הירטמונוגירט - · PDF filesin α-ו cos α .(R = 1 -ש ... tan x = a....

Click here to load reader

  • date post

    29-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    281
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of הירטמונוגירט - · PDF filesin α-ו cos α .(R = 1 -ש ... tan x = a....

  • טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

    את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן באמצעות הקשרים בין הניצבים להגדיר

    במשולש ובין הניצבים עצמם לבין היתר :בלבד ישר זווית

    שווה ) אלפא( BACסינוס זווית : לדוגמה . cליתר ל הזוויתמושמ aליחס בין הניצב

    במשולש ניתן להגדיר פונקציות : הערה

    .טריגונומטריות וזוויות חדות בלבד

    ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות של R = 1זווית כלשהי במעגל בעל רדיוס

    ):המעגל הטריגונומטרי( הם x-yבמערכת צירים Aשיעורי הנקודה

    cos α ו-sin α בהתאם: ).R = 1 -מכיוון ש(

    הגדרת הפונקציות .2

    במעגל הטריגונומטרי אינה מוגבלת אלא לכל טווח , לזוויות חדות בלבד

    : הזוויות

    0°≥α≥360°

    הערות , ראשוןה נמצאת ברביע Aכאשר הנקודה .1

    :שתי ההגדרות זהות :ייםמתק OAAxבמשולש ישר זווית

    x

    y

    1

    1

    1-

    1-

    

    

    116

  • זוויותהמדידת )מעלות ורדיאנים(

    .רדיוס התחלתינקרא OAרדיוס

    , אם סובבים רדיוס התחלתי נגד מגמת השעון

    חיוביתנחשבת הזווית

    ).AOBהזווית : דוגמה(

    הזווית שמתקבלת בסיבוב הרדיוס ההתחלתי

    נחשבת ) AOCהזווית , לדוגמה(במגמת השעון

    .שליליתהזווית

    .רדיאניםאו ב מעלותנמדדות ב קשתות וזוויות

    °10זווית בת

    היא הזווית השווה )1°(אחת מעלה: הגדרה .מהזווית של סיבוב שלם -ל

    .של מעלה -שווה ל )'1( אחת דקה

    .של דקה -שווה ל )"1(אחת שנייה

    ∠AOB - רדיאן 1זווית בת .

    : הגדרה אחד הוא זווית מרכזית הנשענת על קשת רדיאן

    :לרדיוס המעגל שאורכה שווה

    AB = OA = R

    אורך מידת הזווית ברדיאנים מתקבלת כיחס של

    OAלגודל של מעגל בעל רדיוס כלשהו ABהקשת

    .של רדיוס המעגל

    117

  • )המשך( מעלות ורדיאנים –מדידת הזוויות

    זוויות במעלות

    זוויות ברדיאנים

    :וני אינסופירהמתבטא בשבר עש) יחס של היקף המעגל לקוטר(הוא מספר π: הערה π = 3.141593…

    π ≈ 3.14 : כ בערך מקורב"בחישובים משתמשים בד

    מרדיאנים למעלות מעברהנוסחת

    מעבר ממעלות לרדיאניםהנוסחת

    A– גודל זווית במעלות ,α - גודל הזווית ברדיאנים

    דוגמאות

    זווית במעלות

    דרך חישוב

    זווית ברדיאנים

    α

    זווית ברדיאנים

    דרך חישוב

    זווית במעלות

    A

    57.3

    1

    1

    30

    45

    90

    118

  • ערכי הפונקציות הטריגונומטריות זוויות מיוחדות של

    פונקציה

    x ברדיאנים

    x במעלות

    0

    0

    0

    1

    0

    לא מוגדר

    1

    1

    1

    0

    לא מוגדר

    0

    0

    -1

    0

    לא מוגדר

    -1

    0

    לא מוגדר

    0

    119

  • ערכי הפונקציות הטריגונומטריות )המשך( זוויות מיוחדות של

    פונקציה זווית

    sin x

    cos x

    tg x

    ctg x

      

       π 12

    15

    22 13 −

    22 13 +

    32 −

    32 +

      

       π 10

    18

    4 15 −

    22 55 +

    5210

    15

    +

    15 5210

    − +

      

       π

    5 36

    22 55 −

    4 15 +

    15 5210

    + −

    5210

    15

    +

      

       π 10

    54

    4 15 +

    22 55 −

    5210

    15

    +

    15 5210

    + −

      

       π

    5 272

    22 55 +

    4 15 −

    15 5210

    − +

    5210

    15

    +

      

       π

    12 575

    22 13 +

    22 13 −

    2+ 3

    2 – 3

    120

  • סימני הפונקציות הטריגונומטריות זוויות מיוחדות של

    רביע תחום זוויות

    +

    +

    +

    +

    I

    -

    -

    -

    +

    II

    +

    +

    -

    -

    III

    -

    -

    +

    -

    IV

    פונקציות טריגונומטריות של זוויות גדולות

    121

  • ותבסיסי זהויות טריגונומטריות sin2 α + cos2 α = 1;

    tg α = 2

    , cos sin π

    ≠α α α (2n + 1), n∈Z;

    tg α = α α

    sin cos , α ≠ πn, n∈Z;

    tg α • ctg α = 1, α ≠ 2 nπ , n∈Z;

    1 + tg2 α = 2

    , cos

    1 2

    π ≠α

    α (2n + 1), n∈Z;

    1 + ctg2 α = α2sin

    1 , α ≠ πn, n∈Z

    הצגת הפונקציות הטריגונומטריות

    אחרותטריגונומטריות באמצעות פונקציות

    ctg α tg α cos α sin α פונקציה

    ± α+ 2ctg1

    1

    α+

    α ±

    2tg1

    tg

    α−± 2cos1

    sin α

    sin α

    α+

    α ±

    2ctg1

    ctg

    α+

    ± 2tg1

    1

    cos α

    α−± 2sin1

    cos α

    αctg 1

    tg α α α−

    ± cos

    cos1 2 α−

    α ±

    2sin1

    sin

    tg α

    ctg α

    αtg 1

    α−

    α ±

    2cos1

    cos

    α α−

    ± sin

    sin1 2

    ctg α

    122

  • פונקציות מחצית הזווית

    sin2 2 cos1

    2 α−

    = α

    sin α = 2sin 2 α cos

    2 α

    cos2 2 cos1

    2 α+

    = α

    cos α = cos2 2 α

    – sin2 2 α

    tg 2 α

    = α α−

    = α+

    α sin

    cos1 cos1

    sin

    (α ≠ π (2n + 1), n∈Z) tg α =

    2 tg1

    2 tg2

    2 α−

    α

    נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה

    sin α + sin  = 2sin 2 β+α • cos

    2 β−α

    sin α + sin  = 2cos 2 β+α • sin

    2 β−α

    cos α + cos  = 2cos 2 β+α • cos

    2 β−α

    cos α + cos  = 2sin 2 β+α • sin

    2 β−α = 2sin

    2 β+α • sin

    2 β−α

    cos α + sin α = 2 cos (45° – α) cos α – sin α = 2 sin (45° – α)

    tg α ± tg  = βcosαcos

    )βαsin( •

    ± α,  ≠ 2 π (2n – 1), n ∈ Z

    ctg α ± ctg  = βsinαsin

    β)αsin( •

    ± α,  ≠ πn, n ∈ Z

    123

  • נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה

    1 + cos α = 2cos2 2 α

    1 – cos α =2sin2 2 α

    1 + sin α = 2cos2(45°– 2 α

    )

    1 – sin α = 2sin2(45°– 2 α

    )

    1 + tg α = α

    α+ =

    α α+

    cos )45sin(2

    cos45cos )45sin( 

    , a ≠ 2 π + πn, n∈Z

    1 – tg α = α

    α− =

    α α−

    cos )45sin(2

    cos45cos )45sin( 

    , a ≠ 2 π + πn, n∈Z

    1 – tg2 α = α α

    2cos 2cos , α ≠

    2 π + πn, n∈Z

    1 – ctg2 α = α α

    2cos 2cos , α ≠ πn + πn, n∈Z

    נוסחאות ההמרה של מכפלת הפונקציות

    הטריגונומטריות לסכומם

    sin α sin β = 2 1 (cos(α – β) – cos (α + β))

    sin α cos β = 2 1 (sin(α – β) + sin (α + β))

    cos α cos β =