Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Sebaran Normal - 1

SEBARAN NORMAL Kurva Normal Peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran normal disebut peubah acak normal. Persamaan matematika bagi sebaran peluang peubah acak normal ini tergantung pada dua parameter µ dan σ, yaitu nilai tengah dan simpangan bakunya, sehingga persamaan kurva normalnya adalah:

n(x; µ, σ) = ( )σµ−−

πσ

x21

e2

1, untuk – ∞ < x < ∞

Kurva sembarang sebaran peluang kontinu atau fungsi kepekatan dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva itu dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang bahwa peubah acak mengambil nilai antara x = x1 dan x = x2. Jadi pada kurva normal, P(x1 < X < x2) dinyatakan oleh luas daerah berikut: Setiap pengamatan yang berasal dari sembarang peubah acak normal X dapat ditransformasikan menjadi suatu nilai peubah acak normal Z dengan nilai tengah 0 dan ragam 1, yang disebut sebaran normal baku. Ini dapat dilakukan melalui transformasi:

Z = σ

µ−X

Nilai tengah Z adalah 0, karena:

E(Z) = σ1

E(X – µ) = σ1

(µ – µ) = 0

sedangkan ragamnya adalah:

11

2

22X2

2/X

2/)X(

2Z =

σσ

=σσ

=σ=σ=σ σσµ−

µ

µ x1 X2

Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Sebaran Normal - 2

Bila X berada di antara x = x1 dan x = x2, maka peubah acak Z akan berada di antara nilai-nilai padanannya:

z1 = σ

µ−1x dan z2 =

σµ−2x

Sebaran asal dan sebaran hasil transformasi diilustrasikan pada gambar berikut: Karena semua nilai X yang jatuh antara x1 dan x2 mempunyai nilai-nilai z padanannya antara z1 dan z2, maka luas daerah di bawah kurva X antara x = x1 dan x = x2 sama dengan luas daerah di bawah kurva Z antara nilai transformasi z = z1 dan z = z2, dengan demikian:

P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2) Soal: ü Untuk sebaran normal dengan µ = 50 dan σ = 10, hitunglah peluang bahwa X

mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62.

ü Untuk sebaran normal dengan µ = 300 dan σ = 50, hitunglah peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362.

µ x1 x2 µ z1 z2

σ

σ=1

Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Sebaran Normal - 3

ü Diberikan sebuah sebaran normal dengan µ = 40 dan σ = 6, hitunglah nilai x di mana: (a) luas daerah di bawahnya ada 38% (b) luas daerah di atasnya ada 5%.

ü Suatu jenis aki mencapai umur rata-rata 3,0 tahun, dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila umur aki itu menyebar normal, hitunglah peluang bahwa sebuah aki tertentu akan mencapai umur kurang dari 2,3 tahun.

ü Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi lampu pijar yang umurnya menyebar

normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah lampu pijar hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 834 jam.

ü Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% di

antara para peserta ujian akan diberi nilai A, dan nilai itu mengikuti sebaran normal, berapakah batas nilai terkecil bagi A dan batas nilai tertinggi bagi B.

ü Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 4,1 cm. Berapa persentase banyaknya anjing pudel jenis tersebut yang tingginya melebihi 35 cm, bila tinggi itu menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun?

Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Sebaran Normal - 4

ü Indeks prestasi rata-rata 300 mahasiswa tingkat persiapan mengikuti suatu sebaran

normal dengan nilai tengah 2,1 dan simpangan baku 0,8. Berapa banyaknya mahasiswa yang mencapai indeks prestasi antara 2,5 dan 3,5 bila indeks prestasi dihitung sampai persepuluhan terdekat?