טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן באמצעות הקשרים בין הניצבים להגדיר

במשולש ובין הניצבים עצמם לבין היתר :בלבד ישר זווית

שווה ) אלפא( BACסינוס זווית : לדוגמה . cליתר ל הזוויתמושמ aליחס בין הניצב

במשולש ניתן להגדיר פונקציות : הערה

.טריגונומטריות וזוויות חדות בלבד

ניתן להגדיר פונקציות טריגונומטריות של R = 1זווית כלשהי במעגל בעל רדיוס

):המעגל הטריגונומטרי( הם x-yבמערכת צירים Aשיעורי הנקודה

cos α ו-sin α בהתאם: ).R = 1 -מכיוון ש(

הגדרת הפונקציות .2

במעגל הטריגונומטרי אינה מוגבלת אלא לכל טווח , לזוויות חדות בלבד

: הזוויות

0°≥α≥360°

הערות , ראשוןה נמצאת ברביע Aכאשר הנקודה .1

:שתי ההגדרות זהות :ייםמתק OAAxבמשולש ישר זווית

x

y

1

1

1-

1-





116

זוויותהמדידת )מעלות ורדיאנים(

.רדיוס התחלתינקרא OAרדיוס

, אם סובבים רדיוס התחלתי נגד מגמת השעון

חיוביתנחשבת הזווית

).AOBהזווית : דוגמה(

הזווית שמתקבלת בסיבוב הרדיוס ההתחלתי

נחשבת ) AOCהזווית , לדוגמה(במגמת השעון

.שליליתהזווית

.רדיאניםאו ב מעלותנמדדות ב קשתות וזוויות

°10זווית בת

היא הזווית השווה )1°(אחת מעלה: הגדרה .מהזווית של סיבוב שלם -ל

.של מעלה -שווה ל )'1( אחת דקה

.של דקה -שווה ל )"1(אחת שנייה

∠AOB - רדיאן 1זווית בת .

: הגדרה אחד הוא זווית מרכזית הנשענת על קשת רדיאן

:לרדיוס המעגל שאורכה שווה

∪

AB = OA = R

אורך מידת הזווית ברדיאנים מתקבלת כיחס של

OAלגודל של מעגל בעל רדיוס כלשהו ABהקשת

.של רדיוס המעגל

117

)המשך( מעלות ורדיאנים –מדידת הזוויות

זוויות במעלות

זוויות ברדיאנים

:וני אינסופירהמתבטא בשבר עש) יחס של היקף המעגל לקוטר(הוא מספר π: הערה π = 3.141593…

π ≈ 3.14 : כ בערך מקורב"בחישובים משתמשים בד

מרדיאנים למעלות מעברהנוסחת

מעבר ממעלות לרדיאניםהנוסחת

A– גודל זווית במעלות ,α - גודל הזווית ברדיאנים

דוגמאות

זווית במעלות

דרך חישוב

זווית ברדיאנים

α

זווית ברדיאנים

דרך חישוב

זווית במעלות

A

57.3

1

1

30

45

90

118

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות זוויות מיוחדות של

פונקציה

x ברדיאנים

x במעלות

0

0

0

1

0

לא מוגדר

1

1

1

0

לא מוגדר

0

0

-1

0

לא מוגדר

-1

0

לא מוגדר

0

119

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות )המשך( זוויות מיוחדות של

פונקציה זווית

sin x

cos x

tg x

ctg x

  

   π 12

15

22 13 −

22 13 +

32 −

32 +

  

   π 10

18

4 15 −

22 55 +

5210

15

+

−

15 5210

− +

  

   π

5 36

22 55 −

4 15 +

15 5210

+ −

5210

15

−

+

  

   π 10

54

4 15 +

22 55 −

5210

15

−

+

15 5210

+ −

  

   π

5 272

22 55 +

4 15 −

15 5210

− +

5210

15

+

−

  

   π

12 575

22 13 +

22 13 −

2+ 3

2 – 3

120

סימני הפונקציות הטריגונומטריות זוויות מיוחדות של

רביע תחום זוויות

+

+

+

+

I

-

-

-

+

II

+

+

-

-

III

-

-

+

-

IV

פונקציות טריגונומטריות של זוויות גדולות

121

ותבסיסי זהויות טריגונומטריות sin2 α + cos2 α = 1;

tg α = 2

, cos sin π

≠α α α (2n + 1), n∈Z;

tg α = α α

sin cos , α ≠ πn, n∈Z;

tg α • ctg α = 1, α ≠ 2 nπ , n∈Z;

1 + tg2 α = 2

, cos

1 2

π ≠α

α (2n + 1), n∈Z;

1 + ctg2 α = α2sin

1 , α ≠ πn, n∈Z

הצגת הפונקציות הטריגונומטריות

אחרותטריגונומטריות באמצעות פונקציות

ctg α tg α cos α sin α פונקציה

± α+ 2ctg1

1

α+

α ±

2tg1

tg

α−± 2cos1

sin α

sin α

α+

α ±

2ctg1

ctg

α+

± 2tg1

1

cos α

α−± 2sin1

cos α

αctg 1

tg α α α−

± cos

cos1 2 α−

α ±

2sin1

sin

tg α

ctg α

αtg 1

α−

α ±

2cos1

cos

α α−

± sin

sin1 2

ctg α

122

פונקציות מחצית הזווית

sin2 2 cos1

2 α−

= α

sin α = 2sin 2 α cos

2 α

cos2 2 cos1

2 α+

= α

cos α = cos2 2 α

– sin2 2 α

tg 2 α

= α α−

= α+

α sin

cos1 cos1

sin

(α ≠ π (2n + 1), n∈Z) tg α =

2 tg1

2 tg2

2 α−

α

נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה

sin α + sin  = 2sin 2 β+α • cos

2 β−α

sin α + sin  = 2cos 2 β+α • sin

2 β−α

cos α + cos  = 2cos 2 β+α • cos

2 β−α

cos α + cos  = 2sin 2 β+α • sin

2 β−α = 2sin

2 β+α • sin

2 β−α

cos α + sin α = 2 cos (45° – α) cos α – sin α = 2 sin (45° – α)

tg α ± tg  = βcosαcos

)βαsin( •

± α,  ≠ 2 π (2n – 1), n ∈ Z

ctg α ± ctg  = βsinαsin

β)αsin( •

± α,  ≠ πn, n ∈ Z

123

נוסחאות ההמרה של סכום והפרש הפונקציות הטריגונומטריות למכפלה

1 + cos α = 2cos2 2 α

1 – cos α =2sin2 2 α

1 + sin α = 2cos2(45°– 2 α

)

1 – sin α = 2sin2(45°– 2 α

)

1 + tg α = α

α+ =

α α+

cos )45sin(2

cos45cos )45sin( 





, a ≠ 2 π + πn, n∈Z

1 – tg α = α

α− =

α α−

cos )45sin(2

cos45cos )45sin( 





, a ≠ 2 π + πn, n∈Z

1 – tg2 α = α α

2cos 2cos , α ≠

2 π + πn, n∈Z

1 – ctg2 α = α α

2cos 2cos , α ≠ πn + πn, n∈Z

נוסחאות ההמרה של מכפלת הפונקציות

הטריגונומטריות לסכומם

sin α sin β = 2 1 (cos(α – β) – cos (α + β))

sin α cos β = 2 1 (sin(α – β) + sin (α + β))

cos α cos β =