TRINGULOS OBLICUNGULOS

Ejemplo

Nos encontramos frente a una montaa. Cmo podramos determinar la altura h ? Si no podemos ir y medirla.

La solucin se basa en utilizar los teoremas conocidos como ley de senos y ley de cosenos de un tringulo oblicungulo.

Ley de senos Si , y son las amplitudes de los ngulos interiores de un tringulo cualquiera, donde a, b y c son respectivamente, las longitudes de los lados opuestos a estos ngulos, entonces;

cba

sinsinsin

Ley de cosenos Si , y son las amplitudes de los ngulos interiores de un tringulo cualquiera, donde a, b y c son respectivamente, las longitudes de los lados opuestos a estos ngulos, entonces;

)(cos2222 bccba

)(cos2222 accab

)(cos2222 abbac

Resolvamos el ejemplo de la montaa

Considera los siguientes datos:

si = 17, = 44 y d= 1000m

Cul es el valor de la altura de esta montaa?

h

d

Qu observas?

Encontrando la longitud del lado b en el tringulo ABC, podemos calcular la altura h del tringulo ADC

h

d D B

A

C

b

1

Primero es necesario encontrar los valores de los ngulos y en el tringulo ABC.

Sabemos que y son suplementarios, entonces

h

d D B

A

C

b

1

Ahora, hay que calcular

Para calcular el valor de b del tringulo ABC aplicamos la frmula de la ley de los senos en la que intervienen b, d, y

db

sinsin 1

Sustituimos d = 1000m, = 136 y = 27:

Despejando b, obtenemos

1000

)27sin()136sin(

b

1000

)27sin(

)136sin(

b

mb 1530

Finalmente, en el tringulo ADC, por definicin

b

hsin

Despejando h y sustituyendo los valores de b y , tenemos

Por lo tanto, la altura de la montaa es de aproximadamente 447 metros.

sinbh

)17sin(1530

447

Ejemplos: Resuelve el tringulo ABC cuyos lados son a=2cm, b=3.2cm y c=4.8cm.

Solucin

Utilizaremos la ley de los cosenos para calcular cada uno de los ngulos interiores, calcularemos el ngulo

=10.24 + 23.04 4

30.72= 0.9531

= +

2

=3.2 2 + 4.8 2 (2)

2(3.2)(4.8)

C

A B

a=2cm b=3.2cm

c=4.8cm

As, siendo cos = 0.9531, entonces = (. ) = 16.6

De la misma manera calculamos el ngulo

= +

2

=2 2 + 4.8 2 (3.2)

2(2)(4.8)

=4 + 23.04 10.24

19.2= 0.875

Por lo tanto, como cos = 0.875, entonces = (. ) = 30

Para el ngulo se tiene que

= +

2

=2 2 + 3.2 2 (4.8)

2(2)(3.2)

=4 + 10.24 23.04

12.8= 0.6875

Por lo que = (. ) = 133.4

verifiquemos los resultados de nuestros clculos, puesto que la suma de los ngulos interiores debe de ser 180

+ + = 16.6 + 30 + 133.4 = 180

Resuelve el tringulo ABC si a=4.5cm, b=3.5cm y = 68

C

A B

a b

c

Solucin

Utilizaremos la ley de los senos para calcular el ngulo

=

=

(3.5)(68)

4.5

=(3.5)(0.9272)

4.5= 0.7211

= 1 0.7211 = 46.1

Dado que la suma de ngulos es igual a 180, pues solo sustituimos para encontrar el ngulo restante.

= 180 68 + 46.1 = 65.9

Por ltimo, determinamos la longitud del lado c:

=

=(4.5)( 65.9)

68

= (4.5)(0.9128)

.09272

= 4.4

Los datos de un tringulo son b = 6cm, c = 5cm y = 50, calcula la longitud del lado faltante

C

A B

a b

c

Solucin

Utilizaremos la ley de los cosenos para poder determinar la longitud del lado a

)(cos2222 bccba

= + 2

= 6 2 + 5 2 2 6 5 50

= 36 + 25 60 0.6428

= 61 38.57

= 4.736

Problemas propuestos: 1. Tres pueblos A, B y C estn unidos por carreteras. La distancia de A a C

es 6 km y la de B a C 9 km. El ngulo que forman estas carreteras es 120. Cunto distan A y B?.

2. Un dirigible que est volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ngulo de depresin de 12. A qu distancia del pueblo se halla?

3. Un brazo mecnico se compone de dos secciones con longitud de 1.8 y 2.5m respectivamente; si el ngulo mximo al que pueden abrirse las componentes del brazo es de 158, calcula el alcance del brazo

4. En cada uno de los incisos resuelve el tringulo correspondiente con los elementos dados:

a) a=13.5cm = 125.9 y = 15.7 b) b=3cm, c=4cm y = 80 c) a=6cm, c=4cm y = 86.4