DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS

TEOREMAS DEL COSENO

Y DEL SENO

LEY DEL SENOLa Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.

1.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: A, M y C obteniendo:

sean α= y/b

y = b·sen α

2.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: M, B y C obteniendo:

sen β= y/a

y = a·sen β

A

b a

C

α β

φ

y

x c-xM

c

B

3.- Igualando las 2 ecuaciones se tiene:

b·sen α = a·sen β b = asen β senα

Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:

b = a = c sen β senα sen φ

LEY DEL COSENO

Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el valor de los lados a, b y c.

C

a c

B

α β

φ

y

x b-x

M

b

A

1.- Escoger el triángulo rectángulo formado por los puntos: B, M y A. Usamos el teorema de Pitágoras:

c² = y² + (b-x)²

c² = y² + b² - 2bx + x²

c² = y² + x² + b² - 2bx … (1)

2.- Escoger el triángulo formado por los puntos: B, M y C. Usamos el teorema de Pitágoras:

a² = y² + x² … (2)

cos α= x/a, entonces x = a cosα … (3)

3.- Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene :

c² = a² + b² - 2bx

c² = a² + b² - 2a·b·cosα

La Ley del Coseno sirve para analizar y resolver triángulos que NO necesariamente son triángulos rectángulos.

Es decir que la Ley del Coseno permite encontrar el valor de uno de los lados de un triángulo conociendo de antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los valores de los otros dos lados.

Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:

c² = a² + b² - 2a·b·cos α

a² = b² + c² - 2b·c·cos β

b² = a² + c² - 2a·c·cos φ

LEY DEL COSENO

a = b

Sen A Sen B

LEY DE TANGENTESEn todo triángulo la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es proporcional a la tangente de la semidiferencia de los mismo ángulos.

c

a

b

A

B

C

a = b.CosC + c.CosB

b = a.CosC + c.CosA

c = a.CosB + b.CosA

LEY DE las proyecciones

A

B

C

ca

b

En todo triángulo cada lado es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre él.

EJERCICIOS

De la figura, calcular : «X»

LEY DEL COSENO

A

B

C

5x - 1 3x+5

30° 37°

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/TRIGONOMETRIA-PLANA/Ley-de-senos-ejemplo-3-dos-lados-y-un-angulo

http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/images/flash/teoremasencos.swf

http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/resolucion_triangulos_rectangulos_obtusangulos.swf

http://www.tareasya.com.mx/micrositios/bachillerato_matematicas/links_matematicas2.pdf

http://tutormatematicas.com/GEO/Trigonometria_ley_de_senos_y_cosenos.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html

BIBLIOGRAFÍA