Rovina

Analytická geometria lineárnych útvarov

Čím je rovina určená• pevným bodom (A)• 2 smerovými vektormi (u,v)

• rovinu z rovnobežných rovín určuje pevný bod

A

u

v

Ako rovinu vyjadriť

1. parametrické vyjadrenie

2. všeobecná rovnica roviny

Parametrické vyjadrenie roviny

PVR:X = A + t.u + s.v, t,s R

podľa súradníc:α:x = a1 + t.u1 + s.v1

y = a2 + t.u2 + s.v2

z = a3 + t.u3 + s.v3

A[a1;a2;a3]

u = (u1;u2;u3)

v = (v1;v2;v3)

A

u

v

Príklad 1

Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom A[1,-3,2] a má smerové vektory u = (2,-4,1),

v = (4,1,-3)α:x = a1 + t.u1 + s.v1

y = a2 + t.u2 + s.v2

z = a3 + t.u3 + s.v3

α: x = 1 + 2t + 4s y = -3 – 4t + 1s z = 2 + 1t – 3s

Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi A[2,-4,1], B[0,-3,-1], C[3,-2,0]

Príklad 2

α : x = 2 – 2t + s y = -4 + t + 2s z = 1 – 2t – s

)2;1;2( ABABu

)1;2;1( ACACv

α :x = a1 + t.u1 + s.v1

y = a2 + t.u2 + s.v2

z = a3 + t.u3 + s.v3

Príklady

1. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom F[-2,6,-1] a má smerové vektory u = (-8,9,3), v = (3,-5,6).

2. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi S[-3,3,-5], T[1,7,-6], R[-2,3,6].

3. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodmi E[-1,0,2], F[3,-2,0], G[-2,1,1].

Príklady

4. Napíšte PV roviny, ktorá prechádza bodom K[-2,0,-3] a je rovnobežná s rovinou α: x = 1 + 3t – 2s, y = 4 – 5t + 3s, z = 1 – 2t – 3s.

5. Zistite, či body G[10,-11,0], H[-5,14,7] ležia v rovine α : x = 1 + 3t – 2s, y = 4 – 5t + 3s, z = 1 – 2t – 3s.

Príklady

učebnica M5 – riešené 79/Pr.68 – 71– neriešené 80/1 – 4

A

u

v

Všeobecná rovnica roviny

n

• pevným bod (A)• normálový vektor (n)

A[a1; a2;a3]u = (u1;u2;u3)v = (v1;v2;v3)n = (a;b;c)u n v n

VRR:ax + by + cz + d = 0

Ako určiť normálový vektor

• je kolmý na 2 rôzne smerové vektory skalárny súčin smerového a normálového vektora je 0

• treba nájsť tri čísla a, b, c také, aby to platilo

0... 321 ucubua0... 321 vcvbva

Príklad 3

Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (2,1,0), v = (1,2,3)

0012 cba

n = (a,b,c)

0321 cba

0342

caaab

caca 033

Zvolíme napr. a = 1

Potom b = -2, c = 1

Normálový vektor je:n = (a,b,c) = (1,-2,1)

Príklad 4

Nájdite kolmý vektor na vektory: u = (-1,2,-3), v = (0,-1,1)

032 cba

n = (a,b,c)

0 cb

032 cbacb

caca

0

Zvolíme napr. c = 1

Potom a = -1, b = 1

Normálový vektor je:n = (a,b,c) = (-1,1,1)

Príklady

Nájdite kolmý vektor na vektory:1. u = (2,-2,1), v = (0,1,-2)2. u = (0,0,1), v = (1,1,2)3. u = (3,2,-3), v = (2,-1,3)4. u = (1,1,1), v = (-3,1,-1)5. u = (0,0,1), v = (0,1,1)

Príklad 5Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá má smerové vektory: u = (-1,2,-3), v = (0,-1,1) a v ktorej leží bod A[2,-3,4]

0 dczbyax

n = (a,b,c) sme určili v Príklade 4

0 dzyx

0432 d

101

dd

Dosadíme za a, b, c do základného tvaru:

Dosadíme súradnice bodu A za x, y, z

Normálový vektor je:n = (a,b,c) = (-1,1,1)

01: zyx

Príklad 6Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá má smerové vektory: u = (1,2,3), v = (0,0,1) a v ktorej leží bod A[1,4,-5]

002 dzyx

042 d2d

Dosadíme za a, b, c do základného tvaru:

Dosadíme súradnice bodu A za x, y, z

Normálový vektor je:

022: yx

0032

ccba

baba

202

n = (a,b,c) = (-2,1,0)

Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodmi A[2,-4,0], B[-3,-1,1] a C[3,1,1]

Príklad 7

);;(

)1;5;1(

)1;3;5(

cban

ACACu

ABABu

0143 dzyx

1400.14)4.(32

dd

014143: zyxab

babababa

baccbacba

3030260535

505035

n = (1;-3;14)

Napíšte VR roviny, ktorá má PV : x = 2 – 2t + s; y = 1 + 3t – 2s; z = t + 3s

Príklad 8

)3;2;1(

)1;3;2(

v

u

0;1;2Abc

cbcbcba

cbacba

70364

32032032

)1;7;11(n

2907220711

dddzyx

029711 zyx

Príklady1. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodom F[-2,6,1] a je

kolmá na vektor n = (-8,9,6).2. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodom H[3,5,-7] a je

rovnobežná s vektormi a = (0,2,-1) a b = (1,1,0).3. Napíšte VR roviny, ktorá je kolmá na priamku, ktorá

prechádza bodmi S[-3,-3,1] a T[0,7,-6] a prechádza bodom T.4. Napíšte VR roviny, ktorá prechádza bodmi E[0,-1,4], F[4,5,0]

a G[1,-2,3].

Príklady

5. Napíšte VR roviny, ktorá má vyjadrenie : x = 4t + s; y = 4 + t; z = 1 + t – s.

6. Napíšte súradnice aspoň troch bodov roviny, ktorá má rovnicu : 2x – 3y + z + 6 = 0

7. Nájdite aspoň tri vektory, ktoré sú rovnobežné s rovinou : x – y + 2z + 4 = 0

8. Napíšte parametrické vyjadrenie rovniny, ktorá má všeobecnú rovnicu : x – y + z + 1 = 0

Príklady

učebnica M5 – riešené 82-83/Pr.72 - 76– neriešené 84/1 - 7

koniec