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Seconde 1 Corrigé devoir surveillé n°7 Mercredi 25/05/2011

Exercice 1

a) cos0=1 , cosπ =−1 , cos2π=0 .

b) cos2011π=−1 , cos2012π=0 , cos2013π =−1 .

Exercice 2 (voir figure)

Les points A,B,D,E,F, et H sont régulièrement espacés sur le cercle trigonométrique de centre O. (O,A,C) est un repère orthonormé. Compléter le tableau ci-dessous:

Points A B C D E F G H

Réels(*) 0 π

3π

22π3

π 4π3

3π2

5π3

Cosinus 1 12

0−

12

−1−

12

0 12

Sinus 0 32

1 32

0−3

2−1

−32

(*) Par exemple pour la première colonne, on demande de donner un réel, qui par enroulement de ladroite numérique, donne le point A.


Soit H le milieu du segment [AB]. Le triangle ANB est isocèle en N, donc (NH) est la médiatrice dusegment [AB] et les droite (NH) et (AB) sont perpendiculaires.Le triangle ANH est donc rectangle en N.Le triangle ANB est isocèle en N, dont (NH) est aussi la bissectrice de l'angle ANB .

On en déduit que ANH=ANB2

=302=15°

Dans le triangle ANH, on a la relation :

tan ANH =AHNH

⇒NH×tan ANH =AH ⇒NH=AH

tan ANH ⇒NH=

AHtan15

=2

tan15

On trouve : NH≃7,46

Le navire se trouve à environ 7,46 kilomètres du rivage.


ABC est un triangle isocèle en A tel que : CBA= ACB=5π12

et AC=AB=a .

La droite passant par B et perpendiculaire à (AC) coupe (AC) en H.

1/7


1-Quelle est la valeur en degré de l'angleCBA ?

Degrés Radians

360 2π

d 5π12

C'est un tableau de proportionnalité, donc :

d×2π=360×5π

12⇒d=

36012

×5π2π

=30×5

2=15×5=75

5π12

radians correspondent à 75 degrés.

2-Démontrer que BH=a2

Dans le triangle ABH rectangle en H; on a la relation : sin ABH =BHa

.

On en déduit que : BH=sin ABH ×a

La somme des angles d'un triangle est égale à π .On a : CBA= ACB=5π12

. En considérant le

triangle ABC, on a la relation : BAC5π12

5π12

=π Donc :

BAC10π12

=π⇒ BAC5π6=π⇒ BAC=π−

5π6⇒ BAC=

6π−5π6

=π

6 et BAH=

π

6

BH=sin ABH ×a⇒BH=sinπ

6×a=

a2

BH=a2

3-Démontrer que AH=a3

2. Comme précédemment on montre en considérant le triangle

rectangle en H ABH :AH=cos ABH ×a Et : AH=cosπ

6×a=3

2a

AH=a3

2

En déduire l'expression de HC en fonction de a .

HC=AC−AH car H∈[AC] . Donc : HC=a−a3

2=1−3

2×a HC=

2−32

×a

4-Démontrer que BC=a2−3Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H.

On a la relation : BC2=BH2HC2 On a démontré que : BH=a2

et HC=2−3

2×a

2/7


BC2=a22

2−3

2×a

2

=a2

42−3

2

4×a2=

a2

4×12−3

2=

a2

4×14−433

BC2=a2

4×8−43=a2×2−3

2- 30 car 43⇒23 car la fonction carré est croissante sur les nombres positifs.BC est une distance, donc est positive et :BC=a2−3

5-Calculer les valeurs exactes de cosπ

12 et sin

π

12Considérant les angles du triangle rectangle en H, BHC.

On a : CBH BHC HCB=π avec BHC=π

2 et HCB=

5π2

. Donc :

CBH=π− BHC− HCB=π−π

2−

5π12

=π

2−

5π12

=6π−5π

12=π

12 CBH=

π

12En considérant le triangle BHC rectangle en H, on a :

cos CBH=BHBC

⇒cosπ

12=

a2

a2−3=

a

2a2−3=

1

22−3 et :

cosπ

12=

1

22−3

De même : sin CBH=HCBC

⇒sinπ

12=

2−32

×a

a2−3=

2−3

22−3

a

a=a avec a0

sinπ

12=2−3

2

6-Vérifier que : cosπ

12

2

sinπ

12

2

=1

1

22−32

2−32

2

=1

4×2−3

2−34

=12−3

2

4×2−3=

14−4334×2−3

cosπ

12

2

sinπ

12

2

=8−43

4×2−3=

2−32−3

=1

On a vérifié la relation : cosπ

12

2

sinπ

12

2

=1

3/7


Exercice 5

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,I,J). Soient les points A −1; 2 , B3; 4 , C4,3 , etD4,1 .

a) Quelle est l'équation de la droite (AB) ?A et B ont des abscisses différentes donc l'équation de la droite (AB) est de la forme : y=ax+bCalculons le coefficient directeur a:

a=yB−yA

xB−xA

=4−2

3−−1=

231

=24=

12

on a : yB=a xBb⇒4=12×3b⇒b=4−

32=

8−32

=52

L'équation de la droite (AB) est : y=12

x52

b) Quelle est l'équation de la droite (CD) ?Les points C et D ont la même abscisse 4.

La droite (CD) a pour équation x=4 .

c) Quelles sont les coordonnées du point E, intersection des droites (AB) et (CD)?

E∈CD⇒xE=4 Et E∈AB ⇒ yE=12×xE

52=

12×4

52=

452

=92

L'intersection des droites (AB) et (CD) a pour coordonnées 4;92

d) Soit ∆ la droite d'équation y=3x−1 . Les droites ∆ et (AB) sont-elles sécantes ? Si oui, calculerles coordonnées de leur point d'intersection F.

Les droite (AB) et ∆ ont des coefficients directeurs différents. Elles sont donc sécantes.

Calculons les coordonnées de leur point d'intersection F. Résolvons l'équation :x2

52=3x−1⇔x5=6x−2⇔x52=6x⇔x7=6x⇔7=6x−x⇔7=5x⇔x=

75

y=3x−1=3×7

5−1=

21−55

=165

F a pour coordonnées 75

;165

Exercice 6

a) Compléter les égalités suivantes:cos−x=cosx sin−x=−sinx cosxπ=−cosx

4/7


sinxπ=−sinx

cosπ

2−x =sinx sin

π

2−x=cosx

b) (*) cosxπ

2=−sinx sinx

π

2=cosx

Démonstration :

cosxπ

2=cos−x−

π

2 (on utilise cos−a=cosa )

cosπ−x−π

2=−cos−x−

π

2 cosπ−x−

π

2=cos

π

2−x =sinx .

On déduit des égalités précédentes que cosxπ

2=−sinx

Exercice 7

On a les relations :

cosab=cosa×cosb−sina×sinb et sinab=sina×cosbcosa×sinb

a) Exprimer cos2a et sin2a en fonction de cosa et sina .

Dans la relation :cosab=cosa×cosb−sina×sinb , on remplace b par a:cosaa=cosa×cosa−sina×sinb et cos2a=cosa2−sina2

Et la relation : cosx 2sinx2=1 on obtient :cos2a=2cosa2−1

En remplaçant b par a dans la relation : sinab=sina×cosbcosa×sinb , on trouve :sin2a=2sinacosa

b) (*) Montrer que 1

cosx2=1 tanx2

1tanx 2=1sinx2

cosx 2=cosx 2sinx2

cosx2=

1cosx 2

Et : 1

cosx 2=1tanx2

c) (*) Rappel :tanx =sinxcosx

si cosx ≠0 .

Exprimer cosx , sinx et tanx en fonction de t= tanx2

On a : cos2a=2cosa2−1 donc :

cosx =2cosx2

2

−1=2×1

1 tanx2

2−1=2−1 t2

1 t2 =1−t2

1t2

cosx =1− t2

1 t2

5/7


On a sinx=2sinx2cos

x2=2

sinx2

cosx2×cos

x2

2

=2t×1

1 t2=2t

1t2

sinx=2t

1 t2

Remarque : on peut vérifier qu'on a bien : cosx 2sinx2=1

Des relations précédentes on trouve: tanx =2t

1−t2

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FIGURES

Exercice 1 Exercice 2

Exercice 4

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