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Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du Canton du Vaud CD:\ELP\Cours\Chap4 M. Correvon Electronique de puissance __________ Chapitre 4 PHASEURS SPATIAUX -π/6 π/6 1 2 3 4 5 6 α β i s (t1) 1 Î i1(t1) 2 i3(t1) ω 1 2 3 4 3 5 6 60 40 20 -60 -40 -20 0 20 40 60 -60 -40 -20 0 (UE,UE,0) (0,UE,0) (0,UE,UE) (UE,0,0) (UE,0,UE) (0,0,UE) i2(t1)
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  • Haute Ecole dIngnierie et de Gestion du Canton du Vaud

    CD:\ELP\Cours\Chap4 M. Correvon

    Electronique de puissance __________ Chapitre 4

    PHASEURS SPATIAUX

    -/6

    /6

    1

    2

    34

    5

    6

    is(t1)

    1i1(t1)

    2

    i3(t1)

    1

    23

    4

    35 6

    60

    40

    20

    -60 -40 -20 0 20 40 60

    -60

    -40

    -20

    0

    (UE,UE,0)(0,UE,0)

    (0,UE,UE) (UE,0,0)

    (UE,0,UE)(0,0,UE)

    i2(t1)

  • T A B L E D E S M A T I E R E S

    PAGE 4. PHASEURS SPATIAUX ..............................................................................................................................................1

    4.1 INTRODUCTION........................................................................................................................................................1 4.2 DFINITION DES PHASEURS SPATIAUX....................................................................................................................3

    4.2.1 Dfinition...........................................................................................................................................................3 4.2.2 Composantes des phaseurs spatiaux................................................................................................................5 4.2.3 Composante homopolaire.................................................................................................................................7 4.2.4 Reconstitution des grandeurs triphases..........................................................................................................7 4.2.5 Dfinition de la puissance apparente...............................................................................................................9 4.2.6 Transformation de coordonnes.....................................................................................................................12

    4.3 TRANSFORMATION DIRECTE .................................................................................................................................14 4.4 EXEMPLE DE PHASEURS SPATIAUX EN RGIME STATIONNAIRE............................................................................15

    4.4.1 Rgime stationnaire sinusodal.......................................................................................................................17 4.4.2 Rgime stationnaire rectangulaire .................................................................................................................19 4.4.3 Rgime stationnaire triangulaire....................................................................................................................21 4.4.4 Transformation inverse...................................................................................................................................23

    4.5 PHASEURS SPATIAUX APPLIQUS AUX CIRCUITS TRIPHASS ................................................................................24 4.5.1 Circuit quivalent pour les phaseurs spatiaux...............................................................................................25 4.5.2 Circuit quivalent pour les composantes homopolaires................................................................................27 4.5.3 Transformation de coordonnes.....................................................................................................................28

    4.6 PHASEURS SPATIAUX EN RGIME TRANSITOIRE....................................................................................................30 4.6.1 Gnralits ......................................................................................................................................................30 4.6.2 Structure de la charge.....................................................................................................................................30 4.6.3 Solution analytique de l'quation diffrentielle..............................................................................................32 4.6.4 Transformation de coordonnes.....................................................................................................................35 4.6.5 Trajectoire et allure temporelle dans le systme de coordonnes fixe..........................................................35 4.6.6 Reconstitution des courants de phase ............................................................................................................36

    Bibliographie

  • PHASEURS SPATIAUX Page 1

    4. PHASEURS SPATIAUX

    4.1 INTRODUCTION Les systmes lectroniques de puissance sont presque toujours lis des circuits triphass, soit au niveau rseau d'alimentation, soit au niveau de la charge (moteur synchrone ou asynchrone par exemple). Pour la description des phnomnes stationnaires (qui sont le plus souvent non-sinusodaux) et transitoires, on fait appel des phaseurs spatiaux. Ces derniers sont donc amplement utiliss pour la modlisation des convertisseurs statiques. Ces mmes phaseurs spatiaux se prtent particulirement bien au traitement de circuits de rglage triphass. Ce sont aussi des grandeurs complexes, mais qui reprsentent de manire plus gnrale des phnomnes stationnaires et transitoires dans les circuits triphass. Les phaseurs spatiaux peuvent tre soumis une transformation de coordonnes, ce qui conduit souvent un traitement simplifi.

    ucm2

    ucm3

    ucm1

    uh

    di

    6x

    3

    s,sk,k

    s,s ucm

    ucms

    sucm

    ucmk

    kRgulateur

    ic

    ick

    k

    im2

    im3

    im1

    3

    s,sk,k

    s,s im

    ims

    s

    imkim

    k

    Onduleur

    d1d2d3d4d5d6

    Rseau triphas

    Moteur synchrone

    Capteur de position

    Mesure de courant

    (1)

    (2)

    (3)

    (5)(6)

    (4)

    (7)(8)

    (9) (10) (11)

    (12)

    (13)

    Figure 4-1 : Exemple d'asservissement de couple d'un moteur synchrone aimants permanents

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 2

    La Figure 4-1 illustre un cas classique de l'utilisation des phaseurs spatiaux pour l'asservissement du couple (courant) d'un moteur synchrone aimants permanents. On peut sparer les divers blocs en trois parties distinctes :

    1. lectronique de puissance : blocs (1), (2) et (3). 1.1 Bloc (1)

    Ce bloc reprsente le dispositif lectronique permettant de transformer le rseau alternatif triphas en une tension continue avec possibilit de travailler dans les quatre quadrants.

    1.2 Bloc (2) Aprs redressement la tension continue ainsi obtenue est filtre afin d'viter la gnration d'harmoniques de rang lev sur le rseau alternatif.

    1.3 Bloc (3) Ce bloc n'est rien d'autre que la partie onduleur ( trois branches) permettant la transformation de la source de tension continue en une source de tension triphase alternative dont il est possible de contrler la tension de sortie ainsi que sa frquence.

    2. Charge et systme de mesure : bloc (4), (5) et (6). 2.1 Bloc (4)

    Dans le cas de l'asservissement du couple (courant) d'un moteur synchrone, il est ncessaire de mesurer le courant dans chaque phase. En gnral, pour des systmes symtriques, le courant dans la troisime phase peut tre dduit du courant dans les deux autres phases.

    2.2 Bloc (5) Ce bloc reprsente la charge sous la forme, c'est un exemple, d'un moteur synchrone aimants permanents.

    2.3 Bloc (6) A un moteur du type dfini par le bloc (5), il est ncessaire d'y adjoindre un capteur de position permettant de connatre en tout temps la position relative rotor stator.

    3. lectronique de commande : blocs (12) et (13). 3.1 Bloc (12)

    Que la commande soit analogique ou numrique, le principe reste le mme. Comme pour tout modulateur PWM, il est ncessaire de comparer un signal de commande un signal de rfrence sous la forme d'un triangle ou d'une dent de scie. Le rsultat de cette comparaison est un signal rectangulaire de frquence fixe mais de rapport cyclique variable.

    3.2 Bloc (13) Ce bloc correspond la comparaison du signal de rfrence du bloc (12) avec chaque tension de commande provenant du calculateur de processus, ou de l'lectronique analogique d'asservissement. La sortie fournit les six commandes d'ouverture / fermeture des contacteurs de puissance, ceci en tenant compte du temps d'antichevauchement propre au choix de la technologie des composants de puissance slectionns.

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 3

    4. L'asservissement (7), (8), (9), (10) et (11). 4.1 Bloc (7)

    Correspond la transformation de coordonnes permettant de passer du systme triphas un phaseur spatial complexe dont le rfrentiel est fixe (par exemple stator du moteur synchrone).

    4.2 Bloc (8) Correspond la transformation de coordonnes permettant de passer du phaseur spatial complexe dont le rfrentiel est fixe un rfrentiel tournant la pulsation lectrique du moteur (dpend de la vitesse de rotation du moteur et du nombre de paires) de ples.

    4.3 Bloc (9) Le rgulateur est un organe analogue ou numrique permettant d'excuter l'algorithme de rglage propre l'application. Il s'agit donc soit d'un calculateur, soit d'une carte analogique. Vu la complexit du systme et les progrs technologiques en matire de vitesse d'excution, en gnral les algorithmes de calcul des blocs (7) (13) sont implants dans un calculateur numrique.

    4.4 Bloc (10) Aprs traitement par le rgulateur, les sorties de ce dernier, correspondant un rfrentiel tournant selon la dfinition du point 4.2, sont converties afin d'tre compatibles au phaseur spatial li un rfrentiel fixe.

    4.5 Bloc (11) Des composantes du vecteur spatial { }ss uu , , il est ncessaire de dduire les tensions de phase { puis de branche }321 ,, uuu { }302010 ,, uuu (moyenne glissante sur une priode de pulsation) et enfin d'en dduire les grandeurs de commande

    qui dfinissent les temps d'enclenchement et de dclenchement des contacteurs statiques de chaque de branche de l'onduleur. { 321 ,, cmcmcm uuu }

    3

    s,s

    (11)

    u cm

    1=f 1(

    u 1(t)

    ,u2(t

    ),u3(t

    ))u c

    m2=

    f 2(u 1

    (t),u

    2(t),u

    3(t))

    u cm

    3=f 3(

    u 1(t)

    ,u2(t

    ),u3(t

    ))

    u1(t)

    u2(t)

    u3(t)

    ucm1(t)

    ucm2(t)

    ucm3(t)

    u(t)s

    u(t)s

    Figure 4-2 : Transformation du phaseur spatial (rfrence fixe) aux tensions de branches

    4.2 DFINITION DES PHASEURS SPATIAUX

    4.2.1 Dfinition Pour les systmes triphass symtriques, les variables d'tats ({u1, u2, u3}, {i1, i2, i3}, ) ne sont pas linairement indpendantes. IL est donc possible de transformer ce systme en un systme biphas de reprsentation quivalente. Sous forme matricielle, cette transformation s'exprime sous la forme suivante

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 4

    ( ) ( )( ) ( )

    =

    =

    )()()(

    34sin32sin034cos32cos1

    32

    )(

    )()(

    3

    2

    1

    tututu

    tu

    tut

    s

    s

    su 4.1

    Le phaseur spatial de tension est galement reprsent de manire complexe sous la forme

    )()()( tujtut ss +=su 4.2

    ou encore

    ))()()((32)( 3

    221 tututut ++= aau

    s 4.3

    avec

    23

    21

    34sin

    34cos

    23

    21

    32sin3

    2cos

    *34

    2

    32

    =

    +

    ===

    +=

    +

    ==

    jjae

    jje

    j

    j

    a

    a 4.4

    s

    a2

    a1

    1

    2

    3

    sa0

    Figure 4-3 : Reprsentation vectorielle de a0, a1 et a2

    Les Figure 4-4 et Figure 4-5 montrent la construction du phaseur spatial d'un systme triphas en rgime stationnaire sinusodal. Les valeurs instantanes aux temps t0 et t1 sont reportes sur trois axes dphass d'un angle de 2/3. Par addition gomtrique, on trace 3us/2 et le phaseur spatial us. L'indice suprieur s indique que ces grandeurs sont exprimes dans le systme de coordonnes fixe (par rapport au stator d'une machine triphase par exemple). Cette distinction est importante puisque les phaseurs spatiaux peuvent tre soumis une transformation de coordonnes.

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 5

    u1 u2 u3

    u

    t

    t0 t1 Figure 4-4 : Reprsentation temporelle dun systme triphas symtrique

    t0

    s

    a2u3(t0)

    au2(t0)

    u1(t0) 1

    2

    3

    us(t0)

    us(t0)23

    s

    s

    a2u3(t1)au2(t1)

    u1(t1)1

    2

    3

    us(t1)

    us(t1)23

    s

    t1

    Reprsentation correspondant au temps t0 Reprsentation correspondant au temps t1

    Figure 4-5 : Reprsentation vectorielle du phaseur de tension pour un systme triphas symtrique

    4.2.2 Composantes des phaseurs spatiaux

    Un phaseur spatial us peut-tre exprim soit en coordonnes polaires

    )()( tj seut =su 4.5

    soit en coordonnes cartsiennes

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 6

    )()()( tujtut ss +=su 4.6

    Dans le premier cas, l'angle s est en gnral variable en fonction du temps. Par contre, le module u reste constant pour un phnomne stationnaire sinusodal. Sa valeur correspond la valeur de crte des tensions de phases (tensions simples). Lors de phnomnes non sinusodaux ou transitoires, le module u varie en fonction du temps. Dans le deuxime cas, les composantes u

    s(t) et us(t) correspondent respectivement la

    valeur relle et imaginaire du phaseur spatial us(t). Les composantes u

    s(t) et us(t) peuvent tre exprimes directement l'aide des trois tensions

    de phases u1(t), u2(t), u3(t). De la relation 4.3, on obtient aprs dcomposition en valeur relle et imaginaire

    ))()()(2(31)( 321 tutututu

    s = 4.7

    ))()((3

    1)( 32 tututus = 4.8

    Dans les circuits triphass symtriques, il existe la condition

    0)()()( 321 =++ tututu 4.9

    mme en rgime transitoire. L'expression pour us(t) se simplifie et on a

    )()( 1 tutus = . 4.10

    La composante us(t) est gale la tension de phase u1(t) et la composante u

    s(t) correspond, au facteur 3/1 prs la valeur instantane de la tension compose entre les phases 2 et 3. On peut monter que le second terme de la relation 4.8 pour module une valeur identique u1(t) mais une phase dcale de -90 par rapport l'axe supportant u1. En rgime stationnaire sinusodal, ces composantes varient sinusodalement en fonction du temps avec une amplitude gale celle des tensions de phases. En effet les composantes u

    s(t) et us(t) peuvent tre exprimes directement l'aide des trois

    tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t). A l'aide de la relation 4.3, et aprs dcomposition en valeurs relle et imaginaire, on obtient

    ))()((3

    1)()( 321 tutujtut +=su 4.11

    or pour un systme symtrique et sinusodal, on a

    )cos()(1 ttu =

    )3

    2cos()(2 = ttu

    )3

    4cos()(3 = ttu

    4.12

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 7

    et par consquent

    ))3

    4cos()3

    2cos((3

    1)cos()( += ttjttsu 4.13

    Dans la partie imaginaire on a la relation trigonomtrique suivante

    )sin(3)3

    2sin()sin(2)3

    4cos()3

    2cos( tttt == 4.14

    par consquent, la relation 4.13 devient

    ( ))sin()cos()( tjtt += su 4.15

    ou en coordonnes polaires

    tjet = )(su 4.16

    Comme le montre la Figure 4-6, il suffit de projeter le phaseur spatial us sur les trois axes 1, 2, 3 pour obtenir les tensions de phases u1(t), u2(t), u3(t)

    4.2.3 Composante homopolaire Lorsque le point neutre n'est pas flottant dans un circuit triphas ou pour des tensions non sinusodales, il est possible que la relation 4.9 ne soit pas vrifie. Dans un tel cas, il existe une composante homopolaire dfinie par

    ))()()((31)( 3210 tutututu ++= 4.17

    La composante us devient, l'aide des relations 4.7 et 4.17

    )()()( 01 tututus = 4.18

    4.2.4 Reconstitution des grandeurs triphases

    A partir du phaseur spatial us, il est possible de reconstituer les valeurs instantanes des grandeurs triphases. Cette transformation inverse, sous forme matricielle prend la forme suivante

    ( ) ( )( ) ( )

    +

    =

    )()()(

    )(

    )(

    34sin34cos32sin32cos

    01

    )()()(

    0

    0

    0

    3

    2

    1

    tututu

    tu

    tu

    tututu

    s

    s

    4.19

    Lorsqu'il y a une composante homopolaire, cette dernire doit tre ajoute chaque tension de phase reconstitue. Cette opration conduit aux relations analytiques 4.20.

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 8

    )()}({)(

    )()}({)(

    )()}({)(

    02

    3

    01

    2

    01

    tutetu

    tutetu

    tutetu

    +=

    +=

    +=

    s

    s

    s

    ua

    ua

    u

    4.20

    En effet, sachant que

    23

    21

    34sin

    34cos

    23

    21

    32sin

    32cos

    3/42

    3/21

    jje

    jje

    j

    j

    +=

    ==

    =

    ==

    a

    a 4.21

    on peut crire pour la premire ligne de 4.20

    )()())()()(2(31

    ))}()((3))()()(2(31{

    ))}()()((32{)}({

    01321

    32321

    32

    21

    tututututu

    tutujtututue

    tututuete

    ==

    +=

    ++= aaus

    4.22

    puis pour la deuxime ligne de 4.20

    )()())()(2)((31

    ))}()((3))()(2)((31{

    ))}()()((32{)}({

    02321

    13321

    32121

    tututututu

    tutujtututue

    tututuete

    =+=

    ++=

    ++= aaua s

    4.23

    et enfin pour la troisime ligne de 4.20

    )()())(2)()((31

    ))}()((3))(2)()((31{

    ))}()()((32{

    ))}()()((32{)}({

    03321

    21321

    322

    1

    321

    122

    tututututu

    tutujtututue

    tututue

    tututuete

    ==

    ++=

    ++=

    ++=

    aa

    aaua s

    4.24

    Si le phaseur spatial us est exprime par les composantes us et u

    s, on trouve

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 9

    ( ) ( )

    ( ) ( ) )()(23)(

    21)()(34sin)(34cos)(

    )()(23)(

    21)()(32sin)(32cos)(

    )()()(

    003

    002

    01

    tututututututu

    tututututututu

    tututu

    ssss

    ssss

    s

    +=++=

    ++=++=

    +=

    4.25

    tus=(c

    ost+jsin(t)

    )

    s

    s

    u1(t)=cos(wt)

    u 3(t)

    =co

    s(

    t-4

    /3)

    u2 (t)=cos(

    t-2 /3)

    2

    4/3-t/3-t

    Phase 2

    Phase 3

    Phase 1

    u2 (t)=cos(

    u 3(t)

    =co

    s(

    t-4

    /3) t-2 /3)

    Figure 4-6 : Reconstitution des tensions de phases

    4.2.5 Dfinition de la puissance apparente A l'aide des phaseurs spatiaux pour tensions et courants, on peut dfinir la valeur instantane de la puissance apparente comme grandeur complexe selon la relation

    00323 iuqjp +=+= ss* ius 4.26

    us* est la valeur complexe conjugue du phaseur spatial de la tension. Cette relation est valable lorsque les courants et les tensions possdent des composantes homopolaires. Seule la puissance active est modifie par le terme p0 = 3u0i0 d la composante homopolaire. Par contre, la composante homopolaire ne donne aucune contribution la puissance ractive. La partie relle de la relation 4.26 est la valeur instantane de la puissance active,

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 10

    003}{23 iup += ss* iu 4.27

    tandis que la partie imaginaire correspond la valeur instantane de la puissance ractive.

    }{23 ss* iu =q 4.28

    Pour dmonstration, on remplace dans 4.26 les phaseurs spatiaux par leur dfinition donne par la relation gnrale 4.5.

    [ ][ ]

    [ ] 00213132321

    213312321332211

    002312312

    133221332211

    00321321

    3)()()(23

    )()()(21

    32

    3)()(32

    3)(32)(

    32

    23

    iuiiuiiuiiuj

    iiuiiuiiuiuiuiu

    iuiuiuiuiuiuiuiuiuiu

    iuiiiuuu

    +

    +++

    +++++++=

    +++++++++=

    +

    ++++=

    aa

    aaaas 22**

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]312231123332211

    00123312231

    0321332211

    00213132321

    033022011332211

    )()()(3

    1

    3)()()(23

    )(23)(

    23

    32

    3)()()(23

    )3()3()3(21

    32

    iuuiuuiuujiuiuiu

    iuuuiuuiuuij

    iuuuiuiuiu

    iuiiuiiuiiuj

    iiuiiuiiuiuiuiu

    +++++=

    +

    +++

    ++++=

    +

    ++

    +++++++=s

    4.29

    Dans ces transformations, on a tenu compte que

    23

    21

    23

    21

    22

    21

    +===

    ===

    j

    j

    aaa

    aaa

    *

    *

    4.30

    En rsum, on peut crire

    [ ]312231123332211 )()()(31 iuuiuuiuujiuiuiu +++++=s 4.31

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 11

    o la partie relle est la somme des valeurs instantanes du produit tension de phase par courant de phase, ce qui donne la puissance active instantane. En rgime sinusodal permanent, cette puissance active est constante.

    Dmonstration

    +++++=

    ++

    )3

    4cos()3

    4cos()3

    2cos()3

    2cos()cos()cos(

    332211

    tttttt

    iuiuiu

    sachant que )sin()sin()cos()cos()cos( =+ , on obtient

    444444 3444444 21444 3444 21)2)1

    2

    2

    2

    )sin()3

    4sin()3

    4cos()cos()3

    4(cos)3

    4cos()3

    4cos(

    )sin()3

    2sin()3

    2cos()cos()3

    2(cos)3

    2cos()3

    2cos(

    )sin()sin()cos()cos()(cos)cos()cos(

    =+

    =+

    =+

    ttttt

    ttttt

    ttttt

    et finalement

    )cos(23

    )cos())3

    22cos(1(21)cos()

    34(cos

    )cos())3

    42cos(1(21)cos()

    32(cos

    )cos())2cos(1(21)cos()(cos

    )1

    2

    2

    2

    =+

    =

    =

    =

    tt

    tt

    tt

    0

    )sin()3

    22sin(21)sin()

    34sin()

    34cos(

    )sin()3

    42sin(21)sin()

    32sin()

    32cos(

    )sin())2sin(21)sin()sin()cos(

    )2 =+

    =

    =

    =

    ttt

    ttt

    ttt

    )cos(23

    332211 iuiuiup =++= 4.32

    o est le dphasage entre la tension et le courant pour chaque phase.

    Par contre, la partie imaginaire est la somme des valeurs instantanes du produit tension compose par courant de phase, ce qui donne la valeur instantane de la puissance ractive, compte tenu du facteur 3/1 et du dphasage de 2/ entre le courant et la tension d'un mme produit.

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 12

    Dmonstration

    [ ]312231123 )()()(31 iuuiuuiuu ++

    sachant que )2

    sin()2

    sin(2)cos()cos( +=

    4444 34444 21

    4444 34444 21

    444 3444 21

    2/

    12

    2/

    31

    2/

    23

    3

    2

    1

    )23

    4cos(3

    )3

    sin()3

    sin(2)cos()3

    2cos()(

    )23

    2cos(3

    )3

    2sin()3

    2sin(2)3

    4cos()cos()(

    )2

    cos(3)sin(3

    )sin()3

    sin(2)3

    2cos()3

    4cos()(

    deavanceenu

    deavanceenu

    deavanceenu

    t

    tttuu

    t

    tttuu

    tt

    tttuu

    +=

    =

    =

    +=

    =

    =

    +==

    =

    =

    =

    en se rfrent la dmonstration prcdente ou l'on remplace par 2/ , on obtient

    [ ] )sin(23)

    2cos(

    23)()()(

    31

    312231123 iuuiuuiuuq ==++= 4.33

    On peut exprimer les phaseurs spatiaux dans 4.26 par leurs composantes et , ainsi on obtient

    )(233)(

    23

    3)()(233

    23

    00

    0000

    ssssssss

    ssss

    iuiujiuiuiu

    iuijiujuiujqp

    +++=

    ++=+=+= s*s ius 4.34

    En reprenant la relation 4.16, on peut crire pour un systme sinusodal tjeU = su et += tjeIsi . La puissance apparente rsultante deviendra

    )sin(23)cos(

    23

    23

    23 +=== IUjIUeIU js*s ius 4.35

    4.2.6 Transformation de coordonnes Il est souvent judicieux de soumettre les phaseurs spatiaux une transforme de coordonnes. Le choix du systme de coordonnes dpend de lapplication, le but gnral tant une

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 13

    simplification des quations. En gnral cette transformation est utilise dans le cas des entranements rgls lors de la modlisation des machines champ tournant. La Figure 4-7 prsente deux systmes de coordonnes, soit {s, s} et {k, k}. tant donn le dcalage positif (k>0) du systme de coordonne k par rapport au systme de coordonnes s, on a

    sjeu(t)(t) =su 4.36

    kjk eu(t)(t)u = 4.37

    ksks += 4.38

    Et donc, sous forme complexe

    ks

    ksskss

    j

    jjj

    e(t)

    eeu(t)eu(t)(t)

    =

    ==

    s

    k

    u

    u )( 4.39

    k s

    s

    k

    u

    us

    uku

    s

    uk

    s

    k

    s-k

    Figure 4-7 : Transformation de coordonnes

    Pour des systmes de coordonnes cartsiennes

    (t)uj(t)u

    (t)u(t)uj(t)u(t)u

    j(t)uj(t)u(t)

    kk

    kss

    kss

    kss

    kss

    ksksss

    +=

    ++=

    ++=

    ))sin()cos(())sin()cos((

    ))sin()(cos()(ku

    4.40

    ou sous forme matricielle

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 14

    =

    =

    (t)u

    (t)u

    (t)u

    (t)u(t)

    s

    s

    ksks

    ksksk

    k

    )cos()sin()sin()cos(ku 4.41

    Pour le traitement des circuits triphass, il est judicieux de choisir un systme de coordonnes qui tourne la vitesse angulaire =2f selon la frquence impose aux tensions du circuit triphas. Si cette frquence est constante, on a

    )0()( ksks tt += 4.42

    O s-k(0) est la position initiale de laxe k t=0. La relation 4.39 devient

    ))0(( kstje(t)(t) += sk uu 4.43

    videmment, il est possible de passer du systme de coordonnes k au systme de coordonnes s par une transformation de coordonnes inverses

    ksje(t)(t) = ks uu 4.44

    Et pour les coordonnes cartsiennes

    (t)uj(t)u

    (t)u(t)uj(t)u(t)u

    j(t)uj(t)u

    ss

    ksk

    ksk

    ksk

    ksk

    kskskk

    +=

    ++=

    ++=

    ))sin()cos(())sin()cos((

    ))sin()(cos()(su

    4.45

    ou sous forme matricielle

    =

    =

    (t)u

    (t)u

    (t)u

    (t)u(t)

    k

    k

    ksks

    kskss

    ss

    )cos()sin()sin()cos(

    u 4.46

    4.3 TRANSFORMATION DIRECTE Il est possible de passer directement du systme triphas au vecteur spatial dans le rfrentiel tournant et inversement.

    ( ) ( )( ) ( )

    =

    =

    )()()(

    34sin32sin)sin(34cos32cos)cos(

    32

    )(

    )()(

    3

    2

    1

    tututu

    tu

    tut

    ksksks

    ksksksk

    kk

    u 4.47

    ( ) ( )( ) ( )

    =

    )(

    )(

    34sin34cos32sin32cos

    )sin()cos(

    )()()(

    3

    2

    1

    tu

    tu

    tututu

    k

    k

    ksks

    ksks

    ksks

    4.48

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 15

    4.4 EXEMPLE DE PHASEURS SPATIAUX EN RGIME STATIONNAIRE A titre dexemple, on traitera dans ce paragraphe quelques cas de rgime stationnaire. Dans chaque cas, on montrera dune part lallure temporelle des composantes et et dautre part lallure du phaseur spatial dans le plan complexe et cela dans les systmes de coordonnes fixe et tournant la vitesse de rotation angulaire . Cette analyse est ralise laide de simulink, la Figure 4-8 illustre le schma bloc raliser

    u1(t)

    u2(t)

    u3(t)

    us[alpha]

    us[beta]

    uo

    sinusoidale :Type de fonction = 1

    carre : Type de fonction = 2

    triangle : Type de fonction = 3

    uk[alpha]

    uk[beta]

    3

    Type de fonction

    3 / 2

    Transformationde coordonnes

    3~ ==> 2~

    2 / A,B

    Transformationde coordonnes

    2~ ==> A, B

    Tensionstriphases

    omega

    Pulsation

    Phaseur rfrentiel fixe(plan complese)

    Phaseur rfrence tournante

    Phaseurrfrentiel fixe

    Mux

    Mux

    Mux

    U

    Gnrateur de tensions

    Figure 4-8 : Schma bloc simulink

    REF=2 Carre

    REF=3 Triangulaire

    REF=1 Sinusoidale

    Choix de la forme de tension:

    3

    u3

    2

    u2

    1

    u1

    f(u)

    tri3

    f(u)

    tri2

    f(u)

    tri1

    f(u)

    cos3

    f(u)

    cos2

    f(u)

    cos1

    Product

    1

    1

    1

    Clock

    2pulsation

    1REF

    Figure 4-9 : Bloc U

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 16

    FIXE

    FIXE

    us[alpha]

    3

    u0

    2

    us[beta]

    1

    us[alpha]

    1/3

    1/3

    2

    -K-

    Gain : 1/sqrt(3)3

    u3

    2

    u2

    1

    u1

    Figure 4-10 : Bloc 3 / 2

    FIXE

    TOURNANT

    theta

    2

    uk[beta]

    1

    uk[alpha

    1/s

    Integrator

    sin(u)

    cos(u)3

    omega

    2

    us[beta]

    1

    us[alpha]

    Figure 4-11 : Bloc 2 / A,B

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 17

    4.4.1 Rgime stationnaire sinusodal Soit les trois tensions de phases :

    )cos()(1 += ttu

    )3

    2cos()(2 += ttu

    )3

    4cos()(3 += ttu

    Pour le phaseur spatial, on obtient

    )cos()()( 1 +== ttutus

    )sin(

    ))3

    4cos()3

    2(cos(3

    1

    ))()((3

    1)( 32

    +=

    ++=

    =

    t

    tt

    tututu s

    )(

    )sin()cos()(

    +=

    +++=+=tj

    sss

    e

    tjtujutu

    Transformation de coordonnes

    j

    tjsk

    eU

    etutu

    =

    =

    )()(

    Pour la simulation, il a t pos : Pour les paramtres

    5020

    ==

    piomegaphi

    Pour les fonctions

    )3/4cos(3cos)3/2cos(2cos

    )cos(1cos

    phipiuomegaphipiuomega

    phiuomega

    +=+=

    +=

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 18

    t [s]0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Tensions de phases u1, u2, u3 [1]

    u1(t) u2(t) u3(t)

    Tensions triphases

    t [s]0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Phaseurs us, us [1]

    us(t) us(t)

    u0 (t)

    t+

    us

    t=0 s

    s

    Phaseur spatial dans le systme de coordonnes fixe

    t [s]0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2 Phaseurs uk, uk [1]

    uk(t)

    uk(t)

    uk

    k

    k

    Phaseur spatial dans le systme de coordonnes tournant la vitesse de rotation angulaire

    Figure 4-12 : Rgime stationnaire sinusodal

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 19

    4.4.2 Rgime stationnaire rectangulaire Soit les trois tensions de phases :

    (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)

    0

    ../6

    /6.

    . /2

    /2.

    . 5/

    6

    5/6

    .. 7

    /6

    7/6

    .. 3

    /2

    3/2

    .. 11/

    6

    11/

    6.. 2

    u1(t) U U -U -U -U U U u2(t) -U U U U -U -U -U u3(t) -U -U -U U U U -U u0(t) -U/3 U/3 -U/3 U/3 -U/3 U/3 -U/3

    Pour le phaseur spatial, on obtient

    (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)

    0 ..

    /6

    /6.

    . /2

    /2.

    . 5/

    6

    5/6

    .. 7

    /6

    7/6

    .. 3

    /2

    3/2

    .. 11/

    6

    11/

    6.. 2

    us(t) 34U 32U 32U 34U 32U 32U 34U us(t) 0 32U 32U 0 32U 32U 0

    Transformation de coordonnes

    (1) (2) (3) (4)

    0 ..

    /6

    /6.

    . /2

    /2.

    . 5/

    6

    5/6

    .. 7

    /6

    .

    uk(t) )cos(34 tU )

    3cos(

    34 tU )

    32cos(

    34 tU )cos(

    34 tU

    uk(t) )sin(34 tU )

    3sin(

    34 tU )

    32sin(

    34 tU )sin(

    34 tU

    Pour la simulation, il a t pos : Pour les paramtres

    5020

    ==

    piomegaphi

    Pour les fonctions

    ))3/4(cos(3))3/2(cos(2

    ))(cos(1

    phipiuomegasignrectphipiuomegasignrect

    phiuomegasignrect

    +=+=

    +=

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 20

    t [s]1 2 3 4 5 6 1 2 3 4

    0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    u1(t)

    u2(t)u3(t)

    Tensions de phases u1, u2, u3 [1]

    Tensions triphases

    t [s]1 2 3 4 5 6 1 2 3 40 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5 Phaseurs us, us [1]

    us(t) us(t)

    u0(t) us

    s

    s

    1

    23

    4

    5 6

    4/3

    Phaseur spatial dans le systme de coordonnes fixe

    t [s]0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5 Phaseurs uk, uk [1]

    uk(t)

    uk(t)1 2 3 4 5 6 1 2 3 4

    uk

    k

    k

    4/3

    /3

    Phaseur spatial dans le systme de coordonnes tournant la vitesse de rotation angulaire

    Figure 4-13 : Rgime stationnaire rectangulaire

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 21

    4.4.3 Rgime stationnaire triangulaire Dans ce cas il existe galement une composante homopolaire damplitude U/9 et de frquence triple par rapport aux tensions de phases. On renonce ici dtailler les diverses courbes par des relations mathmatiques. On peut simplement affirmer que le phaseur us se dplace sur un hexagone une vitesse angulaire non constante. Lamplitude maximum du vecteur est donn par la relation au temps t=0

    UU

    uuu

    98))

    31()

    31(2(

    31

    ))0()0()0(2(31)0( 321

    ==

    == ss uu

    La non constance de la vitesse de rotation du phaseur us est apporte par la position non constante du phaseur uk correspondant au rfrentiel tournant une vitesse angulaire constante . Pour la simulation, il a t pos : Pour les paramtres

    5022/

    ==

    piomegaphi

    Pour les fonctions

    ))3/4(arcsin(sin23))3/2(arcsin(sin22

    ))(arcsin(sin21

    phipiuomegapiUtriphipiuomegapiUtri

    phiuomegapiUtri

    +=+=

    +=

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 22

    t [s]0 0.005 0.015 0.025 0.03

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Tensions de phases u1, u2, u3 [1]

    u1(t) u2(t) u3(t)

    2 3 4 5 6 1 2 3

    0.01 0.02

    1 4 Tensions triphases

    t [s]0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1 Phaseurs us, us [1]

    us(t)

    us(t)

    u0(t)

    2 3 4 5 6 1 2 31 4

    us

    s

    s

    8/9

    1

    23

    4

    5 6

    Phaseur spatial dans le systme de coordonnes fixe

    t [s]0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

    -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9Phaseurs ur, ur [1]

    uk(t)

    uk(t)

    uk

    k

    k

    8/9

    Phaseur spatial dans le systme de coordonnes tournant la vitesse de rotation

    Figure 4-14 : Rgime stationnaire triangulaire

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 23

    4.4.4 Transformation inverse En ralisant la transformation directe suivie d'une transformation inverse, il est possible de mettre en vidence l'importance de la composante homopolaire lors de la transformation inverse si l'on veut une reconstitution sans perte d'information

    u1(t)

    u2(t)

    u3(t)

    us[alpha]

    us[beta]

    uo

    sinusoidale :Type de fonction = 1

    carre : Type de fonction = 2

    triangle : Type de fonction = 3

    uk[beta]

    uk[alpha]3

    Type de fonction

    (A,B) / 2

    Transformationde coordonnes

    A, B ==> 2~

    3 / 2

    Transformationde coordonnes

    3~ ==> 2~

    2 / 3

    Transformationde coordonnes

    2~ ==> 3~

    2 / A,B

    Transformationde coordonnes

    2~ ==> A, B

    Tensionstriphases

    reconstitues

    Tensionstriphases

    2*pi*50

    Pulsation

    Phaseur rfrentiel tournant(plan compexe)

    Phaseur rfrentiel fixe(plan complexe) Phaseur rfrence tournante

    Phaseurrfrentiel fixe

    reconstitu

    Phaseurreferentiel fixe

    Mux

    Mux

    Mux

    Mux

    Mux

    U

    Gnrateur de tensions

    Figure 4-15 : Schma bloc simulink

    Les deux blocs de transformation inverses sont reprsents par les deux figures qui suivent. La transformation de coordonnes 2/3 montrent la ncessit de l'utilisation de la composante homopolaire.

    TOURNANT

    FIXE

    THs

    2

    us[beta]

    1

    us[alpha]

    1/s

    Integrator

    sin(u)

    cos(u)3

    omega

    2

    uk[beta]

    1

    uk[alpha]

    Figure 4-16 : Bloc A,B / 2

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 24

    FIXE

    FIXE

    us[beta]

    us[alpha]

    3

    u3

    2

    u2

    1

    u1

    -K-

    1/2

    -K-

    1/2

    3

    u0

    2

    us[beta]

    1

    us[alpha]

    Figure 4-17 : Bloc 2 / 3

    4.5 PHASEURS SPATIAUX APPLIQUS AUX CIRCUITS TRIPHASS Circuit triphas Soit le systme triphas dont la seule contrainte est le neutre flottant. Les tensions u10, u20 et u30 correspondent aux tensions de branches de londuleur triphas. Les tension u1, u2 et u3 sont les tensions de phases du systme triphas. La Figure 4-18 illustre la topologie du circuit

    Lui1

    R

    Lui2

    R

    Lui3

    Ru10u20

    u30

    uN

    u1

    u2

    u3

    (-)

    N

    Figure 4-18 : Systme triphas

    Pour les trois tensions de phases du circuit, on a les quations

    )()()()( 1111 tutiRtidtdLtu i++= 4.49

    )()()()( 2222 tutiRtidtdLtu i++= 4.50

    )()()()( 3333 tutiRtidtdLtu i++= 4.51

    Le neutre flottant impose une somme des courants de phases nulle

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 25

    0)()()( 321 =++ tititi 4.52

    On peut galement crire les relations liant les tensions de branches, les tensions de phases et la tension du point neutre

    )()()( 110 tututu N= 4.53

    )()()( 220 tututu N= 4.54

    )()()( 330 tututu N= 4.55

    4.5.1 Circuit quivalent pour les phaseurs spatiaux En multipliant u2(t) par a et u3(t) par a2, on obtient

    )()())(()(

    )()())(()(

    )()()()(

    32

    22

    22

    32

    2222

    1111

    tutiRtidtdLtu

    tutiRtidtdLtu

    tutiRtidtdLtu

    i

    i

    i

    ++=

    ++=

    ++=

    aaaa

    aaaa 4.56

    Soit, en utilisant la dfinition du phaseur spatial

    ))()()((32

    ))()()((32

    ))()()(((32))()()((

    32)(

    32

    21

    32

    21

    32

    2132

    21

    tututu

    tititiR

    tititidtdLtututut

    iii +++

    +++

    ++=++=

    aa

    aa

    aaaaus

    4.57

    Sachant que

    ))()()((32)( 3

    221 tututut ++= aau

    s 4.58

    ))()()((32)( 3

    221 tututut iii ++= aau

    si 4.59

    ))()()((32)( 3

    221 tititit ++= aai

    s 4.60

    On peut crire la relation gnrale

    )()()()( ttRtdtdLt si

    sss uiiu ++= 4.61

    En pratique de mme avec les relations 4.53, 4.54 et 4.55, on obtient

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 26

    )()()(

    )()()()()()(

    23

    230

    2220

    110

    tututu

    tutututututu

    N

    N

    N

    =

    ==

    aaa

    aaa 4.62

    et sachant que

    ))()()((32)( 30

    22010 tututut ++= aau

    s0 4.63

    01 2 =++ aa 4.64

    on a la relation

    0)()( = tt ss0 uu 4.65

    La Figure 4-19 donne le schma quivalent valable pour les phaseurs spatiaux. On voit que ce circuit quivalent correspond formellement celui dune phase

    Luis

    R

    u0sus

    (-)

    N

    Figure 4-19 : Schma quivalent pour les phaseurs spatiaux

    Pour le traitement numrique, il est possible de dcomposer le schma quivalent de la Figure 4-19 en une reprsentation cartsienne compose des tensions et courants selon les axes et

    Lui

    R

    Lui

    Ru0

    u0

    u

    u

    i

    i N

    s

    s s

    s

    s

    s

    s

    s

    Figure 4-20 : Schma quivalent pour les phaseurs spatiaux, reprsentation cartsienne

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 27

    )()()()(

    )()()()(

    tutiRtidtdLtu

    tutiRtidtdLtu

    si

    sss

    si

    sss

    ++=

    ++= 4.66

    La Figure 4-21 illustre le diagramme structurel dune telle reprsentation. En effet, on peut crire la relation 4.67 sous la forme

    ( ) ( )

    ( ) ( )ssissLssiss

    ssi

    ssLssi

    ss

    iRuusL

    itiRtutuL

    tidtd

    iRuusL

    itiRtutuL

    tidtd

    ==

    ==

    1)()()(1)(

    1)()()(1)( 4.67

    1sL

    R

    us

    uis

    is

    1sL

    R

    us

    uis

    is

    Figure 4-21 : Diagramme structurel pour les axes et

    4.5.2 Circuit quivalent pour les composantes homopolaires En additionnant les relations 4.49, 4.50, 4.51 et en tenant compte de la relation 4.52, on peut crire la relation

    ))()()((31)()( 32100 tututututu iiii ++== 4.68

    o u0(t) est la composante homopolaire des tensions de phases et ui0(t) la composante homopolaire des tensions internes. Par sommation des relations 4.53, 4.54, 4.55 on obtient

    )()()()()( 000000 tututututu iN == 4.69

    o u00(t) est la composante homopolaire des tensions de branches. Le circuit quivalent pour les composantes homopolaires prend la forme suivante

    u0=ui0

    u00(-)

    uN

    N

    Figure 4-22 : Schma quivalent pour les composants homopolaires

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 28

    4.5.3 Transformation de coordonnes Il est possible de soumettre la relation 4.61 une transformation de coordonnes, en particulier dans le systme de coordonnes tournant vitesse de rotation angulaire en concordance avec la pulsation =2f des tensions d'alimentation. Dans ce but, on doit remplacer us et is par

    tj

    tj

    ett

    ett

    =

    =

    )()(

    )()(ks

    ks

    ii

    uu 4.70

    ou l'on a pos 00 =k . A partir de la relation 4.61, il est possible de faire les transformations suivantes :

    ( )( ) tjtjtjtj

    tjtjtjtj

    etetRetLjetdtdL

    etetRetdtdLet

    +++=

    ++=

    )()()()(

    )()()()(

    ki

    kkk

    ki

    kkk

    uiii

    uiiu 4.71

    aprs division par , il reste tje

    )()()()()( ttRtLjtdtdLt ki

    kkkk uiiiu +++= 4.72

    A noter que le troisime terme jLik(t) est d la rotation du systme de coordonnes. Il correspond en principe la chute de tension inductive lors du calcul complexe avec les phaseurs. Cependant, dans le cas prsent, ce terme est valable non seulement pour le rgime tabli, mais aussi pour le rgime transitoire. On rappelle qu'en rgime stationnaire sinusodal,

    le phaseur spatial ik est constant. Par consquent la drive )(tdtd ki est nulle. Pour la relation

    4.72 il n'existe pas de circuit quivalent. Par contre, il est possible d'tablir un schma structurel. En effet cette relation peut tre dcompose en parties relle et imaginaire. On obtient alors

    )()()()()(

    )()()()()(

    tutiRtiLtidtdLtu

    tutiRtiLtidtdLtu

    ki

    kkkk

    ki

    kkkk

    +++=

    ++= 4.73

    Comme le montre la relation 4.73, il y a un couplage entre les axes et par les termes et . Ce couplage est d au systme de coordonnes tournant.

    Apparemment, il s'agit d'un inconvnient pour le traitement des circuits triphass. Cependant cet inconvnient est largement compens par le fait que les composantes et sont constantes en rgime stationnaire et sinusodal.

    )(tiL k )(tiLk

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 29

    4.5.3.1 Diagramme structurel

    Afin d'tablir un diagramme structurel pour les relations du circuit triphas exprim dans le

    systme de coordonnes tournant, on va mettre en vidence la drive kidtd dans la relation

    4.72.

    ( ) ( )kkikkkkkikkk iuiuiiuiui LjRsLLjttRtLtdtd L == 1)()()(1)( 4.74

    De cette relation, il en rsulte le diagramme structurel suivant

    jL

    R

    1sL

    ukuik

    ik

    Figure 4-23 : Diagramme structurel du circuit triphas dans le systme de coordonnes tournant

    Le phaseur spatial ku des tensions de phase forme la grandeur d'entre tandis que kiu peut-tre considr comme grandeur de perturbation. La grandeur de sortie est donne par le phaseur spatial ki des courants. Sur le bloc d'intgration 1/sL, il y a deux contre-ractions. La premire, relle, est due la rsistance ohmique R, tandis que la deuxime, imaginaire, est lie la chute de tension inductive, reprsente par le facteur jL. Grce l'emploi de phaseurs spatiaux pour les variables, le diagramme structurel se prsente sous une forme trs compacte. Il est galement possible d'tablir un diagramme structurel pour les relations dcomposes en parties relle et imaginaire. Dans ce but on crit les quations sous la forme

    ( ) ( )

    ( ) ( )kkikkkLkkikkk

    kki

    kkkLkki

    kkk

    LiuiRusL

    itLitutiRtuL

    tidtd

    LiuiRusL

    itLitutiRtuL

    tidtd

    ==

    +=+=

    1)()()()(1)(

    1)()()()(1)( 4.75

    On obtient alors le diagramme structurel suivant

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 30

    L

    R

    1sL

    L

    R

    1sL

    ukuik

    ik

    uk

    uik

    ik

    Figure 4-24 : Diagramme structurel dans le systme de coordonnes tournant par les composantes et

    De cette figure apparat clairement le couplage entre les axes et d au terme inductif L. A noter que l'intervention rciproque lieu avec un signe oppos. Lors de la dcomposition en partie relle et imaginaire la structure devient plus complexe.

    4.6 PHASEURS SPATIAUX EN RGIME TRANSITOIRE

    4.6.1 Gnralits L'utilisation de phaseur spatiaux convient particulirement bien pour traiter des phnomnes en rgime transitoire. Il est possible d'intgrer les quations diffrentielles exprimes l'aide des phaseurs spatiaux (forme complexe), soit de manire analytique ou de manire numrique. Dans le second cas, il est ncessaire de disposer d'un programme qui permet l'intgration de variables complexes (Matlab par exemple). Le cas chant, on doit effectuer une dcomposition en parties relle et imaginaire, afin d'intgrer des variables relles.. La structure devient videmment plus complique, mais elle peut tre traite l'aide de programmes de simulation standard. Dans cette section, on traitera, titre d'exemple, les phnomnes transitoires lors de l'enclenchement d'un circuit triphas dont la structure de chaque phase est identique au cas monophas tudi dans le chapitre 3 (Variateur de courant continu pulsation).

    4.6.2 Structure de la charge. Par la suite on dterminera les phnomnes transitoires lors de l'enclenchement d'un circuit triphas donc la structure est rappele la Figure 4-25 On dduit l'quation diffrentielle suivante

    )()()()( tdt

    tdLtRt sis

    ss uiiu ++= 4.76

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 31

    On peut soumettre cette quation diffrentielle une transformation de coordonnes dont le rfrentiel tourne une vitesse angulaire en concordance avec la pulsation =2f des tensions d'alimentation

    )(

    )(

    0

    0

    )()(

    )()(

    +

    +

    =

    =tj

    tj

    ett

    ettks

    ks

    ii

    uu 4.77

    pour simplifier les calculs, nous admettrons que le dphasage initial est nul 0=0

    tj

    tj

    ett

    ett

    =

    =

    )()(

    )()(ks

    ks

    ii

    uu 4.78

    Lui1

    R

    Lui2

    R

    Lui3

    Ru10u20

    u30

    uN

    u1

    u2

    u3

    (-)

    N

    (a) : Charge triphase symtrique

    Lui

    R

    Lui

    Ru0

    u0

    u

    u

    i

    i N

    s

    s s

    s

    s

    s

    s

    s

    Luis

    R

    u0sus

    (-)

    is

    N

    (b) Charge quivalent pour phaseurs spatiaux

    Figure 4-25 : Systme triphas

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 32

    4.6.3 Solution analytique de l'quation diffrentielle Tenant compte de ce qui a t dit au paragraphe prcdent et l'aide de la condition suivante

    >=

  • PHASEURS SPATIAUX Page 33

    LjReet

    ji

    tjLR

    +

    =

    +

    1)(ki 4.87

    Les conditions aux limites sont dfinies de la manire suivante

    ( ) 01)(00

    =

    +

    =

    +

    LjReeLimtLim

    ji

    tjLR

    tt

    ki 4.88

    ( )LjR

    eLjR

    eeLimtLimj

    ij

    itj

    LR

    tt

    +

    =

    +

    =

    +

    1)(ki 4.89

    En remplaant dans 4.87 , on peut crire )sin()cos( xjxe jx +=

    ( ) ( )

    ++

    +

    =

    LjRj

    LjRtjtet i

    tLR

    )sin()cos()sin()cos(1)(ki 4.90

    ou sous une autre forme

    ( )( )

    ( )( ))sin()cos()sin()cos(1)( 22 jLRLjRtjtet i

    tLR

    ++

    =

    ki 4.91

    ( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ++

    +

    +

    +=

    =

    )sin()cos()sin(

    )sin()cos()cos(1

    )sin()cos()sin(

    )sin()cos()cos(1

    1)()(

    )( 22

    LRRte

    RLLte

    RLLte

    LRRte

    LRtiti

    t

    i

    tLR

    i

    tLR

    i

    tLR

    i

    tLR

    ki 4.92

    Si le programme de calcul utilis traite les fonctions complexes, on utilisera la relation 4.87, si ce n'est pas le cas, on prendra la relation 4.92. Dans les deux cas, on obtiendra la trajectoire du phaseur spatial de courant dans le systme de coordonnes tournant la vitesse angulaire illustr la Figure 4-26. Dans cet exemple, on a choisi les valeurs numriques suivantes

    =311V (U=220V) R=12.5 L=50mH i=150V =-/6 =100 (f=50Hz)

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 34

    En rgime stationnaire, on a = 9.76A et = -29. On voit bien que la trajectoire s'approche du point de fonctionnement stationnaire sur une spirale. Le phaseur spatial du courant est retard par rapport l'axe rel sur lequel est orient le phaseur spatial de la tension d'alimentation

    0 2 4 6 8 10 12-6

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    i [A]

    i [A]

    I

    Figure 4-26 Trajectoire du phaseur spatial de courant i(t) dans le systme de coordonnes tournant

    L'allure temporelle des composantes et est reprsent la i i Figure 4-27. On voit bien sur cette figure l'oscillation amortie des rponses indicielles

    0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    t [s]

    i , i [A]

    i

    i

    Figure 4-27 Allure temporelle des composantes et dans le systme de coordonnes tournant i i

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 35

    4.6.4 Transformation de coordonnes La solution obtenue dans le systme de coordonnes tournant la vitesse angulaire peut tre soumise une transformation de coordonnes. On obtient alors facilement la trajectoire de phaseur spatial )(tsi du courant dans le systme de coordonnes fixe. A l'aide de la relation 4.78et 4.87, on peut crire

    LjRe

    eetj

    itLR

    tj

    +

    =

    )(si 4.93

    puis utilisant la relation )sin()cos( xjxe jx +=

    ( )( )( ))sin()cos()sin()cos()( 22

    jLRLjRetjtt i

    tLR

    ++

    +=

    si 4.94

    et enfin en sparant les parties relle et imaginaire

    ( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ++

    +

    +

    +=

    =

    )sin()cos()sin(

    )sin()cos()cos(

    )sin()cos()sin(

    )sin()cos()cos(

    1)(

    )()( 22

    LRRt

    RLLet

    RLLt

    LRRet

    LRti

    tit

    i

    i

    tLR

    i

    i

    tLR

    s

    ssi 4.95

    4.6.5 Trajectoire et allure temporelle dans le systme de coordonnes fixe

    En utilisant les relations 4.93 ou 4.95, on peut tracer la trajectoire du phaseur spatial si dans le plan complexe , on obtient la ),( ss ii Figure 4-28

    Dans cet exemple, les tensions d'alimentation triphases sont enclenches l'instant o la tension de la premire phase u1 a atteint la valeur de crte. On voit que la trajectoire s'approche d'un cercle avec un retard qui est accumul tout de suite aprs l'enclenchement. Le cercle est dtermin par le rgime stationnaire et possde un rayon gal = 9.76A .

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 36

    -10 -5 0 5 10

    -10

    -5

    0

    5

    10

    is(t)

    s

    ][Ai s

    ][Ai s

    Figure 4-28 Trajectoire du phaseur spatial si dans le systme de coordonnes fixe

    4.6.6 Reconstitution des courants de phase Comme on l'a dmontr au paragraphe 4.2.4, il est possible de reconstruire les courants triphass i1(t), i2(t) et i3(t) partir des composantes et . On peut donc crire si

    si

    ( ) ( )( ) ( )

    +

    =

    )()()(

    )(

    )(

    34sin34cos32sin32cos

    01

    )()()(

    0

    0

    0

    3

    2

    1

    tititi

    ti

    ti

    tititi

    s

    s

    4.96

    en sachant que i0(t)=0. Sous forme algbrique, la relation matricielle 4.96 devient

    )(23)(

    21)(

    )(23)(

    21)(

    )()(

    3

    2

    1

    tititi

    tititi

    titi

    ss

    ss

    s

    =

    +=

    =

    4.97

    La Figure 4-29 montre l'allure temporelle des trois courants de phase i1(t), i2(t) et i3(t). On y voit le phnomme transitoire aprs enclenchement. Une fois le rgime stationnaire tabli, les courat volue de manire sinusodale.

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  • PHASEURS SPATIAUX Page 37

    0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    i1(t)i2(t) i3(t)

    t [s]

    i1(t), i2(t), i3(t)

    Figure 4-29 Allure temporelle des courants de phase i1(t), i2(t) et i3(t)

    CD:\ELP\Cours\Chap4

  • PHASEURS SPATIAUX Page 38

    BIBLIOGRAPHIE

    [1] CONVERTISSEURS STATIQUES Auteur : Hansruedi Bhler Chapitre 1 Presses Polytechniques et Universitaires Romandes ISBN : 2-88074-230-7

    [2] Rglage de systmes dlectronique de puissance VOLUME 1 : THORIE Auteur : Hansruedi Bhler Annexe ISBN : 2-88074-341-9

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    4. PHASEURS SPATIAUX4.1 Introduction4.2 Dfinition des phaseurs spatiaux4.2.1 Dfinition4.2.2 Composantes des phaseurs spatiaux4.2.3 Composante homopolaire4.2.4 Reconstitution des grandeurs triphases4.2.5 Dfinition de la puissance apparente4.2.6 Transformation de coordonnes

    4.3 Transformation directe4.4 Exemple de phaseurs spatiaux en rgime stationnaire4.4.1 Rgime stationnaire sinusodal4.4.2 Rgime stationnaire rectangulaire4.4.3 Rgime stationnaire triangulaire4.4.4 Transformation inverse

    4.5 Phaseurs spatiaux appliqus aux circuits triphass4.5.1 Circuit quivalent pour les phaseurs spatiaux4.5.2 Circuit quivalent pour les composantes homopolaires4.5.3 Transformation de coordonnes4.5.3.1 Diagramme structurel

    4.6 Phaseurs spatiaux en rgime transitoire4.6.1 Gnralits4.6.2 Structure de la charge.4.6.3 Solution analytique de l'quation diffrentielle4.6.4 Transformation de coordonnes4.6.5 Trajectoire et allure temporelle dans le systme de coordonnes fixe4.6.6 Reconstitution des courants de phaseChapitre 1