d E⃗P(M )

Résumé du cours é lectrostatique

11 . Calcul direct du champ électrostatique (électrique) E et du potentiel

● Distribution de charges ponctuelles qi placée en Pi: (Coulomb)

champ électrostatique en M : E⃗(M ) = ∑i

q i

4πϵ0

P⃗i M

Pi M3 = ∑i

qi

4πϵ0

u⃗ P⃗i M

P i M2

Potentiel électrostatique en M : φ(M )=∑i

qi

4πϵ0

1P i M

en supposant le potentiel nul à l'infini.

● Distribution continue de charges :

Champ électrostatique élémentaire d E⃗ créé en M par la charge dq placée en P :

d E⃗P(M ) =dq(P)4 πϵ0

P⃗MPM3 =

dq(P)4 πϵ0

u⃗ P⃗M

PM2

Champ et potentiel créé par la distribution de charges :

E⃗(M )=∫P∈Distd E⃗(M ) = ∫P∈Dist

dq(P)4 πϵ0

P⃗MPM3 et φ(M)=∫P∈Dist

dq(P)4 πϵ0

1PM

pour une distribution linéïque : dq P=Pdl p et somme simple ∫ ...

pour une distribution surfacique : dq P=PdS p et somme double ∬ ...

pour une distribution volumique : dq P=Pd p et somme triple ∭ ...

● Force sur la charge Q placée en M par une distribution de charge qui crée le champ E : F = Q E M

● Symétries :

Soit Π un plan de symétrie de la distribution de charges :

Prop. 1 : Pour tout point M∈ : E⃗(M ) ∥ Π

Soient P et P' deux points symétriques par Π

==> même charge en P et P'

==> d E⃗ P(M )+d E⃗P '(M ) ∥ Π

Prop. 2 : Pour tout point M de l'espace : soit M' le symétrique de M par la symétrie orthogonale de plan : EM ' est le symétrique de EM par la symétrie orthogonale de plan .

Soient P et P' deux points symétriques par Π==> même charge en P et P'

Soient M et M' deux points symétriques par Π :

d E⃗ P(M ')+d E⃗P ' (M ') et d E⃗ P(M )+d E⃗P ' (M ) sont symétriques par la symétrie de plan Π .

L2S3 - Résumé électrostatique 1/5 v. 07/11/13

d τ

d E⃗P ' (M ) d E⃗P(M )

d E⃗P(M )+d E⃗P' (M )

d E⃗P(M ' )

d E⃗P' (M ) d E⃗P(M ')

d E⃗P(M )

P

Md u⃗ P⃗M

τ

Soit Π* un plan d'anti-symétrie de la distribution de charges :

Prop. 1 : Pour tout point M∈Π* : E⃗(M ) ⊥ Π

*

Soient P et P' deux points symétriques par Π*

==> charges opposées en P et P'

==> d E⃗ P(M )+d E⃗P '(M ) ⊥ Π*

Prop. 2 : Pour tout point M de l'espace : soit M' le symétrique de M par la symétrie orthogonale de plan Π* : −E M ' est le symétrique de EM par la symétrie orthogonale de plan Π* .

Soient P et P' deux points symétriques par Π==> même charge en P et P'

Soient M et M' deux points symétriques par Π :

−(d E⃗ P(M ')+d E⃗P ' (M ')) et d E⃗ P(M )+d E⃗P '(M ) sont symétriques par la symétrie de plan Π .

● Invariances :

• S'il y a invariance de la distribution de charges par toutes les translations le long d'un axe (parexemple l'axe Oz) alors ∥E⃗(M )∥ et M ne dépendent pas de la coordonnée le long de cet axe(par exemple z)

• S'il y a invariance de la distribution de charges par toutes les rotations autour d'un axe (parexemple l'axe Oz) alors ∥E⃗(M )∥ et M ne dépendent pas de l'angle qui fait tourner autour decet axe.

● Lien entre E⃗ et φ en électrostatique : E⃗(M ) = −g⃗rad φ(M )

Propriété du gradient (définition) : d φ = g⃗rad φ . d l⃗ donc d φ = −E⃗.d l⃗

En coordonnées cartésiennes : grad =∂

∂ xux

∂

∂ yuy

∂

∂ zuz

En coordonnées cylindriques et sphériques si ne dépend que de r : g⃗rad φ =d φd r

u⃗r

● Circulation de E⃗ de A à B le long d'un chemin : CΓ , AB( E⃗) = ∫Γ , A→BE⃗ .d l⃗

Propriété : En électrostatique CΓ , AB( E⃗) = ∫Γ , A→BE⃗ .d l⃗ = −∫Γ , A→B

d φ = φ(A)−φ(B) ne

dépend pas du chemin suivit pour aller de A jusqu'à B : E est un champ de vecteurs à circulationconservative.

Remarque : Si Γ est un contour fermé : CΓ( E⃗) = ∫Γ , A→AE⃗ .d l⃗ = 0

L2S3 - Résumé électrostatique 2/5 v. 07/11/13

d E⃗P(M )+d E⃗P' (M )

d E⃗P(M )

d E⃗P ' (M )

d E⃗P(M ')

d E⃗P' (M ')

d E⃗P' (M )

d E⃗P(M)

● Déf. : Ligne de champ : courbe tangente en chacun de ses points aux vecteurs champ et orientée dansle sens du champ.

Propriétés : Si deux lignes de champ de E⃗ se croisent en M alors : E⃗(M )=0⃗ ou E⃗(M ) n'est pas défini(diverge).

Déf. : Tube de champ : ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.

● Déf. : Surface équipotentielle : ensemble des points de l'espace quisont au même potentiel.

Propriétés : • En tout point M, l'équipotentielle qui passe par M est perpendiculaire à la ligne de champ qui

passe par M.• Le long d'une ligne de champ de E le potentiel décroît. • La direction de E⃗(M ) correspond à la direction et au sens de la plus grande diminution du

potentiel à partir de M.

22 . Théorème de Gauss

● Déf. Flux d'un champ de vecteur AM à travers une surface S : Flux=∬M∈SA⃗ (M ).d S⃗ (M)

avec d S M perpendiculaire à la surface élémentaire dS(M) et ∥d S∥=dS

(choix arbitraire pour le sens de d S ).

Si S est une surface fermée (c-à-d une surface qui entoure complètement un volume fini) : on prend obligatoirement d S M vers l'extérieur de la surface fermée et on note : ∬ ...

● Théorème de Gauss :

Quelle que soit la surface fermée S : ∬P∈SE⃗(P) .d S⃗(P) =

Qintϵ0

avec Qint = charges à l'intérieur de S.

Il s'agit du flux « sortant » car d S est vers l'extérieur.

Utiliser le théorème de Gauss pour calculer EM (conseils pratiques) :

1. Rechercher les symétries pour connaître la direction de E en tout point de l'espace.

2. Utiliser les invariances de la distribution de charges pour en déduire les conséquences pour ∥E⃗∥ .

3. Choisir une surface fermée SG (appelée surface de Gauss) passant par M , telle qu'en chaque point P de cette surface EP∥SG ou EP⊥SG .

4. Utiliser ∬P∈SG

E P.d S P =Qint0

pour déterminer EM .

L2S3 - Résumé électrostatique 3/5 v. 07/11/13

lignes de champ

d S⃗

● Continuité de E et :

• est toujours continu en tout point où il ne diverge pas (c-à-d s'il y a des charges volumiques ou surfaciques).

• diverge (n'est pas pas défini) en M s'il y a une charge linéïque ou ponctuelle en M.

• E est continu en M s'il y a une charge volumique (ou pas de charge) en M .

• E est discontinu en M (mais ne diverge pas) s'il y a une charge surfacique en M .

• E diverge (n'est pas pas défini) en M s'il y a une charge linéïque ou ponctuelle en M.

33 . Formes locales

● Divergence d'un champ de vecteur : div

Déf. : Soit un champ de vecteur AM . Soit un volume élémentaire d τ(M ) entourant le point M,

délimité par la surface fermée S : ∬P∈SA⃗(P) .d S⃗(P) = div A⃗ d τ

En coordonnées cartésiennes : div A⃗ =∂ A x

∂ x+∂ A y

∂ y+∂ A z

∂ z

En coordonnées cylindriques et sphériques : si A⃗ (M )=A(r) u⃗r alors div A⃗ =∂ A∂r

.

Déf. : Le Laplacien d'une fonction scalaire f(M) est : Δ f (M ) = div g⃗rad f (M )

En coordonnées cartésiennes : Δ f (x , y , z) =∂

2 f∂ x2 +

∂2 f∂ y2 +

∂2 f∂ z2

● Rotationnel d'un champ de vecteur r⃗ot :

Déf. : Soit un champ de vecteur A⃗ (M ) . Soit une surface élémentaire d S (M ) en M, délimitée par le contour fermé :

∫P∈ΓA⃗ (P).d l⃗ (P) = r⃗ot A⃗ .d S⃗

Attention : le sens de d l⃗ et de d S⃗ doivent être compatibles (règle de la main droite).

En coordonnées cartésiennes : r⃗ot A⃗ = (∂ A z

∂ y−

∂ A y

∂ z )u⃗x + (∂ A x

∂ z−

∂A z

∂ x )u⃗ y + (∂ A y

∂ x−

∂ Ax

∂ y )u⃗ z

● Formules de l'électrostatique :

Forme globale Forme locale

Circulation de E enélectrostatique.

∫P∈ΓE⃗ (P).d l⃗ (P) = 0 r⃗ot E⃗(M ) = 0⃗

Théorème de Gauss ∬P∈SE⃗(P) .d S⃗(P) =

Qintϵ0 div E⃗(M ) =

ρ(M )ϵ0

Équation de Poisson de l'électrostatique : Δφ +ρϵ0

= 0

L2S3 - Résumé électrostatique 4/5 v. 07/11/13

d l⃗

d l⃗

44 . Conducteurs et condensateurs

● Dans un conducteur parfait à l'équilibre électrostatique :

• Il y a toujours des charges mobiles qui peuvent se déplacer librement dans le conducteur

• E⃗intérieur = 0⃗ et φintérieur = Constant

• La densité volumique de charges (charges mobiles + charges fixes) est nulle : ρintérieur=0 ==> La charge du conducteur est en surface du conducteur (charge surfacique σ )

● Théorème de Coulomb : Au voisinage d'un point P de la surface d'un conducteur parfait à l'équilibre

électrostatique, à l'extérieur, le champ électrostatique est E⃗ =σ(P)ϵ0

n⃗ avec n⃗ vecteur normal à

la surface en P dirigé vers l'extérieur.

● Déf. : Un Condensateur est composé de deux conducteurs parfaits à l'équilibre électrostatique, dontune surface S1 du conducteur 1 et une surface S2 du conducteur 2 sont en influence totale.

Deux surfaces sont dites en influence totale si toutes les lignes de champ qui partent d'une surfacearrivent sur l'autre surface (et inversement).

Les charges Q1 et Q2 de 2 surfaces en influence totale sont opposées : Q2 = −Q1

● Déf. : Il existe une constante positive, qui ne dépend que de la forme du condensateur, appeléecapacité C, telle que : Q1 = C (φ(conducteur 1)−φ(conducteur 2)) = CU

U est la différence de potentiel aux bornes du condensateur : U=φ(conducteur1)−φ(conducteur 2)

L'énergie potentielle électrostatique d'un condensateur chargé est : Epot =12

C U 2=

12

Q2

C

A connaître : Capacité d'un condensateur plan : C=ϵ0Se

avec S surface et e épaisseur.

Prop. Deux condensateurs en série de capacités C1 et C2 sont équivalents à un condensateur de capacité

Céq telle que : 1

C éq

=1

C1

+1

C2

Prop. Deux condensateurs en parallèle (dérivation) de capacités C1 et C2 sont équivalents à uncondensateur de capacité C éq = C1+C 2 .

L2S3 - Résumé électrostatique 5/5 v. 07/11/13