Pandeo Lateral

DISEO DE ESTRUCTURAS DE ACERO FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)A B

Mx x y MxA

v z

z

Mx

(a) z (b) u x M y Mx v B

Mx M M

x

Mx

(c)

x

z

y (d)

Oscar de Buen Lpez de Heredia

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERA ESTRUCTURAL, A.C.

DISEO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CAPTULO 5 FLEXIN 2 ( PANDEO LATERAL)Oscar de Buen Lpez de Heredia

Derechos Reservados 2002 Fundacin ICA, A. C. Av. del Parque No 91 Colonia Npoles C.P. 03810 Mxico, D.F. Tel 56 69 39 85, 52 72 99 91, 52 72 99 15 Ext. 4002-4079 Ext. Fax 4083 email: [email protected] e-mail: [email protected] http:// www.fundacion-ica.org.mx ISBN 968-7508 97-3 Impreso en Mxico.

Flexin2 (Pandeo lateral)

3

CAPTULO 5. FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL) NDICE: 5.1 5.2 Introduccin ........................................................................................................ 7 Comportamiento de vigas en flexin pura ........................................................ 10 5.2.1 Vigas de diversas longitudes ................................................................. 11 5.3 Torsin ............................................................................................................. 13 5.3.1 Introduccin ........................................................................................... 13 5.3.2 Torsin pura o de Saint Venant ............................................................. 13 5.3.2.1 5.3.2.2 Barras de seccin transversal abierta formadas por rectngulos angostos ................................................................... 13 Barras de seccin transversal hueca de paredes delgadas ...................................................................................... 14

5.3.3 Torsin no uniforme de barras de seccin transversal abierta y paredes delgadas ................................................................................. 18 5.4 Pandeo lateral elstico ...................................................................................... 25 5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexin pura ............................................. 25 5.4.1.1 Clculo del momento crtico ......................................................... 26

5.4.1.1.1 Vigas de seccin transversal rectangular, maciza o hueca ................................................................ 28 5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas ............................................ 28 5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga ...................................................... 29 5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas ................................................. 33 Momentos desiguales en los extremos ............................ Carga concentrada en el punto medio ............................. Otras condiciones de carga ............................................. Otras condiciones de soporte lateral ................................ 33 35 38 42

5.4.2.1.1 5.4.2.1.2 5.4.2.1.3 5.4.2.1.4

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas .................................. 43

4

Flexin 2 (pandeo lateral)

5.5

Pandeo lateral inelstico .................................................................................... 55 5.5.1 Aspectos generales ............................................................................... 55 5.5.2 Criterios para determinar la resistencia ................................................. 58

5.6

Resistencia de diseo en flexin ....................................................................... 62 5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crtico .............................. 62 5.6.1.1 Miembros que no se pandean ...................................................... 64

5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crtico ................................... 69 5.6.2.1 Pandeo lateral en el intervalo elstico .......................................... 69 70 71 76 77

5.6.2.2 Pandeo lateral inelstico .............................................................. 5.6.3 Normas tcnicas complementarias del reglamento del D.F .. 5.6.3.2.1 Frmulas simplificadas ..................................................... 5.6.3.2.2 Flexin no uniforme ..........................................................

5.6.4 Longitudes caractersticas ..................................................................... 78 5.6.5 Efectos del nivel en el que estn aplicadas las cargas .......................... 81 5.7 Contraventeo ..................................................................................................... 83 5.7.1 Introduccin ........................................................................................... 83 5.7.2 Diseo de elementos de contraventeo ................................................... 86 5.7.3 Imperfecciones iniciales ......................................................................... 88 5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado ............................................ 89 5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo ..................................................... 90 5.7.6 Factores de resistencia y definiciones ................................................... 91 5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos ..................................... 91 5.7.7.1 Recomendaciones de diseo ....................................................... 91

5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas .............................. 94

Flexin2 (Pandeo lateral)

5

5.7.8.1

Recomendaciones de diseo ....................................................... 94

5.7.9 Contraventeo continuo de columnas .................................................... 100 5.7.9.1 Recomendaciones de diseo ..................................................... 100

5.7.10 Sistemas de apoyo ............................................................................. 100 5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patn ................................. 103 5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral .............................................. 105 5.7.12.1 Contraventeo lateral ................................................................... 106 5.7.12.2 Recomendaciones de diseo ..................................................... 107 5.7.13 Contraventeo torsional ........................................................................ 109 5.7.13.1 Recomendaciones de diseo ..................................................... 110 5.8 Especificaciones AISC basadas en factores de carga y resistencia ................ 115 5.8.1 Resistencia de diseo .......................................................................... 118 5.8.1.1 5.8.1.2 Casos en que no es crtica ninguna forma de pandeo ................ 118 Estados lmite de pandeo lateral o local (>p) .......................... 119

5.8.1.2.1 Pandeo inelstico (pr) ................................................... 122 5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0 ..................................................... 122 5.9 Vigas de paredes delgadas ............................................................................. 136

5.10 Referencias ...................................................................................................... 138

Flexin 2 (Pandeo Lateral)

7

CAPTULO 5. FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL) 5.1 INTRODUCCIN

Los elementos estructurales que trabajan en flexin, vigas, trabes armadas y armaduras, suelen tener resistencia y rigidez, en el plano de aplicacin de las cargas (alrededor, casi siempre, del eje de mayor momento de inercia), mucho mayores que en el normal a l, por lo que, a menos que se contraventeen adecuadamente, para evitar deflexiones laterales y deformaciones por torsin, pueden fallar por pandeo lateral por flexotorsin antes de que se alcance su resistencia mxima en el plano. Esta forma de pandeo es especialmente crtica durante la etapa de construccin, cuando no hay soportes laterales, o son muy diferentes de los definitivos. El pandeo lateral por flexotorsin es un estado lmite de utilidad estructural en el que la viga deformada se sale del plano de carga, desplazndose lateralmente y retorcindose; la resistencia disminuye, bruscamente, por los cambios en geometra, que originan torsin y flexin alrededor del eje de menor resistencia, y por la rpida plastificacin del material; puede evitarse colocando un contraventeo lateral espaciado y diseado adecuadamente, utilizando secciones transversales de rigidez torsional elevada, como las secciones en cajn, o asegurando que el momento de diseo no sea mayor que el crtico de pandeo. La variable que ms afecta la resistencia al pandeo lateral es la separacin entre secciones soportadas lateralmente. Otras variables importantes son: tipo y posicin de las cargas, restricciones a los desplazamientos de los apoyos y continuidad en ellos, forma de las secciones transversales, presencia, o ausencia, de elementos que restrinjan el alabeo de secciones crticas, propiedades del material, magnitud y distribucin de esfuerzos residuales, imperfecciones iniciales en geometra y carga, discontinuidades producidas por cambios de seccin o agujeros, e interaccin con pandeo local. En la Fig. 5.1 se muestra una viga de seccin I, apoyada de manera que sus extremos pueden girar libremente alrededor de sus ejes centroidales y principales x y y, pero no alrededor del longitudinal z, sometida a flexin pura, producida por pares de magnitudes iguales y sentidos contrarios, aplicados en los extremos. Uno de los patines, el superior en este caso, trabaja en compresin, y se encuentra en condiciones parecidas a las de una columna cargada axialmente; el otro patn est en tensin. Si los momentos crecen, el equilibrio del patn comprimido se vuelve eventualmente inestable, y se pandea lateralmente; el patn en tensin trata de conservarse recto, lo que retrasa, pero no impide, el pandeo del comprimido; su influencia aumenta con la rigidez del alma, que liga los dos patines entre s, de manera que es mayor en vigas de alma gruesa y poco peralte.

8


A

B

Mx x y MxA

v z

z

Mx

(a) z (b) u B

Mx M

x M

xM Mx

Mx v y

M

(c)

x

z

y (d)

Fig. 5.1 Pandeo lateral de una viga I en flexin pura. El patn comprimido se pandeara alrededor de su eje horizontal, que es el de menor momento de inercia, pero se lo impide el alma, por lo que se flexiona alrededor del


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vertical, cuando los momentos alcanzan los valores crticos correspondientes. (Slo las almas muy esbeltas son incapaces de impedir el pandeo del patn en el plano vertical; este problema se estudia en el Captulo 6) . Cualquier viga apoyada en los extremos y cargada en el plano del alma, con secciones transversales que tengan un momento de inercia respecto al eje de flexin, x, mayor que alrededor del normal a l, y, puede pandearse lateralmente, a menos que ese fenmeno se impida por medio de elementos exteriores; si Ix es apreciablemente mayor que Iy, como en la mayora de las vigas, el pandeo lateral y el colapso pueden presentarse mucho antes de que los esfuerzos normales debidos a la flexin lleguen al lmite de fluencia. Mientras las cargas, que actan en el plano del alma, permanecen por debajo de una cierta intensidad, la viga se deforma nicamente en ese plano, y su equilibrio es estable: si, por medio de un agente externo, se le obliga a adoptar una configuracin ligeramente deformada lateralmente, recupera la configuracin plana al desaparecer aquel. Sin embargo, cuando crecen las solicitaciones, llegan a ser posibles formas en equilibrio deformadas lateralmente y retorcidas, adems de la plana; la carga menor para la que pueden presentarse esas nuevas formas de equilibrio es la carga crtica de pandeo lateral por flexotorsin de la viga. El comportamiento es semejante al de las columnas en compresin axial; como en ellas, la terminacin del equilibrio estable se caracteriza por la aparicin de un nuevo tipo de desplazamiento, fuera del plano original de carga, que no exista para solicitaciones inferiores a la crtica.

10


5.2

COMPORTAMIENTO DE VIGAS EN FLEXIN PURA

Las curvas de la Fig. 5.2 muestran, en forma esquemtica, el comportamiento de la viga en flexin pura de la Fig. 5.1; la curva M - , momento-rotacin en un extremo (Fig. 5.2a), representa el comportamiento de la barra en el plano de carga, y las curvas M - u M - , momento-desplazamiento lateral o momento-rotacin alrededor del eje longitudinal (Fig. 5.2b), describen el pandeo lateral. Si la viga fuese perfectamente recta y no hubiese ninguna excentricidad en los momentos aplicados en sus extremos, las curvas M - u y M seran como la representada con lnea llena, y el punto A correspondera al instante en que el equilibrio se bifurca; a partir de l la viga puede, en teora, admitir momentos mayores, mantenindose en su plano (trayectoria AB), o desplazarse lateralmente bajo momento prcticamente constante, segn AC.

M My Mcr A C B

M My B Mcr A Bifurcacin del equilibrio C Efecto de imperfecciones iniciales u, (b)

0 (a)

0

Fig. 5.2 Comportamiento de una viga en flexin pura. En las vigas reales no se presenta nunca la bifurcacin del equilibrio, pues siempre hay imperfecciones iniciales, que hacen que los desplazamientos laterales comiencen bajo momentos mucho ms pequeos que el crtico (curvas con lnea interrumpida, Fig. 5.2), y la falla no es por pandeo propiamente dicho. Sin embargo, esas pequeas imperfecciones no afectan mayormente las deformaciones calculadas suponiendo un sistema ideal perfecto ms que cuando las cargas se acercan a los valores crticos de ese sistema; cerca de la carga de pandeo, pequeos incrementos en las solicitaciones ocasionan aumentos considerables en las deflexiones. La determinacin de la curva accin-deformacin de vigas con imperfecciones iniciales es larga y complicada, y rara vez se justifica en la prctica; en el diseo se utiliza la carga crtica de pandeo de miembros inicialmente rectos como un lmite de la resistencia de las vigas reales aunque, como se mencion arriba, el pandeo propiamente dicho, por bifurcacin del equilibrio, no se presenta nunca. Muchos estudios de laboratorio y una


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larga prctica de diseo han demostrado que este procedimiento es razonable y proporciona resultados satisfactorios. En resumen, cuando el momento M se aproxima al valor crtico, aparecen desplazamientos u y relativamente grandes y, para fines prcticos, puede considerarse que Mcr es el momento mximo que la viga puede resistir. Mientras M es menor que Mcr, las deformaciones del miembro se confinan al plano que ocupa originalmente, pero tan pronto como alcanza el valor crtico se inicia el pandeo lateral por flexotorsin, y la viga falla por flujo plstico despus de una deformacin considerable, mientras el momento se mantiene prcticamente constante. 5.2.1 Vigas de diversas longitudes Desde el punto de vista de su resistencia al pandeo lateral, una viga de acero en flexin, de seccin tipo 1 o 2 (Captulo 3), se comporta de alguna de las tres maneras siguientes: si es muy corta, sus secciones transversales se plastifican por completo antes de pandearse, y pueden desarrollar el momento plstico; si es de longitud intermedia, la resistencia disminuye por la plastificacin parcial que precede al pandeo, que se inicia en el intervalo inelstico, y si es larga se pandea elsticamente, bajo solicitaciones que pueden ser de magnitud muy pequea. (Las vigas de seccin transversal tipo 3 o 4 pueden fallar antes, por pandeo local). Como en las columnas, desde el punto de vista del pandeo lateral no interesa la longitud real de las vigas, sino la distancia entre secciones fijas lateralmente, es decir, la longitud libre de pandeo. La grfica momento resistente-longitud libre de pandeo de la Fig. 5.3 ilustra los tres intervalos mencionados arriba. El tramo AB describe el comportamiento de miembros muy cortos, en los que el material se endurece por deformacin, sin que haya pandeo lateral, y el CD corresponde al pandeo elstico. Las curvas AB y CD son hiprbolas que no se cortan; la transicin entre ellas, curva BC, representa el pandeo inelstico, que se inicia cuando parte del material de la viga ha fluido ya plsticamente. A causa de los esfuerzos residuales, el comportamiento elstico termina cuando el momento vale Me, que puede ser bastante ms pequeo que My. En las Figs. 5.3 b, c y d, se han trazado las curvas M-u o M- de vigas que se encuentran en cada uno de los tres intervalos.

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Momento resistente Diseo plstico Diseo basado en esfuerzos permisibles E

u

A

Mp My M e Pandeo

B

L

C (a)

0

en el intervalo de endurecimiento por deformacin

Pandeo inelstico Pandeo elstico

D

Longitud libre de pandeo

M Mp My Me

Mcr

M Mm

M

Mcr

Mcr u, (b) (c) u, (d) u,

Fig. 5.3 Comportamiento de vigas de diferentes longitudes.


13

5.3

TORSIN

5.3.1 Introduccin La torsin en elementos estructurales puede ser producida en forma directa por las acciones exteriores (un eje de un motor, cuyo trabajo consiste en transmitir un momento de torsin, es un ejemplo tpico), o puede presentarse al iniciarse el pandeo de un miembro originalmente recto sometido, por ejemplo, a flexin; como se v ms adelante, el desplazamiento lateral del eje y las rotaciones de las secciones transversales que caracterizan el pandeo de las vigas ocasionan momentos torsionantes; la resistencia de la viga aumenta cuando crece su oposicin a los desplazamientos laterales lo que depende, entre otras cosas, de su resistencia a la torsin. En los artculos siguientes se presenta un resumen de resultados que corresponden, principalmente, a la torsin del segundo tipo, que es la que tiene mayor inters en este libro. El problema puede estudiarse en detalle en la ref. 5.1. 5.3.2 Torsin pura o de Saint Venant El ngulo de rotacin, por unidad de longitud, de una barra recta de seccin transversal rectangular sometida a torsin pura, producida por pares aplicados en sus extremos, se calcula con la ec. 5.1, y los esfuerzos tangenciales mximos, que aparecen en los puntos medios de los lados largos, con la ec. 5.2 (ref. 5.1): = k1 M T Ga 3b k2 M T a 2b

(5.1) (5.2)

mx =

G es el mdulo de elasticidad al esfuerzo cortante del material, MT el momento de torsin, constante, que acta en la barra, a y b los lados menor y mayor del rectngulo, y k1 y k2 coeficientes que dependen de las proporciones del rectngulo; si b/a = , los dos valen 3.0, y tienen un valor muy cercano, ligeramente mayor que 3.0, si b/a excede de 8 o 10. 5.3.2.1 Barras de seccin transversal abierta formada por rectngulos angostos

Los resultados obtenidos para el rectngulo angosto son aplicables a cualquier seccin compuesta por rectngulos alargados, unidos entre s de manera que no rodeen por completo ninguna regin del plano en que se encuentran (de aqu el nombre de abiertas), como las secciones I, H, canales y ngulos. Cada uno de los rectngulos acta como si estuviese aislado; si se ignoran las perturbaciones locales en las zonas de unin entre

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ellos, el momento torsionante total que resiste la seccin es aproximadamente igual a la suma de los momentos resistentes de todos. Como los rectngulos que forman los perfiles laminados o hechos con placas tienen siempre relaciones b/a elevadas, se llega a resultados muy cercanos a los reales haciendo, en todos los casos, k1 = k2 = 3.0. Las ecs. 5.1 y 5.2 toman la forma general = MT G (a 3b 3) MT (a 3b 3)

(5.3)

mx =

a

(5.4)

a y b son los lados corto y largo de cada uno de los rectngulos que forman la seccin que, en general, no son iguales entre s; la a que multiplica la fraccin de la ec. 5.4 es el ancho del rectngulo en el que se quiere calcular el esfuerzo mximo. La cantidad (a 3 b 3) es la constante de torsin de Saint Venant; se representa con la letra J. Introduciendo esta notacin, las ecs. 5.3 y 5.4 se escriben = MT GJ MT a J

(5.5) (5.6) (5.6a)

mx =J=

1 a 3b 3

El producto GJ es la rigidez a la torsin de Saint Venant. 5.3.2.2 Barras de seccin transversal hueca de paredes delgadas

Suelen estar formadas por varias placas de espesor pequeo en comparacin con las dimensiones generales de la seccin; pueden ser manufacturadas doblando una lmina plana, o compuestas por placas soldadas entre s. En la Fig. 5.4 se muestran, en forma esquemtica, los esfuerzos cortantes que produce la torsin en las secciones transversales de dos barras de paredes delgadas, iguales en todo, excepto en que una es abierta y la otra cerrada. Para que las fuerzas interiores de la seccin abierta puedan equilibrar un par de torsin, deben cambiar de sentido a travs del grueso de las paredes; el brazo de los pares


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resistentes es muy pequeo. En cambio, en la seccin cerrada el flujo de fuerzas es continuo y el brazo es mucho mayor; para valores iguales del esfuerzo cortante, su resistencia a la torsin es mucho ms elevada.

(a)

(b)

Fig. 5.4 Esfuerzos cortantes en dos secciones de paredes delgadas, una abierta y otra cerrada. El ngulo de rotacin por unidad de longitud, y el esfuerzo cortante mximo, en las secciones cerradas, se calculan con las ecuaciones (ref. 5.1) = MT 4 Ai2G MT 2 Ai t

ds = M t GJs

T

(5.7)

=

(5.8)

t es el grueso de la pared de la seccin, que puede ser constante o variable; en el segundo caso, en la ec. 5.8 se utiliza la t correspondiente al punto donde se desea calcular el esfuerzo, que es mximo donde la pared es ms delgada. Ai es el rea encerrada por el eje de las paredes. La constante de Saint Venant de una pieza hueca de paredes delgadas esJ=

4 Ai2 ds s t

La integracin se efecta a lo largo de todo el permetro de la seccin. Las expresiones anteriores se simplifican cuando el grueso de las paredes es constante; entonces,

ds = 1 ds = S t t ts s

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S es el permetro del eje de la pared. = MT S 4 Ai2 Gt 4 Ai2 t S = MT GJ

J=

(5.9)

Cuando el rea efectiva de una seccin hueca de paredes delgadas de espesor constante es menor que un quinto de la encerrada por el eje de las paredes (A Ai/5), el error que se comete al calcular los esfuerzos con la ec. 5.8 es menor de 10%; adems, si A < Ai, el momento resistente se obtiene con un error no mayor de 10%, de manera que casi todas las secciones huecas de inters prctico pueden analizarse con la teora desarrollada para paredes delgadas. En las secciones en cajn hechas con placas soldadas ms comunes, las placas verticales tienen un grueso, y las horizontales otro; en ese caso, la constante J valeJ= 2b 2 d 2 b d + t c

(5.10)

Ai es el rea encerrada entre los ejes de las placas que forman la seccin (Ai = bd) las dems cantidades se definen en la Fig. 5.5.t

c

c

Ai=bd

d

t

b

Fig. 5.5 Seccin en cajn.


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EJEMPLO 5.1 Calcule los esfuerzos tangenciales mximos y los ngulos de rotacin por unidad de longitud de dos barras de eje recto, cuyas secciones transversales se muestran en la Fig. E5.1.1, sobre las que actan momentos MT en los extremos, que ocasionan torsin pura; no tenga en cuenta las concentraciones de esfuerzos que se presentan en las esquinas. Las dos secciones estn hechas con la misma cantidad de material.39cm 3 cm 2 cm 60 cm 54 cm 1 cm 57 cm

3 cm 40 cm 40 cm

Fig. E5.1.1 Seccin transversal de ejemplo 5.1. Seccin I.G= J= a 3b 1 = (2 x 33 x 40 + 23 x 54) = 864 cm4 3 3

E E = = 0.385 E 2(1 + ) 2(1 + 0.3) = MT MT MT = = 0.00301 GJ 0.385 E x 864 E MT MT x 3 = 0.00347 MT a = J mx 864

Ec. 5.5. Ec. 5.6.

mx =

Este esfuerzo se presenta en las zonas centrales de los patines. Seccin en cajn. Ec. 5.10J= 2b 2 d 2 2 x 39 2 x 57 2 9 883 458 = = = 141 192 cm 4 b d 39 57 70 + + t c 3 1

=

MT MT MT = = 0.0000184 GJ 0.385E x 141 192 E mx = MT MT = = 0.000225 M T . 2Ai t mn 2(39x57)1

Ec. 5.8

18


El ngulo de rotacin y el esfuerzo mximo en la seccin I son, respectivamente, 164 y 15.4 veces ms grandes que en la seccin en cajn. La seccin en cajn es mucho ms eficiente que la I; esta observacin es de carcter general, por lo que cuando la torsin es una solicitacin predominante conviene utilizar miembros de seccin transversal hueca formados, por ejemplo, por cuatro placas soldadas, en vez de perfiles laminados. 5.3.3 Torsin no uniforme de barras de seccin transversal abierta y de paredes delgadas. Exceptuando las barras de seccin transversal circular, maciza o hueca, todos los elementos estructurales sometidos a torsin pura se alabean, es decir, los puntos situados en planos originalmente normales al eje de la barra experimentan desplazamientos variables paralelos a ese eje, lo que ocasiona que las secciones transversales inicialmente planas dejen de serlo. En la Fig. 5.6 se muestra un segmento de una barra de seccin I con dos pares MT, iguales y de sentidos contrarios, aplicados en sus extremos; son las nicas acciones que obran sobre la barra, y no hay ningn factor externo que evite o restrinja las deformaciones. Las fibras longitudinales de la barra, inicialmente rectas, se retuercen pero, para rotaciones pequeas, puede considerarse que siguen siendo rectas, inclinadas respecto al eje; cada uno de los patines gira un cierto ngulo, conservando su forma rectangular, y el alma se alabea. Todas las secciones transversales normales al eje longitudinal se alabean lo mismo, por lo que no cambian las dimensiones de las fibras longitudinales y no aparecen esfuerzos normales; los nicos esfuerzos son los tangenciales correspondientes a la torsin de Saint Venant. Si se empotra uno de los extremos de la barra, impidiendo su rotacin alrededor del eje longitudinal y los desplazamientos paralelos a ese eje de los puntos situados en l, la barra se deforma como se muestra en la Fig. 5.7; la seccin inferior se mantiene en su posicin original y sigue siendo plana, y todas las dems secciones transversales giran alrededor del eje longitudinal y se alabean. Como ni el giro ni el alabeo son constantes, sino aumentan desde cero en el extremo inferior hasta un mximo en el superior, las fibras paralelas al eje no conservan su longitud inicial, como en torsin pura, sino unas se alargan y otras se acortan (por ejemplo, todas las fibras de la porcin AEFB del patn anterior de la viga de la Fig. 5.7 se alargan, mientras que se acortan las de la zona EFDC, conservndose sin cambio nicamente la EF), lo que ocasiona esfuerzos normales longitudinales proporcionales a las deformaciones unitarias, que varan linealmente a travs de los patines; son mximos en el extremo empotrado, y disminuyen en secciones cada vez ms alejadas de l, hasta que desaparecen eventualmente cuando las


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secciones transversales estn a una distancia suficiente para que dejen de sentirse los efectos de las restricciones producidas por el empotramiento.MT

MT

Fig. 5.6 Alabeo de una barra de seccin transversal I en torsin pura.MT

B

F D

A E C

Fig. 5.7 Barra de seccin transversal I en torsin no uniforme.

Para que aparezcan los esfuerzos normales longitudinales, no es necesario impedir totalmente el alabeo de alguna seccin transversal; basta con que, ya sea por las condiciones de apoyo o de carga, o por una combinacin de ambas, el alabeo no se

20


presente libremente y vare de unas secciones transversales a otras, lo que ocasiona deformaciones longitudinales de las fibras. Los esfuerzos normales producidos por la restriccin al alabeo estn acompaados por esfuerzos tangenciales, que contribuyen a resistir el momento de torsin exterior, de manera que ste no es equilibrado slo por esfuerzos cortantes de Saint Venant, como sucede cuando el alabeo es libre. En la Fig. 5.8 se muestran los esfuerzos normales y tangenciales en una barra de seccin I en torsin no uniforme, es decir, con alabeo restringido; tanto los tangenciales simples s como los debidos a la restriccin al alabeo, a, contribuyen a resistir el momento exterior MT; si los momentos correspondientes se designan Mts y Mta, puede escribirseMT = Mts + Mta

(5.11)

-a

sZ +a Z +a

aZ

-a (a) (b) (c)

a

Fig. 5.8 Esfuerzos producidos por la torsin no uniforme. MT es el momento de torsin total que obra en la seccin, Mts el momento resistente correspondiente a la torsin de Saint Venant, y Mta el debido a la resistencia al alabeo de las secciones transversales de la barra. (Los esfuerzos normales y cortantes que aparecen en el alma por este segundo concepto se desprecian, pues la flexin se presenta alrededor de su eje de menor momento de inercia). Los esfuerzos producidos al restringir el alabeo de barras de seccin transversal maciza no circular son mucho menores que los de las secciones abiertas de paredes delgadas; adems, las piezas macizas no se emplean en estructuras de acero. Por estas razones, se tratan aqu slo elementos con secciones transversales del segundo tipo.


21

b1 t1 w t2 b2 3 +b t 3 +hw3 b1t1 22 J= 3 (a) b2 b1 b2 t1 t2 h t1 b2 t2 d t1 w t2 h h t

b

t w

b J= 2bt3+hw3 3 (b) b

w

w

b1 b2 3 2b1(t1+t2)3+4b2t2 +hw3 J= 3 (c)

J=

2 4Ao 4(bd)2 = (b/t) b+b+2d t1 t2 w (d)

Fig. 5.9 Constante de torsin de Saint Venant de diversas secciones. MTs y MTa se calculan con las expresiones (ref. 5.1)M Ts = GJ = GJ d 3 dz 3 d dz

(5.12)

M Ta = ECa

(5.13)

MTa es la parte del momento de torsin resistida por los esfuerzos tangenciales que se originan al alabearse las secciones transversales de una manera no uniforme; se le llama momento resistente de torsin debido al alabeo no uniforme o, por brevedad, momento de torsin por alabeo. Ca es la constante de alabeo (tiene unidades de longitud elevada a la sexta potencia) y el producto ECa es la rigidez al alabeo. Llevando las ecs. 5.12 y 5.13 a la 5.11, se obtiene la ecuacin diferencial para torsin no uniforme de barras de seccin transversal abierta y paredes delgadas:

22


M T = GJ

d d 3 ECa 3 dz dz

(5.14)

El signo menos que precede al segundo trmino proviene de la convencin de signos que se utiliza para deducir las ecuaciones; en la solucin de la ec. 5.14 los dos trminos del segundo miembro se suman.y t (a) d-t x x w y b b1 y Ca= (b) Centro de gravedad x Centro de torsin y b2 x0 y t _ (d-t) 2 Iy+x2A( 4 (d-t) A ) 4I x w t1 y 1 d t h d

t2Iy(d-t)2 Ca= 4

(d)

b2

Centro de torsin t1 b1

(b t )3+(b2t2)3 Ca= 1 1 36

t(y1+y2)2I1I2 I1+I2 3 b2 t2 I2= 12

b x x Centro de torsin (bt)3 (dw)3 Centro de gravedad C = a 144 + 36 w y Eje de inercia mnima Centro de gravedad y torsin x

y1 (e) d y 2

x y 0t 2 y2

3 b1 t1 I1= 12 y0=+_ y1I1-y2I2 I1+I2

(c)

x Centro de torsin

Centro de gravedad d x t _ y x

Ca=

(f)

d

x

2 d I Ca= 4

_ (d-t)2A x0= x 1+ 4Ix

Fig. 5.10 Constante de torsin por alabeo de varias secciones. En las Figs. 5.9 y 5.10 se proporcionan los valores de las constantes J y Ca para algunas secciones comunes. EJEMPLO 5.2 En la Fig. E5.2.1 se muestra una trabe armada reforzada con dos placas soldadas a los patines. Las propiedades de la trabe sin cubreplacas se dan en la figura. Determine los valores de esas propiedades para la seccin reforzada.


23

C2=1.9

b2=35.0 y c1=2.22 Ix=276 292 cm4 S=7248 cm 3 x Zx=7896 cm3 Iy=24767 cm4 Sy=1220 cm3 Zy=1846 cm3 J=316.7 cm4 Ca=33.9x106 cm6 Acotaciones en cm

d2=80.04

d1=76.24

x

h=71.8

c1=2.22 C2=1.9 b1=40.6

Fig. E.5.2.1 Seccin transversal de la trabe armada.Iy = 24767 + 2 x 1.9 x 35.0 3 = 38 344 cm4 12

J se calcula con la frmula de la Fig. 5.9c:J = [2x35.0 (2.22+1.9)3+4x2.80 x 2.223 x71.8x0.953]/3 = 1693.2 cm4.

La constante de torsin por alabeo se determina con la ecuacinCa = I1

(d 2 c 2 ) 22

+ I2

(d1 + c1 ) 22

II e I2 son los momentos de inercia, respecto al eje y, de una placa de refuerzo y de un patn, y las dems cantidades se definen en la Fig. E5.2.1.Ca = 1.9x35 3 (80.04 - 1.9) 2 2.22x40.6 3 (76.24 - 2.22) 2 + x = 54.6 x 10 6 cm 6 x 12 2 12 2_

Ca puede determinarse tambin con la ecuacin aproximada Ca = Iy d 2 / 4 , en la que Iy es el momento de inercia de la seccin reforzada respecto al eje y, y d la distancia entre los centros de gravedad de los patines reforzados, que en este caso es d = 75.77 cm. Por consiguiente,Ca I yd 2 4 = 38 344 x 76.77 2 = 56.5 x 10 6 cm 6 4_ _

Este valor de Ca es prcticamente igual al calculado arriba. Los mdulos de seccin elstico y plstico de la seccin reforzada, respecto al eje x, son

24


2 35.0 x1.9 3 76.24 + 1.9 = 479 352 cm4 Ix = 276 292 + 2 + 35.0 x 1.9 12 2

Sx =

479352 = 11978 cm 3 80.04 / 2

76.24 + 1.9 = 13092 cm3 Zx = 7896 + 2 x 35.0 x 1.9 2

El mdulo de seccin plstico es igual al de la viga sin reforzar ms el momento esttico de las cubreplacas respecto al eje de simetra horizontal, x.


25

5.4

PANDEO LATERAL ELSTICO

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexin pura Para determinar el valor del momento flexionante, aplicado alrededor del eje de mayor momento de inercia, que ocasiona el pandeo lateral elstico por flexotorsin de una viga, se estudia primero el caso fundamental (Fig. 5.1): una viga I, laminada o formada por tres placas soldadas, de eje recto, flexionada en el plano de mayor resistencia por pares iguales y de sentidos contrarios, de magnitud creciente, aplicados en los extremos. Se admiten las hiptesis siguientes: 1. 2. La viga es de seccin transversal I, con dos ejes de simetra, constante en toda la longitud. El centro de torsin coincide con el centro de gravedad de la seccin. Los esfuerzos normales mximos, obtenidos superponiendo los producidos por los momentos exteriores con los residuales, estn en el intervalo elstico cuando se inicia el pandeo. La forma de las secciones transversales no cambia cuando la viga se flexiona y retuerce. Los momentos que actan en las secciones transversales se conservan en el plano que ocupaban originalmente. La distancia entre las secciones de la viga soportadas lateralmente es igual al claro. El momento flexionante es constante entre las dos secciones soportadas lateralmente (flexin pura). Los apoyos extremos son libres para flexin alrededor de los ejes x y y y para torsin, lo que significa que pueden girar libremente alrededor de x y de y, y que las secciones extremas pueden alabearse, pero no puede haber rotaciones alrededor del eje longitudinal z ni desplazamientos paralelos a los otros dos ejes.

3. 4. 5. 6. 7.

La viga empieza a deformarse en cuanto se aplican los pares en sus extremos; mientras son pequeos, se mantiene en el plano inicial, pero eventualmente se sale de l, desplazndose lateralmente y retorcindose; los desplazamientos verticales v (Fig. 5.1c) se inician con la flexin, pero los laterales u y las rotaciones son nulos hasta que los momentos alcanzan el valor crtico. El vector Mx, momento flexionante en una seccin cualquiera, que estaba alojado sobre el eje x de la misma, permanece paralelo a su direccin original, de manera que al cambiar la orientacin de los ejes principales de la seccin deja de coincidir con uno de ellos, y produce momentos alrededor de los tres nuevos ejes de referencia, , y .

26


Cuando el par que acta alrededor del eje de inercia mxima alcanza un valor crtico la viga se deforma lateralmente, y el equilibrio exige que haya tambin torsin y flexin alrededor del eje de menor inercia; el pandeo est asociado siempre con flexin lateral y torsin. El momento de torsin vara a lo largo del eje de la viga, puesto que la proyeccin de Mx sobre el eje , que lo ocasiona, no es constante; es mxima en los extremos y nula en la mitad del claro, donde el eje es paralelo al z, y el vector Mx es perpendicular a l. La viga se encuentra en un estado de torsin no uniforme; su resistencia a la torsin es la suma de los momentos resistentes correspondientes a la torsin de Saint Venant y a la oposicin al alabeo de sus secciones transversales. 5.4.1.1 Clculo del momento crtico

Interesa determinar la magnitud del momento Mx para la que se presenta una bifurcacin del equilibrio, es decir, el momento para el que son posibles configuraciones en equilibrio ligeramente deformadas lateralmente y retorcidas, adems de la plana. Las ecuaciones de partida, que se obtienen estudiando el equilibrio de la barra deformada, son (ref. 5.1)EI y d 2 u dz 2 + M = 0EC a d 3 dz 3 GJ d dz + M du dz = 0

(5.15) (5.16)

Derivando la ec. 5.16 una vez, respecto a z, y sustituyendo d 2 u dz 2 por su valor dado por 5.15, se obtiene la ec. 5.17, con el ngulo como nica incgnita:EC a d 4 dz4

GJ

d 2 dz2

M2 =0 EI y

(5.17)

Esta ecuacin diferencial tiene una solucin analtica porque el momento flexionante M es constante en toda la longitud, y las condiciones de frontera permiten evaluar las constantes de integracin:M cr = n L n 2 2 EC a EI y GJ 1 + GJL2

(5.18)

Lo mismo que en las columnas, slo tiene inters el menor de los valores del momento crtico, a menos que se obligue a la viga a pandearse en alguno de los modos superiores, a los que corresponde n = 2, 3, etc, por medio de restricciones exteriores que impidan los desplazamientos laterales y las rotaciones de una o ms secciones


27

transversales intermedias; en el caso en estudio, en el que la longitud sin soporte lateral es el claro de la viga, n = 1. Tambin como en las columnas, la solucin basada en desplazamientos pequeos proporciona la configuracin de la viga pandeada lateralmente, pero no la amplitud de los desplazamientos, que permanece indeterminada. Efectuando las operaciones indicadas dentro del radical, y haciendo n = 1, la ec. 5.18 toma la formaM cr = L EI y GJ + E 2 C a 2 L2 Iy

(5.19a)

Recordando que G = E/2(1+) E/2.6, y sacando E fuera del radical, se obtieneMcr = E L J 2 Iy + Ca 2.6 L

(5.19b)

Esta forma de la ecuacin es un poco ms fcil de usar que la 5.19a. La resistencia total del perfil al pandeo lateral por flexotorsin est compuesta por dos partes, representadas por los dos trminos del radical de la ec. 5.19a; la primera corresponde al acoplamiento entre las resistencias a la flexin lateral y a la torsin pura, o de Saint Venant, y la segunda, al acoplamiento entre las resistencias a la flexin lateral y a la torsin por alabeo. En vigas I laminadas, que son relativamente robustas, el primer trmino suele ser mayor que el segundo, pues J es grande; en cambio, en perfiles de gran peralte, hechos con tres placas soldadas, y en vigas de lmina delgada, se vuelve predominante el trmino correspondiente a la resistencia al alabeo, aunque su importancia relativa decrece cuando aumenta la separacin entre secciones soportadas lateralmente, que aparece, elevada al cuadrado, en el denominador. La ec. 5.19a puede escribirseM cr = L EI y GJ 1 + W 2

(5.20)

donde:W= L EC a GJ

(5.21)

El parmetro W mide la importancia de la resistencia a la torsin por alabeo respecto a la torsin pura.

28


Al obtener la ec. 5.19a se ha supuesto que la deflexin en el plano de carga no influye en la resistencia al pandeo lateral por flexotorsin, lo que se justifica cuando EIx es mucho mayor que EIy, y la deflexin en el plano es negligible comparada con la que se presenta fuera de l. Cuando las dos rigideces son del mismo orden, el efecto de la flexin en el plano vertical y-z puede ser importante, y debe tenerse en cuenta al calcular Mcr. La ecuacin siguiente representa una solucin aproximada que incluye el efecto de las deflexiones en el plano (ref.5.2):M cr = L EI y GJ Ir 1+ W 2

donde I r = 1 I y I x . Si Iy = Ix, Ir se anula, y Mcr se vuelve infinitamente grande. Si Iy > Ix, Ir se hace negativo y Mcr imaginario, de manera que cuando Iy es igual o mayor que Ix, no hay solucin. De aqu se concluye que el pandeo lateral por flexocompresin de las vigas slo es posible cuando la seccin tiene rigideces diferentes en los dos planos principales, y las cargas exteriores actan en el plano del eje de menor momento de inercia (es decir, producen flexin alrededor del eje de mayor inercia). Como una consecuencia, las vigas de seccin transversal circular, maciza o hueca, y las de seccin en cajn, cuadradas y de grueso uniforme, no fallan nunca por pandeo lateral por flexotorsin. 5.4.1.1.1 Vigas de seccin transversal rectangular, maciza o hueca La resistencia al alabeo de las secciones rectangulares, macizas o huecas (secciones en cajn), es mucho menor que la resistencia a la torsin pura; en ese caso, Ca 0, el segundo trmino del radical de la ec. 5.19a se desprecia, y Mcr valeM cr = EI y GJ L

(

)

(5.22)

Sustituyendo E y G por sus valores numricos, y haciendo I y = Ary2 , se llega aM cr = 3973000 AJ L ry

(5.23)

ry es el radio de giro de la seccin respecto al eje de menor inercia. Tomando A y J en cm2 y cm4, respectivamente, Mcr se obtiene en Kg cm. 5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas


29

Cuando las paredes de las vigas son muy delgadas, como en perfiles de lmina doblada en fro o en caliente, la constante J, que depende del grueso de las paredes elevado al cubo, es muy pequea, de manera que el primer trmino del radical de la ec. 5.19a puede despreciarse, sin prdida apreciable de resistencia; se obtiene, as,M cr = L E 2Ca 2 Iy L2

(5.24)

Haciendo Ca = I y d 2 / 4 , donde d es el peralte de la seccin, que es, en este caso, casi igual a la distancia entre los centroides de los patines, y sustituyendo Iy por Ary2 , se obtieneM cr = L r y EAd 10062000 Ad = 2 L ry 2 2

(

)

(5.25)

A y d se toman en cm2 y cm y el resultado se obtiene en Kg cm. 5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga Varias de las hiptesis que llevan a la ec. 5.19a, principalmente las dos ltimas, suelen ser demasiado severas cuando se aplican a casos reales, por lo que el valor de Mcr dado por esa ecuacin es, en general, un lmite inferior del momento crtico. Si las condiciones de apoyo corresponden, por ejemplo, a un empotramiento en torsin, o si el momento flexionante no es constante en toda la longitud, la ec. 5.19a proporciona resistencias que pueden ser significativamente menores que las reales. Cuando las acciones no son pares aplicados en los extremos de la viga, sino fuerzas concentradas o distribuidas normales a su eje, el nivel de aplicacin de las cargas, respecto al centro de gravedad de las secciones transversales, influye tambin en la resistencia. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, la ec. 5.19a es tan bsica para el estudio del pandeo lateral de vigas como la frmula de Euler lo es para el de la inestabilidad de columnas comprimidas axialmente. Si en la ec 5.19a se sustituye I y por Ary2 y se saca el radio de giro fuera del radical, ste queda multiplicado por L ry : como en todos los problemas de pandeo, el valor crtico de la carga es inversamente proporcional a la esbeltez del miembro, dada ahora por el cociente L ry . Si la distancia entre soportes laterales tiende a cero, el momento crtico tiende a infinito, lo que es fsicamente imposible; hay, por consiguiente, un lmite superior de Mcr. Cuando el momento es constante en toda la viga, la ecuacin diferencial que describe el equilibrio en una posicin ligeramente deformada es lineal, con coeficientes constantes. En la prctica, las vigas tienen diferentes condiciones de apoyo y cargas de diversos

(

)

30


tipos, de manera que el momento flexionante vara a lo largo de su eje, las ecuaciones diferenciales de equilibrio tienen coeficientes variables, y no se cuenta con soluciones cerradas; las cargas crticas se obtienen con procedimientos numricos aproximados. Si las condiciones de apoyo impiden la rotacin libre de las secciones extremas alrededor del eje y, la longitud L que aparece fuera del radical en la ecuacin 5.18 o 5.19 debe multiplicarse por un factor Ky para obtener la longitud efectiva de pandeo, y si el alabeo de las secciones extremas est restringido, ha de introducirse un segundo factor, Kz, que multiplica a la longitud L contenida dentro del radical, para obtener la longitud efectiva de alabeo; de esta manera la ecuacin 5.18, con n = 1.0, se transforma en la 5.26, en la que los factores Ky y Kz tienen en cuenta, respectivamente, las condiciones de apoyo correspondientes a giros alrededor del eje y y al alabeo de las secciones extremas.Mcr = KyL 2 EC a EI y GJ 1 + 2 GJ(K z L)

(5.26)

La ref. 5.3 contiene valores de Ky y Kz para diferentes condiciones de apoyo, tomados de resultados obtenidos en la ref. 5.4. Para simplificar la aplicacin de la ecuacin 5.26, los valores exactos de esos coeficientes pueden sustituirse por los siguientes, que dan resultados del lado de la seguridad (ref. 5.3): 1.00, cuando los dos extremos estn libremente apoyados, 0.70 cuando uno es libre y el otro fijo, y 0.5 cuando ambos son fijos1, semejantes a los que proporcionan la longitud efectiva de columnas con condiciones de apoyo anlogas; se obtienen as los momentos crticos para diversas combinaciones de las condiciones de apoyo: si, por ejemplo, uno de los extremos de la viga est soldado a tope, con soldaduras de penetracin en alma y patines, a una columna muy robusta, y el otro est conectado a otra columna por medio de un par de ngulos verticales de poca longitud adosados al alma, sin ninguna liga en los patines, puede considerarse que tanto la rotacin alrededor del eje y como el alabeo estn impedidos en el primer apoyo y que los dos pueden presentarse casi libremente en el segundo; en esas condiciones se obtienen resultados conservadores tomando Ky = Kz = 0.7. Cuando hay dudas respecto a las condiciones de apoyo, conviene suponer que los factores K valen 1.0. El efecto de solicitaciones distintas de la flexin pura se toma en cuenta multiplicando el segundo miembro de las ecs. 5.19 por un coeficiente C1 que depende de las condiciones de carga. La posicin de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales de la viga tambin influye en su resistencia al pandeo; las que estn arriba de l son ms desfavorables que las que actan debajo, ya que al iniciarse el pandeo las primeras1

Para determinar Ky se considera que un extremo es fijo cuando su giro alrededor del eje y est impedido, y libre cuando no hay restricciones para ese giro; en la obtencin de Kz los extremos fijos son aquellos en los que no puede haber alabeo, y los libres los que pueden alabearse sin restriccin.


31

tienden a retorcer el perfil, agravando las condiciones en que se encuentra, mientras que las segundas tienen un efecto estabilizador, y tratan de enderezarlo; las cargas aplicadas en el centroide no influyen en este aspecto del problema (Fig. 5.11).

Fig. 5.11 Posiciones de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales. En estructuras reales puede haber cargas en el patn superior (Fig. 5.12a) (es el caso ms comn, que se presenta cuando las fuerzas se transmiten por apoyo directo sobre el borde superior de la viga, pero los mismos elementos que transmiten las cargas suelen soportar lateralmente el patn, evitando el pandeo lateral), en el centroide (Fig. 5.12b) (por ejemplo, cuando una viga principal recibe vigas secundarias por medio de ngulos o placas adosados al alma), o en el patn inferior (Fig. 5.12c) (algunos tipos de apoyo de vigas secundarias en principales, gras mviles colgadas del patn inferior de la viga de soporte).

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.12 Casos en que las cargas estn aplicadas en el patn superior, en el centroide o en el patn inferior de las secciones transversales. Para tener en cuenta la posicin del punto de aplicacin de las cargas con respecto al centroide de la seccin, se introduce un nuevo factor, C2. Con los factores C1 y C2, y los coeficientes de longitud efectiva Ky y Kz, se obtiene una frmula general para el clculo del momento crtico de pandeo de vigas I con cualquier condicin de apoyo y de carga; como en la mayora de los casos prcticos las rotaciones alrededor del eje longitudinal estn impedidas en los dos extremos, condicin supuesta en la casi totalidad de los estudios tericos, puede obtenerse una expresin general conservadora para el clculo del momento crtico que incluye slo el factor de longitud efectiva Ky (ref. 5.5):

32


C 1 Mcr = KyL

2 EC a 1 + C 2 C2 EI y GJ 1 + 2 GJ K y L KyL

(

)

EC a GJ

(5.27)

Se toma el signo negativo que antecede al ltimo trmino cuando las cargas estn aplicadas en el patn superior, y el positivo cuando actan en el inferior; si obran en la viga slo momentos en los extremos, o cargas aplicadas en el eje centroidal, C2 = 0, y la ecuacin 5.27 se reduce a la 5.26 multiplicada por C1. Por comodidad en la obtencin de tablas y grficas que faciliten su uso, conviene escribir la ecuacin 5.27 en la forma (ref. 5.5):M cr = C4 L EI y GJ

(5.28)

en la que C4 es igual aC4 = C 2 a C1 2a2 2 (1 + C 2 ) 1+ KL K ( KL) 2

(5.29)

K es el factor de longitud efectiva para flexin alrededor de los ejes principales verticales y. El parmetro ECa/GJ, cociente de las rigideces al alabeo y a la torsin simple, desempea un papel muy importante en el pandeo lateral de vigas, y aparece en muchas de las frmulas relacionadas con l; su raz cuadrada se ha designado con la letra a:a= EC a GJ

(5.30)

La ref. 5.1 contiene curvas con las que se determinan los coeficientes C4 de vigas I con condiciones de carga y apoyo frecuentes en estructuras reales. Aqu se reproducen slo las de vigas en flexin con pares en los extremos de diferentes magnitudes y signos (Fig. 5.13); cubren las dos condiciones extremas de restriccin alrededor de los ejes y de los apoyos, giros libres o totalmente impedidos.


33

50 C4 46

5B 4B

3B

2B

1B

Nomenclatura

42 38 34 30 26 22 18 14 10 6 2

Cada curva est designada 5A por un nmero y una letra. El nmero indica la condicin de carga; se han considerado los cinco casos siguientes:

4A

M M M 3A M M 2A 1A

1 2 3 4 5

M M 2 M 2 M

La letra se refiere a las condiciones de apoyo de la viga relativas a giros alrededor del eje vertical y. A, los extremos pueden girar libremente. B, los extremos estn fijos.

0

02

04

06

08

10

a/L 12 14

Fig. 5.13 Valores del coeficiente C4 para vigas I flexionadas por pares aplicados en sus extremos. 5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas 5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos Si las nicas acciones son momentos aplicados en los extremos de la viga, de magnitudes diferentes (Fig. 5.14), el momento flexionante a lo largo del eje es funcin de

34


z, y la ecuacin diferencial de equilibrio tiene coeficientes variables, lo que obliga a emplear un procedimiento numrico complicado, que utiliza series de funciones especiales, para resolverla. Afortunadamente, se ha demostrado (refs. 5.6 y 5.7) que el efecto de la variacin del momento sobre la resistencia al pandeo lateral puede tenerse en cuenta, con buena aproximacin para fines de diseo, sustituyendo el momento variable real que ocasionara el pandeo por un momento uniforme equivalente ficticio, que produce el mismo resultado. El momento crtico de la viga de la Fig. 5.14 se obtiene multiplicando el del caso fundamental por un factor de momento equivalente, Cb, de manera queM cr = C b M 0 cr

(5.31)

Mocr es el momento crtico de pandeo de la viga en flexin pura (ec. 5.19 o 5.20), y Cb se calcula con la expresin C b = 1.75 + 1.05(M 1 M 2 ) + 0.3(M 1 M 2 ) 2.32

(5.32)

M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos en los extremos (pueden ser iguales); el cociente M1/M2 es positivo cuando la viga se flexiona en curvatura doble y negativo cuando lo hace en curvatura simple.M1 M2

M2 M1 Flexin en curvatura doble M1/M2 es positivo

M1 Flexin en curvatura simple M1/M2 es negativo

M2

Fig. 5.14 Viga sujeta a momentos aplicados en sus extremos. En la Fig. 5.15 se comparan los valores de M cr , dados por la ecuacin aproximada 5.31, con los valores tericos: los resultados de la ec. 5.31 estn muy cerca de los momentos crticos reales, y son ligeramente conservadores.


35

1.00

Mocr 0.75 Mcr 0.50 M1 0.25 M1 M 2 0 -1.00 -0.75 -0.50 Curvatura simple -0.25 0 M2

1 Cb

Banda de resultados tericos

0.25

0.50 Curvatura doble M1/M2

0.75

1.00

Fig. 5.15 Comparacin de la ec. 5.31 con resultados tericos. Puesto que M 1 M 2 est comprendido, en todos los casos, entre -1 y 1, Cb es siempre mayor que la unidad (excepto en el caso particular en que M1/M2 = -1.0, en el que Cb = 1.0), lo que confirma que la flexin pura, producida por momentos iguales y de sentidos contrarios, es la condicin de carga ms severa. 5.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio La ecuacin diferencial de equilibrio de una viga libremente apoyada, con una carga concentrada en el centro del claro, tiene un coeficiente variable; su solucin se obtiene con el mtodo de series infinitas (ref. 5.8). Los resultados se indican con lnea continua en la Fig. 5.16, en la que se muestran tres casos: carga aplicada en el patn superior, en el centro de torsin y en el patn inferior de la seccin transversal. Con fines de diseo se utiliza la ec. 5.31, en la que Mcr es el momento mximo en la viga en el instante en que se inicia el pandeo:M cr = Pcr L = C b M 0cr 4

(5.33)

donde cb =AB A A/B para carga en el patn inferior para carga en el centro de torsin para carga en el patn superior

36


Los valores de A y B (ref. 5.9) son: A = 1.35 B = 1 + 0.649 W - 0.180 W2 W se calcula con la ec. 5.21. Los valores aproximados de Pcr, obtenidos con la ec. 5.33 y los coeficientes Cb indicados arriba, coinciden prcticamente con la solucin exacta (Fig. 5.16).P L/2 50 P P crL 2 Ely GJ 40 30 20 P 10 0 Resultados tericos Resultados aproximados 0.5 1.0 1.5 W 2=2

L/2

P

2.0 ( EC a ) GJ

2.5

L

2

Fig. 5.16 Viga con una carga en el centro del claro; comparacin de resultados tericos y aproximados.


37

(a)Cargas M L M L M L P L/2 w L P L/4 P L/4 3L/4 L/2 P L/4 L/2 M Mcr PcrL 4 WcrL2 8 PcrL 4 3PcrL 16 2.30 Mcr 1.75 M Mcr 1.00 Diagramas de momentos flexionantes Mcr Cb

1.35

1.13

1.04

1.44

(b)L/4 L/4 L/4 L/4 Cb= C 12Mmx 2Mmx+3MA+4MB+3M

M MA M M mx B

C

Tabla 5.1 Valores de Cb para varias condiciones de carga (Las fuerzas concentradas estn aplicadas en el centro de torsin de la seccin transversal).

38


5.4.2.1.3. Otras condiciones de carga La Tabla 5.1a contiene soluciones aproximadas para varias condiciones de carga; las fuerzas estn aplicadas en el centro de torsin de la seccin transversal de la viga, o son pares que actan en sus extremos. Las cargas crticas se obtienen con la ec. 5.31, en la que Mocr se calcula con la ec.5.19 o 5.20, y Cb se lee en la cuarta columna de la tabla; la columna tercera contiene las expresiones de Mcr para cada caso. Cuando las cargas producen diagramas de momentos que no varan linealmente entre los extremos de la viga, Cb puede calcularse con la frmula emprica (ref. 5.2):Cb = 2M mx 12M mx + 3M A + 4 M B + 3M C

(5.34)

MA, MB y MC son los valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y el tercer cuarto del claro de la viga, y Mmx es el momento mximo en la viga, tambin en valor absoluto (Tabla 5.1b). En la Tabla 5.2 se proporciona informacin adicional para fuerzas que no estn aplicadas en el centro de torsin.Carga P L/2 L/2 PL 4 1.35 1-0.180W 2+0.649W Diagrama de momentos flexionantes M A B

w L wL2 8 1.12 1-0.154W 2+0.535W

P

P PL1 L1 2 1+ ( 2L +L ) 1 2 1-0.465W 2+1.636W

L 1

L

2

L

1

Tabla 5.2 Coeficientes A y B para vigas con cargas transversales. EJEMPLO 5.3 Una viga libremente apoyada, cuya seccin transversal se muestra en la Fig. E5.3.1, tiene 10 m de claro y ningn soporte lateral intermedio; sobre ella


39

acta una carga uniformemente repartida. Calcule el valor de la carga por unidad de longitud, wcr, que ocasionara la falla por pandeo lateral elstico, suponiendo que est aplicada en el patn superior, en el centroide de las secciones transversales, y en el patn inferior.b=30.5 cm t=2.54 cm 1.27 cm

d=157.48 cm

h=152.4 cm

t=2.54 cm 30.5 cm

Fig. E5.3.1 Seccin transversal de la viga del ejemplo 5.3. Las propiedades geomtricas de la seccin transversal son:A = 348.5 cm2, Ix = 1 304 580 cm4, Iy = 12 037 cm4, J = 437.3 cm4, Ca = 72.2 x 106 cm6.

La carga crtica por unidad de longitud se determina con una expresin semejante a la 5.33:Mcr = wcr L2 = Cb M ocr 8 wcr = 8C b M ocr L2

El momento crtico en el caso fundamental (ec. 5.19b) esM ocr = E L J 2 E 437.3 2 172.2 x 10 6 = + I y + Ca = 12037 2.6 L 1000 2.6 1000

E 2 024 531 + 8 577 391 = 20 857 363 Kgcm = 208.6 Tm. 1000

Cb tiene los valores siguientes (Tablas 5.1 y 5.2): Ec. 5.21,W= L EC a = GJ L 2.6 Ca 72.2 x 10 6 = 2.058 = 2.6 x 437.3 J 1000

40


A = 1.12, B = 1 + 0.535 x 2.058 - 0.154 x 2.0582 = 1.449

a) b) c)

Carga en el patn inferior. Carga en el centro de torsin. Carga en el patn superior.

Cb = AB = 1.12 x 1.449 = 1.623 Cb = A = 1.12 Cb = A/B = 1.12/1.449 = 0.773

Cargas crticas elsticas. a) b) c)wcri = 8 x 1.623 x 208.6/102 = 27.1 Ton/m wcrc = 8 x 1.12 x 208.6/102 = 18.7 Ton/m wcrs = 8 x 0.773 x 208.6/102 = 12.9 Ton/m

En el caso b, Cb puede calcularse tambin con la ecuacin aproximada 5.34, utilizando el diagrama de momentos de la Fig. E5.3.2:Cb = 12 M mx 12 x 12.5 = = 1.14 2 M mx + 3M A + 4M B + 3M C (2 + 4) 12.5 + (3 + 3) 9.375

Este valor es muy cercano al obtenido arriba, 1.12.

M

A

=M

C

=9.375w

M

B

=M

mx

=12.5w

A2.5m 2.5m

B2.5m 10m

C2.5m

Fig. E5.3.2 Diagrama de momentos de la viga del ejemplo 5.3. Como se ve observando las cantidades dentro del radical de la ec. 5.19b, la resistencia al pandeo lateral que proviene de la torsin por alabeo es mucho mayor que la que corresponde a la torsin de Saint Venant. EJEMPLO 5.4 Igual que el ejemplo 5.3, pero la viga es ahora de seccin W12 x 35 lb/ft (30.5 cm x 52 Kg/m), tomada de la ref. 5.22, de 6 m de claro, y tiene una carga concentrada aplicada en la seccin media. Se desea calcular los valores de esa carga que ocasionaran el pandeo lateral elstico de la viga. Propiedades geomtricasA = 66.5 cm2; Iy = 1020 cm4; J = 30.8 cm4; Ca = 236 x 103 cm6


41

EC a = 141.0 cm. GJ

Las propiedades geomtricas se han tomado de la ref. 5.22. La ec. 5.33 proporciona la carga crtica:Pcr L 4 Cb M ocr = M cr =Cb M ocr Pcr = 4 L

De la ec. 5.19aMocr = E 600 E 1020 x 30.8 1020 x 236 x 10 3 = + 12083 + 6599 = . 600 2.6 6002

= 1459 243 Kgcm = 14.6 TmW= 141.0 = 0.738. 600 = 1.381. A = 1.35, B = 1 + 0.649 x 0.738 - 0.180 x 0.7382

Los valores de A y B se han tomado de la Tabla 5.2. a) b) c) Carga en el patn inferior . Carga en el centro de torsin. Carga en el patn superior.Cb = AB = 1.864 Cb = A = 1.35 Cb = A/B = 0.978

Cargas crticas. a) b) c) Pcri = 4 x 1.864 x 14.6/6.0 = Pcrc = 4 x 1.35 x 14.6/6.0 = Pcrs = 4 x 0.978 x 14.6/6.0 =18.1 Ton 13.1 Ton 9.5 Ton

En el caso b, Cb puede calcularse con la ec. 5.34.Mmx = MB = PL/4 = 1.5 P ; Cb = MA = MC = 0.75P

. 12 x 1.5 = 1.333 = 1.35 1.5 (2 + 4) + 0.75 (3 + 3)

La resistencia debida a la torsin de Saint Venant es ahora mayor que la que proviene de la resistencia al alabeo.

42


5.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral Hasta ahora se ha supuesto que, desde el punto de vista del pandeo lateral, los soportes son apoyos simples en flexin lateral y en torsin, a los que corresponde el valor mnimo de Mcr. En uniones diseadas para transmitir slo fuerza cortante (dos ngulos soldados o atornillados al alma de la viga, de longitud bastante menor que el peralte de sta, por ejemplo), las condiciones anteriores se cumplen razonablemente; aunque hay algunas restricciones contra la rotacin alrededor de y y el alabeo, no pueden cuantificarse con exactitud, y es conservador considerarlas nulas. Si la conexin transmite flexin, adems de cortante, como en las uniones entre vigas y columnas de marcos rgidos, las condiciones de soporte se aproximan al empotramiento, tanto en flexin lateral como en torsin, y Mcr aumenta de manera importante. Se cuenta con varios mtodos para considerar las diversas condiciones de apoyo y soporte lateral. Uno de ellos, en el que se utilizan dos coeficientes de longitud efectiva, para flexin lateral y torsin (Ky y Kz, respectivamente), se ha tratado en el art. 5.4.2. En secciones en cajn, que tienen una resistencia a la torsin por alabeo despreciableM cr = KyL EI y GJ

(5.35)

Otro mtodo consiste en definir un coeficiente Cbs, semejante a Cb, que incluye, al mismo tiempo, las condiciones de apoyo y el tipo de carga que acta sobre la viga. De esta manera, la ec. 5.31 se convierte enM cr = C bs M 0cr

(5.36)

Si la viga est empotrada en los dos extremos, y tiene una carga concentrada en el centro o repartida uniformemente en toda la longitud, se tiene (ref. 5.9): Pcr L/ 8 para la carga concentrada Mcr = 2 wcr L / 12 para la carga uniformemente distribuida AB para carga en el patn inferior Cbs = A para carga en el centro de torsin A/B para carga en el patn superior Las expresiones para A y B estn en la Tabla 5.3, y Mocr se calcula con la ec. 5.19 o 5.20.


43

Los coeficientes Cb de la ec. 5.31 y Cbs de la 5.36 no son iguales, pues el primero slo toma en cuenta el efecto de la variacin del momento sobre la carga crtica de pandeo lateral, y el segundo incluye tambin las condiciones de apoyo en los extremos de la viga.Carga w 1.643+1.771W-0.405W 2 L P L/2 L/2 1.916+1.851W-0.424W 2 1+0.923W-0.466W 2 1+0.625W-0.339W 2 A B

Tabla 5.3 Expresiones para A y B para una viga empotrada en los extremos. Las referencias 5.7, 5.9 y 5.10 contienen informacin adicional para otras condiciones de apoyo y carga, incluyendo vigas en voladizo. 5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas En vigas continuas, formadas por varios tramos unidos entre s en los apoyos, es frecuente que se soporten lateralmente una o ms secciones intermedias de alguno de los tramos; lo mismo sucede en vigas de marcos rgidos, sobre todo durante la construccin de la estructura. Si una viga con soportes laterales intermedios trata de pandearse lateralmente, el tramo crtico interacta con los adyacentes, y su resistencia, y la de la viga completa, aumentan; la importancia de la interaccin depende de la geometra de la viga y de las cargas que obran sobre ella. La viga de la Fig. 5.17 est apoyada libremente; el eje deformado vertical, que se muestra en a), es una semionda. Sin embargo, desde el punto de vista del pandeo lateral es continua, a causa de los soportes laterales intermedios (Fig. 5.17b), que son proporcionados, con frecuencia, por las mismas vigas transversales que aplican las cargas; en otras ocasiones, se colocan elementos especiales para dar apoyo lateral a las secciones intermedias. En el tramo central el gradiente de flexin es nulo, y en los laterales el momento vara de un mximo en un extremo a cero en el otro; estos tramos tienen mayor resistencia al pandeo que el central, restringen la rotacin de sus extremos, y retrasan el fenmeno hasta que se igualan las resistencias de los tres.

44


* S o p o rtes la tera le sP P

*L /3

*L /3 L

*L /3

*

a ) E le va ci n y d e form a ci n e n e l pla n o ve rtica l

P u n to s d e in fle xi n b ) P la n ta y de form aci n la te ral

Fig. 5.17 Viga libremente apoyada con soportes laterales intermedios. La viga de la Fig. 5.18 es continua vertical y lateralmente; sin embargo, desde el punto de vista del pandeo lateral su comportamiento es anlogo al de la viga de la Fig. 5.17, aunque ahora es el tramo central el que restringe a los laterales.

*L s2 =L 2

*L s1 =L 1

*L s2 =L 2

*

a) Elevacin y deformacin en el plano vertical

b) Planta y deformacin lateral

* Soportes laterales

Puntos de inflexin

Fig. 5.18 Viga continua.

Los puntos de inflexin de la curva de deformacin lateral se sitan siempre en los tramos ms dbiles, y no coinciden con los de la deformada vertical, que aparecen en las secciones de momento nulo; por consiguiente, al estudiar la resistencia al pandeo lateral es errneo considerar que los puntos de inflexin de la curva vertical pueden considerarse soportados lateralmente, y las distancias entre secciones de momento nulo no son las longitudes efectivas de pandeo. La Fig. 5.19 muestra el efecto de la interaccin en los modos de pandeo elstico de una viga continua de tres claros. Si slo estn cargados los laterales (P2 = 0), ellos son los tramos crticos, en los que se inicia, eventualmente, el pandeo; sin embargo, el fenmeno est restringido por el tramo central, sin carga, y en la curva de pandeo


45

aparecen puntos de inflexin en los claros extremos (Fig. 5.19b); si, en cambio, el central es el nico claro cargado (P1 = 0), lo restringen los laterales, y la curva de pandeo es la de la Fig. 5.19c, con puntos de inflexin en l. Entre esos dos extremos existe una condicin de carga para la que no hay interaccin, cada claro se pandea como si estuviera aislado de los dems, y aparecen puntos de inflexin en los dos apoyos intermedios (Fig. 5.19d).P1 L1 P2 L2 P1 L1 Los apoyos estn soportados lateralm ente (a) Elevacin

Puntos de inflexin (b) M odo1, P 2 =0 Puntos de inflexin (c) M odo 2, P 1 =0 Puntos de inflexin (d) M odo 3, no hay interaccin

Fig. 5.19 Modos de pandeo de una viga continua de tres claros. Las curvas de las figuras b, c y d, caractersticas del pandeo lateral, corresponden a la configuracin deformada de la viga fuera del plano de flexin; la curva elstica de la viga, en su plano vertical original, no depende del contraventeo lateral sino, nicamente, de las cargas. Se cuenta con abundante informacin terica para evaluar la carga crtica de pandeo lateral de vigas continuas con soportes laterales entre los apoyos incluyendo, en la solucin del problema, la interaccin de los tramos que las componen, pero los resultados son demasiado complicados para aplicarlos en problemas rutinarios de diseo (refs. 5.20, 5.21, 5.25); por ello, se han propuesto mtodos simplificados. En el ms sencillo, aplicable a vigas formadas por varios segmentos con extremos apoyados o provistos de contraventeos que evitan que se alabeen y desplacen lateralmente, se ignora la continuidad lateral entre tramos adyacentes, y se considera cada uno de ellos como si, lateralmente, tuviese apoyos libres; el pandeo elstico de cada segmento se estudia considerando los momentos flexionantes que actan en l, obtenidos con un anlisis de la viga en el plano de carga, y con una longitud efectiva Le igual a la longitud L del segmento (cada tramo, entre apoyos verticales o soportes laterales, se trata como si estuviese aislado). El momento crtico elstico de cada

46


segmento se utiliza para evaluar el conjunto de cargas correspondiente, y el menor de ellos se considera el crtico. Se obtiene, as, un lmite inferior de las cargas que ocasionan el pandeo que, en muchos casos, es bastante cercano al real. (En problemas de diseo basta, en general, con conocer el momento crtico de la viga, que se toma igual al menor de los calculados para los tramos que la componen; no suele ser necesario determinar las cargas correspondientes). Los resultados anteriores se pueden mejorar considerablemente, sin complicaciones excesivas, incluyendo en el anlisis, de manera aproximada, la interaccin del segmento crtico con los adyacentes (refs. 5.20, 5.21, 5.25); se supone que las restricciones contra el desplazamiento lateral y el alabeo de las secciones extremas son idnticas, y que las que hay en el plano de flexin se tienen en cuenta por medio del diagrama de momentos flexionantes en ese plano. Los pasos para resolver un problema son (en vez de las cargas criticas pueden utilizarse los momentos crticos, lo que suele ser ventajoso): 1. 2. Se determina el diagrama de momentos flexionantes en el plano de carga (Fig. 5.20a). Se determinan Cb (ec.5.32 o 5.34) y Mcr (ec. 5.31) para cada uno de los segmentos no contraventeados, con una longitud efectiva igual a la distancia real entre puntos soportados lateralmente, y se identifica el tramo que tiene la carga crtica menor. Pm, PrI y PrD (Fig. 5.20b), son las cargas crticas de pandeo del segmento ms dbil y de los situados a uno y otro lado de l, determinadas suponiendo que sus extremos estn apoyados libremente. Se calculan las rigideces de los tres segmentos; para el segmento crtico:m = 2 EI y Lbcr

3.

Para los tramos adyacentes:r = n EI y Pm 1 L Pr

n vale 2 si el extremo opuesto del segmento adyacente es continuo, 3 si est articulado, y 4 si est empotrado. 4. Se determinan las relaciones entre rigideces G = m r en los dos extremos del segmento crtico, y se obtiene su factor de longitud efectiva, K, con el nomograma para columnas restringidas, sin desplazamientos lineales relativos entre sus extremos.2

2

El nomograma puede verse, por ejemplo, en las refs. 5.1, 5.12 5.26, y se incluir en un captulo posterior de este libro. Aparece tambin en la Fig. E5.5.2.


47

5.

Se calcula el momento crtico de pandeo lateral del segmento ms desfavorable con la ecuacin:M cr = Cb KL EI y GJ + E 2 C a 2 (KL) 2 Iy

que es la ec. 5.19a, en la que se han introducido el coeficiente Cb y la longitud efectiva KL. Puede utilizarse tambin la ec. 5.19b, con los factores Cb y K. Conocido Mcr puede determinarse, si se desea, la carga crtica elstica correspondiente.

Mn (a)Pr, r L Pm , m Lbcr

Mn+1

PrD , rD LD

(b)Fig. 5.20 Efectos de las restricciones en los extremos: (a) momentos flexionantes en el plano de carga, (b) contraventeo lateral y longitudes de pandeo. El problema puede resolverse trabajando slo con momentos, sin recurrir a calcular las cargas crticas, como se ilustra en el Ejemplo 5.5. El mtodo anterior est basado en una similitud entre el pandeo elstico de columnas continuas con extremos fijos linealmente y el pandeo lateral por flexotorsin de vigas formadas por varios tramos (ref. 5.21). EJEMPLO 5.53 La viga de la Fig. E5.5.1 es un tramo de una viga continua, o forma parte de una estructura reticular; los apoyos y los puntos de aplicacin de las cargas (1 a 5) estn soportados lateralmente. Se desea determinar su momento crtico elstico, a) considerando cada tramo, entre puntos fijos lateralmente, aislado de los dems; b) teniendo en cuenta la interaccin de los tramos. La viga es una W 24 x 55 lb/ft (61.0 cm x 82 Kg/m).3

Este ejemplo esta basado en uno de la ref. 5.25.

48


15.8T.=2P; 23.7T.=3P; 7.9T.=P 1 3.80m 2 3.80m 3 3.80m 4

90.0Tm=0.75PL 5

3.80m

a) Dimensiones y cargas

75.0= 90.0= 0.625PL 0.75PL

15.0= 0.125PL

b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

90.0= 0.75PL

Fig. E5.5.1 Viga del ejemplo 5.5. Propiedades geomtricas de la viga (ref. 5.22).Iy = 1210 cm4; J = 49.1 cm4; Ca = 1039 x 103 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionante vara linealmente en cada tramo. Tramo 1.2 M1/M2= 0, Cb = 1.75 Tramo 2.3M1/M2 = -(75.0/90.0) = -0.833 Cb = 1.084

Cb = 1.75 + 1.05 (-0.833) + 0.3 (-0.833)2 = 1.084 < 2.3.

Tramo 3.4. M1/M2 = -(15.0/90.0) = -0.167.Cb = 1.75 + 1.05 (-0.167) + 0.3 (-0.167)2 = 1.583 < 2.3. Cb = 1.583

Tramo 4.5

M1/M2 = 15.0/90.0 = 0.167 Cb = 1.934

Cb = 1.75 + 1.05 x 0.167 + 0.3 x 0.1672 = 1.934 < 2.3.

Momentos crticos elsticos, suponiendo tramos aislados. Se calculan con la ec. 5.19a o 5.19b, incluyendo en ellas el coeficiente Cb (ec. 5.31), y tomando la longitud de pandeo de cada tramo igual a su longitud real. Tramo 1.2


49

Mcr =

J 2 CbE Iy + Ca L 2.6 L 49.1 2 1.75E x 1039 x 10 3 x 10 -5 1210 + 380 2.6 380

=

= 97.30 Tm. Mcr/Mmx = 97.30/75.0 = 1.30.

Como L = 3.80 m en todos los tramos, la nica cantidad que vara en la ecuacin anterior es Cb.97.30 175 . 97.30 175 . 97.30 175 . 60.27 Mcr = = 0.67 Mmx 90.0 88.01 Mcr = = 0.98 Mmx 90.0 107.53 Mcr = = 1.19 Mmx 90.0

Tramo 2.3

Mcr =

x 1.084 = 60.27 Tm ;

Tramo 3.4

Mcr =

x 1.583 = 88.01 Tm ;

Tramo 4.5 a)

Mcr =

x 1.934 = 107.53 Tm ;

Considerando cada tramo por separado, el crtico es el 2.3; el momento crtico elstico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a (Mcr)2.3 = 60.27 Tm.

La viga no resistira las cargas que actan sobre ella, que producen momentos mayores que el crtico, pero eso no invalida el ejemplo. Las acciones que ocasionaran el pandeo elstico de la viga (determinadas sin considerar la interaccin de los diversos tramos) y el diagrama de momentos correspondiente, se obtienen multiplicando por 0.67 las cargas y momentos de la Fig. E5.5.1. Rigideces aproximadas (del tramo crtico y los dos adyacentes). Tramo 1.2. 12 =3EI y (M cr /M mx )mn 1 L (M cr /M mx )12 3 x 1210 E 0.67 1 = 9.44 x 106 Kgcm. = 1.30 380

Tramo 2.3. 23 = 2EIy/L = 2 x 1210E/380 = 12.99 x 106 Kgcm. Tramo 3.4. 34 =2EI y (M cr /M mx )mn 2 x 1210E 0.67 1 = 4.11 x 106 Kgcm. 1 = 380 0.98 L (M cr /M mx )34

50


Coeficientes G.

G2 = 12.99/9.44 = 1.38;

G3 = 12.99/4.11 = 3.16.

Factor de longitud efectiva. De la Fig. E5.5.2, K23 = 0.85. b) Momento crtico elstico corregido (Tramo 2-3). 49.1 2 1.084E x 1039 x 10 3 x 10 -5 = 80.95 Tm 1210 + 0.85 x380 2.6 0.85 x 380

(Mcr) 2.3 =

Al considerar la continuidad del tramo crtico con los que estn a sus lados, el momento crtico elstico de la viga sube de 60.37 Tm, que corresponde al tramo 2-3 aislado, a 80.95 Tm, lo que representa un incremento de 34%. (80.95/60.37 = 1.34). El incremento en resistencia del prrafo anterior se refiere a pandeo elstico; sin embargo, como se ve ms adelante, la mayora de las vigas de estructuras reales se pandean en el intervalo inelstico, lo que obliga a corregir los resultados obtenidos hasta ahora; la diferencia entre los momentos crticos reales, corregidos por inelasticidad, suele ser mucho menor que la que hay entre los elsticos. El pandeo lateral puede ser ms crtico durante la construccin que en la estructura terminada; esto sucede, por ejemplo, en las vigas compuestas, antes de colar la losa de concreto. El problema puede resolverse tambin en funcin de las cargas crticas de cada tramo, en vez de los momentos crticos; para ello, se expresan las cargas y los momentos en funcin de la menor de ellas, P, y del claro L = 15.20 m de la viga (Fig. E5.5.1). Se obtiene, as: Tramo 1-2. Mcr = 97.30 Tm = 0.625 PcrL Pcr = 10.24 Ton. Tramo 2-3. Mcr = 60.27 Tm = 0.75 PcrL Pcr= 5.29 Ton. Tramo 3-4. Mcr = 88.01 Tm = 0.75 PcrL Pcr = 7.72 Ton. Tramo 4-5. Mcr = 107.53 Tm = 0.75 PcrL Pcr = 9.43 Ton. El tramo crtico es el 2-3.


51

oo 5 0.0 1 0.0 5 .0 4 .0 3 .0 2 .0

Gs

K 1 .0

Gi

oo 5 0.0 1 0.0 5 .0 3 .0 2 .0

0 .9

0 .8 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0 .5 0 .6 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0

0 .7

Fig. E5.5.2 Nomograma para determinar el factor de longitud de columnas en marcos con desplazamientos laterales impedidos.

Rigideces aproximadas. 12 = 3EI y (Pcr )2-3 3 x 1210 E 5.29 1 = 9.42 x 106 Kgcm. 1 = 10.24 L (Pcr )1-2 380

23 = 2EIy/L = 12.99 x 106 Kgcm. 34 = 2EI y (Pcr )23 2 x 1210E 5.29 1 = 4.09 x 106 Kgcm. 1 = L (Pcr )34 380 7.72

Los resultados son prcticamente iguales a los de arriba, de manera que se obtiene el mismo momento crtico corregido.(Mcr)2-3 = 80.95 Tm = 0.75 PcrL Pcr = 7.10 Ton. 7.10/5.29 = 1.34, igual que arriba.

52


Las cargas que ocasionaran el pandeo elstico de la viga se obtienen sustituyendo P por Pcr = 7.10 Ton en la Fig. E5.5.1a. EJEMPLO 5.6 Igual que el ejemplo 5.5. La viga es una W12 x 50 lb/ft (31 cm x 74 Kg/m), con las dimensiones y cargas que se indican en la Fig. E5.6.1.2.3T. 1 2m 2 3m 3.5T. 3 4m 5.8Tm 4

R=2.7Ton a) Dimensiones y cargas

5.4

(+) 6.6

(-) 5.8 b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

Fig. E5.6.1 Viga del ejemplo 5.6.

Propiedades geomtricas de la W12 x 50 (ref. 5.22)Iy = 923 cm4; J = 74.1 cm4; Ca = 504 847 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionante vara linealmente en cada uno de los tramos. Tramo 1-2. M1/M2 = 0, Cb = 1.75 Tramo 2-3. M1/M2 = -(5.4/6.6) = -0.818 (curvatura simple).Cb = 1.75 + 1.05 (-0.818) + 0.3 (-0.818)2 = 1.09 < 2.3 Cb = 1.09

Tramo 3-4. M1/M2 = +5.8/6.6 = 0.879 (curvatura doble)Cb = 1.75 + 1.05 x 0.879 + 0.3 x 0.8792 = 2.90 > 2.3 Cb = 2.3


53

Momentos crticos elsticos, suponiendo tramos aislados.EC a 504 847 = 2.6 X = 133.1 cm. GJ 74.1

Esta cantidad es constante para todos

los tramos. Tramo 1-2. Ec. 5.20, con el coeficiente Cb.= 1.75 200 E2 x 923 x 74.1 2.6 1+ x 133.1 200 2

Mcr =

Cb L

EI y GJ

1+W 2 =

x 10-5 =

0.027 x 330.70 x 106 x 2.32 x 10-5 =

210.7 Tm. Mcr/Mmx = 210.7/5.4 = 39.02. 133.1 2 1.09 (330.7 x 10 6 ) 1 + Tramo 2-3. Mcr = 300 300 Mcr/Mmx = 64.8/6.6 = 9.82.0.5

x10-5 = 64.8 Tm ;

Tramo 3-4. Mcr ==16.52

133.1 2 2.90 (330.7 x 10 6 ) 1 + 400 400

0.5

x 10-5 = 109.0 Tm ; Mcr/Mmx = 109.0/6.6

a) Considerando cada tramo por separado, el tramo crtico es el 2-3, y el momento crtico elstico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a 64.8 Tm. Rigideces aproximadas. Tramo 1-2. 12 = Tramo 2-33EI y (M cr /M mx )mn 3 x 923 E 9.82 1 = 21.13 x 10 6 1 = L (M cr /M mx )12 200 39.02

23 = 2EIy/L = 2 x 923 E/300 = 12.55 x 106 3EI y (M cr /M mx )mn 1 L (M cr /M mx )34 3 x 923 E 9.82 1 = 5.72 x 10 6 = 400 16.52

Tramo 3-4. 34 = Coeficientes G.

G2 = 12.55 x 106/21.13 x 106 = 0.59 G3 = 12.55 x 106/5.72 x 106 = 2.19

Factor de longitud efectiva. Del nomograma de la Fig. E5.5.2,

K23 = 0.78

54


b)

Momento crtico elstico corregido del tramo crtico (2-3).1.09 0.78 x300 133.1 E2 x 923 x 74.1 1 + 0.78x300 2.62

(Mcr)23 =

x 10-5 = 99.1 Tm.

Teniendo en cuenta la continuidad de los tramos, el momento crtico de la viga es de 99.1 Tm, 53% mayor que el que se obtiene considerando los tramos aislados (99.1/64.8 = 1.53).


55

5.5

PANDEO LATERAL INELSTICO

5.5.1 Aspectos generales De la misma manera que la teora de Euler sobrestima la resistencia de las columnas que se pandean fuera del intervalo elstico, las ecuaciones que se han visto hasta ahora para calcular Mcr proporcionan valores que pueden ser mucho mayores que la resistencia ltima de las vigas, si el pandeo se inicia cuando parte de sus secciones transversales est plastificada. Se presenta, en este caso, un fenmeno de pandeo inelstico, caracterstico de vigas de longitud libre (separacin entre secciones soportadas lateralmente) intermedia (art. 5.2.1 y Fig. 5.3). A causa de los esfuerzos residuales, la plastificacin comienza antes de que se alcance el momento plstico, Mp = Zx Fy, en las secciones tipo 1 o 2, o el momento elstico lmite, My = Sx Fy, en las tipo 3. La plastificacin parcial de las secciones transversales ocasiona una disminucin de las diversas rigideces (EIx, EIy, GJ y ECa), pues las zonas plastificadas se deforman libremente bajo carga creciente, y la seccin efectiva, desde el punto de vista de la resistencia al pandeo lateral, disminuye (se reduce a la parte que se conserva en el intervalo elstico). La complejidad del problema del pandeo lateral inelstico se debe a varias razones: 1. La distribucin de esfuerzos residuales en las secciones transversales depende de su geometra y del proceso de fabricacin del perfil, y puede variar de manera apreciable an entre vigas tericamente iguales. Cuando comienza la plastificacin, las secciones bisimtricas pierden la simetra respecto al eje de flexin, porque al superponerse los esfuerzos producidos por la flexin con los residuales el flujo plstico se inicia en los extremos del patn comprimido y en la zona central del que est en tensin y, cuando crece el momento, se extiende hacia el interior del primero y hacia los extremos del segundo penetrando, adems, en la parte del alma que est en contacto con ste (Fig. 5.21). Si el momento flexionante vara a lo largo del eje de la viga, la amplitud de las zonas plastificadas y la geometra del ncleo elstico, del que proviene la resistencia al pandeo lateral, cambian de unas secciones a otras; el problema se convierte en la determinacin del momento crtico de una viga con un solo eje de simetra y de momento de inercia variable. Los defectos geomtricos inevitables, sobre todo que el eje de la viga no sea rigurosamente recto, como se supone en la teora, influyen mucho ms en la resistencia al pandeo inelstico que en el elstico.

2.

3.

4.

El anlisis terico es tan complicado que no se cuenta con soluciones analticas del problema general en el intervalo inelstico.

56


rt

rc

=0.3y rc rt=bt bt+c(d-2t) rc b t d 2 x d 2 yx x

Zonas plastificadas en compresin Centroide de la seccin Centro de cortante del ncleo elstico

c

tZona plastificada en tensin

Fig. 5.21 Esfuerzos residuales simplificados y zonas plastificadas. Suponiendo una distribucin de esfuerzos residuales y procediendo por etapas sucesivas, con mtodos numricos o elementos finitos, se puede seguir el comportamiento de una viga hasta que falla por pandeo inelstico; aunque los resultados que proporcionan estos mtodos analticos son de aplicacin prctica muy limitada, combinndolos con resultados experimentales permiten definir curvas sencillas de transicin entre el pandeo elstico y la plastificacin total de las secciones tipo 1 o 2, o la parcial de las tipo 3. En la Fig. 5.22 se muestra la curva adimensional Mcr M y L ry tpica de las secciones I laminadas en caliente, relevadas de esfuerzos residuales, en flexin pura, producida por momentos iguales y de sentidos contrarios aplicados en los extremos (curva a); en el intervalo inelstico Mcr M y > 1 , la variacin del momento resistente en funcin de la

(

)

esbeltez es casi lineal. Tambin se muestra en la figura una curva tpica de las secciones I laminadas en caliente, con esfuerzos residuales, con la misma condicin de carga (curva b). Los esfuerzos residuales reducen de manera apreciable la resistencia del perfil al pandeo lateral por flexotorsin, en el intervalo inelstico, y hacen que el momento para el que se inicia el flujo plstico est muy por debajo de My.


57

1.4 1.2 Mocr My 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Vigas laminadas en caliente, con esfuerzos residuales Mocr L Mocr Endurecimiento por deformacin (a) (b) Vigas sin esfuerzos residuales Pandeo elstico Momento plstico

50

100

150

200 L/ry

250

300

Fig. 5.22 Resistencia de vigas en funcin de su esbeltez (momentos iguales y de sentidos contrarios en los extremos). La ref. 5.11 contiene resultados numricos obtenidos para vigas I, laminadas en caliente, con diversas condiciones de carga; algunos de ellos se muestran en la Fig. 5.23, en la que se han trazado curvas adimensionales M 2 M p M y Mcr , donde M y Mcr es una esbeltez modificada. La condicin de carga ms severa es la que producen dos pares iguales y de sentidos contrarios, que flexionan la viga en curvatura simple, y la menos severa la correspondiente a pares iguales, que la flexionan en curvatura doble. En el primer caso hay flujo plstico en toda la longitud de la viga, y en el segundo se limita, en general, a porciones pequeas, en los apoyos o cerca de ellos.

Fig. 5.23 Resistencia de vigas con momentos desiguales en los extremos. Cuando las vigas son muy robustas, fallan por formacin de un mecanismo de colapso con articulaciones plsticas, sin que haya inestabilidad lateral; en la Fig. 5.22 se indica, con lnea interrumpida, el momento plstico resistente de una seccin I laminada tpica,

58


que es del orden de 1.12 veces My. Aunque una viga completamente plastificada resiste, en realidad, un momento mayor que Mp, por el endurecimiento por deformacin del material, este efecto suele ignorarse en el diseo. 5.5.2 Criterios para determinar la resistencia Se han propuesto varios mtodos para calcular aproximadamente, con fines de diseo, el momento crtico de pandeo de vigas que fallan en el intervalo inelstico. Entre ellos estn los siguientes: 1. Se supone que la relacin entre las resistencias al pandeo elstico e inelstico es la misma para vigas que para columnas, de manera que el momento crtico de las vigas que fallan por pandeo lateral en el intervalo inelstico se determina calculando su momento crtico elstico ideal, correspondiente a una respuesta elstica ilimitada, y corrigindolo con una curva esfuerzo crtico - relacin de esbeltez obtenida para columnas. Este procedimiento es la base de las frmulas de diseo de las refs. 5. 12 y 5.13. La ecuacin de partida es la 2.28 del Captulo 2, y cr = y 1 4 cre

(2.28)

que proporciona el esfuerzo crtico de pandeo inelstico de una columna, cr, en funcin del esfuerzo crtico elstico ideal correspondiente, cre. En la deduccin de la ec. 2.28 se supone que los esfuerzos residuales mximos de compresin son iguales a y / 2 , de manera que el pandeo lateral se inicia en el intervalo inelstico siempre que las acciones exteriores ocasionan esfuerzos mayores que el cincuenta por ciento del de fluencia. En trminos de momentos, la ec. 2.28 toma la forma

(M cr ) corr = M y 1

My 4 M cre

(5.37)

Mcre es el momento crtico elstico hipottico, correspondiente a las condiciones de apoyo y carga de la viga real, My = Sy es el momento para el que se iniciara el flujo plstico de la seccin, si no hubiera esfuerzos residuales, y (Mcr)corr es el momento crtico real, corregido por inelasticidad. De acuerdo con las hiptesis aceptadas, el pandeo se inicia en el intervalo inelstico, y el momento crtico se calcula con la ec. 5.37, siempre que Mcre es mayor que My/2.


59

La ec. 5.37 no tiene en cuenta que en vigas muy cortas puede alcanzarse el momento de plastificacin de la seccin, Mp, sin pandeo lateral prematuro, pues el valor mximo de (Mcr)corr dado por ella, para un momento crtico elstico infinitamente grande, que corresponde a L = 0, es My. Sus resultados mejoran sustituyendo My por Mp, para que el momento crtico corregido tienda a Mp cuando L tiende a cero. 2. El pandeo lateral por flexotorsin en el intervalo inelstico se representa con una lnea recta que une los puntos correspondientes a la longitud mxima para la que se alcanza el momento Mp, sin capacidad de rotacin, y la longitud mnima para la que el fenmeno se inicia en el intervalo elstico. La primera longitud se determina experimentalmente, y la segunda depende del valor supuesto para los esfuerzos residuales mximos de compresin. Este es el criterio que se utiliza en la ref. 5.14. 3. En la ref. 5.15 se define la zona de transicin empleando el mdulo de elasticidad tangente, Et, para tener en cuenta la prdida de rigidez ocasionada por la plastificacin parcial de la viga. De acuerdo con ese criterio, el momento que produce el pandeo esM cri = M cre E t E

Pandeo Lateral

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