Régime permanent sinusoïdal III.1 Grandeurs caractéristiques des signaux périodiques

Une grandeur physique (courant, tension, etc.) est dite périodique si elle reprend identiquement la même valeur à intervalles de temps égaux. Période T : temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur de la fonction. Fréquence F : inverse de la période.

T1F =

Valeur instantanée i ou i(t) : la fonction elle-même. Valeur maximale I : amplitude ou valeur de crête (une valeur instantanée particulière) Valeur moyenne I0 :

∫=T

00 dt)t(i

T1I

La valeur moyenne d'un courant périodique est égale à l'intensité du courant continu qui fournirait la même charge (q = I0 T) pendant une période. Valeur efficace Ieff :

∫=T

0

2eff dt)t(i

T1I

Si nous comparons à l'énergie dissipée par effet Joule dans une résistance pendant une période :

TIRdt)t(iRW 2eff

T

0

2Joule == ∫

nous observons que la valeur efficace d'un courant périodique est l'intensité d'un courant continu qui fournirait dans une résistance le même effet Joule pendant une période.

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 33

Régime permanent sinusoïdal (A.C.) On parle de régime permanent sinusoïdal lorsque l'évolution temporelle des signaux correspond à des sinusoïdes. La forme générale d'un signal sinusoïdal est donc :

)t(sinI)t(i ϕ+ω= Rappelons quelques définitions : Phase instantanée : ϕ+ω t

Phase à l'origine ou déphasage : ϕ Pulsation : ω

Période : ωπ

=2T

Fréquence : π

ω==ν

2T1

Calculons les valeurs moyenne et efficace :

0dt)t(sinT1I

T

00 =ϕ+ω= ∫

2Idt

2)]t(2[cos1

TIdt)t(sin

TII

2T

0

2T

0

22

2eff =

ϕ+ω−=ϕ+ω= ∫∫ ⇒

2IIeff =

III.2 Représentations d'une grandeur sinusoïdale Pour faciliter les calculs il est possible de faire appel à deux représentations des grandeurs sinusoïdales. Ces deux représentations consistent à associer à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant dans un plan. La projection de ce vecteur sur un des deux axes peut alors donner accès à la grandeur considérée. La représentation peut être graphique, il s'agit de la représentation de Fresnel. Elle peut être analytique. En effet à tout vecteur on peut associer un nombre complexe dont la partie réelle est égale à une composante de ce vecteur et la partie imaginaire à l'autre composante dans un repère orthonormé.

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III.2.a Représentation de Fresnel Le vecteur de Fresnel associé à un signal sinusoïdal est un vecteur tournant dont la vitesse angulaire est égale à la pulsation du signal. La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude du signal et l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du signal. La valeur algébrique du signal est donnée par la projection du vecteur tournant sur l'axe vertical.

ωt +

+

Iϕ

i(t)

Figure 1

)t(sinI)t(i ϕ+ω=

Lorsqu'on ne compose que des signaux de même période, on ne s'intéresse en fait qu'aux déphasages relatifs. Il n'est donc pas nécessaire de faire tourner la figure. On se contente d'un vecteur fixe ayant pour norme l'amplitude du signal et pour angle polaire son déphasage.

+

Iϕ

Figure 2

Notation : I = I ∠ ϕ

Intéressons nous à la somme de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence :

)sintcoscost(sina)t(sina)t(y)sintcoscost(sina)t(sina)t(y

)t(y)t(y)t(Y

222222

111111

21

ϕω+ϕω=ϕ+ω=ϕω+ϕω=ϕ+ω=

+=

Il vient :

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 35

tcos)sinasina(tsin)cosacosa()t(Y 22112211 ωϕ+ϕ+ωϕ+ϕ= Nous pouvons introduire deux paramètres réels A > 0 et φ, tels que :

φ=ϕ+ϕ

φ=ϕ+ϕ

sinAsinasina

cosAcosacosa

2211

2211

avec :

ϕ+ϕϕ+ϕ

=φ

ϕ−ϕ++=ϕϕ+ϕϕ++=

2211

2211

122122

21212121

22

21

2

cosacosasinasina

tan

)(cosaa2aa)sinsincos(cosaa2aaA

En reportant dans l'expression de Y(t) nous obtenons :

)t(sinA)sintcoscost(sinA)t(Y φ+ω=φω+φω= Nous aurions pu raisonner directement sur la figure 3 et à partir de celle-ci retrouver l'amplitude A et le déphasage φ du vecteur somme des deux vecteurs représentant les fonctions y1 et y2.

a1

a2

ϕ1

ϕ2 φ

Aϕ1-ϕ2

Figure 3

Nous avons vu dans le chapitre précédent que la mise en équation de certains dipôles fait intervenir la dérivation ou l'intégration. Essayons de voir comment peuvent se traduire ces opérations dans la représentation de Fresnel. Considérons une fonction sinusoïdale :

)t(sina)t(y ϕ+ω= Dérivons cette fonction :

)2/t(sina)t(cosadt

)t(ydπ+ϕ+ωω=ϕ+ωω=

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 36

La dérivée correspond à la multiplication de l'amplitude par la pulsation ω et se trouve en quadrature avance par rapport au signal. De même intégrons la fonction :

∫ π−ϕ+ωω

=ϕ+ωω

−= )2/t(sina)t(cosadt)t(y

La primitive correspond à la division de l'amplitude par la pulsation ω et se trouve en quadrature retard par rapport au signal. La figure 4 résume la représentation graphique de ces deux opérations.

ϕ − π/2

ϕ + π/2

ϕ

a

aω

a/ω

Figure 4

III.2.b Notation complexe A toute fonction sinusoïdale d'amplitude a et de phase instantanée ω nous pouvons faire correspondre un nombre complexe défini par :

ϕ+t

tjj)t(j eeaea)]t(sinj)t([cosa)t(y ωϕϕ+ω ==ϕ+ω+ϕ+ω=

où j représente l'imaginaire pur : j2 = -1 (notation de physicien). Dérivons cette fonction complexe par rapport à t :

)t(yjeeajdt

)t(yd tjj ω=ω= ωϕ

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La dérivation correspond à une multiplication par ωj . Calculons la primitive de cette fonction complexe :

)t(yj1eea

j1dt)t(y tjj

ω=

ω= ωϕ∫

L'intégration se transforme en une division par ωj .

Nous verrons dans les prochains paragraphes que l'utilisation de la notation complexe permet de simplifier la résolution des équations différentielles en régime permanent sinusoïdal. III.3 Impédances complexes On appelle impédance d'un dipôle linéaire passif (résistance, capacité ou self) la grandeur complexe Z(jω) qui relie dans la représentation complexe la différence de potentiel au courant :

dipôleA B

u(t)

i(t)

Figure 5

)t(i)j(Z)t(u ω=

Avec les notations suivantes pour l'impédance complexe :

ϕ=+=ω jeZXjR)j(Z

et son inverse :

ϕ−=+=−

== j2 eYBjG

Z

XjRZ1Y

• La partie réelle R de l'impédance est appelée résistance. • La partie imaginaire X de l'impédance est appelée réactance. • La grandeur |Z| est appelée module de l'impédance. • La grandeur ϕ représente le déphasage de l'intensité i(t) par rapport à la tension u(t). • La grandeur Q = |X|/R est appelée facteur de qualité du dipôle. • La grandeur Y = 1/Z est appelée admittance du dipôle. • La partie réelle G de l'admittance est appelée conductance. • La partie imaginaire B de l'admittance est appelée susceptance.

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Considérons l'impédance des trois dipôles de base. Résistance pure :

Ai

u

R

B

Figure 6

)t(iR)t(v)t(v)t(u BA =−= En notation complexe :

)t(iR)t(u

eU)t(u tj

=

= ω

Donc : R)j(ZR =ω Condensateur parfait :

i

A

C

B

u

q

Figure 7

dt)t(udC)t(i

)t(uC)t(q

dt)t(qd)t(i

=⇒

=

=

En notation complexe :

)t(uCjeUCjdt

)t(udC)t(i

eU)t(u

tj

tj

ω=ω==

=

ω

ω

Donc : 2/jC e

C1

Cj1)j(Z π−

ω=

ω=ω

Inductance pure :

Ai

BL

u

Figure 8

dt)t(idL)t(u =

En notation complexe :

)t(ijLeIjL)t(u

eI)t(i

tj

tj

ω=ω=

=

ω

ω

Donc : 2/jL eLLj)j(Z πω=ω=ω

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 39

III.4 Associations d'impédances

III.4.a Un exemple Considérons un circuit RLC soumis à une excitation sinusoïdale v(t) = V sin ωt. Etudions le courant i(t), lorsque le régime permanent est atteint :

+

-v(t)

R

i

L

C

Figure 9 Nous pouvons écrire la tension aux bornes du générateur et aux bornes des trois dipôles en série :

dt)t(qd)t(iavec

C)t(q

dt)t(idL)t(iR)t(v =++=

Ce qui nous donne comme équation différentielle :

)t(vdt)t(iC1)t(iR

dt)t(idL =++ ∫ ou

dt)t(vd)t(i

C1

dt)t(idR

dt)t(idL 2

2=++

La solution d'une telle équation est la superposition d'une solution de l'équation sans second membre (le régime transitoire) et d'une solution particulière de l'équation complète (le régime permanent).

Nous avons vu que sauf pour R = 0 les solutions de l'équation sans second membre tendent toutes rapidement vers un courant nul.

Comme v(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation ω, on peut choisir une solution particulière de l'équation complète de la forme : )t(sinI)t(i ϕ−ω= . Nous pouvons résoudre l'équation différentielle en utilisant la notation complexe :

tjj

tj

eeI)t(i

eV)t(v

ωϕ−

ω

=

=

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 40

L'équation devient :

)t(vC

1LjR)t(i =

ω

−ω+

Soit :

)t(i)j(Z)t(v ω= avec

ω

−ω+=ωC

1LjR)j(Z

L'impédance peut être notée :

ω−ω=ωω+=ω

C1L)j(Xavec)j(XjR)j(Z

où X(jω) est la réactance du circuit. Notons Z le module de l'impédance :

2222

C1LRXRZ

ω

−ω+=+=

Nous pouvons réécrire la relation entre la tension et l'intensité sous la forme :

)XjR(eeIeV tjjtj += ωϕ−ω Multiplions chacun des deux membres par son conjugué, nous obtenons :

222222 ZI)XR(IV =+= Ce qui nous permet d'écrire pour l'amplitude de l'intensité :

ZVI =

D'autre part, pour déterminer le déphasage de l'intensité par rapport à la source de tension, nous avons :

)XjR(I)sinj(cosVeV j +=ϕ+ϕ=ϕ Donc :

RC

1L

RXtan ω

−ω==ϕ et

ZRcos =ϕ

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 41

Remarquons que cos ϕ ≥ 0 donc -π/2 ≤ ϕ ≤ π/2. L'impédance du circuit RLC varie avec la pulsation. Elle est minimale pour la pulsation propre du circuit :

CL1soit0

C1LpourRZ 0min =ω=ω

−ω=

L'intensité est alors en phase avec la source de tension. La courbe ci-dessous montre la variation de l'amplitude de l'intensité (ou sa valeur efficace) pour une tension donnée en fonction de la pulsation de la source. Nous avons un phénomène de résonance à ω0.

ωω

I

0

Figure 10

Calculons pour quelle pulsation nous avons :

R2Z = c'est-à-dire RC

1L)j(X ±=

ω

−ω=ω

Il nous faut résoudre :

01CRCL 2 =−ω±ω Cette équation a pour discriminant :

0CL4CR 22 >+=∆ Les solutions sont donc de la forme :

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 42

CL2CL4CRCR 22 +±±

=ω

Nous ne conservons que les solutions positives, c'est-à-dire :

++=ω

++−=ω

CL2CL4CRCR

CL2CL4CRCR

22

2

22

1

On définit le facteur de qualité du circuit RLC comme :

12

0Qω−ω

ω=

Ce facteur de qualité caractérise la largeur de la résonance. Celle-ci est d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand. En reportant les expressions des trois pulsations nous obtenons pour le facteur de qualité :

CL

R1Q =

III.4.b Notation complexe et lois de base

Grâce à la notation complexe toutes les lois de base (nœuds, mailles, association en série, association en parallèle, superposition, Norton, Thévenin, Millman, etc.) qui ont été obtenues pour les réseaux de résistances en régime continu restent valables en régime permanent sinusoïdal, les impédances jouant le rôle des résistances. C'est-à-dire qu'il est possible d'écrire les équations régissant l'étude d'un circuit sans passer par les équations différentielles. Reprenons l'exemple précédent. Remplaçons chaque dipôle par son impédance, nous pouvons modéliser le circuit comme indiqué sur la figure 11. En procédant à partir de ce schéma comme nous savons le faire en régime continu, nous pouvons écrire :

)t(iZ)t(iZ)t(iZ)t(v CLR ++=

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 43

+

-

ZR Z L

ZCvi

Figure 11 Nous retrouvons la même relation que dans le paragraphe précédent :

ω

−ω+=++==C

1LjRZZZZavec)t(iZ)t(v CLR

III.5 Puissance en régime sinusoïdal

III.5.a Puissance moyenne Nous avons vu qu'en convention récepteur la puissance reçue par un dipôle s'écrit :

A B

u

i

Figure 12

)t(i)t(u)t(p =

En régime sinusoïdal, la tension et l'intensité sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation. Notons ϕ le déphasage de la tension par rapport à l'intensité. Un choix de l'origine des temps nous permet donc d'écrire :

ϕ+ω=ω=

)t(sinU)t(utsinI)t(i

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 44

u(t) i(t)

T

T/2

Figure 13 Calculons la puissance instantanée :

)]t2(cos[cosIU21)t(sintsinIU)t(p ϕ+ω−ϕ=ϕ+ωω=

La puissance instantanée apparaît donc comme la somme d'un terme constant et d'une fonction sinusoïdale de fréquence double. Le terme constant est la puissance moyenne reçue par le dipôle sur une période :

ϕ==><= ∫ cosIU21dt)t(p

T1pP

T

0

Cette quantité est également appelée puissance active.

p(t)

<p>

TT/2

Figure 14

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 45

Au début de ce chapitre nous avons calculé la valeur efficace d'une fonction sinusoïdale. En utilisant ce résultat nous avons pour la tension et l'intensité :

=

=

2II

2UU

eff

eff

Nous pouvons donc réécrire la puissance active sous la forme :

ϕ= cosIUP effeff Ce qu'on écrit encore sous la forme du produit de la puissance apparente S et du facteur de puissance λ :

λ= SP avec :

ϕ=λ

==

cos

IUIU21S effeff

Pour essayer d'appréhender une conséquence concrète de cette décomposition, considérons un usager consommant une puissance moyenne P. Le réseau d'alimentation électrique doit fournir une puissance supérieure pour compenser les pertes dans la ligne. Nous pouvons écrire cette perte sous la forme :

2effLL IRP =

où RL représente la résistance de la ligne. Calculons le rapport PL/P :

ϕ=

ϕ=

ϕ= 22

eff

L

eff

effL

effeff

2effLL

cosU

PRcosUIR

cosIUIR

PP

Pour minimiser les pertes l'opérateur doit donc essayer de :

- minimiser la résistance de la ligne (vous l'auriez deviné); - augmenter Ueff (d'où l'utilisation de lignes haute tension); - avoir un facteur de puissance aussi grand que possible en valeur absolue.

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 46

III.5.b Puissance complexe La puissance instantanée n'étant pas une fonction sinusoïdale sa représentation complexe n'est pas autorisée. Nous introduisons toutefois une puissance complexe définie par :

)sinj(cosIU21eIU

21iu

21P j*

ϕ+ϕ=== ϕ

Cet abus nous permet de retrouver la puissance active et la puissance apparente. On note généralement P et Q les parties réelle et imaginaire de la puissance complexe :

ϕ=+= jeSQjPP avec :

apparentepuissanceIU21PS

réactivepuissancesinIU21PImQ

activepuissancecosIU21PReP

==

ϕ==

ϕ==

III.5.c Adaptation d'impédance Considérons une source de tension sinusoïdale réelle modélisée par sa f.e.m. e(t) et son impédance interne Z0. Ce générateur est connectée à une charge d'impédance Zc. Quelle doit être cette impédance pour que la puissance reçue par cette charge soit maximale ?

+

-Z c

Z 0

ei

u

Figure 15

+=

+=

= ω

ccc

000

tj

XjRZ

XjRZ

eE)t(e

Calculons la puissance complexe reçue par la charge :

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 47

2c

2c

* IZ21iZ

21iu

21P ===

Or :

2c0

2c0

2

2c0

22

c0 )XX()RR(E

ZZ

EIZZ)t(e)t(i

+++=

+=⇒

+=

Nous pouvons donc calculer la puissance active :

2c0

2c0

2c

)XX()RR(

ER21PReP

+++==

Dérivons cette expression par rapport à Xc :

[ ]22c0

2c0

2cc0

c )XX()RR(

ER)XX(XP

+++

+−=

∂∂

Donc :

0cc

XX0XP

−=⇔=∂∂

La puissance active est alors égale à :

2c0

2c

)RR(

ER21P

+=

Dérivons par rapport à Rc :

3c0

2c0

3c0

2c

2c0

2

c )RR(

E)RR(21

)RR(

ER

)RR(E

21

RP

+

−=

+−

+=

∂∂

Donc :

0cc

RR0RP

=⇔=∂∂

La puissance moyenne reçue par la charge est donc maximale si son impédance est égale au conjugué de l'impédance de la source :

*0c ZZ =

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 48

Il y a alors adaptation d'impédance. La puissance maximale vaut alors :

0

2eff

0

2max R4

ER8

EP ==

La puissance reçue par la charge est égale à la puissance dissipée dans la source.

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 49

S. Tisserant – ESIL – Rappels d’électrocinétique - 2003 50