Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos...

Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco

1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µA mede 45° e o ângulo µC mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é

a) 8 6

3

b) 4 6

c) 8 2 3+

d) 8( 2 3)+

e) 2 6

3

2. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o

vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0.

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d) 25,0 2 . e) 35,0. 3. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.

Dado: sen 20º 0,342=

Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. 4. Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm

b) 3 cm

c) 3 3 cm

d) 7 cm

e) 15 3 cm

5. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma

parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem

parada intermediária.

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Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, = = BÂP = 20º e ˆCBN 50= ° , é correto afirmar que

a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m 6. No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB

, N é o ponto médio de BC e 14MN 4= .Então, DM é igual a

a) 2

4

b) 2

2

c) 2

d) 3 2

2

e) 5 2

2

7. Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio RSe esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a

a) ( )2 2+

b) ( )2 2 2+

c) ( )2 2 2−

d) 2 2−

8. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).

01) A equação sen 2x+cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [ ]0,3π .

02) Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes instruções para se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60° para norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A menor distância entre o local onde está enterrada a panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de aproximadamente 6 km.

04) O valor numérico de y na expressão tg240º cos330º

y é 3.sen870º sec11π+=

−

08) Se 3

sec x 5 e x ,2

ππ = − ∈ então tgx+cotgx é igual a

3

2.

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16) A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de IR em IR, de período 2.

9. As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2,2 e1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto,

a) 1 1 1

, , .8 8 2

b) 1 1 1

, , .4 4 8

c) 1 1 7

, , .4 4 8

d) 1 1 1

, , .2 2 4

e) 1 1 7

, , .2 2 8

10. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.

A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 11. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.

a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) =

0,99 . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a

altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.

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b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.

12. Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e = 900 .

Qual a medida do segmento AD? a) 3

b) 4 3

c) 100 3+

d) 25 12 3+

e) 2 3

13. Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.

O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.

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Considere que:• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC.

Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x)

c) 2y sen(x) 16 cos (x)= + −

d) 2y cos(x) 16 sen (x)= + −

14. Sejam α , β e γ , as medidas dos ângulos internos de um triângulo.

Se senα /senβ = 3/5, senα /sen γ = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é:

a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. 15. Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo Â mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:

a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125 16. Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como mostra a figura a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um mesmo ângulo è com a horizontal.

Sabendo que o angulo A B̂ C também mede è e desconsiderando a altura dos observadores, a altura H do prédio e dada pela expressão:

a) H =d

2

sen 2

θ

cos è

b) H = d cos è sen è

c) H =d

2

tg è sen è

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d) H =d

2

tg è sec è

e) H = d sen2

θ

sec è

17. Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor lado deste triângulo é

a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m 18. Considere as seguintes informações:

- De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado na margem oposta;

- Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;

- Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) foram obtidas as

seguintes medidas: BÂC=30° e A $B C= 80°.

Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será de aproximadamente

Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340

a) 524 metros b) 532 metros c) 1048 metros d) 500 metros e) 477 metros

Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340 19. Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte.

Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede

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60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros,

a) (5 3)

3

b) (8 3)

3

c) (10 3)

3

d) 5 3

e) 10 3

20. Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(BÂD) =120°, med(ABC) =

med(ADC) = 90°, AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é

a) 60. b) 62. c) 64. d) 65. e) 72.

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Gabarito:

Resposta da questão 1: [B]

α= o o o o180 75 45 60− − =

Aplicando o teorema dos senos, temos:

o o

AC 8

sen60 sen45

2 3AC. 8.

2 2

AC 4 6

=

=

=


No triângulo ABC $ oABC 45= , aplicando o teorema dos senos, temos:

o o

50 BCBC. 2 50 BC 25 2

sen45 sen30= ⇔ = ⇔ =

No triângulo BDC, temos:

o h 1 hsen30 h 12,5 2

225 2 25 2= ⇔ = ⇔ =


Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:

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o

o

x 160

0,342sen150

0,342.x 160.sen150

0,342x 80

x 233,9

=

==

=

Aproximadamente 234m.

Resposta da questão 4: [D]

Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

d2 = 52 + ( 3 3 )2 – 2.5. 3 3 .cos30o

d2 = 25 + 27 -303

3.2

d2 = 52 – 45

d = 7

Resposta da questão 5: [A]

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

( ) 22 2

2

3AC 300 3 200 2.300 3.200.

2

AC 270000 40000 180000

AC 490000

AC 700m

= + − − = + +

==

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Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:2 2 2

14 1 1 1 12. . .cos

4 2 2 2 2

= + − β

Resolvendo, temos

3cos

4β = − e que cos o3

( 180 )4

α = α + β =

Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:

( )

( )

222

222

1 1(AD) 1 2. .1.cos

2 2

1 1 3(AD) 1 2. .1.

2 2 4

= + − α

= + − −

AD = 1 3

14 4

+ −

AD = 2

2

Resposta da questão 7: [C]

A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios.Observe a figura.

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Na figura, temos:

No ΔOMB temos: 2 2x R r= −

Aplicando agora o teorema dos cossenos no ΔOAB:

( ) 2 2 2 o

2 2 2 2

2 2

2

2

2

2

2x R R 2.R.R.cos 45

4(R r ) 2.R R . 2

R (2 2) 4.r

R 4

2 2r

R2.(2 2)

r

= + −

− = −

+ =

=+

= −

Resposta da questão 8: 02 + 04 = 06.

01) Falso: sen2x + cos x = 02senx.cosx + cosx = 0cosx.(2senx + 1) = 0 logo cosx = 0 ou senx = -1/2

Temos, então, 5 soluções: 3 5 7 11

, , , e 2 2 2 6 6

π π π π π.

02) Verdadeira

2 2 2 ox 4 3 2.4.3.cos120= + −2

2

2

1x 16 9 2.12.( )

2

x 25 12

x 37

x 37

x 6,08km

= + + −

= +

=

=;

04) Verdadeira

o

3 3 3 3 33tg240º cos330º 2 2 2y = 3

1 3sen870º sec11 sen150 sec 12 2

π π++= = = =− − +

08) Falsa

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2 2

2 2

2

sec x 1 tg x

5 1 tg x

tg x 4 tgx 2(III quadrante)

1tgx 2 e cotgx =

21 5

cot gx tgx 22 2

= +

= +

= ⇔ = ±

=

+ = + =

16) Falsa: o período é 4.


Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

12 =22 + 22 – 2.2.1cos A ⇔ cosA = 7/8

E= cosB = CosC = 4

1

22

1

=

1/4, 1/4 e 7/8

Resposta da questão 10: Como AQ AR AS AT AP RS ST TP PQ,= = = = = = = = segue que os triângulos ARS, AST,

ATP e APQ são equiláteros. Logo, ˆ ˆ ˆ ˆRAS SAT TAP PAQ 240+ + + = ° implica em: ˆQAR 360 240 120 .= ° − ° = °

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Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos:2 2 2

2 22

2 2

2 2

ˆQR AQ AR 2 AQ AR cosQAR

13000 2 AQ 2 AQ

2

3 AQ 3000

3000( 3 AQ) 3000 AQ 1000 3 m.

3

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⇔

⋅ = ⇒

⋅ = ⇒ = =

Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é:

1000 3 m.

Resposta da questão 11: 100 passos = 100. 3,15 = 315m

a) Na figura 1

sen2α = 1 – cos2α

sen2α = 1 - 299,0

sen2α = 0,01

sen α = 1/100

logo mhh

5,3131510

1 =⇔=

b) na figura 2

aplicando o teorema dos cossenos.

222 = b2 + b2 – 2b.b.2

3

cmb

b

b

3222

)32.(22

32

32.31

22

2

22

+=

+=

++

−=

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AC2 =32 + 42 – 2.3.4.cos150o

AC2 = 9 + 16 – 2.3.4.

−2

3

AC2 = 25 +12 3

AC = 31225+


Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, vem:

2

22 2 2 2

2

2

1 sen x

2

4 AC 1 2 AC cos x 15 (AC cos x) cos x

AC cos x 15 cos x

AC 15 cos x cos x

AC 16 sen x cos x.

−

= + − ⋅ ⋅ ⇔ = − −

⇒ − = +

⇒ = + +

⇒ = − +

1 2 3

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Resposta da questão 18: [A]



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Resumo das questões selecionadas nesta atividade

Data de elaboração: 30/09/2011 às 00:27Nome do arquivo: Seno

Legenda:Q/Prova = número da questão na provaQ/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®

Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo

1..................104247.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha 2..................100550.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha 3..................104846.............Matemática.........G1 - cftmg/2011......................Múltipla escolha 4..................102802.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha 5..................104159.............Matemática.........Ufpb/2011...............................Múltipla escolha 6..................100949.............Matemática.........Fuvest/2011............................Múltipla escolha 7..................104946.............Matemática.........G1 - epcar (Cpcar)/2011.........Múltipla escolha 8..................103733.............Matemática.........Ufsc/2011................................Somatória 9..................91132...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha 10................103220.............Matemática.........Ufg/2010.................................Analítica 11................93738...............Matemática.........Unicamp/2010.........................Analítica 12................97209...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha 13................97350...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha 14................86454...............Matemática.........Fatec/2009..............................Múltipla escolha 15................86458...............Matemática.........Fuvest/2009............................Múltipla escolha 16................78329...............Matemática.........Ufg/2008.................................Múltipla escolha 17................79355...............Matemática.........Uece/2008..............................Múltipla escolha 18................83476...............Matemática.........Ufpa/2008...............................Múltipla escolha 19................78140...............Matemática.........Pucsp/2008.............................Múltipla escolha 20................78762...............Matemática.........Fgv/2008.................................Múltipla escolha

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