טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

את הפונקציות הטריגונומטריות ניתןבאמצעות הקשרים בין הניצבים להגדיר

במשולש ובין הניצבים עצמם לבין היתר :בלבד ישר זווית

שווה ) אלפא( BACסינוס זווית : לדוגמה . cליתר ל הזוויתמושמ aליחס בין הניצב

במשולש ניתן להגדיר פונקציות : הערה

.טריגונומטריות וזוויות חדות בלבד

ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות של R = 1זווית כלשהי במעגל בעל רדיוס

):המעגל הטריגונומטרי(הם x-yבמערכת צירים Aשיעורי הנקודה

cos α ו-sin α בהתאם: ).R = 1 -מכיוון ש(

הגדרת הפונקציות .2

במעגל הטריגונומטרי אינה מוגבלת אלא לכל טווח , לזוויות חדות בלבד

: הזוויות

0°≥α≥360°

הערות, ראשוןה נמצאת ברביע Aכאשר הנקודה .1

:שתי ההגדרות זהות :ייםמתק OAAxבמשולש ישר זווית

x

y

1

1

1-

1-

116

זוויותהמדידת )מעלות ורדיאנים(

.רדיוס התחלתינקרא OAרדיוס

, אם סובבים רדיוס התחלתי נגד מגמת השעון

חיוביתנחשבת הזווית

).AOBהזווית : דוגמה(

הזווית שמתקבלת בסיבוב הרדיוס ההתחלתי

נחשבת ) AOCהזווית , לדוגמה(במגמת השעון

.שליליתהזווית

.רדיאניםאו ב מעלותנמדדות ב קשתות וזוויות

°10זווית בת

היא הזווית השווה )1°(אחת מעלה: הגדרה

.מהזווית של סיבוב שלם -ל

.של מעלה -שווה ל )'1( אחת דקה

.של דקה -שווה ל )"1(אחת שנייה

∠AOB - רדיאן 1זווית בת .

: הגדרהאחד הוא זווית מרכזית הנשענת על קשת רדיאן

:לרדיוס המעגל שאורכה שווה

∪

AB = OA = R

אורך מידת הזווית ברדיאנים מתקבלת כיחס של

OAלגודל של מעגל בעל רדיוס כלשהו ABהקשת

.של רדיוס המעגל

117

)המשך( מעלות ורדיאנים –מדידת הזוויות

זוויות במעלות

זוויות ברדיאנים

:וני אינסופירהמתבטא בשבר עש) יחס של היקף המעגל לקוטר(הוא מספר π: הערה

π = 3.141593…

π ≈ 3.14 : כ בערך מקורב"בחישובים משתמשים בד

מרדיאנים למעלות מעברהנוסחת

מעבר ממעלות לרדיאניםהנוסחת

A– גודל זווית במעלות ,α - גודל הזווית ברדיאנים

דוגמאות

זווית במעלות

דרך חישוב

זווית ברדיאנים

α

זווית ברדיאנים

דרך חישוב

זווית במעלות

A

57.3

1

1

30

45

90

118

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות זוויות מיוחדות של

פונקציה

x ברדיאנים

x במעלות

0

0

0

1

0

לא מוגדר

1

1

1

0

לא מוגדר

0

0

-1

0

לא מוגדר

-1

0

לא מוגדר

0

119

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות )המשך( זוויות מיוחדות של

פונקציה זווית

sin x

cos x

tg x

ctg x

π12

15

2213 −

2213 +

32 −

32 +

π10

18

415 −

2255 +

5210

15

+

−

155210

−+

π

536

2255 −

415 +

155210

+−

5210

15

−

+

π10

54

415 +

2255 −

5210

15

−

+

155210

+−

π

5272

2255 +

415 −

155210

−+

5210

15

+

−

π

12575

2213 +

2213 −

2+ 3

2 – 3

120

סימני הפונקציות הטריגונומטריות זוויות מיוחדות של

רביע תחום זוויות

+

+

+

+

I

-

-

-

+

II

+

+

-

-

III

-

-

+

-

IV

פונקציות טריגונומטריות של זוויות גדולות

121

ותבסיסי זהויות טריגונומטריות sin2 α + cos2 α = 1;

tg α = 2

,cossin π

≠ααα (2n + 1), n∈Z;

tg α = αα

sincos , α ≠ πn, n∈Z;

tg α • ctg α = 1, α ≠ 2nπ , n∈Z;

1 + tg2 α = 2

,cos

12

π≠α

α(2n + 1), n∈Z;

1 + ctg2 α = α2sin

1 , α ≠ πn, n∈Z

הצגת הפונקציות הטריגונומטריות

אחרותטריגונומטריות באמצעות פונקציות

ctg α tg α cos α sin α פונקציה

±α+ 2ctg1

1

α+

α±

2tg1

tg

α−± 2cos1

sin α

sin α

α+

α±

2ctg1

ctg

α+

±2tg1

1

cos α

α−± 2sin1

cos α

αctg1

tg α αα−

±cos

cos1 2

α−

α±

2sin1

sin

tg α

ctg α

αtg1

α−

α±

2cos1

cos

αα−

±sin

sin1 2

ctg α

122

פונקציות מחצית הזווית

sin22cos1

2α−

=α

sin α = 2sin 2α cos

2α

cos22cos1

2α+

=α

cos α = cos22α

– sin22α

tg 2α

=αα−

=α+

αsin

cos1cos1

sin

(α ≠ π (2n + 1), n∈Z) tg α =

2tg1

2tg2

2 α−

α

נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה

sin α + sin = 2sin 2β+α• cos

2β−α

sin α + sin = 2cos 2β+α• sin

2β−α

cos α + cos = 2cos 2β+α• cos

2β−α

cos α + cos = 2sin 2β+α• sin

2β−α = 2sin

2β+α• sin

2β−α

cos α + sin α = 2 cos (45° – α) cos α – sin α = 2 sin (45° – α)

tg α ± tg = βcosαcos

)βαsin(•

± α, ≠ 2π (2n – 1), n ∈ Z

ctg α ± ctg = βsinαsin

β)αsin(•

± α, ≠ πn, n ∈ Z

123

נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה

1 + cos α = 2cos22α

1 – cos α =2sin2 2α

1 + sin α = 2cos2(45°– 2α

)

1 – sin α = 2sin2(45°– 2α

)

1 + tg α = α

α+=

αα+

cos)45sin(2

cos45cos)45sin(

, a ≠ 2π + πn, n∈Z

1 – tg α = α

α−=

αα−

cos)45sin(2

cos45cos)45sin(

, a ≠ 2π + πn, n∈Z

1 – tg2 α = αα

2cos2cos , α ≠

2π + πn, n∈Z

1 – ctg2 α = αα

2cos2cos , α ≠ πn + πn, n∈Z

נוסחאות ההמרה של מכפלת הפונקציות

הטריגונומטריות לסכומם

sin α sin β = 21 (cos(α – β) – cos (α + β))

sin α cos β = 21 (sin(α – β) + sin (α + β))

cos α cos β = 21 (cos(α – β) + cos (α + β))

cos α sin β = 21⋅ (sin(β – α) + sin (β + α))

125

הבעת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות טנגנס של מחצית זווית

נוסחאות הורדת החזקה של

הפונקציות הטריגונומטריות

126

,זווית כפולה, פונקציות מחצית הזווית ...זווית משולשת ועוד

פונקציה וויתז

sin

cos tg ctg

2α

2cos1 α−

±

2cos1 α+

±

α+

α−±

cos1cos1

α−

α+±

cos1cos1

2α

2sin α • cos α

cos2 α – sin2 α−

α2tg1

tg2

α−α

ctg21tg2 2

3α

3sin α – 4sin3 α

4cos3 α – 3cos α α−

α−α2

3

tg31

tgtg3

1ctg3ctg3ctg

2

3

−αα−α

4α 4cos3 α• sin α –

– 4cos α• sin3 α

cos4 α – 6cos2

α•

sin2 α + sin4 α

:נוסחאות לטנגנס מחצית הזווית2α

tg

α+

α−±

cos1cos1

α+

α

cos1sin

α

α−

sincos1

cos 2α :זווית כפולהשל נוסחאות לקוסינוס

cos2 α – sin2 α 2cos2 α – 1 1 – 2sin2 α

127

דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר בין פונקציות טריגונומטריות

:שימו לב והרביע זוויתהאם ידועה אחת מהפונקציות הטריגונומטריות של

לחשב את כל הפונקציות האחרות אפשר, הזווית בו נמצאתש .של אותה הזווית

1דוגמה :נתון

53

sin t = –

2

3π π < t <

. III -נמצאת ברביע ה tהזווית

.cos t, tg t, ctg t :מצאו

פתרון

2516

53 2

=

cos2t = 1 – sin2t = 1 –

54

2516

−= cos t = –

III -מינוס מופיע מכיוון שברביע הסימן ה

.הקוסינוס הוא שלילי

34

ttg1tctg

43

54:

53

tcostsinttg

==

=

−

−==

2דוגמה :נתון

cos α = 31

α∈

ππ 2,2

3

. IV -נמצאת ברביע ה α הזווית

ctg α, tg α, sin α :מצאו

פתרון

sin2 α = 1 – cos2 α = 1 – 98

31 2

=

sin α = –3

2298

−=

IV -מינוס מופיע מכיוון שברביע הסימן ה .הסינוס הוא שלילי

42

32:

221

tg1ctg

2232:

322

cossintg

−==α

=α

−=−=αα

=α

128

דוגמאות שימוש בנוסחאות הקשר )המשך( בין פונקציות טריגונומטריות

3דוגמה tg x = –10 : נתון

π<<π x2

. II-נמצאת ברביע ה xהזווית

.sin x ,cos x ,ctg x: מצאו

פתרון

cos2x = 1011

10011

xrg11

2 =+

=+

cos x = – 1011

II -מינוס מופיע מכיוון שברביע ה סימן ה .ליהקוסינוס הוא שלי

sin x = tg x • cos x = 1011

ctg x = 101

xtg1

−=

מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות

במעגל Pסיבובית של הנקודה תנועה : מחזוריתהיא הטריגונומטרי

.לאותו מקוםאת הנקודה מחזירכל סיבוב שלם מכיוון שמקום הנקודה במעגל קובע את הערכים ,של הפונקציות הטריגונומטריות של זווית הסיבוב אלה גם חוזרים על עצמם לאחר סיבוב שלם אחד

).או כמה סיבובים(

:רדיאן 2π = 360° -ן ביותר שווה לטהמחזור הקלפונקציות סינוס וקוסינוס

sin α = sin (α + 2πk) cos α = cos (α + 2πk)

k = 0, ±1, ±2, …

129

)המשך(מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות

לפונקציות טנגנס וקוטנגנס 180°-המחזור הקטן ביותר שווה ל

:רדיאן πאו

בוביםמציין את מספר הסי kמספר .השלמים שאותם עברה הנקודה

הנקודה – )k > 0(חיובי kאם

הוא kאם, מסתובבת נגד מגמת השעוןמגמת הנקודה מסתובבת בכיוון -שלילי .השעון

דוגמאות

:חשבו .1

sin 765°

פתרון

מציגים זווית של הפונקציה כמספר שלם של :מחזורים ושארית הקטנה מהמחזור

sin765° = sin (2⋅360°+45°)=sin 45°=22

: תשובה22

:חשבו .2

cos (-1170°)

פתרון

cos (-1170°) = cos (1170°) = = cos (3⋅360° + 90°) = cos 90° = 0

מכיוון שקוסינוס הוא , את סימן המינוס משמיטים .פונקציה זוגית

.0: תשובה

130

זוגיות של פונקציות טריגונומטריות-זוגיות ואי

זוגית-אי -זוגית זוגיותבדיקת פונקציה

sin x

זוגית-אי

cos x

זוגית

tg x

זוגית-אי

ctg x

זוגית-אי

דוגמאות

131

y = sin x גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה

y = sin x תכונות הפונקציה x R כל המספרים הממשיים תחום ההגדרה

תחום הערכים

מוגבלתהפונקציה היא :

זוגי-אי –זוגי

:זוגית-איהיא הפונקציה

מחזוריות מחזורית היא sin xהפונקציה

: המחזור הקטן ביותר

)נקודות האפס(שורשים

תחומי חיוביות

תחומי שליליות

היתחומי עלי

תחומי ירידה

נקודות מקסימום

נקודות מינימום

132

y = cos x גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה

y = cos xתכונות הפונקציה

תחום ההגדרה

x ∈ R כל המספרים הממשיים

מוגבלתהפונקציה היא y ∈ [ 1, -1] : תחום הערכים

cos (-x) = cos x : זוגיתהיא הפונקציה זוגי-אי –זוגי

מחזוריתהיא cos xהפונקציה מחזוריות

2π: המחזור הקטן ביותר

)נקודות האפס( שורשים

תחומי חיוביות

תחומי שליליות

יהיעל מיתחו

ירידה מיתחו

מקסימוםנקודות

מינימוםנקודות

133

y = tg x גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה

y = tg x תכונות הפונקציה

תחום ההגדרה

מלבד המספרים ,כל המספרים הממשיים

מוגבלת בלתיהיא הפונקציה ; כל ציר המספרים תחום הערכים

tg (-x) = -tg x :זוגית-איהיא הפונקציה זוגי-אי –זוגי

.מחזוריתהיא tg xהפונקציה מחזוריות

π: המחזור הקטן ביותר

)נקודות האפס( שורשים

תחומי חיוביות

תחומי שליליות

היעלי מיתחו

134

y = ctg x גרף ותכונות עיקריות של הפונקציה

y = ctg x תכונות הפונקציה

תחום ההגדרה

מלבד המספרים, כל המספרים הממשייםx = π + πk, k ∈ Z

מוגבלת בלתיהפונקציה היא ; כל ציר המספרים תחום הערכים

ctg (-x) = -ctg x: זוגית-איהפונקציה היא זוגי-אי –זוגי

מחזוריות

.מחזוריתהיא ctg xהפונקציה

π: המחזור הקטן ביותרctg (x + πk) = ctg x, k ∈ Z

)נקודות האפס(שורשים

חיוביות תחומי

תחומי שליליות

תחומי ירידה

135

טריגונומטריות משוואות

המשוואה כוללת או /סינוסים ו

.קוסינוסים בלבד :דוגמאות

.ומהוכד

הומוגנית משוואהממעלה ראשונה

:מהסוג

הומוגנית משוואה ממעלה שנייה :מהסוג

:משוואה מהסוג

שיטת פתרון

פוך אתלה אפשר משוואהה

למשוואה ריבועית) ריבועית-דו או(

או (לגבי סינוס )קוסינוס

שיטת פתרון

מחלקים את שני cos x -האגפים ב

בתנאי שהוא אינו ( ).שווה לאפס

:מקבלים

שיטת פתרון

מחלקים את שני האגפים

-ב

המקבלים משוואריבועית לגבי

:טנגנס

שיטת פתרון

מציבים

הומקבלים משוואלגבי ריבועית

.טנגנס

נוסחאות נוסחאות נוסחאות נוסחאות

143

משוואות טריגונומטריות המשוואות הבסיסיות

tan x = a cot x = a

לכל למשוואות האלה קיים פתרון :הערה

.aהערכים של

sin x = a cos x = a

רק למשוואות האלה קיים פתרון : הערהלא aמוחלט של הערך ה שבהםבמקרים

:1-מגדול

I .המשוואה הבסיסית sin x = a

הפתרון

α1 ,שתי הזוויותל השרטוטעל פי :a -ערך הסינוס שווה ל ,α2 -ו

בעלת מחזורמחזורית מכיוון שפונקצית סינוס היא

:מהסוג ת שורשיםוקבוצ שתי sin x = aלמשוואה , 2πk של

144

II . המשוואה הבסיסית cos x = a

הפתרון

α- -ו α ,שרטוט לשתי הזוויותעל פי ה :a -ערך הקוסינוס שווה ל

מחזוריות היא פונקצית הקוסינוס מכיוון ש

cos x = a למשוואה, 2πkבעלת מחזור של

:שתי קבוצות שורשים מהסוג

cos x = a -ו sin x = aפתרון המשוואות הבסיסיות

במקרים מיוחדים משוואה פתרון משוואה פתרון

145

cos x = a -ו sin x = a פתרון המשוואות הבסיסיות

)המשך( במקרים מיוחדים

משוואה פתרון משוואה פתרון

III - IV .המשוואות הבסיסיות tg x = a ו- ctg x = a לשתי המשוואות הפתרונות קיימים

מכיוון שתחום , aלכל הערכים של , תמיד –הערכים של הפונקציות .כל המספרים הממשיים

מספר הפתרונות הוא , על פי הגרפים

ואפשר , )הפונקציות מחזוריות(אינסופי :לכתוב אותם בנוסחה אחת לכל משוואה

146

ctg x = a-ו tg x = a פתרון המשוואות הבסיסיות במקרים מיוחדים

משוואה פתרון משוואה פתרון

147

פתרון משוואות טריגונומטריות המשוואות המובאות למשוואות ריבועיות .1

דרך הפתרון

להביא את המשוואה . 1 לביטוי הכולל פונקציה

.אחת בלבד

משוואה ריבועית לפתור .2 .לגבי אותה הפונקציה

לפתור משוואה בסיסית. 3 :מהסוג

sin x = a cos x = a tg x = b ctg x = a

: דוגמה

:פתרון

את ביטויומציבים cos2x במקום

:ומקבלים, סינוסבאמצעות

:פותחים סוגריים

: מגדירים נעלם חדש

:מקבלים משוואה ריבועית

:פותרים אותה

אין פתרון

:תשובה

148

המשוואות שבהן אפשר לפרק אגף שמאל לגורמים. 2

: דוגמה

פתרון

:הגורם השני

: פתרון המשוואה

מהמעלה הראשונה) אחידה(משוואה הומוגנית . 3

נקראת a sinx + b cosx +c = 0 המשוואה מהסוג :הגדרה .הומוגנית מהמעלה הראשונהמשוואה טריגונומטרית

מתקבלת משוואה פשוטה cos x -שני האגפים ב תקוחל לאחר: דרך הפתרון

a⋅tg x + b = 0: לגבי טנגנס

:דוגמה

: פתרון המשוואה

149

משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה. 4

נקראת a⋅sin2x + b sinx⋅cosx + d = 0 המשוואה מהסוג :הגדרה .cos x-ו sin x לגבי הייהומוגנית ממעלה שנמשוואה

: דרך הפתרון .d⋅1 = d⋅(sin2x + cos2x): בצורה הבאה) d ≠ 0במקרה של ( d את מציגים

.לגבי טנגנסריבועית משוואה ים כתוצאהומקבל cos2x -מחלקים את שני האגפים ב

:דוגמה

:פתרון

:תשובה

a sinx + b cosx = cפתרון המשוואה מהסוג . 5 )a≠0, b≠0, c≠0 (באמצעות משתנה עזר.

:מחלקים את שני האגפים בשורש: וןדרך הפתר

:חדשה ϕזווית נגדיר

בנוסחה של קוסינוסנשתמש

:ההפרש

:בסיסיתקיבלנו משוואה

150

a sinx + b cosx = c פתרון המשוואה מהסוג. 5)a≠0, b≠0, c≠0( משתנה עזר באמצעות)דוגמה.(

:פתרו משוואה

:נרשום נתונים ונחשב שורש

:10 -נחלק את שני האגפים של המשוואה ב

:חדשה באמצעות הקוסינוס ϕזווית נגדיר

:והסינוס שלה

: נציב במשוואה

: רש הזוויותנשתמש בנוסת קוסינוס הפ

פותרים ; בסיסיתקיבלנו משוואה

:אותה ומקבלים תשובה סופית

a sinx + b cosx = 0פתרון המשוואה מהסוג . 6

:פתרו משוואה

cos x ≠ 0 : ברור שקוסינוס אינו שווה לאפס

,sin x = 0 אחרת היינו מקבלים מהמשוואה גם

.זמנית-בו מה שלא יכול להתקיים

:cos x -האגפים ב נחלק את שני

נפתור משוואה, נמצא טנגנס הזווית

:ונקבל תשובה, בסיסית

151

פתרון משולשים

ביטוי

משפט

משפט סינוסים

R הוא רדיוס המעגל החוסם.

סינוסיםקומשפט

- תיכון

הצלע אמצע המחבר קודקוד עם קטע

.מולו

תיכון המועבר מקודקוד ביטוי לאורך

A:

- גובה

.אנך היורד מקודקוד לצלע ממול

:Aביטוי לאורך הגובה היורד מקודקוד

–חוצה זווית

קטע שקצותיו בקודקוד הזווית ובצלע

.והוא חוצה את הזווית, שמולה

:Aביטוי לאורך חוצה הזווית

152

)המשך( פתרון משולשים

שרטוט

ביטוי

משפט טנגנסים

רדיוס מעגל חסום

p - חצי היקף של המעגל.

שטח משולש

=

רוןפט גֶ שמ

:שטח משולש

p - חצי היקף של המעגל

:אז a = b = c כאשר

153

הטריגונומטרימ םפתרון משולשים באמצעות משפטי

נתון מצא פתרון

.חשבוןהממחשבים בעזרת C∠ -ו B∠את הזוויות

.מחשבים בעזרת המחשבון A∠את הזווית

.מחשבים בעזרת המחשבון B∠את הזווית

154