity of a pile in clay; Hu is the ultimate lateral capacity; ris the embedded ratio, r = L/L0; qu is the ultimate pressure inEq. (1); and zc is the dimensionless rotation center of thepile. The distance from the rotation center to the mud sur-face was Zc, Zc = zc L = zc rL0, as shown in Fig. 1a.

Fig. 2a shows the variations of the dimensionless ulti-mate lateral capacity, and the dimensionless rotation centerwith the embedded ratio. Eq. (5) and Fig. 2a show that boththe dimensionless ultimate lateral capacity and the dimen-sionless rotation center were the univariate functions of theembedded ratio, and that the reasonable dimensionlessformat was able to simplify the expressions of the dimensi-onless ultimate lateral capacity, and that of the rotation cen-ter. Comparing with the traditional bivariate (L/D, e/D) fun-ction, the expression in this study was dramatically simplified.

3.2  Ultimate lateral capacity of a pile in sandAccording to the existing research, in regards to sand

(c=0), the distribution of the ultimate pressure can be writ-ten as pu = kz. The force and moment equilibrium equations

 Fig. 1.   Ultimate lateral load and ultimate pressure of pile in limit state: (a) in clay (Broms, 1964; Poulos and Davis, 1980); (b) in sand (Petrasovits andAward, 1972); (c) in c–φ soil; (d) ultimate bending moment under pure-bending conditions.

42 ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50  

of the pile (Fig. 1b) are given in Eq. (6), Hu+12

kL20r2− kL2

0r2z2φ= 0

3HuL0(1− r)+ kL30r3(2z3

φ−1) = 0(6)

And the following solutions are obtained:

fφ = r2(z2φ−

12

), (7)

zφ =12r

{r−1+2(1− r)cos

[13

arccos(

3r−1(1− r)3

)]},

0 ⩽ r < 0.404

zφ =12r

[r−1+

(r−1)2

x+ x

], 0.404 ⩽ r ⩽ 1

x =(3r−1+ r

√−6+20r−15r2+6r3− r4

)1/3

(8)

where, fφ is the dimensionless ultimate lateral capacity ofthe pile in sand, fφ = Hu/(kL0

2); r is the embedded ratio, r =L/L0; and zφ is the dimensionless rotation center of the pile.

Eqs. (7) and (8) indicate that both the dimensionless ul-timate lateral capacity and dimensionless rotation center ofthe pile in sand both are the univariate functions of the em-bedded ratio r , as shown in Fig. 2b.

For the purpose of simplification and practice, the fol-lowing equations can be used to replace Eqs. (7) and (8) inengineering designs. Eq. (9) is also plotted in Fig. 2b indashed line, which will satisfy the precision requirements ofengineering design in general. fφ = 0.13r3.2

zφ =√

2/2+0.069r+0.018r2(9)

3.3  Ultimate lateral capacity of a pile in c–φ soilThe analysis model of the laterally loaded pile in c–φ

soil is displayed in Fig. 1c. The distribution of the pile-soilultimate pressure along the depths can be expressed as pu=qu+kz. The limit equilibrium equations of the pile are estab-lished as follows:

Hu−r Z0

0 pudz+r L

Z0pudz = 0

Hue+r Z0

0 puzdz−r L

Z0puzdz = 0

(10)

where Hu represents the ultimate lateral capacity of the pile;L0 is the pile length; L is the embedment length of the pile,L= L0r; r represents the embedded ratio, r=L/L0; e is theloading eccentricity, e = L0(1–r); and Z0 = z0L0r is the dis-tance from the surface to the rotation center.

After nondimensionalization, the solutions of Eq. (10)can be written as follows:f1 = fc+ kq fφ, (11)

z0 =1

2kqr

[−1− kq+ kqr+2 |1− kq+ kqr|cos

(θ3

)]when y < 0

z0 =1

2kq

kq(r−1)−1r

+

[1+ kq(r−1)

]2

x+

xr2

when y ⩾ 0

(12)

where,

kq =kL0

qu;

θ = arccos

(1+ kq)[−1+ kq(4−3r)+ kq2(−1+3r)

]|1− kq+ kqr|3

;

x =[r3

(3kq−1+3kq2− kq3

)+3r4

(kq3− kq

)+√

y]1/3

;

y = r6{(1+ kq)2

[kq(4−3r)−1+ kq2(−1+3r)

]2

−[1+ kq(r−1)]6}, (13)

f1=Hu/(quL0) is the dimensionless ultimate lateral capacity ofthe pile in c–φ soil; fc=Hu/(quL0) is the dimensionless ulti-mate lateral capacity of the pile in clay (see Eq. (5)); fφ=Hu/(kL02) is the dimensionless ultimate lateral capacity of thepile in sand (see Eq. (7)); r is the embedded ratio, r=L/L0;and z0 is the dimensionless rotation center of the pile.

Since kq=kL0/qu in Eqs. (11)–(13) is the parameter de-pending on γ, c and φ of the soil, after the soil is specified,kL0/qu can also be determined. This indicates that the di-mensionless ultimate lateral capacity of the pile in c–φ soilis also the univariate function of the embedded ratio.

In Eqs. (11)–(13), when qu =0, a singularity problemwill appear. Therefore, in this case, another dimensionlessultimate lateral capacity is defined as f2= Hu/(kL0

2). Using

 Fig. 2.   Ultimate lateral capacity and rotation center of a pile: (a) in clay; (b) in sand.

  ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50 43

this new definition, based on Eq. (10), the following solu-tions are obtained:f2 = fφ+qk fc; (14)

z0 =12r

[(r−1−qk)+2 |−1+qk+ r|cos

(θ3

)], y < 0

z0 =12

[r−1−qk

r+

(qk+ r−1)2

x+

xr2

], y ⩾ 0

(15)

where,

qk =qu

kL0;

θ = arccos

− (1+qk)[1+qk2−3r+qk(−4+3r)

]|−1+qk+ r|3

;

x =(3r4− r3+3qkr3+3qk2r3−qk3r3−3qk2r4+

√y)1/3

;

y = r6{(1+qk)2

[1+qk2−3r+qk(3r−4)

]2− (qk+ r−1)6}.

(16)The two groups (Eqs. (11)–(13) and Eqs. (14)–(16)) of

ultimate lateral capacity expressions can be used in the ana-lysis of pile engineering. In general, for the clay with asmaller φ, Eqs. (11) and (12) are recommended, while forthe sand with a smaller c, Eqs. (14) and (15) are suggested.Both Eq. (11) and Eq. (14) indicate that the dimensionlessultimate lateral capacity in the c–φ soil is a combination offc in clay, and fφ in sand. However, on the other hand, both fcand fφ are particular solutions of f1 and f2, respectively.

Fig. 3 shows that the variations of the ultimate lateralcapacity with the embedded ratio are under the two differ-ent dimensionless formats, respectively. Fig. 3a is moresuitable for the clay with a smaller φ, while Fig. 3b is moresuitable for the sand with a smaller c. Fig. 4 shows the rela-tionship of the rotation center of the pile to the embeddedratio.

For the purpose of simplification and practice, Eq. (12)can be replaced by the following equation for the calcula-tion of the rotation center in engineering designs, beingplotted in dashed line, as shown in Fig. 4.

z0 = zc+

kq1.05r sin( rπ

2

)1/6

1.3+ kq1.05r sin( rπ

2

)1/6

(zφ− zc

)(17)

Obviously, when kq→0, z0=zc; when kq→∞ (qk→0),z0=zφ.

4 Ultimate bending moment of pile in c-φ soil underpure-bending conditionsThe effects of a bending moment are independent of its

applied position. Therefore, under the condition of purebending, only the embedment length of the pile under thesurface should be taken into consideration. In accordancewith Fig. 1d, the limit equilibrium equations of the pile un-der the condition of pure bending are shown as follows:

qu(2−4z0)+ k(L−2Lz20)=0

6Mu−3L2qu(1−2z20)−2kL3(1−2z3

0)=0(18)

where Mu is the ultimate bending moment, L is the embed-ment length of the pile, and z0 =Z0/L represents the dimen-sionless rotation center. The solutions of Eq. (18) can bewritten as:

Mu

quL2 = 1+2kq−

√4+4kq+2kq2

6

+3−

√4+4kq+2kq2

3kq+

2−√

4+4kq+2kq2

3kq2

z0 =

√4+4kq+2kq2−2

2kq

(19)

When c =0, a singularity may occur in Eq. (19). Underthe condition of φ ≠0, the other sets of dimensionless vari-ables of Mu/(kL3) and qu/(kL) are used, and another set ofsolutions can be obtained.

Mu

kL3 =16

[2+4qk3−

√2+4qk+4qk2

+(qk+qk2

) (6−2

√2+4qk+4qk2

)]z0 =

√12+qk+qk2−qk

(20)

The variations of the dimensionless ultimate bendingmoment, and the dimensionless rotation center (Eqs. (19)and (20)) under the two different dimensionless formats areshown in Figs. 5a and 5b, respectively.

For the clay, when φ = 0 and kq= 0, the following for-mulas can be obtained from Eq. (19),

Mu

quL2 =14

; z0 =12. (21)

For the sand, when c = 0 and qk = 0, the following for-mulas can be obtained from Eq. (20),

Mu

kL3 =16

(2−√

2); z0 =

√2

2. (22)

The above results show that, due to the characteristics ofthe bending moment, the ultimate bending moment of thepile can be simplified further under the condition of purebending, and both the dimensionless ultimate bending mo-ment and rotation center under pure-bending conditions areequal to a constant, respectively.

5 Comparison with the field and laboratory testsSome methods have been proposed over the years to in-

terpret the ultimate load of lateral tests, and sometime theultimate loads obtained by those different methods mayhave several times of difference (Chen and Lee, 2010). Theultimate capacity of the pile can be divided into two cat-egories (Reese and van Impe, 2001): the serviceability limitcapacity, and the ultimate limit capacity. The serviceabilitylimit capacity involves considering the allowable deforma-

44 ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50  

tion of the structure. The ultimate limit capacity involvesnot considering the working requirement of the structure,and giving consideration instead to the theoretical maxim-um capacity. The hyperbolic function method (Kondner etal., 1964; Coyle and Bierschwale, 1983; Manoliu et al.,1985; Mayne and Kulhawy, 1991) can eliminate not onlythe influence of artificial factors to a certain extent, but alsothe concept of the hyperbolic asymptote consistent with thedefinition of the limit load in plastic mechanics. In thepresent study, the following hyperbolic function was used toanalyze the field and laboratory tests, and to compare thesewith the theoretical values.

δH=

1Ki+

1Hu

δ, (23)

where H is the test lateral load; and δ is the pile displace-ment at the mud surface. According to the characteristics ofthe hyperbola, Ki is the initial tangent slope of the curve,and Hu is the ultimate load.

The comparisons between the computed ultimate capa-cities and the test results of 93 cases are shown in Fig. 6 andin Table 1–Table 4. The comparisons show that the averageratios between the theoretical solution and the test resultsrange from 0.85 to 1.15.

6 Discussion and comparison with the existing calcula-tion methods

6.1  Comparison with the results of Broms (1964a)Figs. 7a and 7b show the limit analysis model and the

design calculation chart presented by Broms (1964a) forclay, respectively. Broms assumed that the surrounding soilwithin a 1.5D depth below the mud surface had alreadybeen damaged before the limit state was reached, and there-fore that part of the soil had no effect on the results. Bromsdid not give a theoretical analytic solution. However, thedesign chart shown in Fig. 7b was given in the form ofbivariate implicit function chart. By comparing Fig. 7a withFig. 1a, it can be found that Broms’s assumption ignored the

 Fig. 3.   Ultimate lateral capacity of a pile in c-φ soil: (a) f1 = Hu/(quL0); (b) f2 = Hu/(kL0

2).

 Fig. 4.   Rotation center of a pile in the limit state.

 Fig. 5.   Pile in c–φ soil under pure-bending conditions: (a) ultimate bending moment Mu/(quL2) and rotation center; (b) ultimate bending moment Mu/(kL3)and rotation center.

  ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50 45

effect of the pile surrounding soil within a 1.5D depth be-low the mud surface, which can actually be seen as the em-bedment length reduced by 1.5D. Therefore, the embeddedratio of Broms’s model can be written as r=(L–1.5D)/(L+e).By substituting the embedded ratio (L–1.5D)/(L+e) insteadof r, and 9cuD instead of qu directly into Eq. (5), the expli-cit calculation formula for Broms’s chart can be easily ob-tained as follows:

Pult

cuD2=9( L

D+

eD

) [fc]r= L

L+e−1.5DL+e

=−13.5− 18eD− 9L

D

+9√

2D

(L+ e)

√2.25D2+2e2+L2+2e(1.5D+L)

(e+L)2 , (24)

where Pult is the ultimate lateral load after Broms; L is theembedment length of the pile; e is the load eccentricity; andD is the diameter of the pile. The curves of Eq. (24) areplotted in Fig. 7b, which are identical to those of Broms.

Figs. 7b and 7c display the comparison between the res-ults presented by Broms and the solution obtained in thisstudy. Fig. 7c is drawn according to Eq. (5), in which thecoordinates are after Broms’s bivariate coordinate system(L/D, e/D). The univariate curve in Fig. 2a is obviously farsimpler than the bivariate chart put forward by Broms (Fig.7b), and the working mechanism of the pile is more clearalso.

6.2  Comparison with the solution of Poulos and Davis(1980)When pu is a constant, the formula of the ultimate later-

al capacity (Eq. (25)) have been obtained by Poulos andDavis (1980). In fact, the results presented by Poulos andDavis can also be conveniently derived from the solution ofthis study. For example, by substituting L/(L+e) instead of rinto Eq. (5), the formula of Poulos and Davis, Eq. (25) canbe obtained.

Hu

puL=

√(1+

2eL

)2

+1−(1+

2eL

);

Zr =12

(Hu

pu+L

), (25)

where, pu in this study is equal to puD in the study presen-ted by Poulos and Davis due to the different definitions.

Similarly, according to r=L/(L+e), Eq. (25) can bebriefly returned to Eq. (5). It was indicated that the Poulosand Davis’s equation is the same as the solution of thisstudy. Therefore, the Poulos and Davis’s equation will be aparticular solution of the c–φ solution of this study when φ= 0 and pu = const. (see Fig. 3a).

6.3  Comparison with the results of Petrasovits and Award(1972)The calculation Eq. (26) of the ultimate capacity in sand

with c=0 were presented by Petrasovits and Award (1972).The formula can also be conveniently derived from the solu-tion presented in this study. According to its definition,when k = γεD, r = L/L0, and fφ = Hu/(kL0

2) were substitutedinto the solution Eq. (7), Eq. (26a) can be obtained. It hasbeen proven that the solution presented by Petrasovits andAwad (1972) is the same as that of Eq. (7) in this study, andtherefore, the solution of Petrasovits and Awad (1972) is an-other particular solution of the c–φ solution when c = 0 also.(see Fig. 3b).

In addition, Petrasovits and Awad (1972) did not cometo the solution of the center of rotation (zφ), merely presen-ted an implicit formula (26b), so their solutions were incom-plete. While that in Eq. (8) of this study was an explicit ex-pression of the solution.

H =12γεDL2(2zφ2−1); (26a)

2z2φ−1

1−2z3φ=

23

Le. (26b)

6.4  Comparison with results presented by Kondner et al.(1964)Kondner et al. (1964) obtained a conclusion through the

dimensional analysis and model test that under the condi-tion of pure bending, and the dimensionless ultimate bend-ing moment Mu/(γCL3) in sand was found equal to a con-stant. From Eq. (22) it can be seen that Kondner et al.’s con-clusion was consistent with that of this study. For the densesand, when γ =17.14 kN/m3 and φ = 37, a test dimension-less number was obtained by Kondner et al. as follows:[

MγCL3

]ultiamte

= 1.75, (27)

where C is the perimeter of the pile.By substituting k=K(φ)γD instead of k into Eq. (22), the

solution Eq. (22) can be converted as follows:M

γCL3 =16

(2−√

2) K(φ)

π, (28)

where K(φ) is the ultimate pressure coefficient. By compar-ing Eq. (27) with Eq. (28), it can be seen that Eq. (27) is infact a special case of the solution (Eq. (28)) when K(φ) =

 Fig. 6.   Measured lateral capacities compared with the computed results.

46 ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50  

Table 1   Comparisons of pile ultimate lateral capacities in clayReference L (mm) D (mm) e (mm) r su (kPa) Qu

a (N) Hub (N) Hu/Qu

Mayne (2004)

  1 11000 914 300 0.97 25 1.09E+06 8.92E+05 0.82  2 11000 914 300 0.97 35 1.11E+06 1.25E+06 1.12  3 11000 914 300 0.97 30 1.06E+06 1.07E+06 1.01  4 11000 914 300 0.97 25 1.00E+06 8.92E+05 0.89

Chen and Kulhawy(1994)

  1   300   89   315 0.49 3.56   113   135 1.19  2   300   89   315 0.49 3.56   135   135 1.00  3   300   89     20 0.94 2.07   225   188 0.84  4   300   89     20 0.94 2.07   237   188 0.79  6   533   89     25 0.96 2.42   454   401 0.88  7   533   89     25 0.96 3.45   667   572 0.86  8   533   89     25 0.96 3.45   556   572 1.03  9   355   89     25 0.93 1.75   167   187 1.1210   355   89     25 0.93 1.75   155   187 1.2111   355   89     25 0.93 3.12   266   334 1.2512   355   89     25 0.93 3.12   245   334 1.3613   267   89     20 0.93 4.21   279   337 1.2114   267   89     20 0.93 4.21   335   337 1.0115   710   89     20 0.97 5.26 1101 1191 1.0816   710   89     20 0.97 5.26 1357 1191 0.8817   267   89   279 0.49 1.62     29     55 1.8918   267   89   279 0.49 1.62     30     55 1.8219   355   89     20 0.95 1.75   143   191 1.3320   355   89     20 0.95 1.75   177   191 1.0821   533   89     35 0.94 4.87 1120   787 0.7022   533   89     20 0.96 4.87     805     818 1.0223   355   89     25 0.93 4.47     580     478 0.8224   355   89     25 0.93 2.17   253   232 0.9225   355   89   380 0.48 2.18   113     96 0.8526   355   89   380 0.48 2.18     99     96 0.9727   533   89     25 0.96 7.06 1350 1170 0.8729   533   89     25 0.96 6.44 1048 1067 1.0231   267   89     25 0.91 3.5     136   273 2.0132   267   89     25 0.91 3.5     123   273 2.2233   267   89     25 0.91 2.02   135   158 1.1734   267   89     25 0.91 2.02   126   158 1.2535   533   89     30 0.95 4.1     436   671 1.5436   533   89     30 0.95 4.1     550   671 1.2237   533   89     30 0.95 2.39   531   391 0.7438   533   89     30 0.95 2.39   375   391 1.0439 1050 175     50 0.95 4.9   3450 3143 0.9140 1050 175     50 0.95 4.9   3707 3143 0.8541   305   51     25 0.92 3.63   347   188 0.5442   305   51     25 0.92 3.63   222   188 0.8543   533   89 2132 0.20 2.41     70     57 0.8144   533   89 2132 0.20 2.41     75     57 0.7645   533   89   533 0.50 2.42   266   168 0.6346   533   89   533 0.50 2.42   272   168 0.6247   267   89 1070 0.20 2.02     12     24 1.9948   267   89 1070 0.20 2.02     16     24 1.4949   267   89   267 0.50 2.02     63     70 1.1150   267   89   267 0.50 2.02     64     70 1.10

Average 1.09        aQu = test ultimate load determined by the hyperbolic function; bHu = computed lateral capacity, Broms’s pressure formula, pu=9suD, was used in thecalculation.

  ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50 47

Table 2   Comparisons of pile ultimate lateral capacities in sandNo. Reference L (m) D (m) e (m) r γ (kN/m3) φ Qu

a (kN) Hub (kN) Hu/Qu

1Ismael (2007)

5 0.3 0.15 0.97 18.2 31 167 166 0.992 5 0.3 0.15 0.97 18.2 31 169 166 0.983 Brown et al. (1988) 4.88 0.27 0.30 0.94 15.7 38 155 217 1.394 Bhushan et al. (1981) 5.49 0.61 0 1 18 42 1271 1092 0.855 Lin et al. (2015) 1.394 0.102 0.098 0.93 16.5 32 4.45 4.07 0.916

Pragd and Chari (1999)0.612 0.102 0.15 0.8 16.5 33.3 0.62 0.728 1.17

7 0.612 0.102 0.15 0.8 17.3 39 1.04 1.25 1.208 0.612 0.102 0.15 0.8 18.3 43 1.79 1.91 1.079 Chari and Meyerhof (1983) 0.991 0.075 0.075 0.92 15.2 46 3.84 4.81 1.2510

Meyerhof et al. (1981)0.2 0.0125 0 1 15.2 50 0.069 0.056 0.81

11 0.2 0.0125 0 1 14 35 0.015 0.0124 0.8312

Adams and Radhakrishna(1973)

0.445 0.102 0.318 0.58 15.7 31 0.19 0.20 1.0613 0.445 0.102 0.318 0.58 17.6 45 0.64 0.79 1.2314 0.445 0.076 0.318 0.58 17.6 45 0.5 0.59 1.1815 0.445 0.051 0.318 0.58 17.6 45 0.41 0.40 0.96

Average 1.04        a Qu = test ultimate load determined by the hyperbolic function;b Hu = computed lateral capacity, Barton’s pressure formula, pu=Kp

2γzD, was used.

Table 3   Comparisons of pile ultimate lateral capacities in c-φ soilsNo. Reference L (m) D (m) e (m) r γ (kN/m3) c (kPa) φ Qu

a (kN) Hub (kN) Hu/Qu

1Helmers and Duncan (2000)Price’s Fork

1.22 0.2 1.22 0.5 19.1 17.3 31 14.3 17.5 1.222 1.22 0.2 1.22 0.5 19.1 17.3 31 19.5 17.5 0.903 1.22 0.2 1.22 0.5 19.1 17.3 31 21.6 17.5 0.814 1.22 0.2 1.22 0.5 19.1 17.3 31 19.4 17.5 0.905

Helmers and Duncan (2000)Salem

1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 20.0 34 27.7 23.7 0.866 1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 20.0 34 27.1 23.7 0.877 1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 20.0 34 27.1 23.7 0.878 1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 20.0 34 24.4 23.7 0.979

Helmers and Duncan (2000)Suffolk

1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 19.2 31 27.7 17.9 0.6510 1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 19.2 31 25.8 17.9 0.6911 1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 19.2 31 25.6 17.9 0.7012 1.22 0.2 1.22 0.5 16.8 19.2 31 24.4 17.9 0.7313

Helmers and Duncan (2000)Fairfax County Parkway

1.22 0.2 1.22 0.5 8.3 17.9 30 14.1 12.6 0.8914 1.22 0.2 1.22 0.5 8.3 17.9 30 19.6 12.6 0.6415 1.22 0.2 1.22 0.5 8.3 17.9 30 23.3 12.6 0.5416 1.22 0.2 1.22 0.5 8.3 17.9 30 24.4 12.6 0.5217

Helmers and Duncan (2000)Roberts Road

1.22 0.2 1.22 0.5 7.2 17.3 40 40 23.3 0.5818 1.22 0.2 1.22 0.5 7.2 17.3 40 27 23.3 0.8619 1.22 0.2 1.22 0.5 7.2 17.3 40 47.6 23.3 0.4920 1.22 0.2 1.22 0.5 7.2 17.3 40 38.5 23.3 0.6121

Choi et al. (2013)1.2 0.4 2 0.38 18 20 30 26 24 0.92

22 2.4 0.4 2 0.54 18 20 30 52 115 2.2123 2.4 0.4 0.15 0.94 18 20 30 211 212 1.00

Average 0.85        a Qu = test ultimate load determined by the hyperbolic function; b Hu = computed lateral capacity, the combination of Broms’s formula and Reese’s,pu=9cuD+(Kp

3+K0Kp2tanφ-Ka) γDz, was used.

Table 4   Comparisons of pile ultimate bending moment in sandReference No. L (cm) D (cm) γ (kN/m3) φ Mult

a (kN-cm) Mub (kN-cm) Mu/Mult

Kondner et al.(1964)

1 7 1.8 17.14 37 0.089 0.073 0.822 9.2 2.4 17.14 37 0.178 0.217 1.223 12.4 3.2 17.14 37 0.498 0.713 1.434 12.3 2.4 17.14 37 0.457 0.513 1.12

Average 1.15         a  Mult  = test ultimate bending moment determined by the hyperbolic function; b  Mu  = computed ultimate moment, Reese’s pressure formula,pu=(Kp

3+K0Kp2tanφ-Ka) γDz, was used.

48 ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50  

K(37)=56.3. Meanwhile, if the Reese’s (1974) formula,K(φ) =(Kp

3+K0Kp2tanφ–Ka) is used, the ultimate pressure

coefficient, K(φ) = K(37) =69.7, and Kondner et al.’s di-mensionless number will be obtained as follows:[

MγCL3

]ultiamte

= 2.17. (29)

The computed result in Eq. (29) is reasonably close tothat of Kondner et al.’s test in Eq. (27).

7 ConclusionsIn the present study, the strict solution of the dimension-

less ultimate lateral capacity of the pile in c–φ soil was ob-tained. The results showed that the ultimate lateral capacityin c–φ soil was the combination of the ultimate lateral capa-city (fc) in clay, and the ultimate lateral capacity (fφ) in sand.The solutions of Poulos and Davis (φ = 0), Petrasovits andAwad (c = 0), and pure bending results of Kondner et al.were special cases of the solution.

The new proposed dimensionless embedded ratio israther effective. It transforms the complex bivariate implicitcharts into a univariate explicit function, simplifies the ana-lysis process and shows a better understanding on the work-ing mechanism of pile. The results show that the dimension-less ultimate lateral capacity of the pile depends on the em-bedded ratio only.

By comparing the field and laboratory tests of 93 cases,the average ratios of the theoretical values to the experi-mental were found to range from 0.85 to 1.15, and the com-puted values displayed good agreement with the testing res-ults.

Not only can the hyperbolic function method eliminatethe influences of artificial factors to a certain extent, butalso the hyperbolic asymptote concept is close to the defini-tion of the limit load in plastic mechanics.

ReferencesAdams, J.I. and Radhakrishna, H.S., 1973. The lateral capacity of deepaugured footings, Proceedings of the 8th International Conferenceon Soil Mechanics and Foundation Engineering, CIS, Moscow, pp.1–8.

Barton, Y.O., 1982. Laterally Loaded Model Piles in Sand: CentrifugeTests and Finite Element Analyses,  Ph.D.  Thesis,  University  ofCambridge, Cambridge, UK.

Bhushan, K., Lee, L.J. and Grime, D.B., 1981. Lateral load tests ondrilled piers in sand, Proceedings of A Session on Drilled Piers andCaissons, ASCE National Convention, St. Louis.

Broms,  B.B.,  1964a.  Lateral  resistance  of  piles  in  cohesive  soils,Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division,  90(2),27–64.

Broms, B.B., 1964b. Lateral resistance of piles in cohesionless soils,Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division,  90(3),123–158.

Brown, D.A., Morrison, C. and Reese, L.C., 1988. Lateral load behavi-or  of  pile  group in  sand,  Journal of Geotechnical Engineering,114(11), 1261–1276.

Chari, T.R. and Meyerhof, G.G., 1983. Ultimate capacity of rigid pilesunder inclined load in sand, Canadian Geotechnical Journal, 20(4),849–854.

Chen,  L.T.  and Poulos,  H.G.,  1997.  Piles  subjected to  lateral  soilmovements, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engin-eering, 123(9), 802–811.

Chen, Y.J. and Kulhawy, F.H., 1994. Case History Evaluation of theBehavior of Drilled Shafts Under Axial and Lateral Loading, Re-port TR-104601, EPRI, Palo Alto.

Chen, Y.J. and Lee, Y.H., 2010. Evaluation of lateral interpretation cri-teria for drilled shaft capacity, Journal of Geotechnical and Geoen-vironmental Engineering, 136(8), 1124–1136.

Choi, H.Y., Lee, S.R., Park, H.I. and Kim, D.H., 2013. Evaluation oflateral load capacity of bored piles in weathered granite soil, Journ-al of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,  139(9),1477–1489.

Coyle, H.M. and Bierschwale, M.W., 1983. Design of rigid shafts inclay for lateral load, Journal of Geotechnical Engineering, 109(9),1147–1164.

Evans Jr., L.T. and Duncan, J.M., 1982. Simplified Analysis of Later-ally Loaded Piles, Report No. UCB/GT/82-04, University of Cali-fornia, Berkeley, California.

Fleming, W.G.K., Weltman, A.J., Randolph, M.F. and Elson, W.K.,1992. Piling Engineering, Second ed., Blackie & Son Ltd., Glas-gow.

Georgiadis, K., Sloan, S.W. and Lyamin, A.V., 2013. Undrained limit-ing lateral soil pressure on a row of piles, Computers and Geotech-nics, 54, 175–184.

Hansen, J.B., 1961. The Ultimate Resistance of Rigid Piles Against

 Fig. 7.   Comparison between the solution of this paper and Broms’ chart: (a) limit analysis model of Broms; (b) ultimate lateral load by Broms (Fig. 9 inRef. of Broms (1964a); (c) ultimate lateral load of this study (Eq. (5)).

  ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50 49

Transversal Forces, Bulletin Geoteknisk Institut, Geoteknisk Insti-tut, Copenhagen.

Hays, C.O., Davidson, J.L., Hagan, E.M. and Risitario, R.R., 1974.Drilled Shaft Foundation for Highway Sign Structures, ResearchReport D647F, Engineering and Industrial Experiment Station, Uni-versity of Florida, Gainsville, Fla.

Helmers, M.J. and Duncan, J.M., 2000. Ultimate load design of later-ally loaded drilled shaft foundations. in: Dennis Jr., N.D., Castelli,R., O'Neill, M.W. (eds.), New Technological and Design Develop-ments in Deep Foundation, American Society of Civil Engineers,Colorado, United States, pp. 207–223.

Ismael, N.F., 2007. Lateral load tests on bored piles and pile groups insand,  Proceedings of the 7th International Symposium on FieldMeasurements in Geomechanics, American Society of Civil Engin-eers, Boston, Massachusetts, United States, 2007, pp. 1–11.

Ito, T. and Matsui, T., 1975. Methods to estimate lateral force actingon stabilizing piles,, Soils and Foundations, 15(4), 43–59.

Kondner, R.L., Krizek, R.J. and Schimming, B.B., 1964. Lateral stabil-ity of rigid poles subjected to an applied couple, Soils and Founda-tions, 4(1), 24–43.

Lin,  H.,  Ni,  L.,  Suleiman,  M.T.  and  Raich,  A.,  2015.  Interactionbetween laterally loaded pile and surrounding soil, Journal of Geo-technical and Geoenvironmental Engineering, 141(4), 04014119.

Lu, Z.A., 1997. Modulus of subgrade reaction for laterally loaded pilesin multiple layered foundation, China Ocean Engineering, 11(4),477–486.

Manoliu, I., Dimitriu, D.V., Radulescu, N. and Dobrescu, G., 1985.Load-deflection characteristics of drilled piers, Proceedings of 11thInternational Conference on Soil Mechanics and Foundation Engin-eering, CRC Press, Boca Raton, Fla., pp. 1553–1558.

Martin, C.M. and Randolph, M.F., 2006. Upper-bound analysis of lat-eral pile capacity in cohesive soil, Géotechnique, 56(2), 141–145.

Matlock, H., 1970. Correlations for design of laterally loaded piles insoft clay, Proceedings of the 2nd Annual Offshore Technology Con-ference,  Offshore  Technology Conference,  Houston,  Texas,  pp.577–594.

Mayne, P.W., 2004. Lateral drilled shaft response from dilatometertests, in: Turner, J.P., Mayne, P.W. (eds.), GeoSupport2004: DrilledShafts, Micropiling, Deep Mixing, Remedial Methods, and SpecialtyFoundation Systems, American Society of Civil Engineers, Orlando,Florida, pp. 415–428.

Mayne, P.W. and Kulhawy, F.H., 1991. Load-displacement behavior

of laterally-loaded drilled shafts in clay, Proceedings of the 4th In-ternational Conference, DFI, Stresa, Italy, pp. 409–413.

Meyerhof, G.G., Mathur, S.K. and Valsangkar, A.J., 1981. Lateral res-istance and deflection of rigid walls and piles in layered soils, Cana-dian Geotechnical Journal, 18(2), 159–170.

Meyerhof, G.G. and Sastry, V.V.R.N., 1985. Bearing capacity of rigidpiles under eccentric and inclined loads, Canadian GeotechnicalJournal, 22(3), 267–276.

Murff, J.D. and Hamilton, J.M., 1993. P-ultimate for undrained analys-is of laterally loaded piles, Journal of Geotechnical Engineering,119(1), 91–107.

Petrasovits, G. and Award, A., 1972. Ultimate lateral resistance of a ri-gid pile in cohesionless soil, Proceedings of the 5th European Con-ference on Soil Mechanics and Foundation Engineering,  SMFE,Madrid, pp. 407–412.

Poulos, H.G. and Davis, E.H., 1980. Pile Foundation Analysis andDesign, Wiley, New York.

Prasad, Y.V.S.N. and Chari, T.R., 1999. Lateral capacity of model ri-gid piles in cohesionless soils, Soils and Foundations, 39(2), 21–29.

Randolph, M.F. and Houlsby, G.T., 1984. The limiting pressure on acircular pile loaded laterally in cohesive soil, Géotechnique, 34(4),613–623.

Reese, L.C., Cox, W.R. and Koop, F.D., 1974. Analysis of laterallyloaded piles in sand, Proceedings of the 6th Offshore TechnologyConference, Offshore Technology Conference, Houston, Texas, pp.473–483.

Reese, L.C. and Welch, R.C., 1975. Lateral loading of deep founda-tions in stiff clay, Journal of the Geotechnical Engineering Division,101(7), 633–649.

Reese, L.C. and van Impe, W.F., 2001. Single Piles and Pile Groupsunder Lateral Loading, Balkema, Rotterdam, Netherland.

Shen, Z.J.,  1961. Ultimate Lateral Pressure of the Granular FlowAround Column and Its Application in Slope Stability, NHRI Tech-nical Report, No. Geo 42–3. Nanjing Hydraulic Research Institute.(in Chinese)

Shen, Z.J., 1992. Ultimate lateral resistance and limit design of stabil-izing pile,  Chinese Journal of Geotechnical Engineering,  14(1),51–56. (in Chinese)

Zhang, W.M., Gu, X.W., Ren, G.F. and Wu, Y.L., 2017. Pile-soil in-teraction mechanism and ultimate lateral load on rigid stabilizingpile, China Civil Engineering Journal, 50(10), 82–90. (in Chinese)

50 ZHANG Wei-min China Ocean Eng., 2018, Vol. 32, No. 1, P. 41–50