Respons thd Eksitasi Harmonik

Getaran Mekanik STT Mandala

Eksitasi harmonik thd sistem tanpa redaman

M k

x Displacement

F=F0cosω t

F(t)=F0cosωt

Misalkan sebuah sistem pegas massa diberikan eksitasi harmonik sebesar

ωadalah frekuensi dari gaya harmonik (driving frequency) F0 adalah besar gaya harmonik Sistem tanpa redaman (c=0)

Persamaan Gerak

( )

mk

mFfana

tftxtx

tFtkxtxm

n

n

/

/dim

)cos()()(

cos)()(

00

02

0

=

=

=+

=+

ω

ωω

ω

Solusi persamaan gerak

)cos()()( 02 tftxtx n ωω =+

Merupakan persamaan differensial orde 2 Solusi merupakan penjumlahan dari solusi homogen dan solusi khusus Solusi homogen sudah dibahas di getaran bebas tak teredam

xp (t) = X cos(ωt)

Solusi khusus diasumsikan mempunyai frekuensi sama dengan frekuensi gaya eksitasi (gaya input)

Solusi persaman gerak Substitusi asumsi solusi khusus ke persamaan gerak

)cos()(

:

)cos(coscos

220

220

022

tftx

khusussolusi

fX

makatftXtX

np

n

nn

ωωω

ωω

ωωωωω

−=

−=

=+−

Solusi total

Solusi total=solusi umum+solusi khusus

tftAtAtxn

nntotal ωωω

ωω coscossin)(22

021 −

++=

A1 dan A2 adalah konstanta integrasi (bentuk Cartesian)

Kondisi awal dimasukkan=0

x(0) = A1 sin0 + A2 cos0 +f0

ωn2 − ω 2 cos0 = A2 +

f0

ωn2 − ω 2 = x0

⇒ A2 = x0 −f0

ωn2 − ω 2

&x(0) = ωn (A1 cos0 − A2 sin0) −f0

ωn2 − ω 2 sin0 = ωnA1 = v0

⇒ A1 =v0

ωn

⇒

x(t) =v0

ωn

sinωnt + x0 −f0

ωn2 − ω 2

cosωnt +f0

ωn2 − ω 2 cosωt

)0(x

Response for m=100 kg, k=1000 N/m, F=100 N, ω = ωn +5 v0=0.1m/s and x0= -0.02 m.

0 2 4 6 8 10 -0.05

0

0.05

Time (sec)

Dis

plac

emen

t (x)

Terdapat 2 fungsi harmonik dengan 2 frekuensi berbeda Respons getaran bebas dipengaruhi oleh gaya eksitasi Solusi tidak terdefinisi untuk ω=ωn

Jika ω dekat dengan ωn

x(t) =2 f0

ωn2 − ω 2 sin

ωn − ω2

t

sinωn + ω

2t

(2.13)

Terjadi fenomena beating

0 5 10 15 20 25 30 -1

-0.5

0

0.5

1

Time (sec)

Dis

plac

emen

t (x)

2 f0

ωn2 − ω 2 sin

ωn − ω2

t

Amplitudo besar

Jika ω=ωn

0 5 10 15 20 25 30 -5

0

5

Time (sec)

Dis

plac

emen

t (x)

resonansi

Contoh : Compute and plot the response for m=10 kg, k=1000 N/m, x0=0,v0=0.2 m/s, F=23 N, ω=2ωn.

)20cos10(cos10667.710sin02.0)( :diperoleh totalsolusi rumus Dari

m 109667.7s/rad )20(10

N/kg 3.2

m 02.0rad/s 10m/s 2.0 N/kg, 3.2

kg 10N 23

rad/s 202 rad/s, 10kg 10N/m 1000

3

3222222

0

00

ttttx

f

vmFf

mk

n

n

nn

−×+=

×−=−

=−

=====

=====

−

−

ωω

ω

ωωω

Compute so that the mount keeps the camera from vibrating more then 0.01 m of maximum amplitude under a wind load of 15 N at 10 Hz. The mass of the camera is 3 kg.

Solusi

Dari kekuatan material: I =bh3

12

Frekuensi pribadi sistem:

ωn

2 =3Ebh3

12ml 3 =Ebh3

14ml 3

Kita harus menghitung yg membuat amplitudo kurang dari 0.01m:

2 f0

ωn2 − ω 2 < 0.01 ⇒

(a) − 0.01 <2 f0

ωn2 − ω 2 , for ωn

2 − ω 2 < 0

(b) 2 f0

ωn2 − ω 2 < 0.01, for ωn

2 − ω 2 > 0

( )

( )tFtxIEItxm

tFtkxtxm

ω

ω

cos)(3)(

cos)()(

03

0

=+

=+

Case (a) (assume aluminum for the material):

−0.01 <2 f0

ω n2 − ω 2 ⇒ 2 f0 < 0.01ω 2 − 0.01ω n

2 ⇒ 0.01ω 2 − 2 f0 > 0.01Ebh3

4ml 3

⇒ l 3 > 0.01Ebh3

4m(0.01ω 2 − 2 f0 )= 0.321⇒ l > 0.6848 m

Case (b):

2 f0

ω n2 − ω 2 < 0.01⇒ 2 f0 < 0.01ω n

2 − 0.01ω 2 ⇒ 2 f0 + 0.01ω 2 < 0.01Ebh3

4ml 3

⇒ l 3 < 0.01Ebh3

4m(2 f0 + 0.01ω 2 )= 0.191⇒ l < 0.576 m

0.5 < l < 0.576, or l > 0.6848 m

Misalnya l dibatasi minimum 0,5 meter maka

Misalnya dipilih l=0.55 m maka cek

ω n

2 − ω 2 =3Ebh3

12ml 3 − 20π( )2= 1742 > 0

m = ρl bh3

= (2.7 × 103)(0.55)(0.02)(0.02)3

= 2.376 × 10−4 kg

Cek massa batang tidak mempengaruhi frekuensi (harus jauh lebih kecil dari massa kamera)

Alternatif bentuk harmonik ( )

mk

mFfana

tftxtx

tFtkxtxm

n

n

/

/dim

)sin()()(

sin)()(

00

02

0

=

=

=+

=+

ω

ωω

ω

xp (t) = X sinωt (2.19)

xp (t) =

f0

ω n2 − ω 2 sinωt

x(t) = x0 cosω nt +

v0

ω n

−ωω n

f0

ω n2 − ω 2

sinω nt +

f0

ω n2 − ω 2 sinωt (2.25)

Latihan

Latihan

k1=100 N/m k2=500 N/m m=89 kg